Бенара задача

В качестве простого примера можно рассмотреть термическую устойчивость горизонтальных слоев жидкости, нагреваемых снизу. Это так называемая задача Бенара [28], которая будет детально изучена в гл. 11 и 12. При некотором критическом значении безразмерного параметра, называемого числом Релея, состояние покоящейся жидкости становится неустойчивым и возникает ячеистая структура конвекции. Выше и ниже этого значения параметра жидкость можно описывать макроскопически. Термодинамическое рассмотрение должно играть важную роль в выяснении начала и природы неустойчивости. [c.8]

Гл. 11 —16 посвящены приложениям. Из множества проблем, к которым развиваемая теория может быть приложима, приведены только несколько примеров для иллюстрации некоторых характерных особенностей. В гл. 11 излагается теория термической неустойчивости слоев жидкости (задача Бенара). Наш критерий термодинамической устойчивости приводит сразу к тем же вариационным принципам для задачи Бенара, которые получены из анализа нормальных мод [28]. По нашему мнению, это соответствие иллюстрирует степень единства между термодинамическим и гидродинамическим методами, достигнутую в нашем подходе. [c.14]

Полученные условия устойчивости те же, что и раньше [см. (5.18)], так как коэффициент Г" в добавочном члене — величина строго положительная. Тем не менее (7.79) содержит дополнительную информацию. Например, можно сделать вывод, что в системе, находящейся в термодинамическом равновесии, в состоянии покоя не может возникнуть самопроизвольная внутренняя конвекция. Это, конечно, специфическое свойство равновесного состояния. В гл. 11 будет показано, что возникновение свободной конвекции становится возможным, начиная со стационарных неравновесных состояний даже в линейной области (задача Бенара). [c.95]

Мы имеем здесь типичный пример алгебраического упрощения, которое достигнуто подходящим выбором весовой функции. Теперь подставим эти соотношения в источники уравнений баланса (7.96) и (7.101). В результате получим условия устойчивости для задачи Бенара в развернутой форме. [c.153]

В этом разделе мы изучим проблему Бенара, применяя к ней кинетическую теорию устойчивости, основанную на анализе нормальных мод. Такой подход к этой задаче успешно применял Чандрасекар [28], поэтому здесь дан лишь краткий обзор его работы. Мы хотим показать, что можно получить свойства предельного состояния, решая задачу на собственные значения. Прежде всего исключим возмущение гидростатического давления из уравнения баланса для приращения импульса (11.7), взяв ротор от [c.164]

В разд. 12.3 будет выведено общее выражение для избыточного локального потенциала, позволяюш ее рассмотреть, в частности, два предельных случая. Первый случай, когда = О, соответствует проблеме Бенара (гл. 11). Второй случай, когда 52а = 0, соответствует переходу от ламинарного к турбулентному течению в потоке постоянной температуры. В разд. 7.3 было показано (в связи с теоремой Гельмгольца), что предположение о постоянстве температуры допустимо при достаточно медленном потоке, так как в этом случае диссипативные члены, входяш.ие в уравнение баланса энергии (1.42), имеют второй порядок малости и ими можно пренебречь. Мы будем считать это допуш.ение справедливым для всей области ламинарных потоков, вплоть до начала турбулентности. Это также означает, что в задачах с 5 а ф О мы считаем, что поперечный градиент температуры остается постоянным, т. е. таким, как и в покоящейся жидкости (вязкость V и теплопроводность X постоянны). Распределение скоростей и температур в основном потоке показано на рис. 12.1. [c.177]

Уравнения (12.28) и (12.30) —не что иное, как уравнения баланса энергии и импульса (11.79) и (11.78) для задачи Бенара, записанные в новых переменных. [c.182]

Все дальнейшие операции проводим, как и в разд. 12.6. Но теперь мы получаем равномерную сходимость собственных значений а (пример приведен в табл. 12.5). Этот результат не удивителен, так как уравнения (12.28) и (12.30) для задачи Бенара являются самосопряженными. По той же причине возникающий локальный потенциал сводится к истинному потенциалу [c.187]

Для решения этой задачи необходимо полное выражение для избыточного локального потенциала (12.26) с положительным числом Релея- нагревание снизу). Мы хотим исследовать, как влияет медленное течение Пуазейля на образование ячеек Бенара. По-ви-димому, одночленное приближение будет достаточным для того, чтобы выявить влияние числа Рейнольдса на критическое значение (52а)с. Однако следует помнить, что локальный потенциал (12.26) был записан только для двумерных возмущений и что связь с трехмерной задачей уже не следует из теоремы Сквайра (упомянутой в разд. 12.1), поскольку теперь в потоке имеется температурный градиент. [c.188]

Принцип смены устойчивости был установлен нами только для простейшей задачи Бенара (разд. 11.7), поэтому здесь нельзя считать а действительной величиной. Выделим из уравнения (12.50) действительную и мнимую части. Так как в предельном состоянии нейтральной устойчивости Ог исчезает в обоих уравнениях, из них можно исключить Ог- в результате получим уравнение кривой нейтральной устойчивости [136] [c.189]

В работах [76, 77] рассматривалось возникновение конвекции Рэлея — Бенара под действием хаотических возмущений, имеющихся в жидкости. Задача сводилась к задаче со случайными начальными условиями для спектральных составляющих преобразования Фурье. Она решалась методом Монте-Карло и методом моментов для различных чисел Рэлея. Предполагалось, что начальные возмущения сохраняются в течение всего переходного периода. Результаты расчета характеристик неустойчивости конвекции Рэлея — Бенара очень хорошо согласуются с ранее полученными экспериментальными данными. [c.147]

Конвективные течения в слое жидкости, заключенном между двумя параллельными пластинами, представляют собой характерные примеры течений в прямоугольных полостях. Эти течения можно рассматривать как некоторые предельные случаи, когда высота Н и ширина с1 прямоугольной полости существенно различаются по величине, т. е. отношение Н/й либо очень велико, либо очень мало. Ввиду простоты своего описания бесконечные слои жидкости привлекали к себе внимание многих исследователей. При выполнении асимптотического условия Н/й < 1, т. е. если рассматривается горизонтальный слой, нагреваемый снизу, данная задача представляет собой задачу Бенара, которая была подробно исследована нами в гл. 13, где анализировались неустойчиво стратифицированные слои жидкости. При этом обсуждались тепловая неустойчивость слоя, возникающая в результате течения жидкости, и соответствующие механизмы переноса. [c.240]

Рис. 15.4.1. Зависимость критического числа Рэлея (для задачи Бенара) ог безразмерной проницаемости в диапазоне между предельными случаями жидкости, удовлетворяющей закону Дарси, и вязкой жидкости [24].

Отметим, что образование пузырей — не единственное явление, которое обусловлено гидродинамической неустойчивостью псевдоожиженного слоя. К числу таких явлений относится также возникновение крупномасштабных циркуляционных течений в псевдоожиженном слое. Задача о возникновении подобных циркуляционных течений в псевдоожиженном слое во многом аналогична задаче Релея — Бенара об устойчивости слоя жидкости, подогреваемого снизу. [c.75]

Несмотря на различную природу этих явлений, существует глубокая аналогия в описании равновесных фазовых переходов и эффектов самоорганизации в открытых системах (из-за этого последние часто называют неравновесными фазовыми переходами ). С формальной точки зрения, если отвлечься от причин, обусловливающих эти явления, мы имеем дело в обоих случаях с процессами перестройки или возникновения порядка. До сих пор мы употребляли термин порядок , понимая его чисто интуитивно. Если, однако, попытаться уточнить значение этого понятия, можно прийти к несколько парадоксальному выводу порядок есть нарушение симметрии. Действительно, покоящаяся однородная жидкость более симметрична, чем та же жидкость после возникновения (даже вполне регулярных) конвекционных течений в задаче Бенара, получающийся после охлаждения кристалл менее симметричен, чем исходная жидкость, а парамагнетик со случайной ориентацией магнитных моментов отдельных атомов гораздо симметричнее ферромагнетика, где все эти моменты выстроены в одном направлении и поэтому нет уже пространственной изотропности. Возникновение любой пространственной или временной структуры нарушает однородность среды, т. е. симметрию по отношению к трансляциям в пространстве или во времени. [c.6]

Как уже неоднократно отмечалось, самоорганизация есть свойство неравновесных открытых систем. Характер неравновесности может быть, однако, различным. Очень часто образуюш иеся в ходе самоорганизации структуры являются макроскопическими, причем локально, внутри малых областей системы, сохраняется состояние теплового равновесия с определенными значениями температуры, плотности и других термодинамических параметров. В этом случае процесс самоорганизации описывается уравнениями гидродинамического типа. Примером может служить возникновение регулярной структуры конвективных течений в задаче Бенара. [c.106]

В главе 2 даются исходные понятия, лежащие в основе теории конвекции Рэлея—Бенара. Глава содержит краткое обсуждение приближения Буссинеска, широко используемого при исследовании конвекции, формулировку классической стандартной постановки задачи о конвекции в горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу, линейный анализ этой задачи, предварительные сведения о нелинейных режимах конвекции и о важнейших типах бифуркаций, встречающихся в нелинейных задачах, а также описание основных видов конвективных ячеек вместе с математическим представлением их структуры в первом приближении. Параллельно вводятся принятые в книге обозначения. В некоторых случаях они отличаются от обозначений, используемых в оригинальных статьях, и эти отличия оговариваются лишь там, где возможны недоразумения. [c.9]

Монографическая литература по конвекции Рэлея—Бенара ведет свою историю с книги Чандрасекара Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость [3], в которой ряд линейных задач об устойчивости были рассмотрены очень подробно. Глава 2 этой замечательной книги до сих пор является наиболее полным, каноническим изложением линейной теории устойчивости горизонтального слоя жидкости, подогреваемого снизу. [c.11]

Здесь будет описана классическая постановка задачи Рэлея-Бенара. Поскольку она включает в себя приближенные уравнения Буссинеска, обсудим кратко их обоснование прежде чем рассматривать граничные условия, переход к безразмерным переменным и некоторые другие моменты. [c.14]

Задача Рэлея-Бенара [c.18]

В данйой главе мы изучаем задачу о возникновении свободной конвекции в слое покоящейся жидкости с температурным градиентом. Слой жидкости будет предполагаться тонким и расположен-ным горизонтально, жидкость — несжимаемой и нагреваемой снизу (задача Бенара). В разд. 11.12 рассмотрена задача устойчивости вертикального столба жидкости. [c.150]

Уравнение (12.11) —хорошо известное уравнение Орра — Зоммер-фельда [114]. Дополненное граничными условиями (12.12), оно определяет задачу на собственные значения, подобную той, которая возникает из уравнений (11.82) и (11.83) для задачи Бенара. Рассмотрим предельное состояние, в котором мнимая часть числа с исчезает. Тогда при фиксированном волновом числе а, отличные от нуля решения задачи (12.11), удовлетворяющие условиям (12.12), появляются лишь при некоторых специальных значениях Зte. [c.179]

Теперь мы должны найти критическое значение длины волны при котором появл-яется неустойчивость. Для этого, как и в задаче Бенара (разд. 11.9), необходимо найти длину волны, минимизирующую величины В (Х) и В (X) в соотнощениях (15.8) и (15.9). Сразу видно, что минимум В (X) достигается при X— оо и равен (14.66). Из условия минимума В"( ) получаем [c.228]

Процессам конвекции в горизонтальных и наклонных полостях (рис. 14.3.11), нижняя граничная поверхность которых подвергается нагреву, в последние два десятилетия также уделялось большое внимание исследователей. Как подробно обсуждалось в гл. 13, указанный режим нагревания потенциально соответствует неустойчиво стратифицированному состоянию. Это приводит к возникновению конвективного движения, если число Рэлея, рассчитанное по высоте Я и разности температур, оказывается больше критического значения Накр. При этом предельный случай бесконечных горизонтальных плоских пластин, т. е. случай А- 0, представляет собой задачу Бенара, детально рассмотренную в гл. 13. В данном случае интерес для нас представляет двумерный процесс переноса, возникающий в конечных прямоугольных полостях с нагреванием снизу при достаточно высоких числах Рэлея, когда начинают развиваться конвективные движения. При этом изучались картины течения и процессы теплопередачи как в ламинарном, так и в турбулентном режимах. Явления переноса в горизонтальных и наклонных полостях представляют большой интерес для различных практических приложений, таких, как охлаждающие бассейны солнечных энергоустановок, солнечные коллекторы, тепловая изоляция с помощью воздушных зазоров, а также различные процессы плавления в промышленном производстве. [c.269]

Некоторые примеры физических самоорганизующихся систем известны уже довольно давно. Если взять горизонтальный слой жидкости и подогревать его снизу так, что температура на дне будет превышать температуру наверху жидкости (задача Бенара), то в зависимости от разности этих температур поведение такой системы будет различным. Когда эта разность достаточно мала, осуществляется режим бесконвективной теплопроводности, макроскопические течения в жидкости отсутствуют, а температура линейно уменьшается в вертикальном направлении. При превышении некоторой критической разности температур в жидкости возникает конвекция. Оказывается, однако, что, когда превышение над критическим значением не слишком велико, конвективные токи не хаотичны, а обладают высокоупорядоченной структурой. В зависимости от характеристик выбранной жидкости они могут иметь вид валиков либо напоминать при взгляде сверху пчелиные соты. При более высоких надкритичностях конвективные течения становятся турбулентными. [c.5]

Самоорганизация тесно связана с явлениями турбулентности. Оба эффекта наблюдаются в сильнонеравновесных системах потокового типа, причем, как правило, при больяшх интенсивностях потоков следует ожидать именно турбулентного поведения. Наглядным примером этому служит уже упоминавшаяся выше задача Бенара, где при высоких разностях температур система переходит в состоя- [c.6]

Впервые наблюдение хаотического режима в малой динамической системе было описано в 1963 г. Изучая переход к турбулентности в задаче Бенара (см. Введение), Э. Лоренц показал 19], что при достаточно малых надкритичностях возникающие конвективные течения могут быть приближенно описаны системой из трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [c.135]

Ютек и др. [304—307], Коул и Вайнгард [308], Хэрл [309, 310], а также Хэрл и др. [311] исследовали потоки жидкости в длинных горизонтальных сосудах (лодочках) при выращивании кристаллов из расплава. Такие потоки, возникающие без перемешивания или иного вносимого извне перемещения, называются естественной, или тепловой, конвекцией и обусловлены различием плотностей и действием сил тяготения. Известны теоретические исследования родственных задач, в том числе задач о конвективном переносе тепла от нагретой вертикальной пластины [284], о переносе тепла между двумя близко расположенными вертикальными пластинами [312] и о переносе тепла между двумя подогреваемыми снизу горизонтальными пластинами [213] (классическая задача Рэлея — Бенара). Однако частный случай тепло- и массопереноса в длинном горизонтальном сосуде, температура жидкости на концах которого различна, по-видимому, теоретически не исследован. Некоторое представление о распределении потоков в таком сосуде при естественной конвекции дает модельный опыт, поставленный Россби [313]. В этом опыте прозрачный сосуд с прозрачной жидкостью помещали на горизонтальном алюминиевом бруске, который служил основанием контейнера. Вдоль этого бруска создавали градиент температуры. Распределение потоков было видно по движению взвешенных частиц алюминия. По дну контейнера шел поток от холодного конца к более теплому, затем у нагретого конца он поднимался, шел по поверхности от горячего конца к холодному и там опускался кроме того, по всей длине контейнера существовали потоки, опускающиеся от поверхности вниз. Слой жидкости на дне был холоднее, чем у поверхности контейнера. На фиг. 44 [306] схематически представлены такие же потоки, которые наблюдались визуально в горизонтальной лодочке с прозрачным расплавом хлористого натрия при скорости потоков около 2,5 см/с. Наряду с ними видны и ячейки с восходящими и нисходящими потоками. При продольных градиентах температуры около 30°С/см наблюдаемые потоки были по большей части [c.522]

Из теоретиков первым рассмотрел задачу о возникновении конвекции в плоском горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу, лорд Рэлей [19]. Выполненный им линейный анализ, впоследствии обобщенный Пеллью и Саусвеллом [20], был подробно рассмотрен Чандрасекаром в уже упоминавшейся монографии [3]. В течение нескольких лет глава 2 книги Чандрасекара была практически исчерпывающим изложением теории конвекции Рэлея—Бенара, хотя первые нелинейные исследования появились почти одновременно с ее написанием. [c.14]

Постановка задачи Рэлея-Бенара основана на системе гидродинамических уравнений в приближении Буссинеска (или Обербека—Буссинеска). Первоначальное (узкое) значение этого термина таково [21, 22, 23]. Считается, что плотность жидкости р не зависит от давления (это — предположение несжимаемости) и является линейной функцией температуры Т [c.15]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология