Спектр белого шума

Спектр белого шума [c.272]

Выборочный спектр белого шума [c.258]

Поведение выборочных спектров белого шума по мере возрастания длины записи [c.258]

Теперь ф (О уже не является марковским процессом, так как значение сигнала на входе в данный момент коррели-ровано с предыдущими значениями. Однако процесс 2 () является нормальным процессом, и его энергетический спектр совпадает с энергетическим спектром белого шума, прошедшего через фильтр низких частот. То есть n (i) представляет решение дифференциального уравнения [c.146]

Предположим, что аномалия Дх) является нормальным белым шумом. Тогда учитывая, что энергетический спектр белого шума - величина постоянная, из формулы (6.90) получим [c.325]

Чтобы проиллюстрировать результат применения анализа Фурье к случайному процессу, был взят ряд из 400 случайных нормальных чисел (гауссовский белый шум) Выборочный спектр Сгг 1) вычислялся для четырех рядов, состоящих из первых 50, 100, 200 и 400 членов соответственно На рис 6 1 приведены значения выборочных спектров Сгг (), сосчитанные по формуле (6 17), на частотах / = 0,02, 0,04,, , 0,50 гц для случаев N = 50 и = 100 при Д = = 1 сек. На рисунке изображен также теоретический спектр, который, как показано в разд 6 2 3, равен константе в интервале -42 <42 [c.258]

Как видно из рис 6 1, функции Схг () сильно колеблются, и на основании этих графиков трудно предположить, что истинный спектр равен константе, т е что временной ряд является белым шумом Отметим также, что отклонения Сгг( ) от истинного спектра для М= 100 такие же, как и для N = 50, что указывает на отсутствие статистической сходимости какого-либо типа [c.258]

Рис 6 1 Выборочные спектры для первой половины (Л = 50) и для всей реализации (N=100) дискретного нормального белого шума [c.259]

Строго говоря, белый шум нереализуем физически, но можно получить очень хорошее приближение к нему Например, флуктуирующий ток в электронной лампе дает очень хорошее приближение, так как его спектр мощности по существу равен константе в интервале от О до 100 Мгц Этот шум, называемый обычно дробовым, создается в результате случайной эмиссии электронов с катода лампы Другим физическим примером шума, являющегося приблизительно белым в щироком диапазоне частот, служит тепловой шум Этот шум представляет собой напряжение (или ток) в проводнике, обладающем сопротивлением Я, вызванное тепловым движением электронов. Его спектр мощности почти постоянен в широком диапазоне частот и равен [c.273]

Мы сейчас получим выражение для спектральной плотности выхода устойчивой линейной системы, на вход которой подается стационарный процесс В том случае, когда на вход подается белый шум, выходной спектр является спектром стационарного линейного процесса [c.274]

Из (6 2 15) или (6.2.18) видно, что если есть источник белого шума и подходящий переменный аналоговый (или цифровой) фильтр, то можно получить случайный процесс с любым заданным спектром. В следующем разделе мы приведем некоторые примеры разнообразных спектров, которые можно получить с помощью линейной фильтрации белого шума. [c.275]

Вероятностные свойства оценок, соответствующих выборочному спектру, для случая белого шума [c.279]

Приведенный в разд 5 3 5 критерий для проверки того, что шум белый, полезен тогда, когда подозревают наличие локальных корреляций , т е когда есть подозрение, что соседние точки временного ряда коррелированы Иногда требуется обнаружить отклонения от белого шума, вызванные периодическими эффектами Так, например, после подбора модели для экономического временного ряда, содержащего сезонные вариации, несоответствие модели могло бы выразиться в периодичности остаточных ошибок В таком случае более подходящим является частотный критерий, основанный на выборочном спектре Один такой критерий приведен ниже его надо рассматривать как дополнение к критерию разд 5 3 5, основанному на корреляционной функции [c.283]

Критерий. Равенство (6 2 14) показывает, что спектр дискретного белого шума имеет вид [c.283]

Выборочный спектр на гармонических частотах для выборки белого шума [c.285]

Общие результаты о выборочных спектрах для белого шума [c.287]

Моменты оценок, соответствующих выборочному спектру, для белого шума. Для дискретного времени эти более общие результаты имеют вид [c.287]

Способ сглаживания Бартлетта. Один прием, который можно использовать для получения спектральных оценок, имеющих дисперсию, меньшую, чем у Сгг ), был предложен Бартлеттом [5]. Предположим, что вместо вычисления Сгг(/) по реализации белого шума длины Л = 400, как это делалось в разд 6 1 2, эта реализация разбивается на й = 8 рядов длины Л /й = 50 и выборочный спектр 11 (/). г=1, 2,, 8, вычисляется для каждого ряда длины 50. Среднее значение этих восьми выборочных спектров на частоте / равно [c.289]

Мы уже исследовали одно важное свойство спектральной оценки, а именно ее смещение Другое важное свойство описывается ее дисперсией В разд. 63 4 было получено приближенное выражение для дисперсии в частном случае белого шума при использовании окна Бартлетта Теперь мы обобщим этот результат на случай произвольного процесса и произвольного окна Зная дисперсию, можно на любой частоте построить доверительный интервал для истинного спектра В этом разделе показано, что если две частоты отстоят друг от друга достаточно далеко, то ковариация оценок на этих частотах почти равна нулю Поэтому для таких частот доверительные интервалы можно строить независимо [c.299]

В способе, излагаемом здесь, мы воспользуемся тем фактом (см. (52 6)), что любой случайный процесс (X(i) со спектром Ухх(П можно представить в виде белого шума Z (г ), пропущенного через линейный фильтр Воспользовавшись этим фактом и формулами разд 6 3.3 для ковариаций оценок, соответствующих выборочному спектру, в случае белого шума, мы сможем вывести выражения для аналогичных ковариаций, но в случае произвольного случайного процесса. Затем уже несложно получить выражения для ковариаций сглаженных спектральных оценок [c.300]

Рассмотрим случайный процесс X (t) со спектром (/), получаемый из белого шума Z t) по формуле [c.300]

В разд 6 2 2 было показано, что случайный процесс, спектр которого есть б-функция, является синусоидальной или косинусоидальной волной Таким образом, этот результат показывает, что если белый шум подвергать суммированию и взятию разностей достаточное число раз, то получится синусоидальная волна Эта теорема принадлежит Слуцкому [И], который отмечал, что в некоторых случаях периодическое или квазипериодическое поведение экономических временных рядов объясняется процедурой сглаживаний, примененных к этим рядам [c.50]

Моменты выборочного взаимного спектра для двух некоррелированных белых шумов [c.123]

В этом разделе мы обобщим результаты разд 9 1 1 на случай коррелированных процессов, не являющихся белыми шумами. Строгий вывод этих результатов довольно сложен, и мы поместили его в Приложении П9 1 В настоящем же разделе мы воспользуемся эвристическими методами, которые являются обобщением методов, применявшихся в разд 6 4 1 для одномерных спектров [c.131]

Спектр (f) показан на рис 10 10, откуда видно, что он похож на белый шум, пропущенный через данную систему. [c.212]

В разд 11 1 некоторые из понятий, применявшихся в анализе одномерных и двумерных рядов, заново формулируются в терминах теории матриц В частности, дается определение матрицы ковариаций временного ряда и показывается, что спектр тесно связан с ее собственными числами В разд 11 2 вводится многомерная линейная система Линейный многомерный процесс определяется как выход такой системы, когда на ее входы поступают несколько некоррелированных белых шумов Важными частными случаями многомерных линейных процессов являются двумерные процессы авторегрессии и скользящего среднего [c.222]

Это частотное распределение всегда будет тем шире, чем меньше 2 А г, т.е. в предельном случае имеем бесконечно узкий импульс, б-импульс, частотный спектр которого представляет собой белый шум, содержащий все значения частот. [c.44]

В предположении, что в приемнике возникает белый шум, выражение (31) вычислялось в работе [71] с использованием спектрального разложения функции автокорреляции Fm(i)(Fmi ) шумового напряжения на выходе ДС-цепочки. Вычисления значительно упрощаются, если использовать явное выражение для V t)Vja t ). Легко показать, что если в приемнике возникает белый шум (достаточно, чтобы спектр шума был постоянным вблизи частоты модуляции /мод)> то функция автокорреляции шумового напряжения на выходе ii С-цепочки дается выражением [40] [c.185]

Если процессы x i) и y t) дельта-коррелированы (т. е. представляют собой физически нереализуемые белые шумы), то уравнение (9.14) является точным. Однако оно дает хорошее приближение и в случае, когда ширина спектров процессов x i) и y t) такова, что [c.226]

Следовательно, если два процесса взаимно коррелированы лько в олинаковые моменты времени, то взаимный амплитудный ектр равен константе, подобно спектру белого шума. Далее, эти а процесса находятся в фазе, поскольку ф12(/) =0 Взаимный плитудный и фазовый спектры для этого примера показаны на с 8 8,12 Таким образом, процесс (8 4 2) можно рассматривать к фундаментальную модель взаимного спектра, аналогично иу как белый шум можно считать фундаментальным при изу-чии одномерного спектра [c.108]

В рамках ИМММ решение проблемы состоит в том, что следует перейти к уравнениям движения более общего вида, например к уравнениям Ланжевена. Соответствующий аппарат численного экспериментирования называется обычно ланжевеновской динамикой (ЛД) или броуновской динамикой (БД) [3, 11]. В уравнениях движения ЛД действующие на каждую частицу силы содержат два члена, которые отсутствуют в ньютоновских уравнениях, — пропорциональную скорости силу трения и случайную (обычно дельта-коррелированную, со спектром белого шума) силу. Такое представление правых частей уравнений движения характерно для броуновских частиц и, разумеется, в задачах МД не единственно. Однако важно подчеркнуть, что оба дополнительных слагаемых могут быть получены с помощью ЧЭДТ, первичного по отношению к ЛД. Обычно оказывается, что можно считать, что скорости и случайные силы не коррелированы и что случайные силы флуктуируют с много большей частотой, чем скорости. Это позволяет свести ЧЭДТ к последовательности шагов, на каждом из которых координаты и скорости частиц системы задаются формальным решением уравнений Ланжевена. Последние содержат не обычные для классической механики интегралы, а стохастические. Таким образом, на этом этапе иерархии ИМММ появляются черты, свойственные математической теории диффузионных процессов [12, 13] и методам МК- [c.84]

Появление субгармонических составляющих связано с тем, что пульсация и захлопывание пузырьков происходит не строго с частотой колебаний возбуждающего поля, так как имеют место пропуски циклов захлопывания. Ряд составляющих спектра возникает при взаимодействии колеблющихся и захлопывающихся пузырьков. Процесс кавитации характеризуется интенсивным шумообра-зованием—характерным шипением при работе ультразвуковых ванн. В полном спектре частот кроме дискретных составляющих появляется сплошной спектр белого шума . Причиной возникно вения его считают нелинейное взаимодействие отдельных спектральных составляющих. Можно предположить также, что в сплошной спектр вносят свой вклад и многочисленные высшие гармонические составляющие линейчатого спектра. [c.15]

Физическая природа шума такова, что на разных частотах он может иметь различный уровень. Зная частотный спектр шума, можно различными способами регистрации сигнала свести к минимуму его влияние, выбирая для регистрации сигнала те частоты, где интенсивность флуктуаций наименьшая. Шум, интенсивность которого постоянна на всех частотах, называется белым шумом. Примером белого шума является шум в электрической цепи, возникаюш,ий в результате изменения величины сопротивления из-за теплового движения в нем атомов и молекул (тепловой, джонсовский шум резистора). [c.79]

Даже если нам удастся сделать так, что все пики попадут внутрь спектрального диапазона при заданной иами скорости выборки, то все равно что-нибудь будет лежать за его пределами. Это электрический шум, который содержит бесконечный диапазон частотных компонент белый шум) и от которого мы старались избавиться. На первый взгляд это кажется фатально слабьа местом в схеме импульсною ЯМР. В сущности в спектре может отразиться неограниченное количество шума, что полностью сведет на нет любой выигрыш в чувствительности, полученный за счет накопления. Чтобы избежать этой катастрофы, необходимо ограничить электрическую ширину полосы спектрометра, поместив полосовой фильтр перед АЦП. Тогда мы получим третью схему приемника, показанную на рис. 2.8. [c.37]

Резюме. Для детерминированных сигналов спектр является пределом (в обычном математическом смысле) выборочного спектрз Схх (/) при безграничном увеличении длины записи Однако, как показывает пример с белым шумом, поведение функции [c.260]

Частотная интерпретация этого метода генерации дискретного белого шума из непрерывного небелого шума состоит в следующем. Частота выбирания 1/Д настолько мала, что происходит очень много наложений частот спектра Г (/) (см разд 2 4 2). Поэтому спектр дискретного сигнала (отсчитываемого в дискретные моменты времени), равный сумме налагающихся участков ГJiJf(/), будет становиться все более пологим, т е Гzz(f) стремится к константе в интервале — 1/2Д / 1/2Д Этот процесс проиллюстрирован на рис 2 11 для одного частного случая. Заметим, что, обсуждая вопросы, связанные с белым шумом, мы ничего не предполагали относительно плотности вероятности (1) Белый шум Е (] может иметь любую плотность вероятности [c.273]

Х -свойства оценок, соответствующих выборочному спектру, для случая белого шума. В разд 6 3 1 было показано, что если Zt является гауссовским белым шумом, то 2 zz(f)IAo имеет х -распреде- [c.288]

Таким образом, оценка, соответствующая выборочному спектру, для процесса X ( ) приближенно равна соответствующей оценке для белого шума, умноженной на квадрат модуля частотной характеристики фильтра Поскольку 2Сгг распределена приближенно [c.301]

Численные значения выборочных оценок фазы для двух белых шумов [случай р)2(0) =0] приведены в табл 9 1 вместе с выборочными коспектром и квадратурным спектром Выборочная функция распределения фазы показана на рис 9 2 Мы видим, что имеется хорошее согласие между выборочной и теоретической функциями распределения Чтобы увидеть, значимы ли отклонения от линейности, можно нанести на рисунок 957о-ные доверительные [c.130]

В случае ПРВТ (31) входной шумовой процесс г, ф) можно рассматривать как белый шум с постоянной плотностью одномерного энергетического спектра (Л ) = 1 о. [c.125]

Броуновское движение (винеровский процесс) - это непрерывный гауссовский случайный процесс Х= (Х,), о> = О с нулевым средним и дисперсией DX, = L Известно, что приращения винеровского процесса - белый шум - характеризуются автокорреляционной 6-функцией, т.е. время корреляции этого процесса равно нулю, а спектр постоянен на всех частотах (Ясо) = onst, со - частота). Белый шум успешно применяют при моделировании многих климатических и гидрологических процессов. Однако попытка его использования для объяснения эффекта Харста потерпела неудачу суммарный расход воды в этом случае приводит к уже известной зависимости Q Не спасает положения и применение случайных процессов с конечным временем корреляции В. Феллером доказано, что и в этом случае получается та же зависимость [Feller, 1951]. [c.197]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология