Дифференциальные уравнения квантовой механики

Хотелось бы думать, и некоторые действительно думают, что волновая механика дает в основном решение всех теоретических проблем химии и физики. Однако в действительности это не так. Независимо от того, как далеко может зайти квантовая механика в этом направлении, всегда возникает практический барьер. Обычно можно написать дифференциальное уравнение для какого-либо частного случая, но результирующее дифференциальное уравнение редко разрешимо без применения приближенных методов. Дело в том, что существует очень мало квантовомеханических задач, которые можно решить без какого-либо приближения, и водородоподобный атом — это одна из них. Сам по себе этот факт подчеркивает важность проблемы атома водорода. К тому же в этой проблеме есть много такого, что будет использовано в дальнейших главах. [c.58]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [c.68]

Свойства атомных объектов в квантовой механике описываются с помощью вспомогательной величины — волновой функции клп вектора состояния ). Волновая функция, описывающая состояние движения одной частицы, является, вообще говоря, комплексной однозначной и непрерывной функцией радиуса-вектора г и времени t. Волновая функция чр(г, t) удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению, которое и определяет характер движения частицы. Это уравнение носит название уравнения Шредингера. Оио играет в квантовой механике такую же роль, как уравнения Ньютона в классической механике. [c.15]

Дифференциальные уравнения квантовой механики 71 [c.71]

Дифференциальные уравнения квантовой механика 75 [c.75]

Дифференциальные уравнения квантовой механики 83 [c.83]

Дифференциальные уравнения квантовой механики 85 [c.85]

Обе книги могут быть полезными для преподавания предметов Математика и Физика , так как выделяют те разделы этих предметов, которые важны для химиков. Так, кроме дифференциального и интегрального исчисления химику, активно использующему физические методы в своей работе, необходимы разделы линейной алгебры, теории групп и интегральных преобразований. Для решения обратных задач методов особое значение имеют вычислительные методы. С точки зрения преподавания физики важно уделить внимание вращательному движению, магнитным явлениям и, конечно, квантовой механике, ее приближенным методам решения уравнения Шредингера, особенно методу теории возмущений. Некоторые задачи физического практикума также могут ориентироваться на дальнейшее использование в практике физических методов исследования в химии. [c.264]

Дифференциальные уравнения квантовой механики 91 [c.91]

Поскольку (П1.1) — дифференциальное уравнение первого порядка относительно времени, его решение будет вполне определенным, если задать функцию в начальный момент времени и указать для нее граничные условия. Как задавать эти характеристики, будет сказано далее, так как они вытекают из физической интерпретации . Уравнение Шредингера является фундаментальным уравнением квантовой механики, поэтому исследованию его будет посвящена отдельная глава. [c.51]

Координаты X, у я г при переходе к уравнениям квантовой механики остаются неизменными, но если в классическом уравнении встречаются компоненты импульса р (равного mv), их заменяют дифференциальными операторами [c.35]

Переход от классических уравнений к уравнениям квантовой механики соверщается при помощи введения дифференциальных операторов (т. е. операторов, содержащих среди предписываемых ими действий и дифференцирование), что приводит обязательно к дифференциальным уравнениям, имеющим бесчисленное множество решений. [c.38]

Законы движения микрочастиц в квантовой механике выражаются уравнением Шредингера. Это дифференциальное уравнение в частных производных. Для одной микрочастицы оно может быть записано в виде [c.219]

Описание состояния части][ц>1 (или системы частиц) в квантовой механике выполняется с помощью волновой функции Ф. Стационарные, т. е. не изменяющиеся во времени, состояния (состояния с постоянной энергией) описываются координатной функцией В оптике волновая функция находится как решение дифференциального уравнения волны. Аналогично в квантовой механике существует дифференциальное уравнение для волн де Бройля, ш которого находят Ф или. [c.11]

ХУ-29. Простой гармонический осциллятор описывается в квантовой механике дифференциальным уравнением [c.161]

Важнейшее значение принципа соответствия заключается в том, что он устанавливает связь между математикой, т е миром абстракций, и реальным физическим миром Математика есть плод деятельности человеческого мозга В ней используется масса понятий (комплексные числа, операторы, матрицы и т д), не имеющих отображений в окружающем нас мире Оказывается, однако, что различные разделы постоянно заимствуются нз математики и переносятся в физику и тем самым связываются с окружающим миром Так, аппарат обыкновенных дифференциальных уравнений является фундаментом классической механики, уравнения в частных производных применяются в волновой механике, матрицы (таблицы чисел или функций) широко используются в теории строения и спектров молекул, полимеров, кристаллов, операторы играют важнейшую роль в теории электромагнитных явлений и в квантовой механике, геометрия Римана составляет математическую основу общей теории отно- [c.103]

Здесь использованы такие же обозначения, как и в случае жесткого ротатора. С учетом (3.885) видно, что функция R(r), являющаяся решением уравнения (3.876), должна зависеть от квантового числа /. Заглянув в любой учебник по квантовой механике, читатель сможет убедиться, что решение уравнения (3.876) аналогично решению дифференциального уравнения для гармонического осциллятора (см. разд. 3.3.3). Так же как и в случае уравнения (3.57), окончательное решение отыскивается в виде произведения приближенного решения и степенного ряда. Требование квадратичной интегрируемости волновой функции (т. е. возможности ее нормировки) приводит к введению еще одного целочисленного (положительного) квантового числа [аналогично уравнению (3.73)]. В качестве окончательного решения уравнения для радиальной части волновой функции получается функция Яп,1(г) (см. табл. 3.1 и 3.3), [c.38]

В основе нерелятивистской квантовой механики, а следовательно и методов квантовой химии органических соединений, лежит уравнение Шредингера., Это уравнение — частный случай дифференциальных уравнений в частных производных, которые применяются как математические модели для описания и изучения различных физических процессов 193, с. 29—301. Изучение этой модели сводится к решению соответствующего дифференциального уравнения, при отвечающих данному процессу условиях, а это, в свою очередь, позволяет делать выводы о характере процесса. Однако при подборе или выборе дифференциального уравнения приходится делать упрощающие допущения (например, при выводе уравнения, описывающего колебания струны, пренебрегать ее собственной массой, приравнивать угол отклонения струны синусу угла отклонения и т. п.), и поэтому вопрос о точности описания какого-либо процесса при помощи избранного уравнения определяется сравнением результатов, полученных при решении последнего, с экспериментальными данными. Надо добавить, что различные процессы могут быть описаны одним [c.73]

Авторы стремились сделать книгу доступной для читателя,, не обладающего специальной подготовкой по теоретической физике и математике, предполагая лишь подготовку в объеме обычной программы химических высших учебных заведений. Поэтому книга содержит изложение общих основ классической и квантовой механики, а также главы, посвященные дифференциальным уравнениям и теории групп, и ряд приложений математического характера. Все же им не удалось решить эту задачу полностью — некоторые разделы книги требуют большей предварительной подготовки (например параграфы,, посвященные теории оптической активности). Иногда изложение несколько поверхностно (в главе, посвященной статистической механике). [c.5]

Понятие резонанса в значительной степени родилось из такой же неправильной формулировки задачи. Меня всегда удивляло, как люди, знающие или делающие вид, что они знают квантовую механику, могут говорить о том, что существует, например, обменная энергия. Что такое энергия данной атомной системы с математической точки зрения Это — собственное значение параметра некоторого дифференциального уравнения, которое — вы можете прочесть об этом в. любом учебнике математики — зависит от пограничных условий и коэффициентов дифференциального уравнения. [c.135]

За. Введение. Классическая механика предполагает возможность точного определения как положения, так и скорости или импульса движущейся частицы. Однако в последние годы стало очевидным, что точка зрения классической механики представляет собой приближение, которое оправдывается при применении к системам сравнительно большой протяженности, но является совершенно неудовлетворительным для описания поведения частиц атомных размеров. Это обусловило появление новой механики, которой пользуются в настоящее время для рассмотрения свойств электронов и атомных ядер. В этой новой механике точное положение движущегося тела, как, например, электрона, движущегося по орбите вокруг ядра атома, заменяется рассмотрением функции, которая определяет вероятность нахождения его в определенном положении. Так как эти функции вероятности удовлетворяют дифференциальным уравнениям, которые аналогичны уравнениям, описывающим изменение амплитуды волны, то новая атомная механика получила название волновой механики. Однако некоторые авторы считают, что эта аналогия может привести к неверным заключениям, и поэтому в общем случае применяется термин квантовая механика. В дальнейшем изложении будет показано, что новый подход к изучению поведения небольших частиц дает удовлетворительное объяснение ряду квантовых постулатов, которыми ранее пользовались для интерпретации свойств атомов или молекул более или менее эмпирически. Квантовая механика имеет много достижений, но для цели, поставленной в этой книге, мы ограничимся лишь теми из них, которые представляют непосредственный интерес для химика, не требуя при этом обстоятельного знания математического аппарата для своего восприятия. Даже при наличии этих ограничений станет очевидным, что квантовая механика внесла большой вклад в изучение атомов и молекул, которые нельзя исследовать методами классической механики. [c.28]

Следует отметить, что введение спиновых переменных не является вовсе обязательным и его можно просто рассматривать как удобный формальный прием. В квантовой механике состояния описываются решениями уравнений на собственные функции и значения вида (1.1.1). Хотя в отдельных случаях соответствующие операторы могут быть представлены в виде дифференциальных операторов, действующих на функции некоторых переменных, в более общей формулировке квантовая механика имеет дело только с символическими выражениями, содержащими операторы и объекты, на которые эти операторы действуют, при этом существенны только операторные соотношения вида (1.2.20), которые не зависят от конкретно используемого языка или представления . Читатель, который хотел бы получить более наглядное представление о спине, может рассматривать s как значение спиновой проекции 5z, а также может мысленно представить себе спиновые функции [c.24]

Уравнение Шредингера является основой всей квантовой механики. Однако решение этого уравнения связано с некоторыми трудностями. Как видно, уравнение Шредингера представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение, т. е. нахождение такой функции г)), которая в данном случае описывает движение электрона в атоме (молекуле), возможно только в простейших случаях. Примером таких простейших систем является атом водорода (один электрон движется в поле одного протона), водородоподобные ионы (He" " и т. п.) и ион (электрон движется в поле двух протонов). В остальных случаях, вследствие необходимости учета взаимодействия всех частиц системы, уравнение Шредингера принимает настолько сложный вид, что его решение невозможно даже с помощью современной мощной вычислительной техники. Поэтому в квантовомеханических расчетах, как правило, прибегают к различным упрощениям, в результате чего получают уравнения, математическое решение которых уже возможно. Таким образом, создаются приближенные квантовомеханические теории строения атомов и молекул. Характер этих теорий и границы их применения зависят от характера допущенных упрощений. [c.79]

К счастью, мы увидим, что в квантовой механике встречаются только дифференциальные уравнения второго порядка, имеющие специальный вид [c.29]

Если в системе имеется более одной независимой переменной, то обычно получается дифференциальное уравнение, содержащее частные производные. В квантовой механике мы будем часто встречаться с линейными дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных если имеются две независимые переменные, эти уравнения имеют общий вид [c.31]

На основании проведенного обсуждения у читателя может создаться впечатление, что из-за огромного разнообразия видов решения дифференциальные уравнения в частных производных не могут дать нам много сведений об изучаемых системах. Однако в действительности это не так. При практическом применении дифференциальных уравнений в частных производных мы почти всегда заранее располагаем некоторыми сведениями о решении. Так, например, при рассмотрении колеблющихся тел мы знаем, что некоторые участки жестко закреплены или что некоторые участки не испытывают натяжения. В квантовой механике мы знаем, что решения должны быть хорошими . Эти условия, которые мы называем граничными условиями, обычно достаточны для того, чтобы резко ограничить возможные решения, так что решения дают нам весьма полное описание возможного поведения систем. [c.32]

Описанные выше осциллирующее и в.зрывное поведения являются характерными особенностями решений дифференциальных уравнений квантовой механики. Мы увидим в гл. 5, что квантование энергии является следствием того, что взрывные решения неприемлемы, и для большинства систем, представляющих интерес для химии, требуется асимптотическое поведение на больших расстояниях. [c.30]

Дифференциальные уратеная квантовой механики 93 а дифференцируя это уравнение р раз, имеем [c.93]

В 1926 г. Эрвин Шрёдингер (1887-1961) предложил описывать движение микрочастиц при помощи выведенного им волнового уравнения. Нас не столько интересует математический вид уравнения Шрёдингера, сколько способ нахождения его рещений и извлечения из них необходимой информации. Поняв, как поступают при решении уравнения Шрёдингера, можно, даже не проводя самого решения, составить представление о причинах квантования и о смысле квантовых чисел. В данном разделе мы попытаемся объяснить общий метод решения дифференциальных уравнений движения, с которыми приходится встречаться в квантовой механике. Этот метод будет пояснен путем рассмотрения более простой аналогии-уравнения колебаний струны. [c.360]

Некоторые сведения о строении атомов. Атомная система, состоящая из положительно заряженного ядра и отрицательно заряженной оболочки, устойчива лишь в состоянии движения. Движение электронов в электростатическом поле ядра и оболочки описывается в квантовой механике функцией или так называемой волновой функцией. Последняя в случае устойчивого атома зависит только ot пространственных координат, например х, у, г, и может быть найдена в вИде так называемой собственной функции путем рещения некоторого дифференциального уравнения в частных производных (независимого от времени уравнения Шредингера). Обычно существует большое число таких решений, н каладой собственной функции соответствует определенное собственное значение энергии Однако бывает и так, чto одному собственному значению соответствует несколько различных собственных функций. Этот случай называется вырождением. Собственное значение энергии и соответствующая собственная функция каждого электрона определяют его состояние (орбиту) в атоме. Наглядная интерпретация собственных функций, по Борну, заключается в следующем квадрат значения х, у, г), умноженный на элемент объема = йхйуйг в точке х, у, г, т. е. представляет собой критерий ве- [c.47]

Вычисление вероятности нахождения электрона в данной точке и его энергии — сложная математическая проблема. Оно предполагает решение дифференциального уравнения — уравнения Шредин-гера, в котором используются в качестве параметров масса и потенциальная энергия электрона. Решение уравнения Шредингера дает функцию координат электрона х, у, г ж времени известную как волновая функция электрона г з = / (ж, у, г, 1). Эта волновая функция полностью описывает электрон. Ее называют орбиталью. Единственной физической интерпретацией волновой функции является, как это будет видно из дальнейшего, соответствие квадрата модуля этой функции вероятности нахождения электрона в точке с координатами X. у, 2 в момент времени 1. Функции г — решения уравнения Шредингера — необходимо дополнить некоторыми математическими условиями, чтобы они имели физический смысл. Из этого следует, что уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие этим условиям только для некоторых значений полной энергии электрона Е. Это — разрешенные или собственные значения энергии (соответствующие волновые функции называются собственными волновыми функциями). Фактически эти разрешенные значения энергии показывают, что в квантовой механике принцип квантования уровней энергии вытекает из математической формы уравнений, а не вводится произвольно, как в квантовой теории. [c.26]

Третий пример заимствован из квантовой механики. Здесь роль нелокальных процессов не слишком велика и не слишком мала (де-брой-левская длина волны сопоставима с размерами атома). Процесс описывается хдафференциальным уравнением (уравнением Шредингера), но коэффициенты в этом уравнении (энергетические уровни) находятся из решения краевой задачи, т.е. заранее не заданы. Аналогичное описание проблемы получено и в данной книге шютность распределения вероятностей концентрации удовлетворяет дифференциальному уравнению, в котором коэффициенты (точнее функции) также находятся из решения краевой задачи. Указанная аналогия не случайна, так как в обоих случаях масштаб статистической связи (де-бройлевская длина волны или [c.262]

Взятые вместе опыты по фотоэлектрическому эффекту и атомным спектрам, принцип неопределенности и обнаружение волновой природы электронов продемонстрировали полную непригодность классической механики для описания поведения электронов. Тогда был предложен совершенно новый способ рассмотрения таких частиц — квантовая, или волновая механика. В 1927 г. Шрёдингер постулировал уравнение (так называемое волновое уравнение), полностью описывающ,ее систему, для которой оно составлено. Уравнение Шредингера представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных от ЗЛ/ переменных, которыми являются три координаты, определяющие положение каждой из N частиц, составляющих систему. Полная энергия системы в этом уравнении, так же как и ее потенциальная энергия, появляется как функция от электрических зарядов и координат положения. Само волновое уравнение и его решения (волновые функции системы) имеют такую же математическую форму, как уравнения и функции, описывающие обычное волновое движение. Возможные решения уравнения несут в себе всю мыслимую информацию о системе. Эти решения интерпретируются, как функции распределения вероятности. Уравнение Шредингера применимо к любой системе частиц, но здесь рассматривается только его использование для электронов. [c.21]

Рещеиие подобного дифференциального уравнения второго порядка для молекул карбонилов металлов возможно лищь после его упрощения. Чем выще рассчитанное численное значение в данной точке, тем больше вероятность нахождения в ней электрона. Орбиталью электрона в квантовой механике называют ту [c.11]

Книга Козмана начинается с изложения основных математических нонятий и методов, используемых в квантовой механике. Сюда относятся элементы алгебры операторов, решение дифференциальных уравнений, разложение функций в ряды и т. д. Далее подробно излагается классическая теория колебаний, аналогии с которой широко используются в квантовой химии. Вторая часть книги посвящена рассмотрению основных принципов квантовой механики, сформулированных в виде законов и следствий, и применению уравнения Шредингера к большому числу конкретных задач (осциллятор, частицы в ящиках, прохождение через потенциальные барьеры, атом водорода и т. д.). Детально изложен вопрос об угловых моментах. В третьей части рассматриваются многоэлектронные атомы. После всей этой большой подготовительной работы автор переходит к рассмотрению молекул. При этом детально рассматриваются сравнительно простые молекулы, вопросы теории направленных валентностей, расчет молекулы бензола и т. д. Автор не ставит своей целью изложение всего огромного материала, который имеется в настоящее время по расчету различных молекул, а подробно рассматривает простейшие примеры, что хорошо подготовляет читателя для самостоятельной работы и понимания оригинальной текущей литературы. [c.6]

Поскольку некоторые законы квантовой механики выражаются в виде дифференциальных уравнений, нужно иметь ясное представление о том, что такое дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение это просто уравнение, в которое входят производные от функции. Если функция зависит только от одной независимой переменной, дифференциальное уравнение называется обжнозенным дифференциальным уравнением. Так, например, [c.27]