Траектория фазовая движения

Рис. 10. Фазовая траектория поперечного движения позитрона

Любое изменение состояния динамической системы можно представить как движение изображающей точки по одной из фазовых траекторий. Скорость этого движения, называемая фазовой скоростью, является п-мерным вектором с компонентами /1, /2,. ... /п. Ее численное значение определяется выражением [c.24]

Центр — это изолированное положение равновесия, окруженное континуумом вложенных друг в друга замкнутых фазовых траекторий (рис. 1-4) каждая из этих траекторий соответствует периодическому движению. [c.32]

Кроме неустановившихся процессов и устойчивых стационарных состояний в динамических системах может осуществляться периодическое изменение величин, характеризующих состояние системы, т. е. незатухающие колебания этих величин. На фазовой плоскости периодическому процессу соответствует движение изображающей точки по замкнутой траектории. [c.133]

Возвращаясь к основным уравнениям (1.505), представим как обыкновенные координаты в многомерном пространстве, а сами уравнения (1.505)—как определяющие семейства кривых (траекторий). По аналогии со статистической физикой назовем это пространство фазовым пространством частицы, g —фазовыми координатами, а уравнения (1.505) — уравнениями движения фазовых координат. Подмножество координат х и назовем внешними и внутренними фазовыми координатами. Теперь точка, зафиксированная в фазовом пространстве, представляет в общем случае мгновенное состояние частицы. Через каждую такую точку мы можем (решив (1.505)) провести траекторию, которая показывает, как это состояние меняется во времени. Если взять все частицы в технологической системе и зафиксировать их состояние в некоторый момент, то определится группа точек в фазовом пространстве. Представим группу частиц достаточно большой, такой, что можно считать их состояние в любой момент времени как континуум, заполняющий часть фазового пространства и текущий со скоростью поля, определяемой функциями Wi. Введем плотность этого потока, протекающего через фазовое пространство, как групповую плотность/( , t) частиц в фазовом пространстве, так что [c.132]

В силу сохранения потока в фазовом пространстве и обратимости уравнений движения во времени вероятности перехода для заданной траектории удовлетворяют соотношению нормировки [c.40]

Микросостояние системы удобно изображать точкой в 2/-мерном евклидовом пространстве, построив 21 осей и откладывая на них значения координат и импульсов. Это пространство называется фазовым пространством, а точка, изображающая микросостояние, —фазовой точкой. С течением времени состояние системы будет изменяться, и фазовая точка будет описывать в фазовом пространстве линию, которая называется фазовой траекторией. Движение частиц происходит в обычном пространстве, а фазовое пространство применяется для графического изображения микросостояния системы. [c.286]

Последний рисунок построен следующим образом. Начиная от произвольной точки А в области IV, линии проводятся по двум направляющим функциям (как показано значком угол со стрелкой ) и заканчиваются в точках В и О, которые тоже произвольны, но должны находиться на удобном расстоянии и в соответствующих областях / и III. Точка С замыкает параллелограмм АВСО. Она располагается в еще незанятой области II. Если направление движения ограничено каждой областью, то ни одна траектория, возникающая внутри параллелограмма, не должна выходить за его пределы. Таким образом, АВСО будет областью практической устойчивости, если ее очертания находятся в практически допустимой области значений фазовых переменных и х . [c.105]

Первые задачи, которые были решены с помощью численного расчета молекулярной динамики в рамках классических уравнений движения, относятся к бимолекулярным процессам столкновения атома с двухатомной молекулой [213, 443, 444]. Изучение подобных задач представляет наиболее развитую область метода классических траекторий. Это связано, во-первых, с относительно небольшой размерностью фазового пространства, что позволяет проводить численное исследование таких реакций на ЭВМ, и, во-вторых, с исследованием этих процессов в молекулярных пучках, требующих теоретической интерпретации. [c.57]

Численный расчет классических траекторий движения многоатомной молекулы даже для современных быстродействующих ЭВМ является трудоемкой задачей. Поэтому необходимы эффективные численные процедуры выбора распадных траекторий. В случае моделирования распада многоатомной молекулы возникает проблема выбора начальных условий для расчета траекторий, ибо случайная выборка импульсов и координат в фазовом пространстве большой размерности, достаточная для дальнейшего статистического усреднения, неосуществима, так как пришлось бы рассчитывать слишком большое количество траекторий. Для преодоления этой трудности необходимо так задавать начальные условия, чтобы выбранные траектории большей частью приводили к распаду молекулы и равномерно заполняли фазовый объем, соответствующий распаду молекулы по заданному каналу. [c.71]

В работах [43, 46, 48] предложен следующий метод эффективного задания начальных условий. Начало каждой траектории выбирается в окрестности точки фазового пространства, соответствующей активированному комплексу, и дважды рассчитываются траектории с этими начальными условиями. Один раз уравнения движения рассчитываются с прямым, а второй раз - с обратным временем. "Склеивая" эти траектории, в дальнейшем обозначаемые г и мы получаем траекторию движения возбуж- [c.71]

В зависимости от вида этих членов положение равновесия может быть сложным фокусом (устойчивым или неустойчивым) или центром. Вид фазовой плоскости в окрестности сложного фокуса таков же, как на рис. 8.14, б. Центр - это изолированное положение равновесия, окруженное континуумом вложенных друг в друга замкнутых фазовых траекторий (рис. 8.14, г) каждая из этих траекторий соответствует периодическому движению. [c.234]

Если стационарное состояние находится вдали от положения термодинамического равновесия, количественные критерии направления движения системы к такому состоянию в общем случае получить обычно не удается. Направление эволюции определяется здесь характером изменения потенциальной функции Р (аналогично изменению величин термодинамических потенциалов в термодинамике равновесных процессов), конечное значение которой в точке фазового пространства, описывающего систему, не зависит от начальных условий и пути перехода в эту точку. Это означает, что переход системы к конечному стационарному состоянию эквивалентен движению вдоль траекторий, нормальных к эквипотенциальным поверхностям функции Р-. [c.354]

Следовательно, в этом случае фазовой траекторией является парабола (рис. VI.2). Пусть одновременно с точой 1 нас интересует движение трех [c.182]

При изменении механического состояния системы фазовая точка движется в фазовом пространстве, описывая фазовую траекторию. В случае одномерного движения частицы фазовая траектория ее является кривой на плоскости. Примером может служить линейный гармонический осциллятор, фазовая траектория которого представляет эллипс (рис. II. 1). Уравнение этой траектории р /2т q / 2 /пт )=, где т — масса — энергия осциллятора ю = 2nv—циклическая частота v — частота полуоси эллипса a= 2mS ) и Ь = 2S пиа ) площадь, ограниченная эллипсом, составляет S = nab = /v. [c.75]

В любой момент времени все свойства ансамбля классических систем передает совокупность точек Г-пространства, каждая из которых определяет импульсы и координаты всех молекул соответствующей ей системы. Движение молекул в системе приводит к движению каждой изображающей точки по своей фазовой траектории. Анализ этого движения позволяет сделать определенные выводы о свойствах интересующей нас функции р (р, д). Математическая сторона проблемы — это рассмотрение движения совокупности точек в фазовом пространстве. При М оо это переходит в задачу о движении некоторой фазовой жидкости с плотностью, пропорциональной р (р, д) и зависящей от координат избранной точки в Г-пространстве. [c.194]

Таким образом, при движении совокупности точек по фазовым траекториям в Г-пространстве уравнение сплошности приобретает более простой вид [c.195]

Изменение спина со сколь-нибудь заметной вероятностью (обозначим эту вероятность через Р) происходит лишь в малой части фазового объема, в окрестности линии пересечения потенциальных поверхностей (термов). Как правило, эта вероятность много меньше единицы. Иными словами, при пересечении этой линии фазовой траекторией дальнейшее движение с наибольшей вероятностью происходит на потенциальной поверхности с тем же спином. Отметим, что сохранение спина может соответствовать и переходу с одной потенциальной поверхности на другую. В таком случае при прохождении фазовой траектории через линию пересечения потенциальных поверхностей мала вероятность остаться на той же самой поверхности. [c.175]

Фазовая траектория поперечного движения позитро- [c.211]

И 1 фазовой плоскости неременных Ху и Хо область конечных состояний изобра-жао.тс прямой линией ,/ 2, проходящей через начало координат (рис. VИ-I1, а). Траектории процесса для управления постоянного знака имеют вид парабол, обра-Н1,епных выпуклостью вниз для положительного управления (рпс. VИ-l 1, б) и вверх ---для отрицательного (рис. VИ-ll, в). Направление движения по траекториям показано на рнс. VИ-ll стрелками. [c.347]

Из уравнения (VII,4116) при этом следует, что при и > О величииа Ху возрастает. Таким образом, движение по траектории, описываемой уравнением (VII,430), происходит в панравлении увеличе-1П1Я значения х , т. е. в направлении, указанном стрелкой иа рис. VI1-19 для кривой 1. Следовательно, в конечное состояние (VII,414) при движении под действием управления (VII,429) процесс может перейти только при движении по левой ветви параболы, определяемой иа фазовой плоскости уравнением (VII,430). [c.389]

Стемы во времени описывается движением изображающей точки по траектории в копфигурап,ионном или фазовом пространстве. Координаты и импульсы находятся из сисгеш.1 классических уравнений [c.57]

После этого для всех частиц решаются численно уравнения движения с помощью скоростного алгоритма Верле с таким щагом по времени т, который позволяет сохранять энергию системы постоянной без дополшггельной коррек-щщ. В процессе решения через Ю.т запоминаются координаты и скорости 10 частиц растворителя. Для макромолекулы в тех же точках фазовой траектории запоминаются координаты центра масс. Полученная траектория протяженностью IU. 1 обрабатывается согласно уравнению Эйнштейна для диффузии [c.105]

Обычное уравнение Больцмана описывает эволюцию функции распределения в фазовом пространстве одной частицы. Уравнение содержит два члена потоковый, описывающий движение молекул по траекториям в фазовом пространстве и представленный дифференциальным оператором, и столкновительный, описывающий изменения скорости, обусловленные столкновениями последний представлен интегральным оператором. Уравнение Больцмана, следовательно, интегродифференциапьное уравнение, причем столкновительный член является нелинейным. В этой нелинейности главное препятствие при построении методов его решения, тем более что интеграл столкновений тесно связан с законом межмолекулярного взаимодействия, относительно которого имеется весьма неполная и зачастую противоречивая информация. [c.43]

На основе предложенной в [114] схемы метода Монте-Карло были проведены расчеты для реакции рекомбинации Н-ьН-ьН Нг-нНв интервале температур 2000—5000 К. При этих температурах длина волны де Бройля атомов водорода, участвующих в реакции, мала, и их движение можно описывать уравнениями классической механики. Поверхность потенциальной энергии взаимодействия трех атомов водорода достаточно хорошо исследо-аана [372], и, следовательно, в данном случае не было необходимости в процедуре восстановления реакционного потенциала. Исходя из данных работы [159], / о ===2,5 - 10 см. Начальные значения координат и импульсов атомов генерировались в соответствии с формулами (3.66) — (3.71), а затем осуществлялся переход в систему центра масс. Численное интегрирование системы уравнений Гамильтона проводилось на ЭВМ БЭСМ-6 методом Кутта-Мерсона 4-го порядка [324]. Контроль вычислений осуществлялся по сохранению полной энергии и каждой из компонент момента импульса (гамильтониан сохранялся с точностью 0,1%, компоненты момента импульса — 0,01%). Эффективность предложенной схемы метода Монте-Карло составила 20%, т.е. только одна траектория из пяти оказывалась интересной для рассмотрения, эффективность схемы работы [306] (расчет траекторий в фазовом пространстве взаимодействующих атомов) составляла около 11%. [c.102]

Траектория движения молекулы в фазовом пространстве рассчитывалась до достижения критической поверхности, соответствующей диссоциации трехатомной молекулы на атом и двухатомную молекулу. Затем из начальной точки фазового пространства, соответствующей равновесной конфигурации трехатомной молекулы, рассчитывалась траектория с обратным временем также до достижения критической поверхности. Путем склеивания отрезков траекторий с прямым и обратным временем рассчитывалось максимальное время спонтанного распада молекулы (т) [43]. Условием достижения критической поверхности считалось выполнение соотношения а <0,001, что соответствует расстоянию между центром масс двухатомной молнкулы и атома в потенциале СО2 — 4,5А, в потенциале СБг - 5,5Л. [c.129]

Для дальнейшего полезно представить себе многомерное пространство с 2/ координатами, которое можно называть фазовым 1,1-пространством . Точка в таком фазовом пространстве будет представлять состояние частицы в момент времени I, а изменекие этого состояния во времени однозначно изобразится, в силу детерминированности законов классической механики, некоторой траекторией движения такой изображающей точки. К примеру, на плоскости можно представить фазовое пространство для / = 1 и соответствующую траекторию, изображающую функцию времени [c.178]

При описании свойств вещества методами классической физики необходимо рассматривать множество состояний системы, отличающихся импульсами и координатами отдельных молекул. Их называют микросостояниями. Одному значению термодинамических параметров системы отвечает множество различных микро-состояний. Для операций с подобными множествами удобно использовать понятие о фазовом или Г-пространстве. Если в системе содержится N молекул, каждая из которых состоит из m атомов, то расположение молекул в пространстве определяется 3Nm координатами ядер. В классической механике движение молекул описывается 3Nm компонентами скоростей или импульсов. Совокупность значений 6Nm динамических переменных в каждый момент времени точно определяет микросостояние системы и называется фазой, а соответствующее этим величинам 6jVm-MepHoe пространство, осями которого служат 3Nm импульсов и 3Nm координат, называют фазовым пространством или Г-прострапством. В этом пространстве каждое микросостояние системы в любой момент времени однозначно определяется положением одной точки, а изменение во времени импульсов и координат всех молекул передается некоторой линией, которую называют фазовой траекторией. В молекулярной динамике фазовая траектория описывает последовательную смену микросостояпий системы, ее молекулярную эволюцию. [c.188]

Однако для решения задач термодинамики необходимо ответить на другой вопрос — установить, как в среднем будет вести себя система, построенная из N молекул, независимо от численных значений координат и импульсов отдельных молекул. Опыт экспериментальной физики говорит о том, что все макроскопические системы ведут себя в среднем одинаково, если они рассматриваются за достаточно большой промежуток времени. Это означает, что для определения макроскопических свойств системы последовательность смены микросостояиий частиц по уравнениям движения может вообще ие иметь значения. Тогда не нужно решать очень сложную математическую задачу — интегрировать уравнения движения для большого числа частиц. Все это приводит к новой физической концепции при вычислении средних значений макроскопических величин Р р, д). Оно проводится не путем решения задачи механики (усреднение по траектории), а непосредственным усреднением Р р, q) по всему Г-пространству, независимо от порядка расположения точек па фазовой траектории. Такой подход лежит в основе статистической физики. [c.191]

Постулат о равновесной функции распределения. Равновесная функция распределения в фазовом пространстве является одновременно и наиболее пероятной. Она осуществляется наибольшим числом способов, совместимым с заданными условиями определения ансамбля. Практическое использование этого постулата см. 3. Важнейшим общим свойством плотности вероятности в фазовом пространстве р(р, д) оказалась ее полная нечувствительность для равновесных систем к изменениям импульсов и координат отдельных молекул при движении системы по фазовой траектории. Общие свойства функции р(р, д) оказались достаточно простыми, что и позволило разработать статистический метод определения термодинамических величин для равновесных систем. Основное внимание мы уделим каноническому ансамблю Гиббса и канонической функции распределения р(р,д). Для нахождения вида функции р(р, д) необходимо использовать теорему Лиувилля, описывающую системы, подчиняющиеся уравнениям классической механики. [c.194]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология