Уравнение для амплитуд возмущений

Система устойчива в малом, но, как и ожидалось, отклик имеет колебательный характер. Поскольку в этом случае все уравнения линейны, характер отклика не зависит от амплитуды возмущений. [c.235]

В разд. 11.2 мы считали постоянными такие феноменологические коэффициенты, как вязкость и теплопроводность. Отсюда следует, что к состоянию покоя ниже критического значения числа Релея (рис. 11.1) применима линейная неравновесная термодинамика, в частности теорема о минимуме производства энтропии (разд. 3.4 и 7.9). Когда мы достигаем предельного состояния, производство энтропии резко изменяется с возникновением первой неустойчивой нормальной моды (разд. 11.10). Возникновение этой моды приводит к тому, что наклон кривой производства энтропии (Я[5]) в критической точке претерпевает разрыв (рис. 11.2), и это неудивительно, поскольку в критической точке возникает новый механизм вязкой диссипации, порождаемой конвекцией. Сама величина (Р[8]) не претерпевает разрыва, поскольку амплитуда критической нормальной моды в предельном состоянии остается бесконечно малой. Чтобы получить конечную амплитуду, следует рассмотреть значения й а, несколько превышающие ( а)с. При значениях й а, превышающих (Й2а)с, линейная термодинамика необратимых процессов более не применима к описанию системы. Появляется новая взаимосвязь, благодаря которой температурный градиент порождает конвективный поток. Эта связь, не содержащаяся в феноменологических законах, возникает из стационарных Уравнений для возмущений (разд. 3.3). [c.157]

Нужно найти решение системы уравнений возмущенного движения, удовлетворяющее заданным краевым условиям, и дать количественную оценку устойчивости (или неустойчивости) каждой гармоники решения, предполагая, что в момент времени т=0 все гармоники имеют некоторые отличные от нуля начальные значения амплитуд возмущения. [c.63]

Последняя стадия нестабильности, а именно проникновение слоев одной жидкости в другую, не учитывается уравнениями, написанными выше. Из этих уравнений получаются лишь линейные приближенные решения, основанные па допущении о малости и в сравнении с ид. Это, действительно, так в самом начале нестабильного течения, но вскоре амплитуда возмущения становится достаточно большой. Линейное приближение теперь уже неприемлемо, и требуется применить полностью нелинейное уравнение. Такая задача вызывает значительные математические трудности, и для растворов обычно не решается. Лучшее, что можно сделать, это дать приближенные решения точных уравнений. Нередко ограничиваются тем, что указывают на природу нестабильности. [c.29]

Такой учет эффектов, связанных с непараллельностью течения, можно считать приемлемым. Однако необходимы дополнительные эксперименты для более надежного подтверждения теоретических результатов. Нужно измерить кривые интегрального нарастания амплитуды возмущения до различных значений А, определяемых с помощью уравнения (11.2.34). Следует рассмотреть влияние эффектов непараллельности течения на процесс фильтрации частоты возмущения. Изложенные в данном разделе методы необходимо использовать при анализе устойчивости течений около вертикальной поверхности и результаты расчета сравнить с имеющимися многочисленными экспериментальными данными, полученными при исследовании таких течений. [c.116]

Струйный режим истечения жидкости из сопла распылителя изучен значительно меньше, чем капельный, в связи со сложностью механизма распада струи. Началом струйного режима считают [43] появление коротких струй, от которых на расстоянии, равном трем-шести диаметрам отверстия, отрываются капли практически одинакового размера. При достижении некоторой скорости (первая критическая скорость) наблюдается более или менее резкий скачок длины струи. С дальнейшим увеличением скорости истечения длина струи возрастает примерно линейно. В этом интервале скоростей наряду с основными каплями наблюдается образование капель-спутников , в несколько раз меньше основных . При определенной скорости истечения (вторая критическая скорость) длина струи достигает максимального значения. Образующиеся в этом режиме капли довольно резко различаются по размеру, однако средний диаметр капель несколько возрастает. Считается [43], что причиной распада струи является ее турбулизация (колебания, возникающие в результате наложения возмущений при выходе из сопла). Распад струи под действием симметричных возмущений происходит в момент, когда амплитуда возмущения становится равной радиусу струи. Рост амплитуды определяется соотношением инерционных и поверхностных сил. Уравнение, учитывающее сужение струи при истечении и позволяющее рассчитать размер капель, отрывающихся от струи из-за воздействия симметричных возмущений, в зависимости от скорости истечения имеет вид [c.120]

Разумеется, на основе линеаризованных уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя, использованных в разделе 3, нельзя предсказать образование пузырей в псевдоожиженном слое, так как линеаризированные уравнения перестают быть справедливыми при увеличении амплитуды возмущений. [c.99]

В работе [84] вычислена величина з в зависимости от к для некоторых значений параметров, характеризующих псевдоожиженный слой, для того чтобы проиллюстрировать влияние этих параметров на устойчивость псевдоожиженного слоя. Для некоторых значении параметров, входящих в уравнения гидромеханики псевдоожиженного слоя, были вычислены также поля скоростей жидкой (газовой) и твердой фаз, давление в жидкости и порозность. Было найдено, что увеличение отношения перепада давления на распределительном устройстве к перепаду давления в псевдоожиженном слое оказывает стабилизирующее влияние на псевдоожиженный слой. Скорость увеличения амплитуды возмущений для псевдоожиженных слоев, ожижаемых газом, оказывается значительно больше, чем скорость роста возмущений для псевдоожиженных слоев, ожижаемых жидкостью. Найдено также, что при ненулевом значении отношения перепада давления на распределительном устройстве к перепаду давления, в самом слое существует такое критическое значение длины волны возмущения, что возмущения, имеющие длину волны меньшую, чем критическая, устойчивы. При увеличении указанного отношения критическое значение длины волны возмущения также увеличивается. [c.107]

Таким образом, в настоящем параграфе изложены основные результаты линейной теории устойчивости псевдоожиженного слоя, имеющего конечные размеры, а именно, получены уравнения для амплитуд возмущений всех гидромеханических параметров, характеризующих псевдоожиженный слой, и найдено общее решение этих уравнений. На основе изложенной теории может быть исследован вопрос о том, будет ли псевдоожиженный слой устойчив-по отношению к бесконечно малым возмущениям. Полученные уравнения для амплитуд возмущений могут использоваться для расчета поля гидродинамических переменных, развивающихся в результате роста возмущений в том случае, если псевдоожиженный слой неустойчив. Найдено, что в результате неустойчивости псевдоожиженного слоя могут возникать циркуляционные движения твердых частиц., [c.108]

Возможность пренебречь членами высоких порядков является следствием предположения о том, что начальные амплитуды возмущений достаточно малы. Линеаризация является первой необходимой ступенью в изучении устойчивости течения. Тем не менее полученные из линейного анализа результаты иногда являются неудовлетворительными. После разделения переменных система (3.3) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [c.49]

После подстановки (1.77) в уравнения (1.74) с учетом преобразования (1.78) получим следующую систему уравнений для амплитуд возмущений в области, занятой дисперсионной средой , [c.50]

Для амплитуд возмущений в области, занятой взвешенным слоем, получим из (1.75) следующую систему уравнений [c.51]

После подстановки в условия на поверхности разрыва (1.76) спектральных разложений (1.77), применения преобразования (1.78) и использования решений (1.81) и (1.85) получим следующую систему уравнений относительно постоянных А, В , С, О, Е и амплитуды возмущения поверхности разрыва [c.53]

При последнем допущении гидродинамические уравнения действительно приводят к выводу о том, что струя ПАВ ведет себя как струя чистой жидкости, т.е. наличие ПАВ учитывается лишь в общем понижении поверхностного натяжения. Однако подобное допущение на основании одной лишь аналогии с задачей на плоской поверхности раздела является законной, строго говоря, лишь в области возмущений, для которых выполняется условие %<сг, а эта задача не представляет практического интереса, поскольку к таким возмущениям струя устойчива (в этом случае выполняется условие ). Для длинных же волн указанная аналогия вообще не имеет места. Действительно, длинные волны в исходной задаче - это так называемые гравитационные волны, при которых жидкость перемещается главным образом под влиянием разности давлений (на вершине волны и во впадине), вызванной гравитационным полем. Таких волн нет в падающей струе, как их не может быть на поверхности жидкости в падающем сосуде. Длинные волны в задаче для струи - это в действительности волны, для которых выполняется условие А г. В работе[ 12 показано, что по отношению к таким возмущениям струя может быть устойчивой, если амплитуда возмущения Б мала ( а и, кроме того, благодаря наличию ПАВ, выполняется неравенство д>ё.Выполнение данного неравенства не является исключительным. Как показано в той же работе достаточным условием для этого является, например, условие снижения поверхностного натяжения растворителя (ёо) поверхностно-активными веществами более чем в два раза е4 <- ёо. Последнее неравенство можно выразить и иначе поверхностное давление должно превышать поверхностное натяжение. [c.174]

Отметим еще одно важное обстоятельство, которое позволяет построить физически ясные образы развития флуктуаций в зоне перехода. Поскольку уравнения для амплитуд возмущений в зоне перехода носят эволюционный характер, в определенном смысле щ жно решать задачу Коши, несмотря па общий эллиптический характер уравнений гидродинамики. [c.11]

Пороговый параметр 8, характеризующий такую амплитуду возмущения е, начиная с которой нелинейные члены в уравнениях для возмущений становятся существенными в критическом слое, найдется из условия (А)/(В) 1, откуда 8 = Ь Ь /ус или [c.189]

Как указывалось, лишь в критическом слое исследуемые уравнения для возмущений являются нелинейными. Соответствующая полностью линейная задача была решена в работе [250], результаты которой мы используем при построении решения в областях I, II, IV, V. Введем комплексную амплитуду возмущений д у) согласно соотношению (2/) = Ке [д(г/)ехр(1а )]. В главном приближении для [c.210]

Многие потоки, устойчивые к бесконечно малым возмущениям , оказываются неустойчивыми к возмущениям конечной амплитуды (например, течение Куэтта). Тем не менее для ряда случаев, например в пограничном слое на плоской пластине, переход к турбулентности при низкой степени турбулентности набегающего потока обычно начинается в результате неустойчивости по отношению к очень малым колебаниям. В таких случаях можно существенно упростить задачу устойчивости и ограничиться линейными уравнениями для возмущений на начальной стадии их развития, а любое такое возмущение представить как суперпозицию элементарных колебательных движений жидкости (волн) [c.16]

И хотя дисперсионное уравнение обеспечивает устойчивость стационарного однородного состояния (со = ilT > 0), по если выразить отношение амплитуд возмущений ллотности и скорости [c.307]

Из третьего уравнения (4.1.24) следует, что амплитуда возмущения Ру равна нулю, поэтому возмущение С или определяется возмущениями ш и а . [c.310]

Решение первых трех уравнений движения несущей среды при достаточно малых амплитудах возмущений в на границах [c.362]

Рассмотрена динамика развития неустойчивости Марангони, сопровождающая процесс межфазного теплопереноса в системе газ-жидкость. Получено дисперсионное уравнение и проанализировано его решение, дающее зависимость скорости роста амплитуды возмущений в закритической области от времени диффузии, волнового числа и физико-химических параметров системы. [c.137]

Для вычисления самых низких чисел Рейнольдса, при которых может существовать турбулентное движение, разработан теоретический метод исследования. Этот метод состоит в том, что в уравнения ламинарного движения вводится малое синусоидальное возмущение скорости. Если амплитуда возмущения возрастает со временем, то турбулентность может развиться если амплитуда уменьщается, то числа Рейнольдса ниже тех, при которых может существовать турбулентность. Результаты этой теории согласуются с экспериментом и имеют практическое значение в аэродинамике. Для обтекаемого тела вроде крылового профиля полное сопротивление можно значительно снизить, если удается сохранить течение в пограничном слое ламинарным до более высоких чисел Рейнольдса Ке (т. е. дальше от передней кромки). Теория учитывает также влияние на критическое значение Ке различных факторов. [c.131]

Решение систем нелинейных уравнений, так же как и в случае линейных систем, необходимо нам для определения устойчивости исследуемых объектов и их откликов на возмущения. Кроме тех данных, которые нам понадобились в случае линейных систем, для нелинейных систем необходимо знать влияние на устойчивость амплитуды на входе. [c.107]

Первые вычисления характеристик нейтральной устойчивости были проведены в работах [88, 115, 123, 149] и к настоящему времени накоплено большое количество данных по форме нейтральных кривых и линий постоянного значения коэффициента роста амплитуды возмущений во многих естественноконвективных течениях. На рис. 11.2.1 и 11.2.2 приведены диаграммы устойчивости для течения около вертикальной поверхности, выделяющей тепловой поток постоянной плотности д" в жидкость с Рг = = 0,733 и Рг = 6,7. Отметим, что при этом в уравнении (3.5.24) п= 1/5. На диаграммах используется обобщенный параметр О, [c.19]

Ниже по течению от точки нейтральной устойчивости, т. е. с увеличением G x), возмущение усиливается со скоростью, характеризуемой коэффициентом —а,-. Отношение амплитуд, как и прежде, рассчитывается с помощью уравнения (11.2.34), в котором следует использовать величину 4Л при постоянном тепловом потоке от поверхности и величину ЗА в случае изотермической поверхности, т. е. n = 0. Эти расчеты роста амплитуды возмущения являются, как и прежде, приближенными, поскольку форма профиля амплитудной функции изменяется с увеличением a по мере движения вниз по течению эти вычисления выполняются в рамках всех остальных предположений, указанных в предыдущих разделах. Интегрирование проводится вдоль траектории возмущения заданной частоты Р в плоскости переменных oi, Gi. Этим траекториям соответствуют линии = onst. Кривые постоянных значений А были рассчитаны для числа Прандтля 0,7, трех чисел Шмидта S = 0,94, 2,0, 0,2, что соответствует Le = 1,34, 2,86, 0,286, и для нескольких значений N. Эти кривые получены в той полосе частот, в которой происходит в каждом случае наиболее быстрое усиление возмущения. [c.101]

Чтобы найти функцию Ф( 3), рассмотрим нестационарные крупномасштабные возмущения с масштабами порядка 5 и более. Как уже указывалось, при описании таких возмущений пламя допустимо считать тонким. Поэтому можно воспользоваться линейной теорией устойчивости, предполагая, что нелинейные эффекты дают малую поправку. Используем также ряд феноменологических соображений, развитых Зельдовичем [19661, в работе которого получено уравнение, описывающее развитие дискретного возмущения на фронте пламени. В данном случае предстоит только учесть, что существует непрерывный спектр возмущений. Напомним, что вклад в скорость горения возмущений с масштабом порядка / описывается величиной Ъиф1Ы, Чтобы из этой величины получить геометрические характеристики пламени, ее следует разделить на т.е. необходимо рассмотреть величину к = 3i//3/, которая, очевидно, характеризует амплитуду возмущений с размером /. Выведем теперь феноменологическое уравнение для величины к. [c.238]

Очевидно, что при t = onst и /->< величина к описывается линейной теорией устойчивости. В рамках этой теории амплитуда возмущения растет по закону (6.13). Следовательно, можно предположить, что уравнение для к в линейном приближении имеет вид [c.238]

Использование плотностей вероятностей для описания структуры крупномасштабной турбулентности, по-видимому, является неоправданным усложнением задачи, так как возможен более простой подход, приводящий к уравнениям той же структуры. Для пояснения рассмотрим течения струйного типа. Проанализируем их эволюцию, начиная с сечения, в котором образовалась развитая турбулентность. Будем следить за амплитудой возмущения с фиксированным масштабом, значение которого существенно больше начальной ширины течения. Очевидно, что вначале амилитуда очень мала и, следовательно, характеристики такого возмущения описываются линейной теорией. Важно, что в течениях такого типа мала интенсивность турбулентности (интенсивность турбулентности связана со скоростью расширения течения, т.е. определяется слабо нелокальным взаимодействием турбулентной и нетурбулентной жидкостей). Поэтому рост амплитуды наиболее крупномасштабных возмущений описывается линейной теорией устойчивости профиля средней скорости (Таунсенд [1956]). [c.263]

Как уже отмечалось в предыдущем разделе, в псевдоожиженном слое могут развиваться крупномасштабные циркуляционные движения фаз. Изложенная выше теория конвективной неустойчивости псевдоожиженного слоя, основанная на использованип линеаризированных уравнений гидромеханики, позволяет предсказать возможность возникновения циркуляционных течений в псевдоожиженном. слое и описать начальный этап развития таких циркуляционных течений. Однако при достаточно больших значениях амплитуд возмущенных значений гидромеханических характеристик нелинейными членами в уравнениях гидромеханики пренебречь уже нельзя и необходимо рассматривать нелинейную задачу. [c.108]

Подставляя (3.6) в (3.4), можно показать, что амплитуда возмущения зависит от времени. В зависимости от того, будет ли величина 2яа1Д положительной или отрицательной, возмущения будут расти или затухать во времени. Исключая давление и продольную компоненту возмущения скорости и, систему (3.5) можно упростить, сведя к единственному уравнению, известному под названием уравнения Орра — Зоммерфельда [c.49]

Тейлорова неустойчивость весьма заметно проявляется в пульсации сферических пузырьков. Такие пузырьки играют главную роль как в кавитационной эрозии ( 42), так и в подводных взрывах. В предположении сферической симметрии (снова гипотеза (С) ) Рэлей ) получил простые дифференциальные уравнения для радиуса Ь 1) как функции времени, применимые к обоим типам пузырьков. Однако, если возмущения сферической границы разложить по функциям Лежандра р/,(созф), то можно показать, что амплитуды возмущений >л (<) удовлетворяют уравнению [c.108]

Пусть в экспериментальной установке измерена координата начала ламинарно-турбулентного перехода а пер,тр- Тогда, рассчитав интегральное усилеиие неустойчивостей, можно определить эффективную начальную амплитуду возмущений в условиях аэродинамической трубы 8н. тр из уравнения [c.241]

Такие же распределения амплитуды колебаний дает прямое численное моделирование нестационарного течения в областях отрыва пограничного слоя. Авторами работы [Gruber et al., 1987] рассчитано развитие двумерной монохроматической волны в отрывной зоне, ин-дуцированнои локальным изменением градиента давления в потоке над гладкой поверхностью. Решения уравнений Навье — Стокса качественно совпадают с данными линейной теории и эксперимента. В аналогичной постановке численное моделирование проведено авторами [Mau her et al., 1994]. Его результаты сопоставлены с данными расчетов по локальной теории устойчивости в приближении параллельности течения, выполненных в этой же работе с решениями уравнения Орра — Зоммерфельда для среднего течения, полученного при осреднении по времени численного решения уравнений Навье — Стокса. Авторы работы отмечают хорошее совпадение результатов на участке малых амплитуд возмущений. [c.233]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология