Уравнения Лагранжа

Методы решения задач динамики. При решении задач динамики механизмов, например при исследовании движения машинного агрегата или отдельных элементов машин, обычно применяют уравнения динамики в одной из трех форм второго закона Ньютона, уравнения кинетической энергии, уравнения Лагранжа второго рода. [c.43]

Уравнения (IV,167) — (IV,169) являются уравнениями Лагранжа — Эйлера описываемой вариационной задачи, которые можно непосредственно получить при помош,и вариационного исчисления 107 Конечно, приведенный здесь вывод этих уравнений нельзя считать строгим и он иллюстрирует только связь изложенных здесь методов с методом вариационного исчисления. [c.142]

Для гармонических колебании, используя уравнение Лагранжа, получаем [c.272]

При решении некоторых задач теории механических колебаний для анализа движения используют методы аналитической механики — уравнение Лагранжа второго рода. Если движение системы описывают обобщенными координатами ( 1,2,. .., и) и обобщенными скоростями уравнения движения с учетом упругости звеньев имеют внд [c.44]

Используя уравнение Лагранжа (177), получаем дТ 2 фJl, (1 дТ . [c.116]

Рассмотрим поля потоков, исходя из картины, изображенной на последнем фотоснимке. Линии тока стационарны, т. е. неизменны во времени, поскольку наблюдатель неподвижен относительно данного объекта (пузыря). Такая картина потока соответствует уравнению Лапласа. Потоки можно также анализировать с позиции наблюдателя, неподвижного по отношению к невозмущенной жидкости, и тогда картина, разумеется, будет иной. В атом случае движение, описываемое уравнениями Лагранжа, будет функцией времени. [c.148]

Уравнения Лагранжа обычно гораздо сложнее и труднее для решения, нежели уравнения Лапласа. По этой причине большинство гидродинамических задач решают на основе уравнения Лапласа, хотя некоторые свойства потока могут быть описаны только на основе теории Лагранжа. Обе теории давно известны, но до настоящего времени в большинстве учебников по гидродинамике рассматривается преимущественно стационарное состояние, т. е. уравнения Лапласа. Нестационарное состояние и некоторые характерные его свойства изучены далеко не в той степени, в какой они того, вероятно, заслуживают. [c.148]

Конечное перемещение элементов жидкости (меченых частиц) называют дрейфом его профиль определяется решением уравнения Лагранжа при соответствующих граничных условиях Это решение можно найти для произвольного случая при известных линиях тока только путем трудоемкого численного интегрирования по времени вдоль линий тока. [c.150]

Для консервативной системы с учетом выражения (151) уравнение Лагранжа примет вид [c.103]

При больших значениях штрафного коэффициента 7 > 1 в точке минимума Ху (X) функции Ф (х, X) в соответствии с (IV, 57) вьшолняется ф (x.i, (А.)) о (исходя из предположения ограниченности первых производных функций / и фг). Таким образом, минимизация функции Фу (х, X) при фиксированном значении X с последующим его изменением по второй из формул (IV, 58) представляет собой итерационную процедуру решения системы приближенных уравнений необходимых условий оптимальности (уравнения Лагранжа) [c.121]

Введем функцию Лагранжа Ь = К- и, тогда уравнения Лагранжа [c.385]

В теории колебаний широко применяют уравнение Лагранжа, которое является наиболее общей формой дифференциальных уравнений движения. Данное уравнение основывается на принципе наименьшего действия, согласно которому при колебаниях системы разность средней кинетической энергии и средней потенциальной энергии достигает наименьшего значения на той траектории, по которой в действительности будет происходить движение системы от одного положения к другому. [c.101]

Полученное выражение в рассматриваемом случае является уравнением Лагранжа. [c.103]

Для механических систем с несколькими степенями свободы уравнение Лагранжа (15 ) запишем в виде [c.115]

Следовательно, первое уравнение из системы уравнений Лагранжа [c.117]

Воспользуемся уравнением Лагранжа [c.408]

Первый шаг состоит в вариационной формулировке задачи. Этого можно добиться, используя уравнение Лагранжа—Эйлера [c.598]

Аналогичные вариационные расчеты (по Телегину) могут быть использованы для того, чтобы показать, что уравнения, предсказываемые формализмом сетей, эквивалентны уравнениям классической динамики (уравнения Лагранжа и геодезические уравнения) в случае, когда допускается аккумулирование энергии [12]. Такое аккумулирование энергии может моделироваться путем введения положительных конденсаторов и индуктивностей [3, 5], которые ведут к принципу устойчивости, аналогичному принципу Ле-Шателье [4, 12]. [c.443]

Легко видеть, что система (15а — 15в) является дискретным аналогом уравнений Лагранжа — Эйлера. Система (15а — 15в) является разностной системой уравнений. Зная значение переменных % , и , можно при помощи уравнений (15а — 15в) подсчитать значения и т. д. Правда, необходимо отметить, что для определения М приходится постоянно решать систему линейных алгебраических уравнений. [c.31]

Уравнения Лагранжа — Эйлера, определяющие искомые функции, будут в данном случае иметь вид [c.37]

Рассмотрим малые колебания такого физического маятника под воздействием потока пара, т.е.считаем угол малым. Тогда давление струило можно принять постоянным. Система имеет одну степень свободы, и уравнение Лагранжа 2-го рода для обобщенной координаты будет иметь вид. [c.31]

Составляем уравнение Лагранжа, 2-го рода ) [c.31]

Уравнения Лагранжа для рассматриваемой системы имеют рид [c.163]

Три симметричные матрицы 0, , Нкь нельзя, в общем случае привести к диагональному виду одним невырожденным преобразованием, поэтому для неоднородной системы уравнения Лагранжа в нормальных координатах не распадаются, а принимают вид [c.164]

Уравнение Лагранжа для х, записанное на основании (25) при условии (26), имеет вид [c.107]

Уравнения Лагранжа позволяют оценить и практическую применимость указанных матриц. [c.15]

Принцип Гамильтона налагает ограничение только на начальное и конечное положения точки, изображающей систему. Начальные и конечные обобщенные скорости могут быть произвольными. Из элементарной механики известно, что движение частицы определяется ее начальными положением и скоростью. Однако фактически принцип Гамильтона позволяет однозначно определить динамическую траекторию системы. Поскольку уравнения движения (уравнения Лагранжа) имеют второй порядок по времени, то для их решения надо задать два условия. Эти условия не обязательно должны быть начальными данными. В задаче о наикратчайшем расстоянии между двумя точками на плоскости (х, у) соответствующие уравнения Эйлера — Лагранжа дают у ах + Ь ( = + Р). Решение можно сделать единственным, задавая либо у (0) и у (0), либо у (0) и у х1). [c.14]

В динамике уравнения (1.6) называются уравнениями Лагранжа. Ими удобно пользоваться для получения соответст-вуюш,их уравнений движения, выражающих закон F = та. При этом задача полностью формализуется, и вся трудность сводится к тому, чтобы получить правильное выражение для кинетической энергии системы. [c.15]

Уравнение Лагранжа имеет вид [c.15]

Используя уравнения (1.14) и проводя ряд длинных вычислений, получаем выражение для Г, а следовательно, и для L (= Г). Теперь можем записать уравнения Лагранжа. Остается, однако, неисследованной интересная проблема устойчивости. Мы рассмотрим ее в задаче 1.8. [c.17]

Уравнения Лагранжа являются лучшим средством для исследования многих задач, возникающих в классической механике. При подробном рассмотрении уравнений обнаруживается инте- [c.17]

Подставляя в уравнение Лагранжа (152) в лражения для кинетической и потенциальной энергий из выражений (154) и (155), получаем основное дифференциальное уравнение свободных колебаний [c.103]

Модель планарной сети, в которой используются элементы сосредоточенных параметров, связанные правилами Кирхгофа, использована для представления римановой метрики химических многообразий энергии. Входные токи сети соответствуют контравариант-ным компонентам тангенциальных векторов в направлениях координат многообразия в данной точке (например, скоростям реакции), тогда как сопряженные напряжения соответствуют кова-риантным компонентам (например, сродствам). Теорема Телегина и введение линейных сопротивлений, являюишхся постоянными во всем дифференциальном интервале, ведут к типичному риманову элементу расстояния неравенство Шварца превращается в параметр, определяющий оптимальный динамический коэффициент трансформации энергии, а колебания в переходах между двумя состояниями в химическом многообразии могут быть введены с помощью дополнительных элементов — конденсаторов и индуктивностей. Топологические и метрические характеристики сети приводят к уравнениям Лагранжа, геодезическим уравнениям, а условия устойчивости эквивалентны обобщенному принципу Ле-Шателье. Показано, что конструирование сети эквивалентно вложению п-мерного (неортогонального) многообразия в (ортогональную) систему координат больщей размерности с размерностью с1 = п п + + 1)/2. В качестве примера приведена биологическая задача, связанная с совместным транспортом и реакцией. [c.431]

Уравнения, используемые в этих целях, основаны на интерполяционных формулах, выраженных через конечные разности. В работе Милна [778] дана формула Лагранжа для нескольких интервалов. Формулы для высших производных приведены, например, в Справочнике Центра координационных исследований по математическим наукам [779]. В данном приложении для наглядности будет использовано уравнение Лагранжа для трех точек с неравными интервалами. [c.564]

Стохастическое моделирование движения частиц 1федполагает решение уравнений Лагранжа, в которых влияние турбулентных пульсаций газа учитывается с помощью методов Монте-Карло с использованием генераторов псевдослучайных чисел. В результате получается набор траекторий движения отдельных частиц, после осреднения которых соответствующим образом можно определить те или иные характеристики потока (более подробно см. в 3.3.6). Данная методика требует больших вычислительных затрат, поскольку для получения статистически значимых результатов необходимо рассчитать траектории большого количества частиц (как правило, не менее 100 000), при этом каждая траектория также складывается из большого числа элементарных перемещений (шагов). В силу этих причин стохастическое моделирование получило раз- [c.164]

В настоящем сообщении рассмотрен вопрос о законности применения и практическом использовании в качестве коэффициентов влияния двух разных матриц. Нами использованы два метода метод уравнений Лагранжа с неисключенными связями [6—8] и метод перехода от независимых координат к зависимым, частично использованный Голдом и др. [9]. [c.14]

В этом случае система уравнений (30а, 306) превращается в обычные уравнения Лагранжа — Эйлера вариационного исчисления. При помощи принципа лгаксимума в Физико-химическом институте им. Л. Я. Карпова [23] было подсчитано оптимальное распределение температур в реакторе для получения окиси этилена. [c.38]

И дHlдt = —дЫдг. Если Ь не зависит явно от времени, то имеют смысл только уравнения (1.18). Они называются уравнениями Гамильтона и, как мы видим, представляют собой 2М уравнений первого порядка в противоположность уравнениям Лагранжа, которые являются N уравнениями второго порядка. [c.18]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология