Устойчивость решения обратных задач

Задача определения функции / (р) по экспериментально измеренной индикатрисе рассеяния 1 (Р) из интегрального уравнения (2.26) является некорректной по устойчивости решения. Небольшие неточности измерения индикатрисы рассеяния или в расчетах ядра приводят к значительным ошибкам в определении функции / (р). Это вызывает определенные трудности в решении таких задач. В настоящее время существует несколько методов решения обратной задачи рассеяния. [c.31]

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ [c.31]

Успешное применение методов обратных задач в тепловом моделировании и обработке результатов тепловых испытаний ЛА в значительной степени определяется глубиной проработки математических вопросов, связанных с постановкой и алгоритмизацией задач, выяснением специфических трудностей их решения. В настоящей главе исследуются вопросы существования, единственности и устойчивости решения обратных задач теплообмена. [c.31]

Рассмотрим возможные принципы получения устойчивых решений обратных задач, не связанные с априорным назначением классов корректности. Условно разделим их на две группы [c.43]

Устойчивость решения обратной задачи обеспечивается за счет выбора из представленных моделей соотношения оптимальной сложности. Показано [105], что для каждого N с вероятностью -Т] можно построить верхнюю оценку среднего риска вида [c.69]

Поскольку почти каждому структурному типу в циклических углеводородах соответствует своя стереохимическая картина распределения конфигурационных изомеров но их устойчивости, то правомерно и решение обратных задач, когда по распределению стереоизомеров (в условиях равновесия) делаются выводы о структуре исходных углеводородов. В качестве примеров укажем, что если какой-либо углеводород ряда циклопентана при равновесной конфигурационной изомеризации образует два соединения, находящихся в примерно одинаковых концентрациях, то с уверенностью можно предположить структуру 1,3-дизамещенного углеводорода. [c.323]

Если полагать, что элементарными актами движения участков цепи при ее деформировании являются вращательные переходы звеньев цепи между соседними устойчивыми положениями, то энергия активации (7 равна величине потенциального барьера вращения и, (табл. 1П3.1), и тогда эти данные могут быть использованы для оценки времени релаксации. Здесь / 10 Гц — частота тепловых колебаний молекул. На практике, однако, температурная зависимость вязкости используется для решения обратной задачи — нахождения энергии активации процесса деформации (или стационарного течения жидкостей). Энергия активации процесса, происходящего в веществе, в том числе его высокоэластической деформации, является общепринятой инвариантной по отношению к температуре характеристикой вещества. При этом обычно обсуждаются отклонения энергии активации от постоянной величины при изменении температуры и причины этого отклонения. Чаще всего причины связаны с изменением структуры вещества при изменении температуры. [c.819]

Методы решения обратной задачи термо упругости аналогичны рассмотренным выше. Но здесь необходимо отметить, что построение альтернирующего итерационного процесса в этой задаче невозможно ввиду специфики граничных условий, задаваемых на поверхности измерений. Задача не сводится к некоторой корректно-поставленной, минуя использование процедуры регуляризации или конструктивного выделения компактного множества корректности, на котором возможен поиск искомого решения. В то же время рассматриваемая задача характеризуется тем обстоятельством, что искомая величина является скалярной величиной, а отклик ее проявляется в виде тензорной величины. Это весьма благоприятное обстоятельство, позволяющее во многих случаях получать устойчивые приближения, не пользуясь методом регуляризации. Используя же регуляризацию, можно в широких пределах варьировать эффективную зону измерений, сужая ее до тех пределов, с которых начинает сказываться неустойчивость алгоритма регуляризации. [c.85]

На основе метода минимизации с использованием ЭВМ моделируются и прогнозируются результирующий химический состав раствора, а также количественный состав равновесной ассоциации твердых фаз при заданных или складывающихся значениях ЕЬ и парциальных давлениях летучих компонентов. В соответствии с программой из большого числа возможных и заданных фаз ЭВМ выбирает устойчивую ассоциацию, равновесную с раствором, определяет состав раствора и число твердых фаз в системе заданного поэлементного состава. Все эти возможности приложимы не только к закрытым системам, но и к открытым с вполне подвижными компонентами. В связи с этим имеется важная для расчета гидрогеохимических систем возможность задания (или получения при решении обратных задач) парциальных давлений СО2, НзЗ в системах. Отсюда [c.215]

Замечание 1. Анализ свойств устойчивости прямого метода при решении обратных задач в различных краевых постановках [ 6] показал, что при прочих равных условиях основная характеристика устойчивости ДРо кр УДет иметь наибольшее значение у обратной задачи во второй [c.76]

Центральным вопросом выбора подходящей разностной аппроксимации уравнения теплопроводности при решении обратных задач будет вопрос устойчивости. [c.89]

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ [c.91]

Таким образом, нами построен устойчивый алгоритм решения обратной задачи идентификации неравновесных фазовых проницаемостей по результатам замеров количества вытесняемой жидкости и перепада давления на выходе испытываемых образцов пористых сред. [c.74]

Отсутствие устойчивости затрудняет физическую интерпретацию результатов измерений, а также численное решение задачи по приближенным исходным данным. Таким образом, для обратных задач возникает принципиально важный вопрос что надо понимать под приближенным решением таких задач Если ответ на этот вопрос дан, то возникает следующая задача нахождения алгоритмов построения приближенных решений, устойчивых к малым изменениям исходных данных. [c.284]

Задача управления. Основной целью нашего исследования является конструирование такого управляющего воздействия, которое с помощью обратной связи изменит динамические характеристики системы возле интересующего нас стационарного режима и сделает его устойчивым. Синтез регулятора базируется на анализе линеаризованной в окрестности выбранного стационарного решения системы, поведение в целом изучалось путем решения нестационарной задачи методом, изложенным в разд. 2. [c.123]

Возможная неустойчивость контактного узла связана с наличием обратных связей в системе. Поэтому представляется целесообразным переход от решения задачи оптимизации для замкнутой схемы к решению эквивалентной задачи для соответствующей разомкнутой схемы с вынесением соотношений связи в критерий оптимизации, что позволяет, таким образом, отказаться от учета условий устойчивости в процессе решения задачи оптимизации. Нужно только проверить выполнение условий устойчивости в найденной оптимальной точке. [c.183]

Обратные задачи физических методов в основном являются некорректно поставленными. Поскольку в результате эксперимента получают приближенные значения величин и, то может оказаться, что А- и не являются решениями. V, т. е. не выполняется первое условие корректности. Особые проблемы возникают при определении единственности и устойчивости решения. На практике решение некорректных по второму условию задач находим с использованием дополнительной априорной информации или как предел решений последовательности соответствующих корректных задач, поставленных для конкретных условий. [c.6]

Таким образом, ни одно точное решение рассматриваемой задачи не является устойчивым и не может существовать много дольше времени т. То же относится, разумеется, и к обратному решению (имеется в виду решение, у которого в момент времени I координаты шаров совпадают с координатами одного из решений, а скорости отличаются знаком). Поэтому с микроскопической точки зрения ни один из процессов не может быть обратимым во времени. Фотографируя систему через интервалы времени порядка т, мы будем наблюдать разные решения и с течением времени переберем их все. Стационарное состояние системы не может быть описано ни одним из точных решений, а представляет собой последовательное чередование различных решений, соответствующих различным начальным состояниям. [c.263]

Обратная задача химической кинетики относится к классу некорректно поставленных задач [66]. Задача поставлена корректно, если решение задачи существует, оно единственно и устойчиво к вариациям исходных данных. Встречающиеся на практике обратные задачи химической кинетики обычно имеют решение, но оно может быть неединственно и неустойчиво (небольшие изменения в экспериментальных данных резко влияют на значениях определяемых параметров модели). Основная причина возникновения неединственности обратной кинетической задачи обусловлена ограниченностью времени эксперимента и недостаточностью разрешения по времени экспериментальных методик. Время экспериментального исследования может оказаться недостаточно большим, чтобы определить константы скорости медленных реакций (асимптотика по малым константам скорости). Разрешение по времени экспериментальных измерений может оказаться недостаточным для определения констант скорости быстрых реакций (асимптотика по большим константам скорости). Достаточным условием существования единственного решения обратной кинетической задачи является возможность измерения концентраций всех компонентов в любые моменты времени с любой точностью. [c.214]

При анализе корректности обратных задач теплообмена было установлено, что их решение может не обладать свойством устойчивости. [c.42]

Изложены основные подходы к регуляризации обратных задач, дающие возможность получать устойчивые приближенные решения. [c.49]

Следовательно, наша задача будет состоять в приближенном определении. условий слабой устойчивости разностных схем при решении некорректно поставленных обратных задач. Отметим, что речь идет об устойчивости на конечном интервале изменения пространственной переменной. [c.90]

В разд. 5.3 обсуждался вопрос об увеличении устойчивости численного решения ОЗТ, которое связано с естественной гиперболизацией дифференциального приближения разностной схемы. Развивая эту мысль, можно попытаться специально переформулировать обратную задачу для параболического уравнения в обратную задачу для гиперболического уравнения теплопроводности. [c.104]

Перейдем теперь к рассмотрению обратной задачи МЭП для данной РМ. Будем считать, что значения а( ) измерены в эксперименте на] различных высотах, удовлетворяющих условию (6.22), и восстановим по этим данным ФПР капилляров по радиусам. По формулам (6.14) и (6.23) о Ь) может быть легко пересчитана в эффективные радиусы г г Ь)). В результате возникает математическая задача рещения интегрального уравнения Вольтерра первого рода, которое представляет собой соотношение (6.21) относительно неизвестной функции Дг). Сложность задачи заключается в том, что аналитическая зависимость ядра этого уравнения от верхнего предела, точнее г,(г(1,)), неизвестна. Кроме того, входящая в ядро функция Гд г Ь)) должна определяться из эксперимента и, следовательно, всегда будет содержать измерительную погрешность. В таких условиях задача отыскания решения интегрального уравнения (6.21) некорректна и классические методы для ее решения неприменимы. Для нахождения ФПР на основе (6.21) необходимо использовать какой-либо регуляризованный метод, устойчивый к малым погрешностям во входных данных. [c.125]

Если начинать рассмотрение с некоего эквивалентного генератора достаточно произвольной структуры, которому присущи оба вышеуказанных аспекта некорректности решения обратной задачи, то можно вьь делить два основных подхода, обеспечивающих преодоление указанных трудностей. Первый заключается в том, что исходный генератор заменяют дискретным эквивалентным генератором, причем последний выбирают с достаточно малым числом параметров, при котором гарантируется устойчивое решение обратной задачи. Условно можно этот подход подразделить на два этапа сначала сам по себе переход от произвольного генератора к дискретному устраняет физическую неоднозначность затем дальнейшее упрощение структуры эквивалентного генератора с соответствующим уменьшением числа параметров устраняет неустойчивость решения по отношению к случайным ошибкам. Следует отметить, в частности, что переход к дискретному описанию генератора в виде совокупности токовых диполей (или токовых мультиполей) устанавливает однозначную зависимость между электрическим и магнитным полями данного генератора. После дискретизации генератора обратная задача формулируется как система линейных алгебраических уравнений, которая фактически представляет собой дискретный аналог интегральных уравнений типа (3.153) и (3.164). Неизвестными величинами в уравнениях являются параметры генератора, известными - измеренные значения электрического потенциала и (или) магнитной индукции, а коэффициенты задаются как известные характеристики, зависящие от принятой структуры среды (для их определения может потребоваться решение соответствующей прямой задачи). Устойчивость решения повышается благодаря тому, что число уравнений (равное числу точек измерения или независимо измереннйхх величин) может значительно превышать число неизвестных параметров генератора. При таком методе в качестве измеренных величин можно использовать электрический потенциал и магнитную индукцию по отдельности или совместно. Недостаток этого [c.265]

Второй возможный подход к формулировке и решению обратной задачи заключается в том, что исходный генератор сначала описывают системой интегральных характеристик, не налагая на его структуру каких-либо жестких ограничений (в частности, не прибегая к его дискретизации). Эти характеристики таковы, что для них может быть получено устойчивое решение обратной задачи, хотя оно и не является однозначным в силу неизбежной физической неоднозначности определения генератора по измеренному полю. Однако эти характеристики содержат всю информацию о генераторе, которая в принципе может быть извлечена из его электрического и магнитного полей (при заданной точности иэмерения). Интегральные характеристики в зависимости от конкретных условий можно либо непосредственно использовать для оценки свойств генератора, либо по ним можно определять характеристики эквивалентного генератора, структура которого выбрана из условий содержательного описания изучаемого биоэлектрического процесса, а параметры однозначно определяются интегральными характеристиками (такой эквивалентный генератор может быть как дискретным, так и непрерывно распределенным). Таким образом, в этом втором подходе в отличие от первого сначала обеспечивается устойчивость решения обратной задачи (определение устойчивых интегральных характеристик), а затем устраняется физическая неоднозначность решения (путем задания структуры эквивалентного генератора и определения его параметров по интегральным характеристикам). Преимуществом данного подхода является универсальность, свобода выбора структуры эквивалентного генератора, удобство совместного анализа электрического и магнитного полей с сохранением присущей им информации о генераторе недостаток его -некоторая усложненность математического анализа обратной задачи. [c.266]

Очень важной для аналитической хихмии является и количественная сторона реакций маскировки, т. е, вопрос о том, какова долл на быть концентрация маскирующего агента, чтобы была гарантирована полная маскировка данного компонента в конкретных условиях опыта. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо знать константы, характеризующие основную реакцию, протекающую Б системе, и реакцию, которая будет использована. Многочисленные примеры вычисления влияний присутствия комплексообразующих реагентов на растворимость осадка, устойчивость комплексов, величину электродного потенциала, ход кривой титрования и прочие характеристики уже были приведены ранее. Поэтому здесь будет рассмотрен только пример решения обратной задачи —какова должна быть концентрация маскирующего лиганда при данных условиях опыта, чтобы было предотвращено протекание определенной реакции, [c.427]

Таким образом, фазовая диаграмма системы содержит в скрытом виде информацию о термодинамическом поведении органической ф)азы (т. е. о функции а в системах с сольватообразованием, кроме того, и о термодинамической константе равновесия реакции образования сольвата. Цель обратной задачи — извлечение из диаграммы этой информации. Разработка наиболее рациональных способов достижения этой цели требует совместных усилий математиков и физико-химиков. Для объективной оценки значимости полученной информации необходимо исследование вопросов устойчивости и достаточной определенности решения обратной задачи. [c.81]

Выше уже были приведены примеры возникповепия местных зон торможения в трансзвуковой области в окрестности прямолинейной звуковой линии. Характерная особенность их состоит в том, что они являются местными сверхзвуковыми зонами, расположенными вверх по потоку от минимального сечения. Исследование течения в этих зонах, проведенное в рамках идеальной жидкости, при решении прямой задачи для сопел, контуры которых получены из решения обратной задачи, показало устойчивость таких течений по отношению к малым возмущениям при условии, что с высокой точностью выдерживается геометрия контура. Экспериментальное исследование также показывает существование зон торможения, хотя наличие пограничного слоя несколько искажает расчетную картину течения. [c.154]

Алгоритмы, построенные в гл. 4—7, предназначены для решения граничных ОЗТ. В последнее время область практических применений методологии, основанной на обратных задачах теплообмена, значительно расширилась, что потребовало решения обратных задач и других типов. Как показали проведенные исследования, одним из наиболее эффективных и универсальных подходов к построению устойчивых алгоритмов решения некорректно поставленных обратных задач является итерационная регуляризация (гл. 6), под которой понимается построение параметрических регуляризирующих операторов с параметром регуляриза-Щ1И в виде номера итерации. С помощью этого метода могут быть получены удобные для практического использования алгоритмы решения обратных задач теплообмена в различных постановках (линейных и нелинейных, одномерных и многомерных, в областях с фиксированными и подвижными границами, с минимально необходимым составом исходных данных и переопределенных). Кроме того, оказалось возможным строго обосновать данный метод применительно к широкому классу задач, а также модернизировать итерационные алгоритмы для учета качественной и количественной априорной информации об искомом решении. [c.151]

Ионное травление изменяет относительное содержание элементов на поверхности образца. Наибольшее влияние на получаемые при анализе профили оказывают шероховатость поверхности после травления и эффекты выбивания и распыления. Определение истинного распределения концентраций по глубине — задача трудно решаемая. Как и большинство обратных задач физических методов, она относится к некорректно поставленным задачам и требует привлечения некоторой априорной информации о зависимостк концентраций от глубины, а также повышения устойчивости решения по отношению к экспериментальным ошибкам с помощью ре-гуляризующих алгоритмов. [c.155]

К сожалению, даже на мощных ЭВМ для таких расчетов нередко требуется длительное (до нескольких часов) время. Самое же важное — для интерпретации аналигаческих данных требуется решать обратные задачи, т. е. по спектру или фоматофамме судить о составе и строении вещества. Эти задачи гораздо сложнее прямых, почти всегда относятся к классу некорректных (т. е. не имеющих устойчивого однозначного решения) и часто сводятся к опробованию большого числа вгфиантов, каждый из которых, в свою очередь, требует решения прямой задачи. [c.440]

В качестве примера изложенного метода рассмотрим результаты восстановления (рис. 3.9) вектора нормальных усилий Рг( ) на торце полого кругового цилиндра с теми же геометрическими размерами поперечного сечения, чго и в приведенном выше примере. Высота цилиндра — 100 мм. Исходная информация бралась в виде радиальной компоненты вектора перемещений на наружной поверхности цилиндра. Внутренняя и наружная поверхности цилиндра свободны от нагрузок, нижний торец закреплен от осевых перемещений. Расчеты проводились вариационноразностным методом на регулярной сетке Аг = 10 мм, Аг = 5 мм. Вначале решалась прямая задача по заданному вектору нормальных усилий на торце Рг(г) находился вектор перемещений на внешней грани цилиндра затем обратная задача. На выбранной сетке строились матричные аналоги интегральных операторов уравнений (3.16) и (3.17), по которым находился матричный оператор уравнения (3.18). Методом последовательных приближений решалась разностная задача для уравнения (3.18). На рисунке приведены точное решение - пунктирная линия нерегуляризованное решение, соответствующее решению интегрального уравнения первого рода (3.9) и не имеющее ничего общего с искомым решением — кружки с крестиками решение уравнения (3.18), полученное методом последовательных приближений при различных начальных приближениях вектора р°(г) (осциллирующая функция — квадраты, сосредоточенная сила - треугольник. Из рисунка видно, что метод дает устойчивое приближение к искомой функции и мало чувствителен к выбору начального приближения. [c.78]

Общим математическим методом решения некорректно поставленных задач является метод регуляризации А.Н. Тихонова. Большой вклад в эту область внесли М.М. Лаврентьев, Г.И. Марчук, В.К. Иванов, В.Я. Арсенин, В.А. Морозов, А.Б. Бакушинский, В,Б. Гласко и другие советские математики. Из принципов построения регуляризируюшда алгоритмов наиболее распространен вариационный принцип. Применяются также другие методы и приемы получения устойчивых решений, например, такие как шаговая регуляризация, а также принцип, получивший название итерационной регуляризации. Он предложен и развит в наших исследованиях. Этот подход оказался наиболее удобным и универсальным при решении различных обратных задач, что обусловило его широкое практическое распространение. [c.4]

Во-вторых, граничные ОЗТ с точки зрения получения устойчивых результатов представляют особый методический интерес. Как показывает опыт решения различных обратных задач, граничные ОЗТ по сравнению с коэффищ1ентными и геометрическими задачами имеют большую склонность к искажению результатов, связанному с некорректностью их постановок. К этому следует добавить, что в граничных ОЗТ трудно прогнозировать поведение искомого решения, так как априорная информация о нем бывает довольно ограниченной. С этой точки зрения в коэф фициентных и геометрических ОЗТ обычно наблюдается лучшее положение. Таким образом, отработку методов решения неустойчивых обратных задач целесообразно бывает проводить именно на граничных обратных задачах. Многие из методических подходов, разработанных для граничных ОЗТ, обобщаются также и на другие типы обратных задач. В частности, таким универсальным методом является итерационная регуляризация, которая применительно к граничным ОЗТ рассмотрена в гл. 6, обобщение этого подхода на другие обратные задачи дано в гл. 8. [c.30]

Степень близости дискретной формы обратной задачи (4Л) к исходной интегральной постановке (3.1) определяется величиной безразмерного временного шага АРо, который не может быть сделан асимптотически малым. Для устойчивого решения задачи нужно выбрать такой интервал времени, начиная с момента очередного ступенчатого изменения функции й г), при котором в точке х й температурная реакция тела на это изменение будет хорошо различима. Время "ожидания нужного отклика (шаг дискретизации АРо) будет полностью определяться ядром интегрального уравнения. Если данная функция имеет монотонно убываюш[ий вид, то это означает, что наибольшее изменение температуры, появившееся вследствие возмущения граничного условия в момент г = т, также приходится на момент г — временное запаздывание отсутствует. Естественно ожидать, что такая ОЗТ будет достаточно "хорошей , поскольку тепловой сигнал передан данной точке тела мгновенно. Именно такой случай соответствует предельной постановке обратной задачи, когда по измерениям температуры на поверхности тела требуется восстановить тепловой поток, поступающий в тело — псевдо-обратная задача. [c.74]

Прилепко А.И., Иванков А.Л., Соловьев В.В. Обратные задачи для уравнения переноса и уравнений параболического типа / Единственность, устойчивость и методы решения некорректных задач математической физики и анализа. Новосибирск ВЦ СО АН СССР, 1984. С, 137-142. [c.273]

Для случая изолированных аномалий В.Р. Мелиховым рассмотрены вопросы разработки устойчивых алгоритмов для решения некоторых линейных обратных задач, таких как вычисление сопряженных гармонических функций, вычисление первообразной функции, вычисление компонент коэффициентов связи гравитационного и магнитного полей и некоторые другие. Регуляризированные решения этих задач, полученные на основании уравнения (6.130), имеют вид [c.349]

Рассмотрена задача управления о стабилизации неустойчивого стационарного режима в реакторе с псевдоожиженным слоем катализатора. Обратная связь в виде функционала от решения обеспечивает устойчивость выбранного режима. Циркуляционная модель слоя, состоящая из системы гиперболических уравнений первого порядна с двумя независимыми переменными, аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода ортогональных коллокаций. Интегральные ядра функционала обратной связи находятся методом модального управления. [c.168]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология