Уравнения в лагранжевых координатах

При решении некоторых задач теории механических колебаний для анализа движения используют методы аналитической механики — уравнение Лагранжа второго рода. Если движение системы описывают обобщенными координатами ( 1,2,. .., и) и обобщенными скоростями уравнения движения с учетом упругости звеньев имеют внд [c.44]

Рассмотрим малые колебания такого физического маятника под воздействием потока пара, т.е.считаем угол малым. Тогда давление струило можно принять постоянным. Система имеет одну степень свободы, и уравнение Лагранжа 2-го рода для обобщенной координаты будет иметь вид. [c.31]

Три симметричные матрицы 0, , Нкь нельзя, в общем случае привести к диагональному виду одним невырожденным преобразованием, поэтому для неоднородной системы уравнения Лагранжа в нормальных координатах не распадаются, а принимают вид [c.164]

Если рассматривать величины как новые координаты, то эти уравнения представляют не что иное, как уравнения Лагранжа в новых координатах. Благодаря простой форме этих уравнений, величина Q называют нормальными координатами системы. Кинетическая и потенциальная энергии просто выражаются через эти нормальные координаты [c.29]

И. В обобщенных координатах. В этом случае мы имеем уравнения Лагранжа [c.106]

Такое преобразование носит название перехода к нормальным координатам. Уравнение Лагранжа (34.6) теперь может быть записано следующим образом [c.257]

При решении задач механики уже давно пользуются вариационными методами. В последнее время значительное внимание уделяется разработке этих методов в теории теплопроводности. На протяжении десяти лет — с 1950 по 1960 г. — было опубликовано много работ, посвященных исследованию вариационных методов (см. библиографию [35]). Однако рассматриваемый нами метод Био имеет ту отличительную особенность, что он, по существу, воссоздает термодинамическую аналогию известного в механике принципа Гамильтона и, следовательно, приводит к термодинамическому аналогу формулировки закона Ньютона в обобщенных координатах Лагранжа. В ряде работ Био обосновал вариационный принцип и уравнения Лагранжа применительно к теории теплопроводности и показал метод его применения [36—41]. Мы в первую очередь будем рассматривать не обоснование метода, а его применение. [c.63]

Полуограниченное тело. Уравнение (131) можно применить к решению задачи для полуограниченного тела, на поверхности которого задан постоянный тепловой поток Р. Для записи граничного условия на поверхности Био предложил две обобщенные координаты глубину проникания и температуру поверхности. Уравнение Лагранжа, записанное в этих координатах, и уравнение баланса общего количества подведенного тепла дадут систему двух уравнений для определения обобщенных координат. Можно отметить, что связь, получающаяся из баланса подведенного тепла, тождественно совпадает с интегралом теплового баланса. Мы рассмотрим несколько иной подход, в котором фигурирует только одна обобщенная координата — глубина проникания. Чтобы удовлетворить налагаемым на тепловое поле граничным условиям Н(б, ) = == О и Н(0, /) = Р, возьмем профиль температур в виде [c.64]

Сохранение энергии играет роль голономной связи. Диссипативная функция, выраженная через производную по времени от вектора теплового смещения, является обобщением понятия, введенного Релеем для механических систем с вязкой диссипацией. Это обобщение тесно связано с принципом взаимности Онзагера в термодинамике необратимых процессов. Полученные уравнения Лагранжа в обобщенных координатах приводят к принципу минимальной диссипации. Возможности и точность метода иллюстрируются на примере простой задачи распространения тепла в стенке с использованием понятия глубины проникновения. [c.9]

Принципы, излагаемые в этой главе в связи с теплопроводностью, составляют частный случай общего метода линейной термодинамики необратимых процессов, разработанного автором в 1954 г. [Л. 1-1], [Л. 1-5], Было показано, что большой класс необратимых процессов может быть описан обобщенными координатами, соответствующими тем же уравнениям Лагранжа, которые ис- [c.20]

Фундаментальное значение уравнений Лагранжа. Как указывалось в предыдущем параграфе, теоретически всегда можно выбрать конечное, хотя и большое число, обобщенных координат таким образом, что физическая система будет описана полностью в соответствии [c.30]

Эти уравнения можно представить с помощью преобразования (2.5.16) в нормальных координатах Уравнения Лагранжа примут вид [c.51]

Поскольку 0+ = О на границе, значение Qi в модели с источниками стремится к нулю. Соотношение (2.6.11) является уравнением Лагранжа для обобщенных координат, определяющих поправку 0+. [c.55]

Отсюда получаем уравнение Лагранжа для координат [c.87]

В стационарном состоянии координата 61 определяется уравнением Лагранжа [c.106]

Как и ранее, этот принцип можно привести к уравнениям Лагранжа, считая векторное поле Я функцией п обобщенных координат дг [c.138]

Точка обозначает производную по т. Переменная 9о является неизвестной обобщенной координатой, удовлетворяющей уравнению Лагранжа [c.163]

Как и ранее, координаты х, у, г обозначаются череа Хг. При таком определении О уравнения Лагранжа [c.174]

Вывод уравнений Лагранжа из вариационного принципа (А.3.16) проводится следующим образом. Выразим неизвестные переменные Ui п 8г с помощью обобщенных координат 91, 92,. . ., в виде [c.196]

Поскольку вариации бдк произвольны, приходим к уравнениям Лагранжа для обобщенных координат [c.198]

Вязкие жидкости, вязкоупругость, пористые среды. Уравнения Лагранжа (А.3.44) применимы к динамике несжимаемых вязких жидкостей. Движение жидкости описывается обобщенными координатами, а вязкость учитывается с помощью диссипативной функции Релея. Такой метод дает хорошие результаты при анализе многих задач гидродинамики. Особый интерес представляет его применение для течений в пограничном слое. [c.199]

Понятие обобщенных координат и соответствующие уравнения Лагранжа уже стали существенной составной частью классической механики. Введение Релеем диссипативной функции позволило учесть вязкие силы. Хотя обобщенные координаты использовать почти исключительно в задачах механики, само понятие этих координат и связанные с ними методы имеют гораздо более широкий смысл и являются основой анализа большого класса явлений. С чисто математической точки зрения методы Лагранжа при использовании понятий функционального анализа также приводят к новому подходу. Для пояснения этого более широкого подхода рассмотрим подробнее основы метода Лагранжа. [c.199]

Сания физической системы с помощью обобщенных координат. Во многих случаях можно предположить, что решение принадлежит классу функций с малым числом параметров, которые можно использовать в качестве обобщенных координат, подчиняющихся уравнениям Лагранжа. Как указывалось в 1.4, этот метод является одни.м из самых эффективных методов приближенного решения, так как при его применении свойства решений известны уже при формулировке задачи, что позволяет уменьшить число неизвестных. [c.202]

Для этих п координат можно составить уравнения, которые ничего не знают об остальных координатах. Это — уравнения Лагранжа (иногда говорят — уравнения Лагранжа второго рода иногда, имея в виду не только механические, но и электрические и электромеханические системы,—уравнения Лагранжа-Максвелла). [c.225]

Остановимся на голономных системах. Самыми удобными уравнениями движения для них являются уравнения Лагранжа. Они дают то и только то, что нужно. Они справедливы для любых координат. Они одинаковы как для механических, так и для электрических систем. Выводить их здесь я не могу, а скажу только, как они пишутся и что они утверждают. [c.228]

Уравнения Лагранжа в новых обобщенных координатах [c.240]

Действительно, отбрасывая все члены системы уравнений Лагранжа, обращающиеся в нуль, найдем, что смещение частицы, обладавшей в состоянии покоя координатой х, связано с временем t, давлением р и первоначальной плотностью бо соотношением [c.760]

Модель планарной сети, в которой используются элементы сосредоточенных параметров, связанные правилами Кирхгофа, использована для представления римановой метрики химических многообразий энергии. Входные токи сети соответствуют контравариант-ным компонентам тангенциальных векторов в направлениях координат многообразия в данной точке (например, скоростям реакции), тогда как сопряженные напряжения соответствуют кова-риантным компонентам (например, сродствам). Теорема Телегина и введение линейных сопротивлений, являюишхся постоянными во всем дифференциальном интервале, ведут к типичному риманову элементу расстояния неравенство Шварца превращается в параметр, определяющий оптимальный динамический коэффициент трансформации энергии, а колебания в переходах между двумя состояниями в химическом многообразии могут быть введены с помощью дополнительных элементов — конденсаторов и индуктивностей. Топологические и метрические характеристики сети приводят к уравнениям Лагранжа, геодезическим уравнениям, а условия устойчивости эквивалентны обобщенному принципу Ле-Шателье. Показано, что конструирование сети эквивалентно вложению п-мерного (неортогонального) многообразия в (ортогональную) систему координат больщей размерности с размерностью с1 = п п + + 1)/2. В качестве примера приведена биологическая задача, связанная с совместным транспортом и реакцией. [c.431]

В настоящем сообщении рассмотрен вопрос о законности применения и практическом использовании в качестве коэффициентов влияния двух разных матриц. Нами использованы два метода метод уравнений Лагранжа с неисключенными связями [6—8] и метод перехода от независимых координат к зависимым, частично использованный Голдом и др. [9]. [c.14]

Рассмотренное определение пути реакции привело бы в общем случае к зависимости от выбора координат (см., например, обсуждение в работе [212]). Решение возникающей проблемы получено в классической работе Маррела и Лэйдлера [214] и развито Фукуи с сотр. [215] и Шефером [216]. Для анализа физического смысла задаваемого уравнениями (47) и (48) пути реакции нужно начать с физически корректного понятия классических траекторий реакции, получающихся в результате решения соответствующей системы уравнений Лагранжа [c.66]

Уравнения движения для координат ЦВСдг/ рассматриваемой модели цепи находим с помощью уравнений Лагранжа с потенциальной фушци-ей С/дф и диссипативной функцией R(xJ) в обычной форме Л = 2 (Ху/2) [c.45]

I. В декартовых координатах. Уравнение движения системы - это уравнения Лагранжа I рода. Наличие связей учитывается с помощью неопределенных миожите-ndt. Число уравнений равно сумме полного числа степеней свободы в системе и числа связ . [c.106]

В работе [136] авторы переходят уже к описанию движения в декартовых координатах в борме уравнений Лагранжа I рода. Кроме бутана, с помощью этой методики проведены аналогичные расчеты для жидкого декана. [c.120]

В гл. 2 рассматриваются общие характеристики линейных систем, и выводятся соответствующие линейные уравнения Лагранжа. Физическая модель включaet локальное линейное граничное условие теплопереноса, часто используемое на практике в качестве аппроксимации. Это достигается путем введения диссипации на границе в диссипативную функцию, описывающую систему в целом. Одной из важных особенностей линейных систем является наличие релаксационных мод и нормальных координат. Интересной особенностью нормальных координат при рассмотрении процесса теплопроводности является свойство бесконечного вырождения, связанное со стационарным потоком. Использование нормальных координат может привести к слабым решениям в смысле функционального анализа, что иллюстрируется на примере решения задачи проникновения тепла в стенку. [c.9]

В качеаггве иллюстрации общего метода, описанного в 2.5, можно использовать эти нормальные координаты для расчета нестационарной тепловой диффузии в пластине, когда в моментг /=0 поверхность пластины при дс=0 мгновенно принимает температуру 0 = 6о- Будем считать, что противоположная поверхность остается при нулевой температуре [Л. 2-6]. К уравнениям Лагранжа (2.7.5) необходимо добавить обобщенные силы Со и В результате получим [c.56]

Следует отметить, что при использовании уравнений Лагранжа только q считается обобщенной координатой, а a t) рассматривается как заданная функция времени, неподверженная варьированию. В действительности, глубина плавления a(t) остается неизвестной, и она должна определяться из вспомогательного уравнения, которое не связано с вариационным принципом. [c.116]

В соответствии с методом, описанным в гл. 1, вариационный принцип (8.2.10) также приводит к дифференциальным уравнениям, аналогичным уравнениям Лагранжа с обобихеппыми координатами. Это легко показать, выразив неизвестное температурное поле в виде [c.172]

При использовании вариационного принципа (8.2.34) обобщенные координаты можно разделить на две группы координаты одной группы определяют температуру на границах подсистемы координаты другой группы определяют температуру каждой подсистемы. В результате получаем уравнения Лагранжа, в которые входит тепловой поток Л только на границе В системы в целом. Следует отметить, что при использовании этого метода. нет необходимости соблюдать условие неразрывности, grad9 в направлении, нормальном к границам подобластей. Например, в двумерной задаче систему можно разделить на конечные элементы треугольной сетки, и некоторые обобщенные координаты будут температурами в вершинах треугольника. [c.176]

Для составления уравнений движения системы в обобщенных координатах (вторая форма уравнений Лагранжа) необходимо иметь выражение кинетической энергии системы в этих координатах, выражения обобщенных сил, отнесенных к этим координатам, и выражения обобщенных сил инерции системы. Ниже выведены приближенные значения всех перечисленных величин. Так как мы стремимся получить линейные дифференциальные урав-ji H 1Я с постоянными ксэ )фициентам1, то кинетическую энергию мы должны подсчитать с точностью до малых второго порядка обобщенные силы и обобщенные силы инерции должны быть вычислены с точностью до малых первого порядка. [c.63]