Вывод уравнений Прандтля

Вывод уравнений Прандтля [c.16]

Чтобы сделать этот вывод, необходимо принять во внимание тот факт, что уравнение энергии для пограничного слоя является линейным относительно температуры. Поэтому правило должно быть применимо совершенно одинаково для всех жидкостей с постоянными свойствами. Это справедливо также для турбулентного потока, и как результат все зависимости для теплообмена, найденные для низкоскоростного потока, можно сразу же иопользо вать при теплообмене в условиях большой скорости [Л. 142]. Единственно, что требуется дополнительно, — это знание коэффициента восстановления для частного слоя, откуда можно определить температуру восстановления. Для ламинарного потока пограничного слоя на плоской пластине коэффициент восстановления дается уравнением (10-7). Для турбулентного потока теоретически было выведено и варьировано для чисел Прандтля, близких к 1, следующее соотношение [c.325]

В третьей главе начинается знакомство с методами описания развитой турбулентности, а именно, с исторически первым и наиболее развитым подходом к описанию турбулентных потоков. Это подход Рейнольдса и выросшие из него многочисленные полуэмпирические модели турбулентности. Начинается глава с определения статистических моментов случайных полей, характеризующих турбулентный поток. Далее дан вывод уравнения Рейнольдса для средних полей и обсуждаются вопросы, связанные с появлением в уравнениях тензора напряжений Рейнольдса. Показано, как получается цепочка уравнений Фридмана-Келлера и формулируется проблема замыкания. Разговор о путях решения этой проблемы начинается с описания гипотезы Буссинеска для тензора напряжений, определения понятия турбулентной вязкости, описания и обсуждения модели пути смешения Прандтля. В последующих параграфах рассмотрены более сложные модели модели переноса турбулентной вязкости и двухпараметрические модели типа к-г модели. Полуэмпирическим моделям в предлагаемом курсе лекций уделено сравнительно скромное место по двум причинам. Во-первых, именно этот подход наиболее полно освещен в литературе и может быть свободно изучен по учебникам. Во-вторых, основной целью данного курса является знакомство с методами изучения свойств мелкомасштабной турбулентности (однородной изотропной турбулентности), которая как раз и остается за полем зрения полуэмпирических моделей. Поэтому описание этих подходов необходимо только для общего знакомства с идеологией метода, дающего возможность ссылаться на него в дальнейшем и проводить необходимые сравнения. [c.6]

Таким образом, можно сделать вывод о том, что область существования развитой поверхностной конвекции в пленочных колоннах (т. е. когда перенос вещества, обусловленный поверхностной конвекцией, доминирует над переносом, вызванным молекулярной диффузией) определяется не только величиной числа Марангони, но и величиной диффузионного числа Прандтля. Это положение в качественном отношении согласуется с теоретическими представлениями, развитыми в работе [120]. Сопоставление уравнений (4.5) и (4.33) показывает их идентичные структуры при больших числах Ма . [c.129]

Из аналогии между трением и теплоотдачей следуют некоторые выводы, относящиеся к распределению температур в поперечных сечениях потока. При турбулентном движении газов, в связи с постоянством значения критерия Прандтля, определенная зависимость следует из уравнения (8-17), следовательно, обязательна также подобная зависимость критерия Стантона от скорости потока и от коэффициента трения. Отсюда следует, что распределение температур должно иметь тот же характер, что и распределение скоростей. [c.398]

В этой книге мы не будем детально рассматривать вывод соотношений более сложных, чем уравнение Прандтля — Тэйлора. [c.332]

Однако при исчезающе малом, но конечном значении величины Ог, граничное условие (10.32) означает, что градиент концентрации в сечении на выходе равен нулю. Это несколько неожиданный вывод, потому что явно превалирующее условие, когда = О, не может рассматриваться как предел общего решения задачи при Ог, стремящемся к нулю. Рассмотренная ситуация имеет аналогию в классической механике жидкости, решенную Прандтлем путем введения концепции пограничного слоя. В последнем случае решения задачи невязкого течения или уравнений Эйлера не являются пределом, к которому стремится решение общих уравнений Навье — Стокса, когда вязкость приближается к нулю. [c.121]

В поперечных сечениях основного участка справедлива следующая зависимость избыточной температуры от избыточной скорости, которая также выводится из совместного решения уравнений (102) и (118) гл. VI при гипотезе Прандтля (107) для турбулентного трения, а также переноса тепла [c.370]

Итак, при Рг "С 1 и Рг 1 вязкой диссипацией можно пренебречь. Но этот вывод справедлив и для жидкостей с большим числом Прандтля, если Яо< . 1, так как выражение (2.6.4) дает существенно завышенную оценку в жидкостях с большой вязкостью. Это будет показано в разд. 3.8. Из уравнения [c.54]

Было найдено, что в этой области отношение толщины пограничного слоя потока к толщине теплового пограничного слоя пропорционально кубическому корню из числа Прандтля. Экстраполяция этого результата количественным путем на низкие числа Прандтля приводит к выводу, что для жидких металлов тепловой пограничный слой будет гораздо толще, чем пограничный слой потока. Вычисление, представленное в 7-3, может быть выполнено и для данного случая. Однако очень просто получить приближенное решение самого уравнения энергии пограничного слоя на основе следующего соображения, сделанного Р. Дж. Гро-шем. Большая часть температурного поля в пограничном слое жидкого металла будет в области, где скорость равна скорости потока. Это обусловлено предположением о том, что тепловой пограничный слой значительно толще, чем гидродинамический пограничный слой. [c.370]

Между прочим, критерий Прандтля в степени 0,3—0,4 вводится исследователями нередко просто по аналогии с известными работами по теплоотдаче в однофазных потоках (при псевдоожижении капельными жидкостями введение Рг представляется более логичным). Если учесть практическое постоянство значения Рг для газов с одинаковой атомностью, то из уравнений типа Nu Re Pr /a может быть сделан ошибочный вывод о прямой пропорциональности а и X. Этот вывод непосредственно вытекает из ряда предложенных [114, 117, 541, 663, 722 и др.] уравнений типа Nu- Re , которые были получены на основании опытов с каким-либо одним газом (чаще всего с воздухом). [c.310]

Из приведенных сведений следует, что в отличие от алгебраических уравнений, полученных в результате обработки опытных данных, в алгебраических уравнениях, аппроксимирующих результаты точных решений дифференциального уравнения энергии, показатель степени у числа Прандтля является величиной переменной. Его численное значение зависит от величины числа Прандтля и может изменяться от 1 до 0,3. Аналогичный вывод можно сделать и после рассмотрения рис. 78. Заметим, что показатель степени при числе Прандтля, равный V3, вытекает и из аналитического решения тепловой задачи для ламинарного течения вязкой жидкости в трубах и каналах. [c.137]

Были предприняты различные попытки сделать более строгим несколько интуитивный вывод Прандтлем уравнения (14) вероятно, более всего заслуживает внимания то, что сделано [c.61]

Итак, логарифмический закон является высоко. эффективным и гибким средством определения кинематической картины осредненного движения, и, следовательно, можно думать, что в нем отражаются какие-то существенные свойства турбулентного течения. Естественно поставить перед собой вопрос о тех физических представлениях, которые лежат в основе вывода этого закона. Если под этим углом зрения продумать ход рассуждений, которые привели нас к логарифмическому распределению скорости, то, несомненно, особое место займет уравнение (4.24). Это уравнение выражает гипотезу Прандтля о пропорциональности длины пути смешения расстоянию от поверхности — гипотезу, имеющую для всей теории фундаментальное значение, так как ею устанавливается вполне конкретный принцип определения пути смешения и тем самым создается реальная предпосылка для решения задачи. Возникает впечатление, что логарифмический профиль существенным образом связан с гипотезой Прандтля. В действительности, однако, положение сложнее оказывается, что логарифмический профиль может быть получен на основе совершенно других представлений, не имеющих никаких точек соприкосновения с этой гипотезой. [c.283]

Знание распределений скорости и температуры позволяет рассчитать теплоотдачу с помощью интегральных уравнений теплового потока и импульса, полученных в 7-1. Чтобы избежать громоздких выкладок, связанных с использованием интегральных уравнений, воспользуемся упрощенным выводом. Будем при этом полагать, что Рг 1, но отличие числа Прандтля от единицы не слишком велико. [c.196]

Одно из основных предположений, сделанных при выводе, состоит в том, что а ж у пренебрежимо малы по сравнению с и Ге. Поскольку отношепие г/а равно числу Прандтля, для жидкостей с Рг = 1 V = а, и в этом частном случае V + Ге = = <2 + е, так что уравнение (25. 19) можно получить, не пренебрегая молекулярным переносом. Это означает, что уравнение (25. 19) дает лучшие результаты для газов, для которых, как мы знаем, Рг я 1, Равенство йе и оспаривается многими исследователями. Эти величины можно вычислить по измерениям профилей температуры и скорости. Большинство результатов показы- [c.338]

Вывод формулы Кармана аналогичен методу Прандтля — Тэйлора. Для ламинарного подслоя < 5) уравнения выписываются с учетом молекулярной температуропроводности, но в пренебрежении турбулентными членами. Отсюда получается выражение для перепада температур в ламинарном подслое. [c.342]

Коэффициенты турбулентной кинематической вязкости Ve и турбулентной температуропроводности йе определяются уравнениями (13. 37) и (25, 21). При выводе этих уравнений указывалось, что подобная величина, известная как коэффициент турбулентной диффузии может быть определена в уравнениях массопередачи при турбулентном потоке. Вывод для проводится для системы, изображенной на рис. 35. 2. Скорости и концентрации показаны для двух точек, находящихся друг от друга на расстоянии, равном длине пути перемешивания I по Прандтлю, Жидкость перемещается между двумя точками со скоростью wy , в то время как компонент А передается с массовой скоростью, отнесенной к единице поверхности и равной произве- [c.502]

Более сложные формы аналогии между переносом массы и количества движения также повторяют формы, приведенные в гл. 25. Выводы подобны, так что здесь будут даны лишь немногие их детали. В анализе Прандтля — Тейлора принимается, что только молекулярный перенос массы и количества движения играет роль в ламинарном подслое. В турбулентном ядре применима аналогия Рейнольдса. Затем две серии уравнений объединяются, что приводит к уравнению общего потока массы, из которого получается [c.506]

Основываясь на универсальной диаграмме скоростей, Мартинелли [29, 33] выводит, по несколько отличающемуся методу, более точную формулу вместо уравнения (4-198). Эта формула более сложна и больше соответствует практическим данным для очень низких значений критерия Прандтля. Ее называют аналогией Мартинелли. [c.360]

Вывод уравнений Прандтля. Будем считать жидкость несжимаемой, ее свойства постоянными (р = onst, ц = onst) и полагать, что выделение теплоты вследствие трения практически не сказывается на изменении энтальпии жидкости. [c.152]

Приведенный в настоящем параграфе вывод уравнений Прандтля, как уравнений нулевого приближения в методе представления решений уравнений Стокса при больших значениях Ке разложениями по степеням малого параметра 1/]/"Ке, имеет чисто интуитивный характер. Строгая постановка этого вопроса составила предмет тонких исследований Г о Юн-хуая ), указавшего способ избежать возникновения неравномерной точности приближений из-за наличия особенностей в уравнениях задачи. Им же установлены приемы определения приближенных граничных условий для последовательных приближений. Дело в том, что с повышением номер а Приближения область пограничного сло.ч расширяется за счет внешнего потока , так что,, если в нулевом приближении, скажем, для задачи внешнего обтекания тела, должно быть выполнено ранее уже указанное условие асимптотического стремления продольной скорости к скорости на внешней границе слоя , то в старших приближениях эта скорость должна быть заменена соответствующим членом в разложении скорости внешнего потока по степеням малого параметра 1//Яе. [c.23]

В последней статье, посвященной теории естественной конвекции от вертикальной пластины к жидкостям, имеющим числа Прандтля от 0,001 до 1000, Острах [30] выводит уравнения, как для скоростного, так и для температурного полей, удовлетворительно согласующиеся с данными для воздуха. Острах приходит к выводу, что отношение числа Нуссельта к корню четвертой степени из числа Грасгофа зависит только от числа Прандтля при Рг = 0,01, это отношение должно быть равно 0,08, однако оно равно 0,07 по уравнению (7-За) и 0,17 по эмпирической зависимости [уравнение (7-3)] для чисел Прандтля от 0,7 до 500. [c.235]

НОСТЬЮ выполнил Стюартсон [164]. Допущенная в этой работе ошибка в знаке привела к неправильному выводу, что при силе Вп, направленной в сторону поверхности, применима автомодельная постановка задачи о течении пограничного слоя. Позднее Гилл и др. [61] и Ротем [145] показали, что натекание на переднюю кромку возможно только для нагретой поверхности, обращенной вверх, или для охлажденной поверхности, обращенной вниз, т. е. когда сила направлена от поверхности. Натекание создается косвенным воздействием отрицательного градиента давления дрт/дх<0. Ротем и Клаассен [146] получили для этого течения автомодельные уравнения в случае степенного закона изменения температуры поверхности. Представлены результаты для горизонтальной поверхности с постоянной температурой при некоторых конкретных величинах числа Прандтля. Рассчитаны также предельные случаи Рг- 0 и Рг->оо. В статье [47] использован интегральный метод для определения местного числа Нуссельта. [c.231]

В случае ламинарных потоков в трубах решения, полученные в 7-7, применимы для жидкого металла, так же как и для других жидкостей, до тех пор, пока вывод этих уравнений не ограничивает число Прандтля. Числа Нуссельта для изложенных условий потока согласно этим зависимостям постоянны. Причем величины этих постоянных различны для постоянной температуры стенки и для постоянного потока тепла. Однако длина начального участка для потоков жидкого металла весьма мала из-за цеболь-24—308 369 [c.369]

Гамбилл [32], сравнивая точность шести различных уравнений, пришел к выводу, что в тех случаях, когда молекулярная масса М<15, наиболее близкие к истинному значению результаты для критерия Прандтля дает формула Эйкена (1Х-35). Если же М>15, то чаще всего наиболее точные результаты можно получить по уравнению (1Х-36). Максимальная погрешность расчета в обоих случаях составляет 15%- [c.360]

Другие выводы из исследований турбулентной диффузии делают Гольденберг [10] и Фуницкий [7]. Известна аналогия Рейнольдса между теплопроводностью и трением [уравнение (8-17)] нри значении критерия Прандтля Рг = 1 [c.581]

Гипотеза Прандтля в определенной мере стимулировала дальнейший прогресс в этом направлении. Никурадзе [44] одним из первых изучил распределение скорости в гидролотках и косвенно пришел к выводу о направленном характере этих течений вдоль биссектрисы к угловой линии. Интенсивное развитие в экспериментальных исследованиях новых методов и средств измерений, таких как термоанемометрия, стробоскопия и других безусловно способствовало пониманию исследуемого вопроса на качественно более высоком уровне [45—521 и впоследствии послужило даже основой для приближенного описания вторичных течений [130]. Более эффективные методы анализа вторичных течений основаны на использовании уравнения переноса для продольной компоненты завихренности, которое можно получить путем перекрестного дифференцирования по г и по у осредненных по времени уравнений Рейнольдса в проекции на оси у я г я последующего вычитания одного уравнения из другого. В этом случае точное выражение для стационарного несжимаемого течения принимает следующий вид [c.115]

При выводе исходной системы уравнений использовалась алгебраическая модель коэффициентов турбулентного обмена (К). Определение этих коэффициентов в рассматриваемой задаче представляет самостоятельную проблему, для решения которой были использованы идея о связи турбулентной вязкости в струйном потоке с кинетической энергией турбулентности (Е) и ее масштабом (L), высказанная А.Колмогоровым-Л.Прандтлем K E L, а также предположение о пропорциональности характерной скорости турбулентных пульсаций (V ) так называемой скорости "смешения" (Ve), эмпирическое выражение для которой получил Е.Hirst [7] в результате обобщения большого количества экспериментальных данных по струйным течениям [c.52]