Гиперболическое решение

Прямые аналитические решения — система решается в окончательной форме на основе таких известных функций, как эллиптические и гиперболические. Они применяются для относительно немногочисленного специального класса систем. [c.106]

Обычно р< 2 и получаемые решения можно считать достаточно точными. При р = 2 и р, = 0,3 получаем 5 = 2,61 5г=—0,61 при меньших значениях р значение 5] будет еще меньше. На практике часто пользуются графическими методами, применимыми для дисков любого профиля. Для расчета гиперболических дисков могут быть полезными табл. 50—54, построенные для значений Р = 0 0,5 1 1,5 и 2 и позволяющие вычислить значения Ор и а в зависимости от отношений [c.465]

СП могут использоваться как части более сложных вычислительных алгоритмов (подпрограммы) и как программы общего назначения. Обычно в виде подпрограмм оформляются алгоритмы вычисления элементарных функций (тригонометрические, гиперболические и т. д.), которые используются практически во всех вычислительных алгоритмах. СП общего назначения (например, программа расчета коэффициенов активности компонентов, программ расчета реактора и др.) предназначены для решения самостоятельных задач, но могут также использоваться как составные части более общих алгоритмов. [c.40]

Работы по качественной теории дифференциальных уравнений, возникающих нри моделировании каталитических процессов, проводятся в ИМ СО АН СССР с 1963 г. Первые исследования были посвящены анализу стационарных решений. Однако достаточно полное описание процессов гетерогенного катализа возможно лишь при рассмотрении их динамики. При этом возникают проблемы общего характера, относящиеся к теории нелинейных параболических и гиперболических уравнений и систем. Это вопросы о характере поведения решений в целом по времени, [c.83]

Первое уравнение (с .1) имеет решение для Л в виде тригонометрических функций и обычных функций Бесселя, а уравнение второе (с Я,) — в виде гиперболических функций и функций Бесселя второго рода. [c.334]

Проводился численный поиск и периодических по времени решений. Предложенный алгоритм численного решения нелинейных гиперболических задач будет использован для расчетов реальных противоточных химических реакторов. [c.166]

Системы (4.449), для которых уравнение (4.454) имеет вещественные различные корни, называются гиперболическими. Введем теперь векторы 64 — решения системы [c.260]

Тип системы уравнений определяет особенности постановки задачи, методы и свойства решения. В случае эллиптической задачи на решение в некоторой точке области оказывают влияние краевые условия, заданные на всей границе области. Прп решении гиперболической задачи возмущения сносятся только вниз по потоку. [c.176]

Для интегрирования системы нелинейных уравнений гиперболического типа широко используется метод характеристик. Решение рассчитывается с помощью характеристической сетки, выстраиваемой в процессе счета. Этот метод позволяет детально изучить физическую картину течения. Но его трудно применять при расчете сложных сверхзвуковых течений, когда внутри потока содержатся интерферирующие ударные волны, тангенциальные разрывы и другие особенности. [c.267]

Метод конечных разностей применим для решения уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов. При этом расчетная область разбивается на счетные ячейки. Производные от функций заменяются конечными разностями с помощью тех или иных соотношений. Этим методом решаются стационарные и нестационарные задачи для дозвуковых, сверхзвуковых и смешанных течений. Предложено большое количество разностных схем для решения конкретных задач, применимых к уравнениям разного тина. [c.267]

Для гиперболической системы квазилинейных уравнений (101), (102) характерны разрывные решения [21, 40]. Условие баланса массы водной фазы (условие Гюгонио-Рэнкина), соответствующее уравнению (101), имеет вид [c.183]

О, которое сводится к точке покоя д при 6 = 0. Однако поведение при возмущении может быть соверщенно отличным, если система (22) имеет устойчивое периодическое решение у(() для 5 = 0. Это решение генерирует притягивающий инвариантный цилиндр Mq в ( f - / )-пространстве и (как результат определения последовательных интервалов времени величины Г) притягивающий инвариантный тор Т1. Известно, что при малой величине 5 существует инвариантная поверхность около так как Tq имеет гиперболическую структуру. Однако, когда амплитуда возмущающей функции достаточно большая, инвариантный тор может утратить гладкость и выродиться в странный аттрактор. Это происходит, например, в случае уравнения Ван-дер-Поля с периодической вынуждающей силой. [c.345]

Соответствующее графическое построение выполнено на рис. 6.3, а, б, где показано решение х = (х1, х, х зУ, одинаковое для двух вариантов дерева и систем контуров (/—Я и / —III). Соответствующая ему точка находится на пересечении двух эллиптических цилиндров или эллиптического и гиперболического цилиндров с плоскостью IV, заданной уравнением (6.1) и проходящей через начало координат. Аналогичные иллюстрации даны на рис. 6.4, но уже не для параллельного, а последовательного включения насосов. Характерно, что каждая из поверхностей автономна, т.е. сохраняет неизменным свое положение в пространстве при другом варианте дерева и системы контуров. [c.77]

Следует отметить две основные трудности во-первых, часто нелегко получить желае.мый эталон и, во-вторых, возможность распространения метода на случай содержания более чем двух компон-ент не является сразу очевидной. Эта возможность, а также точность гиперболической аппроксимации подробно рассмотрены в [149], где авторы занимались разработкой быстрого и точного метода анализа геологических образцов. Минералогические и петрологические образцы могут быть гетерогенными и часто содержать 6—8 элементов с весовыми концентрациями, превышающими 1%. Из соображений простоты и экономичности при анализе большинства таких образцов метод трех поправок ие применяют. Желательно, чтобы обработка данных с помощью мини-ЭВМ занимала реальное время, так как знание состава и рассчитанная формула фазы часто необходимы оператору для выбора решения, как проводить последующую стадию анализа. Как отмечено в [149], график зависимости С//г от С или к для малых значений С в любой бинарной системе дол- [c.35]

Для решения полулинейной гиперболической системы (10.36) с учетом (10.37) и (10.38) в работе [10] был использован метод сеток [54, 55]. При разработке программы на печать вывели координаты линий у ж у и сравнение у ж у в точках сетки. Это позволило рассмотреть развитие сорбционного процесса во времени. [c.226]

Метод преобразований Лапласа основан на том, что телеграфные уравнения, записанные для изображений, справедливы при любой форме тока и напряжения. Решая телеграфные уравнения относительно неизвестных токов и напряжений, получают их изображения. Основная трудность в методе Лапласа даже для одиночных линий в определении оригинала по изображению, т.к. изображения напряжений и токов в длинных линиях -трансцендентные функции (гиперболические) и применять теорему разложения не так просто. Еще сложнее решение телеграфных уравнений в сетях с несколькими линиями. [c.94]

Решения дифференциальных уравнений для гранул различных форм имеют вид гиперболических функций [c.451]

Считая угол ц) известным из решения кинематической задачи, имеем систему двух уравнений для неизвестных функций р, я. Не трудно найти (например, обычным детерминантным способом, привлекая выражения для с1р, с1ц), что система (1.61) -гиперболического типа с прежними характеристическими линиями [c.59]

Аналитическое решение уравнения (5.6.1.18) в размерном виде имеет вид (5.2.3.3). Обозначим его Сд(л , ) ( п — параболическое). Решения уравнений (5.6.1.15) и (5.6.1.20) также хорошо известны [87] представим их в размерном виде, обозначив соответственно через С Св (гиперболическое и волновое) [c.300]

При математическом моделировании нестационарных физических процессов, когда время протекания процесса I сопоставимо со временем релаксации 0, часто используют гиперболические системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [39, 40]. Однако при численном решении гиперболических уравнений методом конечных разностей получают неадекватную с реальным физическим процессом картину — например, несоответствие профилей концентрационных полей в диффузионных процессах. [c.665]

Весьма эффективным в этом отношении является принципиально иной, теоретико-вероятностный метод решения, свободный от недостатков метода конечных разностей. Кроме того, вероятностный подход к исследованию процессов переноса является хорошим дополнением к другим методам исследования и особенно оправдан тогда, когда физическая природа моделируемых явлений сама подсказывает их стохастическую интерпретацию [39-41]. В основе этого подхода лежит построение случайного процесса (случайного блуждания), согласованного со статистикой элементарных актов взаимодействия переносимых частиц со средой. Специальным образом построенные функционалы от этого процесса удовлетворяют уравнению переноса. В настоящее время известна связь гиперболических уравнений с марковскими процессами [41], на основе [c.665]

Решение гиперболических уравнений методом Монте-Карло. Рассмотрим для прямого уравнения Колмогорова (7.4.4.3) задачу Коши с некоторым заданным для функции x,t) начальным условием [c.668]

Решение волновой модели продольного перемешивания. Для решения гиперболического уравнения второго порядка (7.4.4.5) введем вспомогательные величины [c.669]

Решение задачи (9.66), (9.67) было исследовано (А. Н. Варченко, А. Ф. Зазовский с сотрудниками, 1989 г.) методом характеристик. Построены разрывные решения, являющиеся комбинацией центрированных волн и невозмущенных областей. Показано, что система не является строго гиперболической, как это считалось ранее (И. А. Чарный) [81]. Более того, она может быть смешанного типа-гиперболической при одних насыщенностях и эллиптической при других (Белл, Шубин, Холден). Это г орождает своеобразные гидродинамические эффекты, не встречающиеся в двухфазной фильтрации. [c.287]

Уравнения (10.11), (10.12) образуют гиперболическую систему квазилинейных уравнений. Уравнение (10.11) является уравнением баланса массы водной фазы, уравнение (10.12)-уравнением баланса массы активной примеси. Эти уравнения допускают разрывные решения в распределениях насышености s ( , т) и концентраций с ( , т) возможны скачки. На скачках должны выполняться условия баланса массы водной фазы и баланса массы примеси, которые выводятся аналогично случаю модели Бакли-Леверетта (см. гл. 9, 25, п. 5.5). [c.306]

Заключительные замечания. Проведенное исследование управления для двухфазной модели процесса в псевдоожиженном слое, состоящей из гиперболической системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными, подтвердило, что выбранная форма обратной связи в виде функционала от решения с соответствующим образом подобранными интегральными ядрами обеспечивает стабилизацию пеустойчт1вого решения. Наряду с этим, если, например, запас устойчнвостп для стационарного режима недостаточен для уверенного ведения процесса, то данный метод управления позволяет увеличить запас устойчивости введением обратной связи и расширить область допустимых возмущений, при которых система не переходит в другой стационарный режим. [c.126]

Рассмотрена задача управления о стабилизации неустойчивого стационарного режима в реакторе с псевдоожиженным слоем катализатора. Обратная связь в виде функционала от решения обеспечивает устойчивость выбранного режима. Циркуляционная модель слоя, состоящая из системы гиперболических уравнений первого порядна с двумя независимыми переменными, аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода ортогональных коллокаций. Интегральные ядра функционала обратной связи находятся методом модального управления. [c.168]

При анализе поведения решений эволюционных задач при ас важным является вопрос о периодических колебаниях, стабилизации решений к стационарным и об устойчивости этих стационарных решений. Эффективным при доказательстве существования периодических по времени решений эволюционных уравнений является метод бифуркации рождения цикла (БРЦ), предложенный Андроновьпи и Хопфом для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и обоснованный для некоторых параболических систем уравнений [2]). Результаты работ [3,5] позюляют обосновать метод БРЦ и для некоторых гиперболических задач [6,7]. [c.16]

Известно [1], что решение краевых задач для систем гиперболических уравнений можно искать методом характеристик. Этот метод имеет преимущества по сравнению с остальными методами. В частности, на модельных задачах (с нулевыми правыми частями) этот метод дает точное решение. Однако алго-pi TM расчетов достаточно сложен. Поэтому мы выбрали явные и неявные (с последующей итеращ1ей [2]) разностные схемы для решения нелинейньк гиперболических систем вида [c.166]

Цель решения — определение узловых значений скоростей и давлений. В качестве аппроксимируюш,их функций для поля скоростей использовались параболические функции, а для поля давлений — линейные. Рассматривалось течение ньютоновских и неньютоновских (степенных и гиперболических) жидкостей. В последнем случае применялись итерационные методы, в которых исходным являлось ньютоновское приближение. [c.603]

Возможный способ решения смешанных задач состоит в рассмотрении их как нестационарных и использовании процесса установления по времени. В основе такого приема лежит физический факт, что стационарное течение на достаточно большом отрезке времени нри неизменных внешних условиях является пределом нестационарного течения. Численные эксперименты подтверждают, что стационарное решение задач газовой динамики может быть найдено как предел при i оо нестационарного-решения при стационарных (не зависяхцих от времени) граничных условиях. С этой целью в стационарные уравнения вводится новая независимая переменная — время, в результате чего сложные эллиптико-гиперболические краевые задачи заменяются на смешанные задачи для гиперболической системы уравнений нестационарной газовой динамики, для которых разработаны эффективные численные методы решения. Начальные условия могут быть заданы довольно свободно, так как в процессе установления решения по времени их влияние ослабевает и процессом управляют стационарные граничные условия. [c.268]

Более подробно исследование гиперболической системы квазилинейных уравнений вытеснения нефти раствором активной примеси проводится в [68] на примере вытеснения нефти горячей водой из теплоизолированного пласта (в этом случае в качестве активной примеси рассматривается температура). Получены условия на разрьшах обеих семейств. Производится линеаризация системы методом годографа, показана невырожденность преобразования годографа. Отдельно рассматриваются контактный случай (не зависящие от температуры теплоемкости) и случай общий. Доказано, что в контактном случае температура может меняться только скачком. В общем случае методом характеристик получено решение с непрерывно меняющейся температурой. Автомодельное решение задачи фронтального вытеснения получено как предел решений со сглаженными начальными данными. Отмечено, что при построении решения используются только две кривые Баклея—Леверетта. [c.178]

Аналогичные расчеты были проведены на основе критериев (VIII.12) [20]h(VIII.10)[19].B работе [19] отдельно рассматривались низкие потенциалы Fj, где существует точное аналитическое решение, и значения 50 мВ, где возможна хорошая параметрическая аппроксимация (VI.71). Все сделанные выше выводы подтверждаются и в этих случаях. Главный из них состоит в том, что гиперболический тангенс в четвертой степени очень хорошо передает ход кривых зависимости иУ ( I i) во всех случаях, однако соответствующие коэффициенты не совпадают с предсказаниями суперпозиционных формул, хотя и близки к ним. [c.267]

Взаимосвязь между отражением и непрозрачностью стала предметом дальнейших исследований. В 1935 г. Стил [618] записал формулу КубелкиГ— Мунка в гиперболических функциях. Эми и сотр. [19] приспособили теорию Смита [610] для составления-рецептур красок. Ингл [289], заинтересовавшись составлением рецептур пластмасс желаемого цвета, провел сравнительный математический анализ формул, полученных Стоксом [639], Брюсом [74], Смитом [610], Кубелкой — Мунком [376] и Эми и сотр. [19]. Он показал, что формулы Смита — Эми и Стокса — Брюса являются частными случаями формулы Кубелки — Мунка. Кубелке оставалось лишь освободить технологов от необходимости пользоваться частными графическими решениями. Кубелка в своей удивительной работе вывел четкие наглядные выражения для всех переменных, которые в экспоненциальной форме выглядели в урав- [c.473]

Точные решения, найденные Шубелкой, дали возможность непосредственно решать всевозможные задачи, касающиеся связи между отражением и непрозрачностью красочных слоев. Простая форма этих решений была получена Стилом [618] в результате введения гиперболических функций. Нет сомнения, что неподготовленный читатель может испугаться непривычных обозначений и названий гиперболических функций зЬ, с]1 и с1Ь и пропустить последующее изложение. Но любой заинтересованный изготовитель или потребитель, имеющий дело с красочными слоями, не должен пугаться зтих математических обозначений. Технолог-колорист может узнать об этих функциях все, что ему необходимо, в течение 5 мин. зЬ и есть сокращенное обозначение выражения [c.474]

Гипотеза о конечных скоростях распространения массы и тепла высказьшалась в целом ряде работ [76-79]. Гиперболическое уравнение теплопроводности, решения которого приводят к конечной скорости распространения теплоты, представлено в [33]. Вывод этого уравнения основан на использовании закона распространения теплоты, который имеет следующий вид [c.297]

Для решения большинства практических задач, связанных с процессами диффузии в твердых телах, где глубина проницания вещества относительно небольшая, может быть использована модель полуограничен-ного тела. Начальные и граничные условия в случае задачи о диффузионном извлечении вещества из одномерного полуограниченного образца (примером является задача о выщелачивании стекла) для гиперболического уравнения диффузии (5.6,1.15) формулируется следующим образом [87] [c.300]

Расчет начальной стадии процесса. Изложенный выше вероятностный способ решения задачи Коши для гиперболических уравнений может бьггь использован для решения практических задач. При решении краевых задач рекомендуется применять методы сведения их к задаче Коши (см. метод распространяющихся волн в [50]) с последующим применением формулы (7.4.4.28). [c.670]

Впервые вопрос о влиянии вязкости и теилопроводности за сильно искривленной ударной волной был рассмотрен еш е в работах [196, 197]. Однако получение решения в рамках полной системы уравнений Навье-Стокса все еш,е представляет собой значительные трудности, несмотря на большие успехи в разработке численных методов. Учет реальных физико-химических процессов вносит дополнительные и суш,ественные усложнения. Нестационарные уравнения Навье-Стокса представляют собой систему, обладаюгцую гиперболическими и параболическими свойствами, для которой корректна смешанная задача с начальными и граничными условиями [198]. В задачах, связанных с входом в атмосферу, и в экспериментальных установках, иосвяш,енных этой проблеме, обычно числа Струхаля малы, поэтому исследования проводятся в рамках предположения [c.170]

Применение метода глобальных итераций для расчета сверхзвукового невязкого обтекания затупленных тел. Численное исследование стационарных невязких течений с дозвуковыми зонами, в том числе сверхзвукового обтекания лобовой части затупленных тел, связано с рядом проблем. В значительной степени они обусловлены эллиптическим характером регпаемых уравнений в дозвуковых областях течения и, следовательно, некорректностью задачи Коши в этих областях. В этом пункте в качестве альтернативы методу установления, который активно используется при решении задач невязкого обтекания, предлагается использовать новый подход. Он основан на проведении серии последовательных маршевых расчетов стационарных уравнений Эйлера в до- и трансзвуковых областях. В сверхзвуковых областях, где стационарные уравнения Эйлера имеют гиперболический тип, в рамках того же численного алгоритма, возможен расчет сколь угодно протяженного ударного слоя одним маршевым проходом. [c.200]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология