Вычисление интегралов

При линейной равновесной зависимости и постоянных расходах вычисление интегралов приводит к следующим соотношениям [c.53]

Скорость роста толщины пленки dh/d можно определить 1) подстановкой п (Л) в (193) и полученных Пме и Пмt в (181) или 2) вычислением интегралов, входящих в Пме и Пмt, и подстановкой Пме и ПМ1 в (181). [c.91]

Глава IX ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ [c.207]

Формулы прямоугольников на практике редко используются для вычисления интегралов с помощью ЦВМ, поскольку при определении интеграла с высокой точностью число интегралов разбиения должно быть весьма большим, что может потребовать значительных затрат машинного времени. [c.210]

Сложив значения вычисленных интегралов, имеем [c.56]

Производная от интеграла по верхнему пределу. Связь между интегралом и первообразной. Формула Ньютона - Лейбница. Вычисление интегралов с помощью интегрирования по частям и заменой переменной. [c.150]

КИМ методом связано с определением значений подынтегральной функции над некоторым регулярным множеством точек. При решении аналогичной задачи по методу Монте-Карло расчет подынтегральной функции (с последующим суммированием) проводится над множеством случайных точек, равномерно распределенных в заданной области. Метод статистических испытаний используют при решении многих математических задач (вычисление интегралов, решение систем алгебраических уравнений, решение дифференциальных уравнений и др.), задач физического и прикладного характера (в особенности в атомной физике, статистической физике, в теории массового обслуживания, теории стрельбы и т. д.). Расчеты различных физических процессов по методу Монте-Карло связаны с получением последовательности случайных событий, моделирующей рассматриваемый процесс. Датой рождения метода считают 1949 г., хотя основные его идеи зародились раньше. Широкое распространение метод Монте-Карло получил благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин. С помощью машин оказалось возможным производить расчеты для достаточно длинных цепей случайных событий, чтобы статистические методы могли дать хорошие результаты. К этому следует добавить, что расчеты по методу Монте-Карло удобно программировать точность расчетов можно по желанию увеличивать путем увеличения числа статистических испытаний. [c.387]

Подставив зависимость (V-153) в уравнение (V-152), после вычисления интегралов получим [c.440]

Как видно из предыдущих параграфов, в случае реакций, протекающих в две и более стадии, уравнения кинетических кривых, как правило, не могут быть выражены в элементарных функциях и могут быть рассчитаны только численно, т. е. путем вычисления интегралов или численного интегрирования систем дифференциальных уравнений. В связи с этим в химической кинетике широко ис- [c.223]

Для вычисления интегралов в правой части равенств (2.36) — (2.39) необходимо знать зависимость от температуры величины АС. Поскольку эта величина представляет собой алгебраическую сумму теплоемкостей веществ — участников реакции, найти функцию дС = / ( ) не трудно, если известны температурные зависимости для теплоемкостей всех участвующих в реакции веществ. Эти зависимости, найденные преимущественно экспериментальным путем, обычно описываются [c.65]

В этом случае вычисление интегралов ведется каждый раз от абсолютного вакуума до давления, соответствующего заданной скорости потока. Постоянную этого уравнения можно получить, исходя из того, что при расширении газа до абсолютного вакуума достигается максимальная скорость потока. [c.28]

При вычислении интегралов в уравнениях (И. 8) и (11.9) следует учитывать, что теплоемкость зависит от температуры. [c.28]

В соответствии с идеями вариационного принципа чем ближе к полному набору базис разложения МО по АО (4.61), т. е. чем больше число базисных функций N, тем более точные решения для МО могут быть получены. С этой точки зрения в наиболее точных расчетах стремятся к увеличению базиса. Однако эта тенденция встречает серьезные ограничения. Для того чтобы провести расчеты по схеме Рутаана, надо вычислить в первую очередь все члены, входящие и матричные элементы Основная трудность, определяющая требуемое для расчета время работы ЭВМ и, следовательно, стоимость расчета, связана с вычислением интегралов (/iv )м). Подсчитано, что число р одноэлектронных интегралов типа [c.113]

При использовании неэмпирических методов расчета основные затраты времени ЭВМ, обычно 70% всего требуемого для полного расчета времени, направлены на вычисление интегралов межэлектронного взаимодействия (jiv Xa). По мере увеличения размеров молекулы число таких интегралов возрастает примерно пропорционально N , где N— размер базиса АО (см. табл. 4.3). Соответственно этому растут время и стоимость расчета. [c.210]

Предлагалась даже формула, допускающая в качестве полу-эмпирической закономерности полную пропорциональность между обменным интегралом Н 2 и интегралом перекрывания 512. Для вычисления интегралов перекрывания нужно знать, конечно, отдельные атомные функции. Надежность оценок энергии связи поэтому зависит от того, насколько удачным оказался выбор атомной функции. Обычно пользуются функциями, предложенными Слейтером. Эти функции не всегда дают достаточно точные результаты, но тем не менее расчеты, проведенные с их помощью Милликеном, представляют значительный интерес. Так было найдено, что интегралы перекрывания для гибридных орбиталей (см. ниже) больше, чем для чистых. Интегралы перекрывания изменяются в пределах от нуля до единицы. У молекулы На интеграл перекрывания составляет 0,75, у бора (В—В) для связей типа 5—5 — 0,5, для связей типа ра—ра и рп—рл — около 0,3, у углерода для двойной связи (С = С) имеем тип 55 0,44 тип ра—ра 0,32 и тип рл—рп 0,27. Благодаря этим данным можно представить себе долю участия и образования связей различных электронов, а не только тех, которые химики привыкли называть валентными и на которых они сосредоточивают внимание, когда речь идет об образовании соединений. [c.106]

Общая формула для вычисления интегралов типа / имеет вид [c.179]

Рис. 7.2.2. Преобразование орбиталей р, и Ру при вращении вокруг осид при вычислении интегралов 8,5 и 8,

Для вычисления интегралов в правой части (П.28) имеется общая формула [53) [c.445]

В качестве квадратурной формулы при вычислении интегралов в уравнениях (УП. 26) и (УП. 27) может быть использована, например, формула трапеций. [c.170]

При вычислении интегралов пользуемся формулой трапеций. В табл. 43 приведен расчет 1-го приближения с определением числа единиц переноса =3,06. Расчет последующих приближений ведется аналогично. Для экономии места в табл. 43 приведены результаты расчета лишь последнего (8-го) приближения. В дан- [c.724]

Для вычисления интегралов использована формула трапеций. В табл. 45 приведен расчет 1-го приближения с определением числа единиц переноса Nl =2,83. Расчет последующих приближений ведем аналогично. Для экономии места в табл. 45 представ- [c.734]

Здесь Не и Р, вообще говоря, являются переменными величинами, так как первый зависит от переменной величины вязкости Лс (а, Г), а второй зависит от переменной величины удельного веса смеси (р, Т), которые меняются вдоль ствола скважины. Однако для упрощения вычислений интегралов уравнения (17) их можно усреднить и принять в расчеты постоянными. [c.135]

При вычислении интегралов от функций, определяемых равенством (11), окончательно получим следующее выражение для норми- [c.112]

Вычисление интегралов с невозмущенными волновыми функциями [c.151]

В приведенных выше выкладках наиболее важно то, что волновые функции и алгебраические выражения для энергий получены без проведения каких-либо вычислений интегралов а и р. Поэтому рассматриваемая теория имеет структуру, идеальную для эмпирической модели, так как параметры можно выбрать путем подгонки под экспериментальные данные уже после про-веден я расчетов. [c.190]

Тогда после вынесения коэффициентов разложения за знак интеграла получим в правых частях равенств интегралы, ддвисящие только от известных функций. В этом случае для вычисления интегралов можно применять квадратурные формулы высокого порядка точности с произвольным числом квадратурных узлов, которые могут и не совпадать с узлами разностной сетки. Это позволяет более точно учесть особенности правой части и коэф фициентов уравнения (1). Заметим, что первый подход можно рассматривать фактически как частный случай второго. В этом легко убедиться, если для приближения функции и х), стоящей под знаком интеграла, применять интерполяционные сплайны Эрмита с узлами интерполяции, совпадающими с узлами разностной сеткп. [c.149]

В последние годы модель жестких сфер широко использовалась для изучения проблемы многократного столкновения. В частности, численными методами с помощью ЭВМ изучалось уравнение состояния ири высоких плотностях и был обнаружен фазовый переход первого рода жидкость — твердая фаза [12— 15]. Интересным, но не рещенным пока вопросом является возможность именно вириального уравнения состояния предсказывать такой фазовый переход для ансамбля жестких сфер. Ясно, что никакие фазовые переходы не могут быть предсказаны, если, как предполагалось в работах [10, 11, 13], все вириальные коэффициенты положительные. В связи с этим знак высших коэффициентов представляет особый интерес. Для пяти или более сфер в одном объеме геометрические проблемы, возникающие ири оценке вириальных коэффициентов (т. е. при вычислении интегралов), являются исключительно сложными. Однако некоторую ясность в решение этого вопроса могут внести расчеты О, проведенные для случаев различного числа измерений [15—18]. Выход из положения дает выбор модели в виде жесткого упругого тела с более простыми геометрическими характеристиками. Именно такой является модель параллельных кубов. [c.176]

Приведем результаты решения задачи по первому варианту, обозначив величину ступеньки на -ом интервале через T . Время решения системы (IV,171) при О г на машине Минск-2 составпло 24 сек, время решения сопряженной системы (IV,37) и вычисления интегралов (IV,73) — 42 сек. Таким образом, для расчета всех десяти производных [c.143]

В последнее время в теории координационных соединений получили развитие полуэмпирические методы МО ЛКАО, в которых наиболее сложные для вычислений интегралы аппроксимируются известными из опыта данными. Наиболее широкое распространение получил полуэмпирический метод Малйкена — Вольфсбергера — Гельмгольца. В этом методе удалось удовлетворительно объяснить качественные особенности спектров многих координационных соеди-не]шй, как, например, тетраэдрических окси-анионов переходных металлов и других комплексов. [c.49]

Естественно, что в практически встречающихся задачах аналитическое решенне построить, как правило, не удается, и, следовательно, изложенная выше методика, на первый взгляд, неприменима. Было, однако, установлеио, что удовлетворительные (с точки зрения практики) результаты дает методика аппроксимации решения (напряжений, деформаций и перемещений) в наиболее интересных точках с помощью оннсапных выше зависимостей от упругих констант (степеиных функций и рациональных дробей), для которых переход от пространства изображений к пространству оригиналов сводится к вычислению интегралов ио времени. Фактически поступают следующим образом задают вполне определенную форму зависимости решения от параметра (0 например, в случае, когда на всей поверхности тела заданы перемещения, полагают [c.118]

Но без специального вычисления соответствующего интеграла. Также и при использовании уравнения (У.94) первое интегрирование дает Нт — Но, и равенство (У.95) позволяет найти и энтропию вещества 5г. В формулах (У.93) — (У.95) символ Но означает стандартную нулевую энтальпию, т. е. отнесенную к абсолютному нулю. Поэтому при вычислении интегралов (У.93) и (У.94) необходимо использовать функции Ср = / (Т), сохраняющие свое значение до области, близкой к абсолютному нулю. При асболютном нуле из определений, ясно, что, [c.129]

Набор функций у>, ВХОДЯ1ЦИХ в формулу (1.43), называют базисом. Чем больше базис, тем точнее расчет (но более трудоемок). Расчет энергии молекулы по уравнению (1.42) сводится к вычислению множества интегралов, число которых сильно возрастает с увеличением числа членов в уравнении (1.43). Число интегралов приблизительно пропорционально четвертой степени числа электронов в рассматриваемой молекуле и даже для сравнительно небольших молекул достигает сотен тысяч. Хотя вычисление интегралов - это обычная операция ЭВМ, но при таком их числе очень возрастают затраты машинного времени. [c.80]

Расчеты по методу Рутаана можно разделить на два класса расчеты с минимальным атомным базисом и с расширеншши. Минимальный базисный ряд состоит только из АО внутренних и валентных оболочек свободных атомов, расширенный базис включает дополнительно атомные орбитали, не занятые в основном состоянии. Расчеты с минимальным базисом, без сомнения, легче, однако расширенн лй базис дает более точные результаты. Как уже указывалось в расчетах по методу Рутаана, основная сложность заключается в вычислении интегралов (/ уЦст), вычисления которых на слэтеровских функциях чрезвычайно сложны и трудоемки. Для упрощения расчетов Бойс (1950) использовал набор гауссовского типа для агшроксимации каждой слэтеровской АО [c.118]

Действительно, при решении уравнений Рутаана возникает ко лоссальный объем расчетов, связанный, в основном, с вычислением интегралов кулоновского отталкивания электронов (nvlXa). Так например, в неэмпирическом расчете молекулы диборана 95% времени работы ЭВМ тратится на вычисление интегралов (nv o). В связи с этим ab initio расчеты на современных ЭВМ возможны только для молекул, содержащих в среднем 15—20 атомов и 100— 150 электронов. Рекордным в настоящее время является расчет Клементи и Попки (1973) гипотетической молекулы I, содерт жащей 38 атомов,. 158 электронов (базис 363 АО) [c.197]

Вычисление интегралов будет определяться зависимостью теплоемкости от температуры. В простейшем случае при Ср = onst [c.47]

Для вычисления интегралов по поверхности используем асимптотики функций и определяемые формулами (5.10) и (5.17), а также асимптотическое выражение (5.2) для скорости V. Поскольку = О (Л ), выписанных членов этих асимптотик оказывается достаточно, чтобы в результате предельного перехода Л оо получить [c.256]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология