Анализ собственных значений матрицы

Анализ собственных значений матрицы [c.46]

На основе анализа структуры собственных значений матриц Л, = А А для семейства Я,- (11,199) в работе [52] выведено выражение для масштабного множителя у, из условия к (i j + i) к (Bi), где к (Ri) — число обусловленности матрицы i ,-, представляющее собой отношение ее наибольшего собственного значения к наименьшему. [c.76]

В настоящее время проекцию данных осуществляют в основном с помощью методов, называемых анализом главных компонент (РСА), факторным анализом (ГА), сингулярным разложением (ЗУБ) и проекцией на собственные векторы или ранговой аннигиляцией. Все эти методы очень близки между собой. Различия в их названиях—во многом лишь дань традиции (в разных областях науки укоренились разные названия). Кроме того, существуют и некоторые различия в применяемых математических алгоритмах, а именно в форме представления дисперсионной матрицы, характере основных допущений, способах преобразования массива данных и интерпретации результатов (на основе анализа собственных значений или сингулярных чисел) и т. д. [c.522]

В качестве иллюстрации этих свойств, а также чтобы показать их важность при анализе данных давайте возьмем полученную в разделе 5.2.3.1 матрицу дисперсий-ковариаций и определим собственные значения матрицы [c.196]

Теория возмущений использована здесь для того, чтобы показать общий способ анализа спектров электронного резонанса. Энергетические уровни спина атома водорода могут быть определены точно путем вычисления собственных значений матрицы полной энергии. Для более компактной записи введем обозначения А, для и Ад для л Рл- - Тогда вековое уравнение (см. приложение I) запишется следующим образом [c.35]

Как уже отмечалось ранее, вследствие зашумленности реальных данных различного рода экспериментальными ошибками матрица наблюдений всегда является матрицей полного ранга. Это в данном случае означает, что в упорядоченной последовательности собственных значений может отсутствовать четкая граница, позволяющая отделить значимые собственные значения от незначимых ( нулевых ). Вследствие этого возникает трудность в определении размерности факторного пространства и, следовательно, числа компонентов в наборе смесей. Поскольку основным источником этих затруднений являются экспериментальные ошибки в данных, из анализа этих ошибок и характера их влияния на различные этапы решения извлекают информацию для установления истинной размерности факторного пространства. [c.75]

Анализ относительных вкладов собственных значений. Из теории матриц следует, что [c.75]

Соответственно, при анализе главных компонент собственные векторы (и) и собственные значения (А,) должны быть получены в результате диагонализации (К) (К(5). Действительно, матрица (К) (КС) не симметрична и имеет порядок р. Для упрощения и ускорения операции диагонализации удобно провести некоторые преобразования [c.227]

К дополнительным методам преобразования исходных данных следует отнести также факторный анализ. Основу этого метода составляет диагонализация корреляционной матрицы для нахождения ее собственных значений, по которым производится оценка важности соответствующих собственных векторов. При этом предполагается, что исходные данные и классы, на которые эти данные подразделяются, связаны друг с другом через дисперсию (среднее отклонение) распределения вероятностей. [c.159]

Поэтому, согласно анализу, проведенному после формулы (25) 24, отсюда вытекает, что 4 ° должно быть собственным вектором матрицы с нулевым собственным значением. И действительно, мы видим из уравнения (3) 6 и определения (6), что равенство [c.219]

При моделировании процесса ионного обмена, по какому бы из указанных выше направлений не велось исследование, один из самых его ответственных этапов — это качественный и количественный учет неравновесности ионного обмена, обусловленный элементарными диффузионными процессами как в пограничном слое, окружающем зерно ионита, так и внутри самого зерна, а также собственно химическим актом между обменивающимися ионами и матрицей ионита (см. гл. И). Учет этот может быть осуществлен различными путями либо кинетическим анализом процесса и его механизма — путем использования экспериментальных данных и зависимостей для установления численных значений отдельных параметров модели и связи между ними, либо непосредственной оценкой перечисленных выше факторов неравновесности при составлении системы дифференциальных уравнений описывающих процесс. Широкое использование ЭВМ позволяет объединить эти пути, не упрощая при этом излишне модели, например, при описании переноса вещества через пограничный диффузионный слой. Так, модель массопереноса при ионном обмене включает в общем случае описание диффузии внутри ионита, переноса вещества на границе раздела взаимодействующих фаз, конвективной диффузии в сплошной фазе с учетом гидродинамической обстановки в слое ионита и т. д. [c.94]

Сравним алгоритмы ШРАЬЗ и ЗУБ. Название сингулярное разложение происходит от термина сингулярное число , представляющее собой корень квадратный из собственного значения симметризованной матрицы. Таким образом, метод ЗУБ — один из вариантов методов анализа собственных значений. При сингулярном разложении исходную матрицу представляют в следующем виде [c.524]

Недостаток метода if-мaтpицы состоит в том, что все светопоглощающие компоненты образца должны быть известны и использованы в процедуре градуировки, Как мы увидим позднее, методы так называемой мягкой градуировки позволяют проводить анализ и в присутствии неизвестных поглощающих примесей. Еще один недостаток обусловлен тем, что как на стадии градуировки, так и непосредственно на стадии анализа необходимо проводить обращение матрицы. С чисто вычислительной точки зрения эта операция не представляет проблемы. Однако при значительном сходстве спектров компонентов матрица коэффициентов поглощения может быть плохо обусловлена, и ее обращение (см. уравнение 12.5-103) может оказаться невозможным из-за того, что ее сингулярные числа (собственные значения) близки к нулю. Эту [c.560]

Набор этих векторных ре пений назъгвается набором собственных векторов матрицы (А —X) (Х — Х). Величины к носят название собственных. Поскольку на этом этапе мы можем найти, как в классическом анализе, целую группу экстремумов, то следующая ступень — это изыскание среди этих решений единственного, дающего максимум для выражения 5. Это выражение дает характерное значение для каждого собственного вектора, называемое дальше собственным значением [c.193]

Совокупность коэффициентов 1ц, 1а, 1ц) называется собственным вектором, соответствующим собственному значению Я . Результаты расчета приведены в табл. 7-2, в которой каждая строчка в матрице направляющих косинусов представляет собой собственный вектор. Слева даны собственные значения. При таком анализе наименьщее из главных значений определяется неточно и остается неопределенность некоторых знаков. Для получения более точных значений надо использовать данные по другим ориентациям. [c.161]

Усложненный вариант анализа такого типа — учет эффектов критических точек (так называемый метод анализа критических точек ). Теория колебаний кристаллической решетки с поляризующимися атомами рассматривалась Каули (1962). Уравнения, решение которых дает Зр собственных значений и собственных векторов фононов для данного волнового вектора (р — число атомов в элементарной ячейке), включали матрицы силовых постоянных, учитывающих взаимодействие различных ячеек. Силы дальнодействия аппроксимировались кулонов-скими взаимодействиями точечных зарядов и точечных диполей, которые легко оценить. Для малых расстояний, когда такое приближение не выполняется, взаимодействия оценивались эмпирически. Значения соответствующих силовых постоянных (по предположению не зависящих от волнового вектора) подбирались так, чтобы получить согласие с экспериментальными данными, например с значениями диэлектрической проницаемости и константы упругости. [c.233]

Величины аналитических сигналов (и, соответетвенно, конкретный вид градуировочной функции) могут зависеть, и порой сильно, от условий измерения. Поэтому важнейшее требование к процессу градуировки -обеспечение максимально точного соответствия условий градуировки и носледуюш,его анализа образца. Это означает, в частности, что как градуировка, так и собственно анализ должны вьшолняться на одном и том же приборе, при одних и тех же значениях инструментальных параметров, а временной интервал между градуировкой и анализом должен быть как можно короче. Кроме того, если на величины аналитических сигналов влияют посторонние компопепты образца (его матрица) или его физическое состояние, то ОС, используемые для градуировки, должны быть как можно ближе к анализируемому образцу с точки зрения этих параметров. Поэтому ОС - а в особенности СО - очень часто имитируют типичные объекты анализа (существуют, например, СО почв, пищевых продуктов, природных вод, рудных концентратов и т.д.). Применяютея и специальные приемы градуировки, обеспечивающие максимальную адекватность условий градуировки условиям анализа. [c.4]

Если исследователь может на основании собственной интуиции связать один или несколько измеряемых параметров (векторов) с абстрактными факторами, то экспериментально определяют значения этих параметров, а потом рассчитывают матрицу вращения, которая трансформирует абстрактные факторы в реальные. Этот метод был разработан Малиновским и Ховери [9] и называется факторным анализом с целевым преобразованием [c.212]

Основные результаты, полученные выше путем элементарного анализа статистической суммы ионизуемой полипептидной цепи при а = 0, остаются справедливыми и при значениях а, отличных от нуля. Однако вычисление статистической суммы (10.9) в этом общем случае наталкивается на большие трудности, так как при подсчете состояний системы нужно учитывать всевоз- 7/- можные комбинации величин 1 и Г11, характеризующих наличие или отсутствие водородных связей и зарядов в различных мономерных единицах. Это, естественно, повышает порядок матрицы О и затрудняет вычисление ее собственных чисел. Для того, чтобы обойти эту трудность, Зимм и Райс [11] воспользовались упрощенной моделью (ср. [c.337]

Для объяснения эффективного снижения подвижности макромолекул в полибутадиеновой фазе необходимо обратить внимание на межфазные области между доменами, построенные целиком из полистирола, и собственно полибутадиеновой сплощной средой. Наличие сравнительно больших межфазных областей смещанного состава, разделяющих полистирольные домены и полибутадиеновую матрицу, было продемонстрировано на основании анализа динамических вязкоупругих свойств сополимеров [25, 26], по результатам измерений Тд [27, 28], а также методом рассеяния рентгеновских лучей под малыми углами [29, 30]. Майер [31] и Гельфанд [32, 33, 34] провели термодинамическое рассмотрение влияния молекулярной массы и формы доменов на толщину межфазного слоя и его объемное содержание. Если основываться на расчетах Кибла [35], то для блок-сополимера следует ожидать очень большой площади межфазного слоя (порядка 150 см см ). Это весьма высокое значение удельной площади отражает тот факт, что 3,34-10 доменов помещаются в 1 см полимера, причем каждый из этих доменов окружен межфазным слоем, разделяющим фазы чистого полистирола и полибутадиена. Согласно оценкам Майера [31], примерно 40 % блок-сополимера с молекулярными массами блоков 13300 — 75400 — 13 300 (т. е. несколько более короткими, чем в образце ТК 41-2443) образует смешанную фазу в пределах довольно толстого межфазного слоя. [c.255]