Прандтля решение уравнений

Одна из трудностей решения уравнений Навье—Стокса при больших числах Рейнольдса связана с сингулярностью — наличием малого параметра при старших производных. Созданная Прандтлем [1] теория пограничного слоя позволила в значительной мере преодолеть эту трудность. Разделение области решения на пограничный слой и подобласть регулярного решения вызвало к жизни специальную математическую теорию. [c.179]

В поперечных сечениях основного участка справедлива следующая зависимость избыточной температуры от избыточной скорости, которая также выводится из совместного решения уравнений (102) и (118) гл. VI при гипотезе Прандтля (107) для турбулентного трения, а также переноса тепла [c.370]

Соотношение (33.13) можно рассматривать как решение уравнения (33.5) по порядку величины. Поскольку в водных растворах Ол 10 м с, а vл 10- мV , то б/бгр 0,1, т. е. толщина диффузионного слоя приблизительно на порядок меньше толщины граничного слоя Прандтля (см. рис. 88). [c.167]

Решения уравнений (3.3.19) — (3.3.21) при любом числе Прандтля определяют поле скорости и х,у) и ь х,у) в следующем виде [c.78]

Можно видеть, что yf = —2 при (Хо/ц = 0 и Vf = +2 при оо оо. Следовательно, 7+ изменяется от —2 до +2. Однако численные решения уравнений (8.5.4) и (8.5.5) с граничными условиями (8.2.13) были получены при числах Прандтля, равных 1, 10, 100 и 1000, в диапазоне yf от —1,6 до +1,6. Местные значения коэффициента теплоотдачи и напряжения трения выражаются соотношениями [c.491]

В работе [26] получено решение уравнений (9.3.28) и (9.3.29) при граничных условиях (9.3.30) для изотермической поверхности, расположенной в нестратифицированной спокойной среде. При описанной выше постановке задачи получаются только три определяющих параметры число Прандтля, Я д. Если положить Рг= 11,5 и <7= 1,894816, что соответствует пресной воде при давлении 0,1 МПа и температуре 4 °С, то остается лишь один дополнительный параметр Я. В табл. 9.3.1 и на рис. 9.3.1 значения Я связаны с температурными условиями и с соответствующим направлением выталкивающей силы. Хотя с первого взгляда роль Я оценить довольно трудно, можно заметить, что выталкивающая сила W= ф — 7 — Я изменяет знак в области течения только в том случае, если Я находится в диапазоне О-< Я < 1/2. Это вполне очевидно, если сравнить условия, указанные в табл. 9.3.1, с распределениями плотности, приведенными на рис. 9.1.1. Этот диапазон Я подтверждается данными исследований инверсии конвекции около ледяных шариков [c.515]

Р. Дж. Грош и Р. Д. Цесс [Л. 181] выполнили численные решения уравнения, описывающего температурное поле в разделе 7-6, и получили величины, на 7—12% меньшие, чем подсчитанные из вышеприведенного уравнения для чисел Прандтля между 0,005 и 0,025. Ими было показано, ЧТО для величин Re, Pr>50 пренебрежение продольным переносом тепла оправдывается, за исключением случая непосредственной близости к переднему краю пластины. [c.371]

Для решения уравнения (16) необходимо определить величину П, которая требует решения уравнений (1) и (2) в явном виде. Последнее может быть выполнено, если известны функции Л(а > и Уг(д). Выразим зависимость текущей и средней скорости для турбулентного течения уравнением Кармана—Прандтля [c.268]

Весьма важные для химической технологии массообменные процессы происходят в системах с капельными жидкостями. Это процессы растворения и экстрагирования, кристаллизации, жидкостной адсорбции, для которых значения критериев Прандтля оказываются существенно больше единицы. При этом конвективный перенос целевого компонента становится сравнимым с диффузионным на таких малых расстояниях от твердой поверхности, на которых характер течения иотока капельной жидкости практически еще полностью определяется только силами вязкого трения, а толщины гидродинамического и диффузионного пограничных слоев становятся существенно неодинаковыми. Для капельных жидкостей, имеющих величины диффузионных критериев Прандтля порядка 10 , диффузионный пограничный слой имеет приведенную толщину, значительно меньшую, чем гидродинамический пограничный слой, что в значительной мере упрощает анализ процесса внешнего массообмена, поскольку при решении уравнения конвективно-диффузион-ного переноса компонента (1.21) в таком случае возможно воспользоваться приближенными решениями (1.7) для компонент скорости хюх и ту, справедливыми для малых расстояний от стенки. Кроме того, при анализе массообмена твердой поверхности с потоками капельных жидкостей обычно предполагается пренебрежимо малое значение стефановского потока. [c.33]

В работе [256] иа основе решения уравнения Навье — Стокса в постановке Прандтля и уравнения конвективной диффузии при заданных эффективных коэффициентах турбулентной диффузии и температуропроводности предложены методы расчета тепло- и массопереноса в двухфазных системах, используемых в высокоэффективных и высокоскоростных тепло- и массообменных аппаратах, работающих в турбулентных режимах. Совместный тепло- и массоперенос экспериментально исследовался в [257], где изучалось влияние турбулентного газового потока и течения жидкой пленки на скорость массо- и теплопереноса в пленочных колоннах в условиях прямотока и противотока движущихся фаз. Установлено, что при этих условиях образование волн на поверхности жидкости практически не влияет на скорость процессов тепло- и массопереноса. [c.127]

Для удовлетворения этим краевым условиям оказывается необходимым рассмотреть течение в пограничном слое Прандтля, линеаризованном по возмущениям макроскопических параметров течения и /ио У , Т Ий ж У К и т. д. (здесь Мо, Го — решения уравнений основного эйлеровского приближения). [c.118]

Это автомодельные уравнения, полученные Польгаузеном из уравнений пограничного слоя, подтвержденных экспериментами Шмидта и Бекмана [89]. Единственным параметром в этих уравнениях является число Прандтля. Это значит, что решение этих уравнений, зависящее от Рг, охватывает все условия переноса, возможные в рассматриваемой задаче. Но, исходя из уравнения (3.3.20), можно ожидать, что случаи очень больших и очень малых значений Рг могут потребовать специального исследования. Такие решения будут найдены позднее. В следующем разделе обсуждаются решения уравнений и следующие из них результаты. [c.78]

Для решения уравнений, как всегда, воспользуемся тем, что число-Прандтля весьма велико. Напишем формальное решение уравнения [c.137]

В литературе, посвященной теории пограничного слоя [15], термин точное решение означает решение уравнений пограничного слоя Прандтля в противоположность более приближенным решениям. Нужно отметить, что указанные уравнения в действительности представляют собой асимптотические приближения уравнений сохранения и точны для двухмерного ламинарного течения при v x v 1. [c.539]

Решение Джонса, Бекмана и Левича с соавторами зависит только от Ре и т и в явном виде не зависит от Ке. Число Ре может быть большим и при малых Ие, если число Прандтля достаточно велико. Применимость обоих решений при больших Ие целиком определяется возможностью использования выражений для функции тока Адамара и Рыбчинского для больших Ие при решении уравнения конвективной диффузии. [c.142]

Другим случаем поверхностной гетерогенной реакции, для которой нами было проведено решение уравнения конвективной диффузии, была пластинка, обтекаемая ламинарным потоком жидкости. Аналогичная задача для процесса теплопередачи рассматривалась Польгаузеном [28]. В случае теплопередачи, соответствующее число Прандтля имеет, обычно, порядок единицы. Поэтому, в работе Польгаузена нельзя было произвести указанные выше упрощения уравнепия (15) и оно решалось с применением численных методов. Плотность потока на поверхность пластинки оказалась равной [c.657]

Задача-о затопленной струе.дает пример точного решения уравнений пограничного слоя с помош,ыо переменных Прандтля — Мизеса 1). Положим в уравнении (1.32) ш = я перепишем его в виде ( 7 — 0) [c.39]

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПРАНДТЛЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ЗАДАЧ [c.64]

Броун, Скотт и Тайн принимали показатель степени критерия Рейнольдса на основе работ Чилтона, Дрю и Джебенса [9], а показатель степени критерия Прандтля находили решением уравнения (VI 1,25). [c.126]

Поверхность теплообмена внутренней пленки обрабатываемой жидкости есть функция плотности жидкости, которая в свою очередь зависит от температуры. Удельная теплоемкость при постоянном давлении Ср также зависит от температуры. Эти зависимости, приведенные в табл. 7, использ овали при расчете на ЭВМ для решения уравнения (УП,40). Величины рассчитывали в области температур 50—110 °С с интервалом в 3 °С. Кроме того, на ЭВМ рассчитывали также критерии Рейнольдса, Прандтля и симплекс вязкости при этих температурах. Выход из второй ступени программы сохраняли на лентах и затем использовали как вход третьей ступени программы. [c.133]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-пии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энерпш для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

В работе [61] методом возмущений получено также решение для теплового факела при малом числе Прандтля. Такие решения для постоянной плотности теплового потока на вертикальной поверхности, по-видимому, не публиковались, хотя численные решения имеются, например в работе [8], и такие данные приведены также в табл. 3.5.1. В работе [8] автомодельное решение Спэрроу и Грегга [100] распространено на числа Прандтля 0,01 и 0,03 для случая постоянной плотности теплового потока, а затем методом возмущений найдены поправки первого порядка точности к решению для пограничного слоя при этих числах Прандтля. Данные, приведенные в табл. 3.5.1, получены из численных решений уравнений (3.5.26) — (3.5.28) при п= 1/5 и Сгд = g Nx x /v . [c.125]

При умеренных и больших значениях чисел Рейнольдса и Грасгофа можно применить приближения пограничного слоя, аналогичные рассмотренным в разд. 10.4.2 для горизонтального цилиндра. В работе [18] конечно-разностным методом получены решения уравнений пограничного слоя для смешанно-конвектив-ного течения около изотермической сферы при однонаправленном и противоположном действии выталкивающей силы в предположении об отсутствии отрыва потока. При числе Прандтля, равном 0,7, проведен анализ для всего диапазона условий, соответствующих режиму смешанной конвекции, начиная с предельных режимов вынужденной и естественной конвекции. С какого бы предельного случая ни начинался расчет, результаты для промежуточного режима получались одинаковыми. Исполь- [c.618]

Это соотношение применяется для расчета теплоо бмена в жидких металлах с числами Рейнольдса между 0,005 и 0,05. В этом диапазоне знаменатель мало зависит от Рг, так что критерий Нуссельта по существу зависит от произведения Не Рг, которое представляет собой критерий Пекле. Точное решение уравнений ламинарного пограничного слоя приводит к соотношению, которое имеет на месте знаменателя в приведенном выше уравнении слабую функцию Рг, которая изменяется нa 5% oкoлo величины 1,98 для данного выше диапазона чисел Прандтля [Л. 70]. Далее будет показано, что данное выше уравнение хорошо согласуется с этим результатом. [c.226]

Уравнения тонкого вязкого ударного слоя. Система уравнений тонкого вязкого ударного слоя является композицией уравнений Прандтля и уравнений гиперзвукового невязкого ударного слоя [200]. Асимптотическое обоснование эта модель получила в работах [201, 202]. Использование модели тонкого вязкого ударного слоя снимает проблему срагцивания вязкого и невязкого решений, позволяет оценить влияние продольной и поперечной кривизны, легко учесть скольжение на ударной волне и теле. Система уравнений тонкого вязкого ударного слоя является параболической, что сильно унрогцает ее решение. Сравнение с экспериментальными данными [c.180]

Найдем приближенное асимптотическое решение уравнения (128), справедливое при бульшйх числах Прандтля, когда толщина теплового пограничного слоя много меньше расстояния между [c.145]

Рис. 5.28 показывает, что продольная скорость частиц больше скорости газа по всему пограничному слою, причем при ж < 1 (Stkf > 1) она отлична от нуля на поверхности пластины. Это происходит вследствие инерции частиц. Различие в скоростях между фазами ведет к интенсивному обмену импульсом, следствием которого является большая наполненность профиля скорости газовой фазы по сравнению со случаем однофазного течения. В [17] отмечается, что релаксация скоростей фаз практически заканчивается при ж = 5 (Stkf = О, 2), а структура течения при различных значениях массовой концентрации частиц М однотипна. Профили продольных скоростей обеих фаз при больших ж (малых Stkf) становятся автомодельными. Данные предельные профиля могут быть получены из решения уравнений Прандтля для однофазного газа с увеличенной плотностью ре = р + Ф рр = = р(1 + М). Таким образом после релаксации скоростей данное течение опять (как набегающий на пластину поток) становится квазиравновесным. [c.153]

Решения описанных выше задач методами пограничного слоя до сих пор были основаны на кармановских интегральных соотношениях (4.125), (11.100) и (18.76), которые получены интегрированием уравнений пограничного слоя Прандтля по координате у. Чтобы решить уравнения Кармана относительно толш,ин пограничных слоев б, бу, бс, необходимо задаться формами профилей скоростей, температуры и концентрации. В настоящем разделе приведен более строгий метод точного решения уравнений пограничного слоя [c.538]

Чтобы сравнить расчетные данные с экспериментальными, полезно провести аналогичный расчет для числа Прандтля, соответствующего воздуху. Прямым путем было бы решение уравнений (86) и (87). Однако из расчетов Спэрроу и Грегга [35] следует, что по крайней мере в интервале чисел Прандтля от 0,7 до 1,0 влияние последнего на значение критерия Нуссельта практически не зависит от граничных условий на поверхности. При постоянной температуре поверхности пластины Острач [36] нашел, что число Нуссельта уменьшается в 1,12 раза при изменении числа Прандтля от 0,72 до 1,0. Учтя это в уравнении (91), получим для Рг = 0,72 [c.35]

Решение уравнения (49) может быть получено прй конечном значении Н в виде ряда ио положительным степеням 1] ,. Интегрирование уразнения (48) представляет значительную трудность вследствие сложного вида зависимости отношения турбулентного и молекулярного переноса О и граничных условий. Учитывая, что при турбулентном течении в несмоченном канале для чисел Прандтля порядка едишщы и выше число Нуссельта весьма слабо зависит от характера граничных условий по-видимому, и в нашем случае. можно ограничиться определением числа Нуссельта при , что соответствует [c.152]

Введение. Понятие о тонком вязком слое вблизи тела, около которого течет жидкость, было введено Прандтлем ). Согласно Прандтлю, внутри узкой области, называемой дограничным слоем, скорость жидкости относительно поверхности возрастает от нуля на самой поверхности до некоторого максимального значения. В настоящее время такая концепция общепринята и является одним из основных постулатов динамики жидкости. Она проверена путем тщательных измерений распределения скорости поперек пограничного слоя. Косвенным подтверждением этой концепции служит также отличное совпадение экспериментальных данных с результатами, полученными путем решения уравнений пограничного слоя. Последние представляют собой систему дифференциальных уравнений движения жидкости, полученную из более общих уравнений движения, в которых на основании предположений теории пограничного слоя отброшены некоторые члены. [c.22]

Решение уравнения (10.21), разумеется, не зависит от кинематической вязкости V. Следовательно, коэффициент теплопередачи Л ие зависит от числа Прандтля Рг, содержащего V. Таким образом, в зависимости (10.20) при Ке<1 функция ф(Ке, Рг) не зависит ие только от Ке, но и от Рг (хотя зиачеиие Рг может быть и ие мало по сравнению с единицей). В этом случае функция ф сводится к числовой константе порядка единицы, так что из (10.20) получаем [c.153]

Приведенный в настоящем параграфе вывод уравнений Прандтля, как уравнений нулевого приближения в методе представления решений уравнений Стокса при больших значениях Ке разложениями по степеням малого параметра 1/]/"Ке, имеет чисто интуитивный характер. Строгая постановка этого вопроса составила предмет тонких исследований Г о Юн-хуая ), указавшего способ избежать возникновения неравномерной точности приближений из-за наличия особенностей в уравнениях задачи. Им же установлены приемы определения приближенных граничных условий для последовательных приближений. Дело в том, что с повышением номер а Приближения область пограничного сло.ч расширяется за счет внешнего потока , так что,, если в нулевом приближении, скажем, для задачи внешнего обтекания тела, должно быть выполнено ранее уже указанное условие асимптотического стремления продольной скорости к скорости на внешней границе слоя , то в старших приближениях эта скорость должна быть заменена соответствующим членом в разложении скорости внешнего потока по степеням малого параметра 1//Яе. [c.23]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология