Кратность элемента симметрии

Введем понятие кратности р элемента симметрии. Кратность элемента симметрии равна числу связанных им точек. [c.34]

Кратность положения в центрах граней куба равна 6, в центре куба равна 1. Порядок (кратность) элемента симметрии равен количеству точек, возникающих из одной точки, находящейся в общем положении при действии на неё данного элемента симметрии. [c.40]

Приведем обозначения некоторых из элементов симметрии с конечной кратностью плоскость симметрии (Р или т), ось симметрии Сп или и), зеркально-поворотная ось симметрии (<5 ), сочетающая поворот около оси п с отражением в перпендикулярной к ней плоскости т (рис. П.З), инверсионная ось симметрии (п), сочетающая поворот около оси п с инверсией в центре симмет- [c.42]

Укажем теперь некоторые элементы симметрии с бесконечной кратностью. К ним относятся трансляция (а ) и сочетания трансляции с поворотом или отражением винтовая ось (и ), сочетающая [c.43]

Классы симметрии или точечные группы объединяются сообразно со старшими в них осями симметрии в семь сингоний или систем, в свою очередь объединяемых в три категории по характеру и числу возможных единичных направлений (табл. 2.2). Каждой точечной группе присуща собственная кратность, составляющая произведение кратностей главных элементов симметрии группы. Кратности плоских узловых сеток кМ) общего положения, не совпадающего ни с каким из элементов симметрии, позволяют разделить точечные группы на голоэдрические, кратность грани общего положения которых сов- [c.52]

По своему положению точки в элементарной ячейке могут быть расположены различно относительно элементов симметрии. Они занимают общее положение, если лежат вне элементов симметрии, и частное, если лежат в каком-либо элементе симметрии. В последнем случае элемент симметрии, с которым они совпадают, на них не действует, и от его, реализации точка не переходит в новое положение — она многократно совпадает со своим первоначальным положением. Поэтому в ячейке различают точки по их кратности. Кратные точки заняты идентичными элементами структуры. Кратностью точки называют число ее положений, занимаемых в процессе реализации всех элементов симметрии, воздействующих на точку. Естественно, что кратность точки зависит от числа ее степеней свободы. Случайно расположенная точка имеет три степени свободы лежащая в т — две степени, в L — одну и в //п — нуль. [c.62]

Элементом структуры может быть ион, атом, молекула, радикал последний может состоять из химически одинаковых, но кристаллографически разных атомов, а также из химически разных атомов. Таким образом, пространственная группа, связывая с пространством кристалла некоторую последовательность элементов симметрии и их сочетание, фиксирует правильные системы точек, а эти последние в свою очередь определяют возможные базисы конкретных структур. Соотношение же кратностей правильных систем точек или соотношение сумм их кратностей (если химически однотипные частицы занимают одновременно несколько правильных систем точек) дает стехиометрические формулы конкретных структур. Поэтому роль пространственных групп в структурном анализе чрезвычайно велика и каждое определение неизвестной структуры начинается с определения возможной для нее пространственной группы. [c.65]

Кратность точки общего положения определяется произведением кратностей действующих в точечной группе операторов, а координаты правильной системы точек — подстановкой координат во все генерирующие операторы последовательно. Так, для точечной группы 42т кратность точки общего положения составит 4-2=% т — производный элемент симметрии), а правильная система точек общего положения получится из последовательного вычисления коор- [c.73]

В одной и той же федоровской группе симметрии может быть несколько вариантов расположения точек в зависимости от положения исходной точки по отношению к элементам симметрии. Так же различно может быть я число точек, приходящихся на одну ячейку. Это число называется кратностью правильной системы точек. На рис. 101,6, соответствующем группе та, пустым кружком изображена новая исходная точка — 2. Расположение точек этой системы иное, чем в системе 1, и число их в два раза меньше. Это —новая правильная система точек, характерная для той же федоровской группы. По этой системе также могут располагаться атомы в кристаллическом пространстве. Точки могут быть расположены яа элементах симметрии частное положение) и вне их общее положение). Положение точек на элементах симметричности со скольжением —на винтовых осях и плоскостях скользящего отражения — является общим. [c.80]

На рис. 38 изображен участок структуры, имеющий пространственную группу Ртт. Один из элементарных параллелепипедов решетки на рисунке заштрихован. Если задать точку где-то внутри ячейки (точка г), ТО, размножив ее при помощи элементов симметрии пространственной группы, получим общую правильную систему точек. Число точек этой системы, приходящееся на один элементарный параллелепипед решетки, называется кратностью. Таким образом, в нашем [c.36]

Если исходная точка будет располагаться на каком-нибудь элементе симметрии, например на плоскости симметрии (точка ц), то правильная система будет частной. Кратность ее точек будет меньше, чем кратность точек общего положения. В нашем примере кратность точек равна двум. Кратность точек, находящихся на двойных осях (например, с), равна единице. [c.36]

Трансляции, перпендикулярные к обычным, инверсионным или винтовым осям симметрии, размножают эти оси и генерируют серии новых осей часто с кратностью, отличающейся от порядка исходной оси (рис. 3.15—3.18). На рисунках приведены символы про-, странственных групп, отвечающих изображенным сочетаниям элементов симметрии (см. стр. 62). [c.61]

Если атом (ион) находится в частном положении, т. е. лежит на каком-либо элементе симметрии, то число его симметричных повторений иногда уменьшается. Например, точка, лежащая на плоскости симметрии, повторяется симметрично в два раза реже, чем точка в общем положении. Точка, расположенная на плоскости скользящего отражения, смещается в ней, но число повторений не уменьшается по сравнению с общим положением. Точка, находящаяся на одной из винтовых энантиоморфных осей (З, и Зг, 41 и 4з, 61 и 65), также повторяется на оси с сохранением кратности позиций общего положения. Точка, расположенная на одной из поворотных осей либо на одной из винтовых осей 4г, 62, 63 и 64, симметрично повторяется на самой оси меньшее число раз, чем точка в общем положении. [c.68]

Точечная группа представляет собой группу симметрических операций, которые оставляют на месте по меньшей мере одну точку. Каждая точечная группа характеризуется определенным набором элементов симметрии, кратностью и особой точкой. Кратность группы определяется числом эквивалентных точек (элементов или граней), т. е. точек, связанных действием всех симметрических преобразований группы. Особая точка — такая точка, которая под действием всех симметрических преобразований группы преобразуется только в самое себя [c.32]

На основании изложенного выше и рис. 7.6, можнО придти к выводу, что в элементарной ячейке с частицами, расположенными в соответствии с пространственной группой Р2 1с, имеются четыре эквивалентных положения, внутренняя связь между которыми определяется элементами симметрии. В таком случае говорят, что кратность пространственной группы равна четырем. За исключением пространственной группы Р, которая вообше не имеет симметрии, и пространственных групп с единственной осью вращения или винтовой осью третьего или четвертого порядка, кратность группы должна быть четной и для некоторых, наиболее симметричных, пространственных групп она может достигать 192. [c.151]

Не всегда также внешняя кристаллическая форма отвечает форме решетки. Связанная с решеткой анизотропность свойств сказывается и в том, что рост кристалла идет по разным направлениям с неодинаковыми скоростями, отчего одни грани получают большее развитие по сравнению с другими. Это может повести к очень разнообразным формам кристалла, но всегда при этом сохраняются сущест венные элементы симметрии его решетки, что выражается двумя основными законами геометрической кристаллографии законом постоянства углов и законом кратности индексов. [c.189]

Кратность, значность, условие симметрии. Очевидно, что различная кратность положения точки при заданной схеме симметрии зависит от принципиального различия между положением точек 1 н 7 по отношению к элементам симметрии 7 лежит на зеркальной плоскости (рис. 2а) и при отражении совмещается сама с собой. [c.14]

При данной симметрии в качестве элементарного базисного всегда выбирают простейший параллелограмм, выявляющий всю симметрию сетки. Такой параллелограмм всегда должен быть примитивным или в крайнем случае вдвое больше примитивного (центрированным). Примитивный, или элементарный, параллелограмм в достаточной мере характеризует всю систему распределения точек, так как конфигурация этого параллелограмма в параллельном положении повторяется бесконечно. Если плоская сетка сама содержит элементы симметрии, благодаря которым возможно расположение эквивалентных точек выше и ниже этой сетки, то пространство неидентичности представляет собой параллелепипед с примитивными сеточными параллелограммами в качестве средней плоскости. И здесь опять действительно правило, что при наличии поворотных или инверсионных осей, плоскостей зеркального отражения или центров симметрии кратности, значности и соответствующие степени свободы точечных положений на этих элементах симметрии и вне их [c.70]

Положение, которое находится на элементе симметрии, называется частным. Кратность точки, т. е. число, показывающее, сколько точек возникнет на данной, если она перейдет из частного положения в общее, V = 2 (рис. 1.15, Ь). Собственная симметрия точек равна т. [c.32]

Точка, в которой пересекаются все элементы симметрии, имеет максимальную кратность. [c.32]

Примечание. При действии на точку только 1 элемента симметрии число возникающих точек равно кратности элемента (от 1 до 6). Если же на точку действуют два элемента симметрии (например, 2 + 1 3 + 1 4 + 1 6 + 1, а также 3/т), число точек равно произведению кратностей, т. е. в наших примерах удваивается. В случае инверсионных осей 1, 2 и 4 действует только один элемент симметрии и число точек остается равным 2,2 соответственно, 4. Расположение точек, образованных осями 4 иТ, различно. [c.30]

Положение, которое находится на элементе симметрии, называется частным. Кратность точки, т. е. число, показывающее, сколько точек [c.31]

По своему положению точки в элементарной ячейке могут быть расположены различно относительно элементов симметрии. Они занимают общее положение, ес н1 находятся вне элементов симметрии, и частное. если лежат в каком-либо элементе симметрии. В последнем случае элемент симметрии, с которым они совпадают, на них не действует и от его реализации точка пе переходит в новое положение — она многократно совпадает со своим первоначальным положением. Поэтому в ячейке различают точки по их кратности. [c.349]

Элементы симметрии точечной группы Число элементов симметрии Кратность точечной группы Особая точка [c.38]

Эле енты симметрии точечной группы Т а б л и ц а Число Кратность элементов точечкой симметрии группы 4 (окончание) 1 Особая точка 1 [c.42]

Если применением всех элементов симметрии федоровской группы из одной точки, находящейся в общем положении, выводится еще п — 1 точек, то п называется кратностью общего положения. Минимальная кратность общего положения равна 1 в группе без элементов симметрии (Р ), максимальная — 192 в некоторых группах кубической системы. [c.77]

Про точки, лежащие на одной и той же оси (плоскости), будем говорить, что они находятся в тождественных частных положениях. Если поместить точку на одну из осей (плоскостей), то элементами симметрии она будет перенесена на другие оси (плоскости). Число т таких точек (в ячейке) и есть кратность частного положения. [c.79]

Представим себе теперь, что точка смещается из общего положения в направлении к элементу симметрии. Такое же движение будут совершать остальные точки, эквивалентные данной, т. е. связанные с ней элементами симметрии. Попадая на элемент симметрии, эти точки сольются. Таким образом, если /V — кратность общего положения, ар — кратность элемента симметрии, то кратность частного положения атома на данном элементе симметрии равна Л /р. Если атом попадает на линию или точку пересечения элементов симметрии с кратностью Р1> Р2, Рг, ТО кратность такого положения будет равна М рт р р . Например, кратность общего положения в классе ттт равна 8, кратность каждой из плоскостей т равна 2. Следовательно, кратность положения атома, находящегося на одной из плоскостей, равна 8/2 = 4 кратность атома, находящегося на линии пересечения двух плоскостей, равна 8 2-2 = 2 и, наконец, кратность атома, находящегося на пересечении всех трех плоскостей, равна 82/-2-2 = 1. На рис. 21 изображена молекула 3, 5, 3, 5 -тетранитродифенилртути, обладающая симметрией ттт. В общем положении с кратностью 8 находятся только атомы [c.43]

Элемент симметрии — геометрический образ, воздействие которого на периодически повторяющуюся систему точек приводит к совмещению этой системы точек со своим первоначальным положением в пространстве. Если правильная периодичная повторяемость системы точек про 1вляется в том, что в ней можно найти такую плоскость, которая делит систему точек на две зеркально равные части, одна из которых является зеркальным отражением другой, то система точек считается имеющей плоскость симметрии /п (рис. 2.1, а). Если система точек имеет такую плоскость, то тогда, принимая ее за координатную плоскость хОу, можно утверждать, что для каждой плоской узловой сетки [hkl) найдется симметричная ей сетка hkl). При изменении положения плоскости симметрии в пространстве кристалла изменяются и индексы связанных ее присутствием плоских узловых сеток, но не изменится факт их взаимосвязи. Из заданной плоской узловой сетки hkl) плоскость симметрии т формирует вторую. Кратность такой узловой сетки плоскость симметрии удваивает, если под кратностью сетки понимать их число, возникшее после реализации той или иной операции симметрии. Кратности плоских сеток, связанных определенным пучком элементов симметрии, приведены в приложении 2. Они определяются пучком элементов симметрии и положением плоской узловой сетки по отношению к элементам симметрии пучка. Так, элемент симметрии кратно размножает плоскую узловую сетку, если гномостереографическая проекция этой сетки не располагается на стереографической про- [c.41]

Пространственная группа генерируется независимыми операторами сходственной точечной группы, компонентами трансляции действующих операторов и группой трансляций Бравэ. В соответствии с этим правильные системы точек общего положения, свойственные пространственной группе, получаются как правильные системы точек сходственной точечной группы, координаты которых почленно сложены с суммой компонентов Франсляции этих операторов, а результат суммирован с группой Бравэ. При записи суммарных компонент трансляций, свойственных тем или иным операторам, необходимо учитывать, что выбор начала координат влияет на трансляционные компоненты. Только в группах, сохраняющих пучок закрытых элементов симметрии, пересекающихся в одной точке, которая выбрана за начало координат (в так называемых симморфных группах), система точек определяется только природой оператора. Если сумма косых трансляций и открытых элементов симметрии смещает различные составляющие пучка операторов точечной группы в раз- ном направлении па разные расстояния, то группа считается несим-морфной и начало координат выбирают в стороне от действующих операторов (или некоторых из них) в точке максимальной симметрии, оцениваемой величиной симметрии, т. е. разностью кратностей [c.76]

Положение, в котором молекула совмещается с одним или несколькими элементами симметрии кристаллической решетки, называется частным. В этом случае молекула преобразуется рассматриваемыми элементами симметрии комплекса решетки в самое себя, а не в другие кристаллографически эквивалентные. Отсюда следует, что кратность молекулы (частицы или точки), находящейся в частном положении, меньше кратности ее общего ио оасеныя в той же пространственной группе. Следует напомнить, что в общем положении [c.32]

Так, символ Р61ттс указывает, что ячейка гексагональная примитивная, перпендикулярно оси 6 и ребру ячейки проходят плоскости зеркального отражения т, а перпендикулярно большой диагонали — плоскость скользящего отражения с (отражение+ смещение на V2 трансляции вдоль оси z). Координаты точек в элементарной ячейке взаимосвязаны. Точки, получающиеся одна из другой действием элементов симметрии, образуют одну правильную систему точек. Число точек одной правильной системы в элементарной ячейке называется ее кратностью. Точки, находящиеся на элементах симметрии (в центрах инверсии, на плоскостях и поворотных осях), имеют меньшую кратность, часть координат для них фиксирована. [c.55]

Положения точек в точечных группах симметрии. В заданной точечной группе симметрии кратность, значность и условия симметрии положения точек, а следовательно, и форма совокунности геометрически эквивалентных точек зависят от месторасположения точек относительно элементов симметрии. Можно без труда составить для всех точечных групп симметрии таблицу, показывающую зависимость числа эквивалентных друг другу точек (с кратностью [c.45]

ОТ друга, насколько вообще в кристаллических конфигурациях возможно такое разделение подгрупп симметрии на отдельные ком -поненты. Взаимозависимость эквивалентных точек в обоих случаях различна. Например, v обозначает положение над плоскость чертежа, Л — положение на таком же расстоянии под этой плоскостью. Сразу бросается в глаза, что (как и при точечных группах) по взаимо-положению с обычными элементами симметрии (плоскостями зеркального отражения, поворотными и инверсионными осями, if H-трами симметрии) значности к условия симметрии точек могут изменяться, а следовательно, изменяются и их кратности. Так, при четырехкратном повторении точек с общим положением точка в центре симметрии (рис. 47fl) повторяется только один раз. Концепция степеней свободы также сохраняет свое значение. [c.66]

Если трансляция перпендикулярна направлению элемента симметрии, например поворотной оси (рис. 1.54, а, Ь и с), то происходит трансляция этого эле- чента симметрии, т. е. образуется бесконечное множество этих элементов симметрии (допустим, поворотных осей 6). Этот процесс имеет важную особенность (рис. 1.54, Ь и й) трансляция осей, кратность которых п может быть представле- [c.81]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология