Линейные уравнения Лагранжа

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [c.39]

Легко видеть, что система (15а — 15в) является дискретным аналогом уравнений Лагранжа — Эйлера. Система (15а — 15в) является разностной системой уравнений. Зная значение переменных % , и , можно при помощи уравнений (15а — 15в) подсчитать значения и т. д. Правда, необходимо отметить, что для определения М приходится постоянно решать систему линейных алгебраических уравнений. [c.31]

Решение этих трех линейных уравнений дает исходные значения множителей Лагранжа [c.504]

Существенно отметить, что системы уравнений (П1,78) для определения множителей Лагранжа при раз.личных i будут отличаться только правыми частями. Поэтому можно сказать, что для определения производных (П 1,74) для всех г потребуется решить п — систем линейных уравнений (111,78), отличающихся только правыми частями. Сравнивая системы линейных уравнений (111,76) и (111,78), мы также заметим, что они отличаются только правыми частями. Таким образом, окончательно имеем для того чтобы сделать один шаг по методу проектирования градиента, в данном случае нам потребуется решить п — -f 1 систем линейных уравнений (П1,76) и (111,78), имеющих одинаковые матрицы коэффициентов [c.78]

Алгоритм построения сплайна описан здесь лишь в обших чертах. Полагают, что координаты Y точек, через которые проходит сглаживающий сплайн, при заданных значениях X уже известны, и с этими значениями составляют систему линейных уравнений для расчета параметров сплайна. Эта система уравнений является дополнительным условием для минимизации указанной линейной комбинации. Поиск минимума функционала с учетом дополнительного условия проводится методом множителей Лагранжа. Таким образом, получают опять систему линейных уравнений ленточной структуры. Решение этой системы уравнений дает значения параметров сплайна, значения У в точках перегиба и множителей Лагранжа. [c.392]

Система из N линейных уравнений (111-35) совместно с линеаризованными уравнениями связей и активных ограничений позволяет найти N составляющих вектора 8 у и множители Лагранжа Л, входящие в R. [c.151]

Независимо от используемого метода линейного программирования при нахождении численных результатов исключительно важное значение имеет сокращение размерности. Остановимся здесь на двух способах сокращения размерности задачи. Один из них основан на использовании свойства однородности линейных уравнений, а другой состоит в применении, как и раньше, множителей Лагранжа. [c.256]

Принципы, излагаемые в этой главе в связи с теплопроводностью, составляют частный случай общего метода линейной термодинамики необратимых процессов, разработанного автором в 1954 г. [Л. 1-1], [Л. 1-5], Было показано, что большой класс необратимых процессов может быть описан обобщенными координатами, соответствующими тем же уравнениям Лагранжа, которые ис- [c.20]

Представим температурное поле в виде линейной суперпозиции полей из уравнения (4.5.8) при соответствующем сопряженном поле (4.5.9). Поскольку мы используем сопряженные поля, необходимо, чтобы было постоянным. Следовательно, дг=0 и диссипативная функция не рассматривается. Положив 0 = 0, получим уравнения Лагранжа для стационарного состояния в виде [c.96]

Из выражений (8) и (9) мы получим в качестве уравнений Лагранжа два совокупных линейных дифференциальных уравнения для и q . [c.232]

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

Применяя способ множителей Лагранжа, можно составить линейную комбинацию функции М уравнений (VI,20) — (VI, 22) [c.225]

Действительно, легко проверить, что приращение А Р по членам второго порядка содержит положительно. определенную квадратичную часть, зависящую от диссипации, а линейные члены взаимно уничтожаются, как в приведенных примерах. Следовательно, функционал Г, заданный уравнением (10.86), пригоден в качестве локального потенциала для уравнения (10.80). С помощью элементарных преобразований можно показать, что в пределе малых градиентов и внешних сил, т. е. когда система близка к равновесию, Ф становится функционалом от одной функции и сводится к лагранжиану для линейной области необратимых процессов (см. также разд. 10.2). Такие лагранжианы тесно связаны с производством энтропии, выраженным здесь через функцию распределения, а не через термодинамические средние [131]. Однако в общем случае из уравнения (10.86) все же можно получить обобщенный вариационный принцип, пригодный для определения функции распределения в нелинейной области, что соответствует первому приближению Чепмена — Энскога (см. работу [30]). [c.148]

Если решением исходной экстремальной задачи на минимум (7.25) при Ах = <2 является вектор решением двойственной задачи (7.30), (7.31) — вектор Р, то точка (х, Р ) будет седло вой точкой функций Лагранжа (7.28), которая выпукла по х и линейна по Р. Стационарные точки этой функции находятся из системы уравнений [c.98]

Но эта функция совпадает с функцией Лагранжа линеаризованной задачи (П-27). Поэтому, если градиенты функций в точке X линейно независимы, то найдется решение Я системы уравнений [c.74]

Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, характеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и характера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ [10] и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов является использование предложенной Харрингтоном [23] в качестве обобщенного критерия оптимизации так называемой обобщенной функции желательности О. Для построения обобщенной функции желательности О предлагается преобразовать измеренные значения от- [c.207]

Кратко опишем содержание этой главы. В разд. 2 рассматривается обычная одномерная вариационная задача. Приводятся общеизвестные положения и сведения из вариационного исчисления (уравнения Эйлера — Лагранжа, вариация, двухточечная граничная задача). В разд. 3 проводится сравнение методов отыскания оптимума с применением вариационного исчисления и дифференциального исчисления. В разд. 4—11 описываются некоторые трудности, возникающие при применении вариационного исчисления. К их числу относятся наличие ограничений, сложность решения двухточечной граничной задачи, линейность, а также наличие негладких функций. В разд. 7 указаны различные пути решения задач при ограничениях типа неравенств. На примере, приведенном в разд. 8, [c.97]

Когда в исходной задаче имеются ограничения в форме линейных неравенств, то все рассуждения остаются в силе, лишь в функции R и уравнениях (2.16) должны присутствовать те из ограничений, которые в точке х обращаются в строгие-равенства (активные ограничения). Таким образом, в задаче с ограничениями некоторые точки множества D могут не находиться в общем положении. Множество таких особых точек определено условиями типа (2.18), в которые входят все коэффициенты bij для связей и активных в данной точке ограничений. Если ни одна из этих точек не является решением исходной задачи, то расширение Лагранжа для этой задачи эквивалентно. [c.25]

Необходимые условия минимума а по Я приводят к системе линейных относительно Я уравнений, аналогичных (2.59). Исследовав поведение функции Я(х, % ) на множестве можно узнать, достигается ли ее абсолютный максимум в точке X если нет, то расширение Лагранжа, а в силу (2.57) и усредненное расширение эффективны (рис, 36). [c.52]

В восьми главах книги рассмотрение ведется только на примере переноса тепла. Однако как физические, так и математические аспекты данного вопроса гораздо шире. Поэтому, чтобы показать другие возможности метода, в книге дается приложение. Показано применение вариационного подхода в таких областях физики, как массообмен и термодинамика необратимых процессов. Приводится иллюстрация применения метода Лагранжа к анализу задачи термоупругости. Очевидна также возможность применения данного метода к вязким жидкостям при использовании классической диссипативной функции Релея. Аналогичные методы можно применять также для описания электромагнитных явлений. Показаны более широкие математические возможности анализа, основанного на понятии скалярного произведения. Данное понятие представляет собой эффективное средство преобразования в функциональном пространстве. Оно включает такие методы, как преобразование линейных дифференциальных уравнений в нелинейные с помощью координат типа глубины проникновения. Такое рассмотрение дает возможность свести в единую систему различные методы, известные в прикладной математике под разными названиями. Кроме того, существование порога разрешения в физических задачах позволяет дать более реалистическое определение понятия полноты для обобщенных координат, которое учитывает дискретный характер вещества в противоположность математической модели континуума. [c.22]

В 8.2 дополнительные принципы рассматриваются применительно к линейным системам. Показано, что если сформулировать их с помощью обобщенных координат, получим уравнения типа Лагранжа в дополнительной форме. Можно сформулировать также принцип взаимовлияния, использующийся в методике конечных элементов , который, как указывается, применим в общем случае нелинейной системы и при изучении конвекции. В 8.3 обсуждается операционная формулировка вариационного принципа в дополнительной форме применительно к результатам гл. 3. Нелинейные системы со свойствами, зависящими от температуры, как стационарные, так и конвективные, обсуждаются в 8.4 и 8.5. [c.168]

На основе одного из известных принципов механики, например, принципа возможных перемещений, вариационного принципа Лагранжа и др., строится система разрешающих уравнений относительно искомых перемещений узловых точек. Решив ее, находят сначала узловые перемещения, а затем — перемещения, деформации и напряжения в любой точке тела. Существенно, что в результате конечно-элементной дискретизации задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений вместо решения трудно интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных. [c.109]

Поскольку градиенты Vr являются диссипативными силами, обобщенные импульсы Пг (задаваемые линейными кинематическими конститутивными уравнениями) равны взятым с обратным знаком плотностям потока Hi == —Ji. Используя определения (6.151) обобщенных импульсов, полевые термодинамические уравнения Эйлера— Лагранжа (6.54) или (6.147) можно записать в виде [c.251]

Используя снова метод множителей Лагранжа, убеждаемся, что коэффициенты можно найти путем решения следующей системы линейных алгебраических уравнений [c.145]

В гл. 2 рассматриваются общие характеристики линейных систем, и выводятся соответствующие линейные уравнения Лагранжа. Физическая модель включaet локальное линейное граничное условие теплопереноса, часто используемое на практике в качестве аппроксимации. Это достигается путем введения диссипации на границе в диссипативную функцию, описывающую систему в целом. Одной из важных особенностей линейных систем является наличие релаксационных мод и нормальных координат. Интересной особенностью нормальных координат при рассмотрении процесса теплопроводности является свойство бесконечного вырождения, связанное со стационарным потоком. Использование нормальных координат может привести к слабым решениям в смысле функционального анализа, что иллюстрируется на примере решения задачи проникновения тепла в стенку. [c.9]

II W VW 4ij обозначен элемент матрицы W EW, стоящей на пересечении i-той строки и /-Г0 столбца. К сожалению, в данном случае условие (V,25) не удается так же просто учесть, как условие (V, 16) в предыдущем случае, поэтому каждое соотношение должно быть учтено в функции Лагранжа с помощью соответствующего множителя Лагранжа. В этом случае задача определения множителей Лагранжа становится трудоемкой, поскольку требует решения системы линейных уравнений большой размерности. Причем чем сильнее будет разреженность гессиана, тем больше будет условий типа (V, 25) и Teivi сложнее будет определение множителей Лагранжа. В связи с этим был предложен следующий подход [114]. Пусть, как и прежде, Mi характеризует множество нулевых элементов, а Aij — пустое множество. Вначале найдем обычным путем матрицу В, которая обеспечивает хорошую работу квазиньютоновского метода пусть, например, это будет матрица (III, 80). Для простоты обозначим ее через В. Естественно, что структура матрицы G в ней не будет отражена, и, вообще говоря, она не будет содержать нулевых элементов. Поставим теперь задачу найти матрицу В, определяемую формулой [c.177]

Модель планарной сети, в которой используются элементы сосредоточенных параметров, связанные правилами Кирхгофа, использована для представления римановой метрики химических многообразий энергии. Входные токи сети соответствуют контравариант-ным компонентам тангенциальных векторов в направлениях координат многообразия в данной точке (например, скоростям реакции), тогда как сопряженные напряжения соответствуют кова-риантным компонентам (например, сродствам). Теорема Телегина и введение линейных сопротивлений, являюишхся постоянными во всем дифференциальном интервале, ведут к типичному риманову элементу расстояния неравенство Шварца превращается в параметр, определяющий оптимальный динамический коэффициент трансформации энергии, а колебания в переходах между двумя состояниями в химическом многообразии могут быть введены с помощью дополнительных элементов — конденсаторов и индуктивностей. Топологические и метрические характеристики сети приводят к уравнениям Лагранжа, геодезическим уравнениям, а условия устойчивости эквивалентны обобщенному принципу Ле-Шателье. Показано, что конструирование сети эквивалентно вложению п-мерного (неортогонального) многообразия в (ортогональную) систему координат больщей размерности с размерностью с1 = п п + + 1)/2. В качестве примера приведена биологическая задача, связанная с совместным транспортом и реакцией. [c.431]

Нелинейные уравнения Лагранжа (5.3.11) также Эквивалентны принциау минимальной диссипации, как было показано для линейной системы в 1.4. Как и ранее, для нелинейной системы можно определить неравновесную силу в виде [c.111]

Для составления уравнений движения системы в обобщенных координатах (вторая форма уравнений Лагранжа) необходимо иметь выражение кинетической энергии системы в этих координатах, выражения обобщенных сил, отнесенных к этим координатам, и выражения обобщенных сил инерции системы. Ниже выведены приближенные значения всех перечисленных величин. Так как мы стремимся получить линейные дифференциальные урав-ji H 1Я с постоянными ксэ )фициентам1, то кинетическую энергию мы должны подсчитать с точностью до малых второго порядка обобщенные силы и обобщенные силы инерции должны быть вычислены с точностью до малых первого порядка. [c.63]

Определение функции распределения по кинетическому уравнению— основная задача как в статистической механике, так и в кинетической теории. В линейной области, соответствующей малым отклонениям от локального равновесия, можно с успехом использовать вариационный метод [131]. Заметим, что при рассмотрении несамосопряженных задач вдали от локального равновесия (область нелинейности, система во внешнем поле и т. п.) уже невозможно вывести кинетические уравнения из лагранжиана. В этом разделе будет показано, что понятие локального потенциала, введенное ранее в макроскопической физике, можно использовать для определения функции распределения, по крайней мере методом последовательных приближений [124—126, 153]. [c.146]

Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, характеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и характера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов, является использование предложенной Харрингтоном в качестве обобщенного критерия оптимизации так назьгааемой обобщенной функции желательности В. Для построения обобщенной функции желательности Г) предлагается преобразовать измеренные значения откликов в безразмерную шкалу желательности й. Построение шкалы желательности, которая устанавливает соотношение между значением отклика у и соответствующим ему значением с1 (частной функцией желательности), является в своей основе субъективным, отражающим отношение исследователя (потребителя) к отдельным откликам. [c.205]

Константы Eih появляются как множители Лагранжа при дополнительных условиях ортогональности и нормировки функций Фй и ф1 (11.35). От большей части этих констант можно избавиться, если от функций ф,- перейти к их линейным комбинациям Фг или, как говорят, произвести над базисом функций ф,- унитарное преобразование [см. формулы (III. 13) на стр. 52]. Такое преобразование не меняет исходной детерминатной функции (II. 17), варьированием которой были получены уравнения Хартри—Фока, и, следовательно, энергии системы [21, Приложение 8], но коэффициенты преобразования можно выбрать так, что новые недиагональные константы будут равны нулю. Вводя обозначения [c.46]

В этом параграфе мы ограничим наше рассмотрение материалами, для которых дисклинации исключены с самого начала, что означает сохранение однородности действия подгруппы 50(3)о. Поэтому мы будем исходить из полевых уравнений, определенных в 3.15 для лагранжиана Ь = ==Ьо 8 Ьх. Кроме того, мы применим процедуру линеаризации, обычно используемую при получении уравнений линейной теории упругости из нелинейной [c.113]

Аналогичным образом могут быть получены постановки сопряженных краевых задач и формулы для градиентов невязки применительно к другим экстремальным постановкам обратных задач. Для этого, следуя известной процедуре решения задач на условный экстремум, составляется расширенный функционал, учитывающий невязку и (с помощью неопределенных множителей Лагранжа) условия математической модели в виде дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий, условий сопряжения. Для расширенного функционала вычисляется главная линейная часть приращения, отвечающая вариациям исходных величин и, соответственно, вариациям переменных состояния. Полученная вариация функционала преобразуется с помощью операции, интегрирования по частям, а для многомерных областей с использова нием формулы Остроградского-Гаусса таким образом, чтобы выражения под знаками интегралов по областям задания уравнений не содержали частных производных от приращений переменных состояния. Затем, согласно необходимому условию стационарности расширенного функционала, его вариация приравнивается нулю. Учитывая произвольный характер приращений переменных состояния, приравниваются нулю коэффициенты при соответствующих приращениях. Получившиеся равенства представляют собой условия для определения множителей Лагранжа, которыми в зависимости от учитываемого условия математической модели могут быть функции и константы. Совокупность этих равенств и дает искомую постановку сопряженной краевой задачи. [c.188]

Б 10). Особое внимание следует обратить на тот факт, что уравнения Эйлера — Лагранжа (Е. 5), соответствующие непосредственно функциональному вариационному принципу (Е.З), который Войта сразу дает в универсальной форме, являются уравнениями второго порядка. Таким образом, легко видеть, что нащ интегральный принцип (который определяет экстремумы локальных функций ОМ в пространстве), как и функциональный принцип Войты (который определяет экстремумы интегральных функционалов ОМ во времени) в равной мере ведут (хотя и в различном смысле) к двоякому описанию. в нашем случае это очевидно из того, что альтернативную форму (А. 18) линейных законов также можно получить из универсальной формы (А.1). С теоретической точки зрения (по крайней мере в линейном случае) это означает избыток свободной информации . В случае функционального вариационного принципа Войты (Е. 3) существованпе этого избытка проявляется в том, что универсальная форма ведет непосредственно к уравнениям второго порядка (Е.5), а не к уравнениям переноса первого порядка, хотя последние являются необходимыми и достаточными. Эта проблема связана с фильтрующими свойствами функций ОМ (или функционалов), однако затронутый вопрос требует более детального анализа. [c.296]