Уравнения сохранения в интегральной

Интегральные уравнения. Рассмотрим фиксированный в некоторой инерциальной системе объем V, ограниченный поверхностью 8. Уравнения сохранения массы к-то компонента для первой и второй фаз внутри объема V имеют вид [c.37]

Складывая почленно интегральные уравнения (1.3), получим уравнение сохранения массы двухфазной смеси [c.38]

Выведем интегральные уравнения сохранения массы, импульса. Механика смесей строится на основе физических законов сохранения массы, импульса и энергии, поэтому далее будем записывать балансовые соотношения массы, импульса и энергии для каждой соответствующей смеси в некотором фиксированном в пространстве объеме смеси V ограниченном поверхностью 5, учитывая при этом обмен (взаимодействие) не только с внешней (по отношению к выделенному объему V) средой, но и соответствующий обмен (взаимодействие) массой, импульсом и энергией между составляющими внутри объема V. [c.15]

Интегральные уравнения сохранения массы несущей фазы и фазы зародышей имеют вид [c.17]

Уравнения сохранения массы в дифференциальной форме для г-й й несущей фаз получаются на основании применения формулы Остроградского — Гаусса к интегральным уравнениям (. 3) и (1.6) [c.20]

Интегральное уравнение сохранения массы г-фазы в некотором выделенном объеме V, ограниченном поверхностью S, можно записать в виде [c.52]

В зависимости от характера связей между параметрами процесса или его физической модели математическое описание может быть представлено в виде алгебраических, дифференциальных или интегрально-дифференциальных уравнений. Для иллюстрации напомним, что дифференциальное уравнение теплопроводности, полученное на основе закона сохранения и закономерности переноса тепла, является математическим описанием класса явлений теплопроводности. Если схематизировать какой-нибудь отдельный случай теплопроводности, сфор" мулировать краевые условия и решить полученную замкнутую систему уравнений, то в результате мы будем иметь математическую модель рассматриваемого конкретного случая теплопроводности. В тех случаях когда для решения системы уравнений применяются вычислительные машины, математическое описание по существу уже является и математической моделью. [c.16]

Интегральное уравнение сохранения массы несущей фазы в объеме V, ограниченном поверхностью 5, имеет вид [c.52]

Интегральные уравнения сохранения импульса для несущей и г-й фаз можно записать в виде [c.53]

Выведем дифференциальные уравнения сохранения масс и импульсов. Применяя теоремы Остроградского — Гаусса к интегральным уравнениям (1.125) —(1.128), получим дифференциальные уравнения сохранения массы несущей фазы [c.53]

Выразить объемные источники в виде интегральных соотношений, полученных при решении полной системы уравнений сохранения для каждого звена. Термин открытая модель мы употребляем в том смысле, что на данном этапе при построении модели аппарата привлекаются результаты моделирования отдельных локальных процессов, которые могут уточняться по мере углубления проводимых исследований. [c.37]

Уравнения (51) — (54) представляют собой уравнения сохранения, записанные в интегральной форме. [c.32]

В интегральном методе анализа турбулентных течений, изложенном в гл. 12, широко используются модели подсасывания. Мортон [28] разработал аналогичную модель для ламинарных струй, факелов и следов. Масштаб плотности потока подсасываемой жидкости получен из соображений по оценке порядков величины отдельных членов уравнений, и разработанная модель течения применена к изучению подъема ламинарных факелов в устойчиво стратифицированной среде. Исследование продолжено в статье [43]. Интегральные уравнения сохранения массы, количества движения и энергии, определяющие течение ламинарного осесимметричного факела, получены в следующем виде [c.201]

Запишем балансные соотношения для некоторого фиксированного объема Уо дисперсной системы, ограниченного поверхностью 5о. Интегральные уравнения сохранения целевого продукта и энергии запишутся соответственно в виде [c.76]

Уравнения сохранения массы целевого компонента и энергии получаются на основании применения формулы Гаусса — Остроградского к интегральным уравнениям (1.137) и (1.138) при Av ->0 [c.77]

Предполагается, что процессы теплообмена в реак- торе проходят достаточно интенсивно, так что градиентами температуры внутри реактора можно пренебречь. С этим предположением связана форма уравнения сохранения тепловой энергии (3.2), которое выражает интегральный баланс тепла в реакторе. Второй член в уравнении (3.2) учитывает теплообмен реактора с внешней средой и различие температур смеси, поступающей в реактор, и смеси, находящейся в реакторе. Третий член учитывает суммарное выделение (поглощение) тепла в реакторе аналогичным образом учет тепловыделения проводился ранее [93] при рассмотрении химической реакции внутри одиночного зерна катализатора при высоких значениях коэффициента теплопроводности. [c.147]

Уравнения установившегося одномерного течения двухфазной жидкости в гидродинамической постановке хорошо известны и в настоящее время являются общепринятыми при рас- четах неравновесных газодинамических процессов (1—3]. В основу гидродинамического метода, как известно, заложены шф-ференциальные уравнения сохранения вещества, импульса и энергии. В противоположность дифференциальному подходу к таким задачам, основанному на использовании уравнений гидродинамики, существует интегральный метод составления уравнений одномерного движения сред, в основу которого берутся интегральные уравнения сохранения вещества, энергии и уравнение баланса энтропии. Такой подход к рещению газо-22 [c.22]

Интегральные уравнения сохранения массы составляющих имеют вид [70, 132] [c.221]

Из интегрального уравнения импульсов получают дифференциальное уравнение импульсов каждой составляющей (аналогично тому, как получают дифференциальные уравнения сохранения масс) [c.223]

В дальнейшем будем пользоваться частным вариантом этого метода, который, по существу, представляет собой метод интегрального баланса и основывается на единственном интегральном соотношении — уравнении сохранения массы жидкости в пределах воронки депрессии. [c.56]

Интегральные модели основываются на решении системы проинтегрированных по вертикальному сечению шлейфа дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения. Соответствующие потоки характеризуются значениями их аксиальных скоростей. Этот подход был впервые предложен Мортоном и др. [363], а полный вывод уравнений появился позднее в работе Мортона за 1971 г. [362]. Анализ свидетельствует о том, что одно из этих уравнений избыточно. В моделях разнообразным образом используется уравнение сохранения кинетической энергии вместо уравнения плавучести (или наоборот). Уравнения количества движения могут быть записаны либо для радиальной и аксиальной, либо для вертикальной и горизонтальной составляющих. [c.127]

В предыдущих главах выведены три интегральных уравнения сохранения, которые позволят нам решить ряд задач. В этой главе мы, прежде чем рассматривать дальнейшие разделы теории, применим общие уравнения сохранения к анализу распространенных типов измерителей расхода и скорости течения. При помощи уравнений сохранения, дополненных некоторыми опытными данными, можно решить большую часть задач, связанных с измерениями. Основное представление о работе измерительных приборов можно получить, пользуясь теорией идеальной жидкости, которую определим здесь как жидкость, лишенную вязкости. [c.51]

Исследование, приводящее к уравнению (9. 8), так же, как и то, которое было использовано в гл. 3 и 5 при выводе интегральных уравнений сохранения, основано на рассмотрении потоков, направленных наружу и внутрь фиксированного в пространстве элемента постоянной величины, причем масса, заключенная в элементе, переменна. Такой подход часто называют методом Эйлера. С другой стороны, вывод уравнения (9. 14) основан на рассмотрении фиксированной массы жидкости, движущейся в пространстве, причем объем, занятый этой массой, может меняться. Такой метод называется методом Лагранжа. Метод Лагранжа удобен и будет использован в двух следующих главах при выводе уравнений энергии и импульсов. [c.88]

Математическое исследование течений с резким изменением параметров (например, в ударных волнах) с помощью дифферен-диальных уравнений ((12) и (26), (50)—для вязкого газа или (81), (83)—для идеального) оказывается затруднительным в связи с необходимостью выделения особых поверхностей (разрывов) и расчета изменения параметров на них по специальным -соотношениям. Эти трудности можно избежать, применяя интегральные уравнения, не содержащие производных от функций, характеризующих состояние среды. Для этого получим уравнения, выражающие законы сохранения массы, количества движе-иия и энергии в интегральной форме. [c.111]

Уравнения сохранения в интегральной форме позволяют найти один из входных или выходных параметров процесса, если известно достаточное число других параметров на входе и выходе. Уравнение баланса количества движения, в частности, дало полезный метод исследования течения через диафрагму и других случаев движения, когда велики инерционные эффекты. [c.128]

В предшествующих главах было дано введение в основы гидродинамики. Оно должно служить базой для решения многочисленных технических задач. Интегральные уравнения сохранения позволяют решать разнообразные задачи определения входного и выходного параметров процесса. Для некоторых простых случаев найдены решения уравнений движения, а для более сложных задач разработан метод анализа размерностей в сочетании с экспериментом. [c.175]

Наиболее общей является интегральная форма уравнений газовой динамики. Уравнения в этой форме допускают разрывные решения, представляющие течения самого общего вида. Законы сохранения массы, изменения количества движения и сохранения энергии в случае плоских и осесимметричных стационарных течений совершенного газа соответственно могут быть записаны в виде [c.48]

Рис. 2.20. К выводу интегральных уравнений законов сохранения а) рассматриваемый объем V с поверхностью 5, б) скорость, поверхностная сила И внешняя нормаль к злементу поверхности < 5

Кроме требований аппроксимации, устойчивости и сходимости к разностным схемам, предъявляется ряд других не обязательных требований. Таково, в частности, требование консервативности разностной схемы. Разностная схема должна отражать основные свойства непрерывной среды, и поэтому желательно, чтобы в схеме выполнялись разностные аналоги основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие этим свойством, называются консервативными. С этой целью разностные уравнения строятся на основе интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для элементарной ячейки сетки. С другой стороны, если исходные дифференциальные уравнения записаны в дивергентном виде, то соответствующую разностную схему нетрудно сделать консервативной. [c.272]

Соотношения, выражающие законы сохранения массы, импульса и энергии на поверхности раздела, можно получить, записав уравнения (1) — (4) в интегральной форме для объема, содержащего рассматриваемую поверхность, и далее перейти к пределу, стягивая объем интегрирования к поверхности. [c.31]

Таким образом, с различных точек зрения представляется очевидной необходимость в построении и изучении г.,ц. с распределенными параметрами как специального класса математических моделей, которые должны заполнить пробел, существующий между относительно простыми моделями с переменными параметрами (рассмотренными в предыдущих главах) и весьма общими и универсальными разностными подходами. Эти модели должны содержать подсистемы уравнений для ветвей, которые с заданным приближением будут отражать фактическое изменение параметров состояния транспортируемой среды, а также и сетевые уравнения, отвечающие за совпадение граничных значений этих параметров на концах ветвей для цепи в целом в соответствии с ее схемой и законами сохранения. С математической точки зрения это приводит в общем случае к специальному классу смешанных систем уравнений, включающих замыкающие уравнения в дифференциальной или интегральной формах, а также и в частных производных, если это необходимо. [c.135]

Таким образом, мы получили для механики сплошной среды в дифференциальной и интегральной формах законы сохранения массы (7,5), количества движения (7,4), момента количества движения (7,8) и энергии (7,11) и (7,16), причем последние два уравнения являются следствиями первых двух. [c.42]

Математическая модель ФХС, состоящая только из уравнений баланса массы и тепла (1.76)—(1.79), естественно, незамкнута и требует для своего замыкания постановки специальных экспериментов как с целью восполнения недостающей информации о системе (например, поля скоростей), так и с целью определения численных значений входящих в нее параметров (например, коэффициентов переноса субстанций в фазах и между фазами). Замыкание системы уравнений модели, состоящей из уравнений сохранения массы и тепла, производится путем использования косвенных ( интегральных ) характеристик, являющихся следствием конкретного динамического поведения системы. Среди таких характеристик наиболее важной (с точки зрения задач физикохимической переработки массы) является функция распределения элементов фаз по времени пребывания в аппарате (функция РВП). Эта характеристика отражает стохастические свойства системы и сравнительно просто определяется экспериментально (см. 4.2). Использование функции РВП в уравнениях баланса массы и тепла позволяет косвенно учесть динамическое поведение системы и построить математическое описание ФХС в достаточно простой форме, отражающей ее двойственную (детерминированно-стохастическую) природу. [c.135]

Ограничимся рассмотрением электродуговых подогревателей при давлении, близком к атмосферному, когда влиянием излучения можно пренебречь [10], а плазма квазинейтральна и находится в термодинамическом равновесии [22]. Так как проводником электрического тока является наиболее нагретая, узкая центральная зона, то радиальная составляющая тока мала по сравнению с осевой составляющей и экви-потенциали почти перпендикулярны оси канала. Поэтому приближенно можно считать, что напряженность электрического поля имеет лишь осевую составляющую Е = с1У1с1х. Интегральные уравнения сохранения расхода, количества движения, энергии и закон Ома для принятой схемы течения (рис. 1) записываются в следующем виде [c.110]

Вопрос о выборе величин шагов Аг з и Аа решается по суш,еству эмпирическим путем. Критерием выбора служат сравнения результатов расчетов, проводимых с различными по величине шагами, а такя е контроль интегральных уравнений сохранения расхода и количества движения. Шаг Аг] выбирается равномерным, шаг Аа — кусочно-равномерным. Так, для определения Aif) была проведена серия расчетов с различными Ая] , равными 0,2 10 0,1 10 [c.86]

Существует, однако, и другая возможность, используемая в данной работе. Мы можем составить интегральное уравнение для контрольного объема, показанного на рис. 2.4-1. Взятое совместно с допущением относительно характера изменения Ф между узлами сетки, оно дает требуемое уравнение в конечных разностях. Другими словами, уравнение в конечных разностях получается посредством выражения каждого члена исходного дифференциального уравнения в частных производных в виде среднеинтегрального значения в выбранном небольшом контрольном объеме. Достоинством такого приема является то, что в отличие от обычного метода гарантируется удовлетворение уравнения сохранения в любой части пограничного слоя. Мы сделаем допущение о линейной связи Ф и oj между узловыми точками сетки в наиравлении изменения координаты м. В направлении координаты л зависимая переменная изменяется ступенчато. Величины Ф во всем интервале от Хи до Хо, кроме точки Хи, постоянны и равны их значениям в точке Хв это согласуется с ранее упомянутым нашим предположением вычислять члены, содержащие д/да, в точке Хв- Линейный характер изменения в направлении л согласуется с методом Кранка — Николсона. [c.44]

Одной из простейших методик анализа вакуумных систем является теория сосредоточенных параметров, в рамках которой состояние разреженного газа описьшают термодинамически, принимая, что его параметры связаны между собой уравнением состояния идеального газа. Данная теория определяет такие базовые понятия вакуумной техники, как проводимость, сопротивление и быстрота действия. Согласно этой теории основная часть расчетов базируется на записи интегральных балансовых уравнений сохранения. В рамках этого подхода бьши выработаны основные соотношения для расчетов суммарных проводимости и сопротивления сложных составных вакуумных систем, а также основное уравнение вакуумной техники, устанавливающее связь между быстротой действия насоса 5 , присоединенного к откачиваемому объему через патрубок, имеющий проводимость и, и эффективной быстротой откачки рассматриваемого объема 5эф J J J [c.16]

Мы говорим об уравнениях баланса, т. е. интегральных уравнениях сохранения для системы в целом, так как рассматриваются не подробности процессов внутри системы, а лишь их внешние проявления. Во многих случаях, однако, желательно рассмотреть именно детали внутренних процессов. Чтобы достичь этого, используют аналогичные уравнения сохранения, записанные для малого элемента (дифференциала) объема. Эти дифференциальные уравнения могут быть в принципе затем проинтегрированы. Такой метод исследования дает детальную картину внутренних процессов в системе. Например, если известны основные свойства жидкости (такие, как вязкость ньютоновской жидкости), с помощью дифференциальных уравнений можно найти распределение скоростей, в то время как в балансовое уравнение могут войти только средние скорости потока на входе и выходе. Балансовые уравнения могут быть в общем случае получены интегриро- [c.21]

В гл. 5 мы определяли силу сопротивления, используя уравнение баланса количества движения. Задача 5. 3 служит введением в применение этого уравнения к течению в пограничном слое. При применении уравнений сохранения в интегральной форме нужно знать распределение скоростей. Распределение скоростей в турбулентном пограничном слое нельзя найти из уравнений Навье — Стокса, как это было сделано в гл. 12 для ламинарного пограничного слоя. Поэтому чтобы определить силу сопротивления при турбулентном обтекании плоской пластинки мы воспользуемся интегральным уравнением импульса с профилем скорости, имеющим заранее заданную правдоподобную форму. Этот метод опирается на работу Кармана и был использован также Польгау-зеном для течения в пограничном слое при наличии градиента давления [125]. [c.150]

Сумвлируя интегральные уравнения (1.2) по всем компонентам мы получим уравпепия сохранения массы для первой и второй фаз [c.38]

Система уравнений тепло- и массообмена решается методом ноком-понептного расщепления [13]. Конечно-разностная аппроксимация получена па основе неявных балансовых схем [14] и строится с интегральными условиями сохранения тепла и вещества, которые получаются при интегрировании системы (28) —(29) по толщине 1 Д<Да и длине О X 1 слоя [c.88]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нётер и ее обобщение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порадка для потенциала скоростей. [c.17]

Эти уравнения выраисают закон сохранения энергии в дифференциальной и интегральной формах. Из (7,11а) видно, [c.41]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология