Лиувилль

Это означает, что плотность вероятности р (р, д) является постоянной величиной вдоль фазовых траекторий и не зависит от непрерывно изменяющихся значений импульсов и координат р и д,,, если последние изменяются в соответствии с уравнениями движения. Если в фазовом пространстве выделить некоторый объем ДГ, заключающий некоторое число фазовых точек, то через определенный период времени эти точки займут новые положения. Однако по теореме Лиувилля этим точкам будет отвечать объем ДГ, равный прежней величине ДГ. Поэтому говорят о сохранении фазового объема при движении систем, принадлежащих ансамблю Гиббса, хотя прн таком движении всегда происходит деформация объема ДГ. Сказанное совсем не означает, что плотность вероятности — величина постоянная [c.195]

Как известно, принцип микроскопической обратимости непосредственно вытекает из симметрии уравнения Шредингера (или классического уравнения Лиувилля) по отношению к обращению времени. Этот принцип связывает сечения прямой и обратной реакций. Принцип детального равновесия устанавливает статистическое соотношение между константами скорости прямого и обратного процессов в равновесии. Принцип детального равновесия для коэффициентов скоростей прямой и обратной реакций может быть получен как следствие равенства скоростей прямой и обратной реакций в равновесии и из соотношений микроскопической обратимости с использованием равновесного максвелл-больцмановского распределения по скоростям и внутренней энергии. [c.16]

В кинетической теории газов уравнение Лиувилля (1.80), записанное относительно плотности вероятности р (х , х , 1) в бш-мерном фазовом пространстве (Зпг обобщенных координат и Зт обобщенных импульсов), имеет вид [c.68]

В этом разделе мы введем понятие фазового пространства частиц и составим уравнение Лиувилля для плотности группы частиц в фазовом пространстве. Определим состояние частицы в технологической системе величинами ряда координат 2, , 1 и введем вектор состояния [c.131]

Уравнение (1.510) является формальным аналогом уравнения Лиувилля [106, 107]. Может представлять некоторый интерес указание, насколько уравнение (1.510) отличается от классического уравнения Лиувилля. Во-первых, в классической статистической механике частицы представляют собой простые воображаемые образы изучаемой механической системы. В механике не требуется устанавливать механизм возникновения или разрушения этих образов, и мы поэтому можем записать [c.133]

Последнее уравнение является классическим уравнением Лиувилля [106, 107] с функцией f (определяемой как плотность вероятности). Стремление дивергенции поля скоростей к нулю для классических механических систем означает, что часть фазового пространства, занятого данной группой частиц не меняет объем (хотя в общем случае меняет форму). [c.133]

Что касается уравнения Паули, то оно может быть получено двумя способами 1) на основе общих положений теории вероятностей, 2) на основе уравнения Лиувилля. [c.39]

Дл в ячейку Дл, а вторая — убыль плотности вероятности, связанную с переходами из Ал в Ал. В обеих частях уравнения временной аргумент функции р (л, г) имеет одинаковое значение. Это означает, что р (л, г + Аг) в момент времени г + Дг(Дг- время, много большее времени одного перехода) определяется распределением вероятностей р (л, Г) в момент времени Г и не зависит от значений р (л, г ) при t < г. Такая эволюция системы называется марковской. В отличие от уравнения Лиувилля уравнение (2.10) [c.39]

Объем фазового элемента в координатах пространства и импульсов, в котором исследуется распределение, остается постоянным. Это следует из теоремы Лиувилля, согласно которой изменение во времени объема элемента фазового пространства dQ dt=Q, а следовательно, и сами элементы остаются постоянными (они перемещаются практически, как несжимаемая жидкость). [c.293]

Учитывая уравнения (VI. 18) и (VI. 19), приходим к теореме Лиувилля (1838) [c.182]

Рис. VI.2. К теореме Лиувилля (Фазовая площадь для падающих материальных точек остается постоянной).

Согласно теореме Лиувилля все области фазового пространства, через которые может двигаться точка, изображающая развивающуюся систему, характеризуются одинаковой плотностью. Это положение, вытекающее, как было показано, из законов механики, следует дополнить для формулировки основных принципов статистической механики [c.183]

Можно доказать теорему, согласно которой плотность фазовых точек сохраняет постоянство, т. е. точки движутся подобно частицам несжимаемой жидкости отсюда следует, что как бы ни изменялось состояние ансамбля изолированных систем, объем, занимаемый фазовыми точками совокупности систем, остается неизменным (теория Лиувилля). [c.301]

Для обоснования формы зависимости р(р,д) важное значение имеет теорема Лиувилля, которая, основываясь на уравнениях движения Гамильтона, устанавливает, что величина р должна зависеть только от интегралов движения, т. е. от величин, сохраняющих свое значение при изменении механического состояния изолированной системы. Из интегралов [c.85]

Таким образом, согласно теореме Лиувилля для термодинамически равновесной системы функция р (р, д) удовлетворяет условию [c.195]

Из вывода ясно, что теорему Лиувилля можно доказать именно для (р, q) пространства. Этим и вызван выбор координат р и q для определения фазы в молекулярной динамике. Если ограничиться энергией как важнейшим интегралом движения, то согласно теореме Лиувилля плотность вероятности р(р, q) можно искать в виде функции [c.196]

Теорема Лиувилля справедлива как для равновесных, так и для неравновесных ансамблей. Если ансамбль находится в статистическом [c.53]

Форма функциональной зависимости р (р, д), определяемая выражением (И 1.39), находится в согласии с выводами, которые следуют из теоремы Лиувилля для равновесного ансамбля. Однако только из теоремы Лиувилля выражение (П1.39) выведено быть не может в нем содержатся дополнительные допущения, к обсуждению которых мы и переходим. [c.55]

Из теоремы Лиувилля следует, что для равновесных систем при заданных N и V плотность распределения вероятностей зависит только от интегралов движения. При записи выражения (П1.39) допускается зависимость р (и соответственно р) только от одного интеграла движения — энергии. Выделение этого интеграла движения обусловливается следующими соображениями. Величина 1п р, как следует из сказанного в 1 настоящей глав 1, аддитивна для совокупности двух невзаимодействующих систем р = 1Рг и 1п р = 1п + 1л рц, где Р1 и и Ра — нормированные плотности распределения вероятностей соответственно для первой и второй систем. Обоснованно считать величину р зависящей именно от аддитивных интегралов движения. Из семи названных ранее аддитивных интегралов движения шесть характеризуют движение системы как целого, и при изучении внутреннего состояния системы их можно не рассматривать. Таким образом, остается зависимость р от энергии — важнейшей механической характеристики системы, и при заданных N и V получаем выражения (П1.39) и (П1.40). [c.55]

В соответствии с теоремой Лиувилля о неизменности фазового объема d k d x = d k d x ) при движении системы вдоль фазовых траекторий или учитывая сохранение числа состояний, можем записать df/dt = 0. [c.134]

Это обычное гидродинамическое уравнение непрерывности р = — di v pv, записанное для произвольного числа измерений. Хорошо знакомое уравнение Лиувилля в статистической механике является частным случаем, в котором поток является несжимаемым, т. е. дивергенция обращается в нуль и тогда множитель в уравнении (14-5.2) можно записать перед д/ди. . Однако Лиувилль не вводил такого ограничения в своей работе. [c.361]

Уравнение Лиувилля имеет вид [c.364]

Макроскопическое поведение газа обычно описывается с помощью функций распределения низшего порядка. Для достаточно разреженной смеси газов состояние системы можно характеризовать функциями распределения для каждой к-ж компоненты газовой смеси pj (Xj, x j., t), заданными в фазовых пространствах отдельных молекул компонентов. Функция (х , t) определяет, что вероятное число молекул к-то компонента в элементе объема dXj около точки Xj, имеющих импульсы в элементе dx j. около равно ру. (Xj, Xpt, t) dx dxpj,. Уравнение для р. (х , х , , t) получается из уравнения Лиувилля (1.81) интегрированием его по координатам и импульсам (т—1) молекулы [c.69]

Третий подход основан на теоретическом анализе псевдоожиженных систем методами кинетической теории газов [55, 56]. Конечной целью, к которой стремятся исследователи, развивая это направление, является получение шестимерной плотности распределения частиц по скоростям и координатам, полностью описывающей поведение каждой частицы в слое (см. 1.5). Знание этой функции дает возможность описать осредненпые пульсационные движения в рассматриваемой ФХС. В работе [55] предложено уравнение Больцмана для твердой фазы, дифференциальная часть которого включает диффузионный член. Это уравнение содержит много экспериментально определяемых величин, что затрудняет его практическое использование. Кроме того, на уровне кинетической задачи не рассматривается взаимодействие между твердой и газовой фазами. В работе [56 ] приводится кинетическое уравнение для твердой фазы п eвдooжижeннoгoJ слоя, полученное из уравнений Лиувилля и Гамильтона. При этом физические эффекты в системе в целом рассматриваются в масштабах изменения функции распределения частиц газовой фазы. Однако не учтено, что масштабы изменения функции распределения частиц газовой фазы значительно меньше масштабов изменения функции распределения частиц твердой фазы. Для устранения этой некорректности модели требуется осреднить функцию распределения частиц газовой фазы по объему, являющемуся элементарным для твердой фазы. При этом необходимо рассматривать уже не одно, а два кинетических уравнения — для газа и твердой фазы. Кроме того, корректное использование уравнения Лиувилля для вывода уравнения, описывающего движение твердой фазы, является затруднительным из-за неконсервативности поля сил, в котором движется отдельная твердая частица. [c.161]

Эргоидная гипотеза совместно с теоремой Лиувилля приводит к основным положениям статистической механики, которые иногда принимают постулативно. Во-первых, это — постулат равной вероятности для изолированной системы все достижимые области фазового пространства имеют равные априорные вероятности. [c.184]

Первое из этих утверждений вытекает из того, что изображающая точка, движущаяся в согласии с теоремой Лиувилля в среде с постоянной плотностью р, в конце концов в согласии с эргоидной гипотезой проходит каждую точку в достижимых областях фазового пространства. Иначе говоря, для ансамбля, представлющего изолированную термодинамическую систему, т. е. ансамбля микроканонического, изображающие точки распределены равномерно по достижимому фазовому пространству. [c.184]

Постулат о равновесной функции распределения. Равновесная функция распределения в фазовом пространстве является одновременно и наиболее пероятной. Она осуществляется наибольшим числом способов, совместимым с заданными условиями определения ансамбля. Практическое использование этого постулата см. 3. Важнейшим общим свойством плотности вероятности в фазовом пространстве р(р, д) оказалась ее полная нечувствительность для равновесных систем к изменениям импульсов и координат отдельных молекул при движении системы по фазовой траектории. Общие свойства функции р(р, д) оказались достаточно простыми, что и позволило разработать статистический метод определения термодинамических величин для равновесных систем. Основное внимание мы уделим каноническому ансамблю Гиббса и канонической функции распределения р(р,д). Для нахождения вида функции р(р, д) необходимо использовать теорему Лиувилля, описывающую системы, подчиняющиеся уравнениям классической механики. [c.194]

Теорема Лиувилля — результат приложения законов механики к описанию движения роя изображающих точек ансамбля изолированных систем или систем, находящихся в постоянном внешнем поле. Для каждой системы ансамбля число частиц N, энергия Е и все внешние параметры а ,. .., а, фиксированы. Обычно мы будем рассматривать только потенциал, создаваемый стенками сосуда, и учитывать только один внешний параметр — объем сосуда V. Таким образом, для системы ансамбля заданы параметры Е, N, V. При строгом условии Н (p,q) = Е = onst фазовые точки, изображающие состояния систем, движутся по гиперповерхности постоянной энергии, наблюдается распределение этих точек по поверхности. Чтобы иметь дело с объемным распределением, смягчим условие постоянства энергии и запишем его в виде [c.49]

Вывод уравнений (III.27), (III.30), (Ш-З ), выражающих сущность теоремы Лиувилля, основан на учете канонических уравнений движения при описании поведения ансамбля изолированных систем. Полученные соотнощения справедливы только для пространства обобщенных координат и импульсов (канонических переменных). Для пространства qi и qi аналогичные общие соотношения, в частности принцип сохранения фазового объема, выведены бытб не могут. Этим объясняется то предпочтение, которое в статистической физике оказывают каноническим переменным. [c.53]

Поскольку плотность фазовых точек связана с плотностью распределения вероятностей соотношением (III.8) Р = pL, где L = onst), то теорема Лиувилля определяет изменение р для произвольно выбранной системы ансамбля. Вместо уравнений (111.27), (111.28) и (III.30) можем записать [c.53]

Изменение распределения концентрации внутри капли с течением времени. Диффузионный поток вещества через поверхность капли. 1Иетодом разделения переменных с последующим определением собственных значений в задаче Штурма — Лиувилля с привлечением квадратичной аппроксимации по функции с ( , ) по методу Ритца можно построить решение краевой задачи (4.6) — (4.10) в виде [c.301]

Строгий вывод гидродинамических уравнений сохранения из кинетической теории ), основанный на уравнении Лиувилля и ряде дополнительных предположений, здесь не приводится из-за его сложности. Мы получим эти уравнения проще, воспользовавшись физическим выводом уравнения Больцмана ), определив далее гид-родинад1ические переменные и введя уравнения для изменения некоторого свойства молекул. Более нодробное рассмотрение вопроса можно найти в работах [ ] и [ ]. [c.539]

Рассмотрев в предыдущих двух параграфах линейные стохасти ческие дифференциальные уравнения, вернемся теперь к общему случаю (14.1.1). Его, так же как и обычные дифференциальные уравнения, можно преобразовать в линейное уравнение, если перейти к связанному с ним уравнению Лиувилля. Для того чтобы сделать это, мы временно возьмем одну реализацию y t) процесса Y t) и рассмотрим нестохастическое уравнение [c.361]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология