Методы полиномов

Параболическая регрессия. Если уравнение регрессии представляет собой полином некоторой степени, то при ирименении метода наименьших квадратов коэффициенты этого полинома находят решением системы линейных уравнений. Например, требуется определить ио методу наименьших квадратов коэффициенты квадратичной функции — параболы второго порядка [c.138]

Отметим, что все сказанное справедливо для полиномов любой степени. Поскольку, однако, изложенный метод расчета коэффициентов не зависит от степени полинома, рассмотрим для сокращения записи только линейный полином вида р р [c.23]

Поиск оптимума по полученному полиному может быть осуществлен различными методами. Можно, например, определить [c.61]

Параболическая регрессия. Если уравнение регрессии представляет собой полином некоторой степени, то при применении метода наименьших квадратов коэффициенты этого полинома находят решением системы линейных уравнений. Например, требуется [c.180]

Уточнение аппроксимирующей зависимости. После вычисления коэффициентов аппроксимирующего полинома по одному из представленных методов может оказаться, что отклонения расчетной и экспериментальной зависимостей будут все же более значительными, чем это желательно. В этом случае целесообразно изменить степень полинома при многочленном приближении и повторить вычисление коэффициентов, т. е. попытаться подобрать полином наилучшего приближения. Иногда целесообразнее улучшить распределение погрешности путем введения дополнительного коэффициента в полученную полиномиальную аппроксимацию или воспользоваться экономизацией многочлена с помощью полиномов Чебышева. [c.325]

Параметрические методы доопределения системы моментных уравнений, несмотря на их очевидность и логическую простоту получения решения, базируются на очень сильном исходном предположении о виде искомого распределения, которое обычно выбирают волевым методом. Этот недостаток в выборе доопределяющих уравнений можно устранить, если воспользоваться непараметрическими методами интерполяции для определения связей между целыми и дробными моментами на интервале времени и, Переходя к безразмерным переменным при помощи нормирования всех моментов на их значения в начале интервала, запишем интерполяционный полином Лагранжа [120] для оценки дробного момента в виде [c.103]

Второй способ определения шага в методе наискорейшего спуска базируется на интерполяции (экстраполяции) изменения функции 3 Х) вдоль направления антиградиента. Например, для построения интерполяционного полинома второй степени используются три значения оптимизируемой функции 3°, 3 3 соответствующие исходной точке и точкам, отстоящим от нее на расстоянии г и 2г по направлению антиградиента. В этом случае шаг dX, переводящий поиск из тонки Xt, в точку на направлении антиградиента (—дЗ дХ) , в которой интерполяционный полином имеет минимум, отыскивается по выражению [c.132]

Если функция f (ti) точно определена, то, исходя из свойств ортогональности, можно с помощью известных методов легко вычислить коэффициенты А . Путем умножения обеих частей уравнения (4.18) на полином Pj (т)) и интегрирования по интервалу (—1, 1) получим [c.53]

Экстремум функции Q можно определять по переменным u при фиксированных. . ., 2 одним из методов спуска либо аналитически. Последний способ может оказаться полезным, если функция Q зависит от переменных и, как полином степени не выше второй. [c.200]

Практически поступают так. Рассчитывают параметры полинома, степень которого меньше числа точек (об оптимальной степени полинома см. с. 64) и который хорошо аппроксимирует исходные данные, а затем в выбранных точках аналитически находят производную. Если такой полином подобрать не удается, то сглаживание ведут по кусочкам . Пусть, например, точки Xi распределены равномерно, т. е. можно положить, что — Xi === h (в принципе равномерное распределение не обязательно). Через первые три последовательные точки методом наименьших квадратов проводят прямую и значение г/ в средней точке заменяют соответствующей точкой y.j на рассчитанной кривой. Затем смещаются на одну точку вправо и вновь рассматривают три последовательные точки. Легко показать, что при таком сглаживании новые значения у, получаются в виде [c.67]

Первый метод состоит в аппроксимации кривых отклика объекта на какое-нибудь стандартное входное воздействие. Методы аппроксимации функций достаточно хорошо известны [16]. Имея аппроксимационное выражение для кривой отклика, нетрудно рассчитать передаточную функцию объекта. Например, если возмущение входного параметра было импульсным, выходная кривая представляет собой весовую функцию. Для того чтобы получить передаточную функцию объекта, достаточно применить преобразование Лапласа к аппроксимационному выражению для выходной кривой. Очевидно, что в качестве аппроксимационных выражений следует выбирать такие, для которых сравнительно легко найти их изображение по Лапласу. Как правило, достаточно удобным аппроксимационным выражением для весовой функции является у 1) = pn t)e- , где Pп t) —полином. [c.271]

Определитель матрицы А является характеристическим полиномом исходного дерева. Преимущество этого метода состоит з том, что он определяет характеристический полином большого дерева с помощью характеристических полиномов меньшего дерева [39, 48]. [c.283]

Таким образом, с помощью этого метода легко был получен характеристический полином для дерева с 22 верщинами. [c.285]

В последние десять лет широкое распространение получил алгоритм численного интегрирования жестких систем ОДУ, предложенный Гиром [263, 264]. Алгоритм Основан на использовании линейных многошаговых методов, удовлетворяющих требованиям жесткой устойчивости [263]. При вычислении предиктора применяется алгоритм Корсика [352], использующий интерполяционный полином для вычисленных в предыдущих точках значений вектора решения. За счет этого легко осуществляется переход к новому шагу интегрирования, что обычно представляет определенные трудности при традиционной реализации многошаговых методов. Вычисление корректора, как правило, осуществляется методом Ньютона, причем для матрицы [Е—(ЗоЛА] (Е — единичная матрица, Л — текущее значение шага, /Зо — параметр метода, А — якобиан системы) используется LU-раз-ложение, что, как известно [183], позволя т наиболее эффективно решать возникающие линейные системы алгебраических уравнений. При решении задачи Коши методом Г ира в каждой точке выбирается оптимальный порядок метода, обеспечивающий наибольший возможный шаг интегрирования. [c.136]

Если вычисления проводятся с использованием ЭВМ, принято вводить величины при трех или четырех температурах, взятых из диаграмм Американского нефтяного института, и использовать метод интерполяции для нахождения промежуточных величин. При этом часто применяется либо простой полином от температуры, либо уравнение следующего вида [c.535]

Когда величина значительно отличается от единицы, в уравнение регрессии необходимо вводить дополнительные переменные, вновь находить коэффициенты уравнения регрессии и подсчитывать величину коэффициента множественной корреляции. Отметим, что причиной малости Я может быть также нелинейность связи между исследуемыми переменными. В этом случае следует заменить линейный полином на уравнение вида (УИ 1.4) и применить соответствующий метод обработки опытных данных. [c.204]

Считая зависимость степени окисления от времени нелинейной (полином второго порядка), методами линейной алгебры определить уравнение регрессии и провести регрессионный и корреляционный анализ результатов. [c.158]

Для практического выполнения всей этой программы необходимо первоначально через экспериментальные N точек на изотерме (обозначенные на рис. 3 крестиками) провести по методу наименьших квадратов кривую, соответствующую полиному [c.268]

На практике рекомендуется проверять константы, используя полином как относительно а, так и относительно а Если константы не совпадают, то их улучшают методом последовательных приближений [50]. Например, если значения приближенных величин Р(+2, Р<- -з известны, то можно рассчитать предваритель- [c.138]

При целых значениях параметра у (например а = 1, у = 3 — кинетический режим), когда левая часть уравнений (14.2.5.31) и (14.2.5.32) приводится к полиному, для исследования устойчивости стационарного решения можно применять стандартные методы [35]. При этом полз чаются неравенства типа (14.2.5.30) (см. примеры в [2,31]). [c.351]

Принцип метода состоит в том, что через п точек с координатами Xj, yj проводят полином. Если все значения х различны, то, как следует из курса математического анализа, это можно сделать с помощью полинома (п - 1)-й степени. [c.263]

Метод аппроксимации полиномами. Рассмотренные выше методы оптимизации основаны на последовательном сужении интервала неопределенности. При этом выбор интервала основан только на использовании информации, содержащейся в последнем найденном значении целевой функцииЗ . Поэтому представляется целесообразным использовать больше информации о целевой функции для выполнения итераций. Это можно сделать, например, путем аппроксимации 2 другой функцией экстремум которой можно легко определить. Так, для аппроксимации 2 можно использовать квадратичный полином вида [c.201]

Если градуировочный график нелинейный, то для его построения целесообразно применять метод наименьших квадратов. Надо отмеппь, что не следует стараться выбирать в качестве аппроксимирующей функции полином неразумно высокого порядка, так как в этом случае ирггериоляция часто теряет физический смысл. Поэтому всегда необходимо применять полиномы наименьших возможных степенен. Более подробно с вопросом о выборе степени аппроксимирующего полинома можно познакомиться в специальной литературе, посвященной мате.матнческим методам обработки экспериме11тальных результатов. [c.92]

Алгоритм FORTRAN доказывает, что сеть ORGLI не имеет свертывания. Этот алгоритм представляет каждое стационарное состояние как точку в конусе, диффеоморфном с многообразием М. В общем случае такая точка может быть выражена при использовании набора параметров, покрывающих конус, когда они варьируются от нуля до бесконечности. Условие свертывания может быть выражено с помощью этих параметров. Согласно условию, некий полином обращается в нуль. Обычная сеть без свертывания соответствует полиному, состоящему только из положительных членов. Поскольку параметры положительны, полином не может обратиться в нуль для любого стационарного состояния, что указывает нам на отсутствие свертывания. Этот метод обнаружения свертывания дает определенный утвердительный или отрицательный ответ для большинства сетей. [c.386]

В табл. 1.3 представлены для сравнения значения констант равновесия реакции (1.1), определенные Хай-сетсаной [П] и вычисленные по полиному (1.10), которые показывают, что в области температур 300—600 имеет место хорошее совпадение в результатах авторов работ [11, 12]. В области температур 7 700 °К расхождение в значениях Кр, установленных Хайсетсаной [И] и Мишиной и др. [12], достигает нескольких процентов. Это расхождение, как следует из рассмотрения методов расчета, использованных авторами работ [11, 12], об- [c.17]

Поскольку целевая функция представляет собой полином второго порядка, то целесообразно для решения задачи использовать классический метод анапитического поиска экстремума. Очевидно, для [c.76]

Наиболее общим методом синтеза бензо [ ]циннолинов является восстановление соответствующих о,о -динитробифенилов. Электролитическое восстановление на никелевом катоде в горячем спиртовом растворе, содержащем уксуснокислый натрий, дает превосходные выходы и, по-видимому, является лучшим методом получения этих соединений [125—127] при восстановлении до окиси V сернистым натрием в щелочном растворе с последующим восстановлением продукта реакции хлористым оловом гладко образуются бензо [с]цин-ПОЛИНЫ, как это показано на следующей схеме [126, 128—132] [c.146]

Из рассмотрения контрольных примеров к двум последним программам можно увидеть чрезвычайную эффективность метода Симпсона. Видно, что точность интегрирования при введенных таблично пяти точках в диапазоне —6 ч- 8, когда сам интеграл считался по формуле Симпсона для пяти точек, рассчитанных по полиному Лагранжа в пределах 1 -г- 50, т. е. вне начального интервала задаваемых точек (программа МАТ20), [c.242]

Аналогичные уравнения могут быть получены и для скоростей накоплерп1я остальных веществ. Из уравнения (74) следует, что уравнения кинетики для рассматрртваемого класса реакций в общем виде соответствуют квадратичному полиному, обычно при-лгеняющемуся для описания почти стационарной области эксперимента статистическими методами [13, 49] [c.126]

С целью повышения точности обработки по методу Рабиновича—Муни кривые течения, снятые на капиллярных вискозиметрах, аппроксимировались на ЭВМ полиномами такой степени, которая обеспечивала отклонение от экспериментальных данных не более, чем на 2 %. По этому алгебраическому полиному вычислялась логарифмическая производная и далее по формуле (1.1)-Y . [c.9]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология