Операции симметрии тождественная операция

Решение. Отразим все возможные произведения операций симметрии ЫНз в форме таблицы произведений. Для этого в первой строке и в первом столбце запишем все символы элементов симметрии молекулы ЫНз. На пересечении строки и столбца поместим символ соответствующего произведения элемента симметрии, стоящего в первом столбце, на элемент симметрии, стоящий в первой строке. Элементы симметрии, стоящие во второй строке и во втором столбце, не отличаются от элементов, стоящих соответственно в первой строке и в первом столбце, так как они представляют произведение на элемент тождественности Е. Для формирования третьего столбца сначала мысленно произведем операцию, стоящую в первом столбце, затем произведем операцию, стоящую в первой строке. Например, СзО , = о , . Из таблицы видно, что все произведения двух элементов есть элемент симметрии. [c.20]

Для описания симметрии молекул используются пять типов элементов симметрии центр симметрии, ось собственного вращения, зеркальная плоскость, ось несобственного вращения и тождественный элемент. Каждый из этих элементов имеет связанную с ним операцию симметрии. Элементы и операции симметрии даны в табл. 13.1. После применения операции симметрии к молекуле ее форма может измениться. Но если это не так, то принято говорить, что молекула обладает операцией симметрии и соответствующим элементом симметрии. [c.407]

Это первое необычное свойство теории циклобутадиена. Второе касается электронной симметрии состояния, которому метод ВС приписывает столь значительную стабилизацию она тоже оказывается необычной. Свойства симметрии электронной волновой функции молекулы описываются при помощи операций симметрии, приводящих к тождественному расположению ядер. Для квадратной плоской модели циклобутадиена типичными операциями симметрии являются отражение в плоскости молекулы, вращение на угол тг/2 вокруг оси четвертого порядка и инверсия относительно центра симметрии. Согласно основной теореме квантовой механики, распределение электронной плотности, описанное какой-либо волновой функцией, не должно изменяться нод действием операции симметрии. Сама волновая функция, квадрат которой дает электронную плотность, гораздо менее ограничена в своих свойствах симметрии и может, например, менять знак в результате операции симметрии и все же сохранять обязательную инвариантность квадрата. Допустимые типы поведения под действием всех операций образуют [c.37]

В случае молекулярных систем квантовые числа п, I и гп1 теряют свой смысл поэтому классификация этих новых состояний основана на симметрии молекулы и на значении суммарного спина. В разд. 2.2.4 для описания электронных состояний молекулярных систем уже применялись некоторые из символов, определяющих операции симметрии, однако само понятие операции симметрии до сих пор не было объяснено. Этот термин относится к изменению ориентации молекулы по отношению к некоторой фиксированной системе координат при обмене местами эквивалентных атомов молекулы таким образом, чтобы общая структура молекулы не изменилась. Операции симметрии характеризуются особыми геометрическими элементами, которые называются элементами симметрии. Симметрия молекулы определяется следующими элементами симметрии 1) ось вращения 2) зеркальная плоскость 3) центр симметрии 4) зеркально-поворотная ось 5) тождественное преобразование. [c.51]

При некоторых операциях симметрии отдельные атомы могут, вообще говоря, не менять своего положения, т. е. переходят сами в себя. Например, в молекуле ЫНз (рис. 28) атом N переходит сам в себя при всех операциях симметрии. В связи с этим, наряду с симметрией молекулы, можно говорить о собственной симметрии атомов, причем под собственной симметрией подразумевается совокупность операций симметрии, переводящих данный атом сам в себя. В случае аммиака собственная симметрия атома N совпадает с симметрией молекулы. В общем случае собственная симметрия представляет собой подгруппу группы симметрии молекулы. Например, в случае молекулы воды (рис. 24) атомы Н переходят сами в себя при операции отражения в плоскости а (и, конечно, при тождественной операции е). Совокуп- [c.146]

Напомним, что группа G порядка g имеет g независимых элементов. В случае групп симметрии этими элементами являются операции симметрии. Каждой операции симметрии соответствует некоторое линейное преобразование координат, которое задается матрицей его коэффициентов. Символическому произведению двух операций симметрии соответствует произведение матриц линейных преобразований, описывающих эти операции симметрии. Если речь идет о тождественной операции е, то ей отвечает единичная матрица, обратной операции соответствует обратная матрица. В целом совокупность матриц линейных преобразований, соответствующих элементам данной группы симметрии, сама образует группу, по своим свойствам эквивалентную исходной группе симметрии. Группа, состоящая из матриц л ,- линейных преобразований, однозначно соответствующих элементам некоторой группы, называется представлением этой группы. Число переменных, линейные преобразования которых образуют представление, определяет ранг матриц представления и носит название размерности представления, а совокупность указанных переменных — базиса представления. [c.189]

Кроме элементов Симметрии и операций симметрии, приведенных в табл. 2, следует указать на тождественное преобразование Е. Тождественное преобразование равносильно тому, что система из равновесной конфигурации ядер атомов вообще не подвергалась преобразованию. [c.19]

Кроме элементов симметрии и операций симметрии, приведенных в табл. 2, следует указать на тождественное преобразование Е. Тождественное преобразование равносильно тому, что система из равно- [c.17]

Каждая точечная группа симметрии, содержащая оси вращения выше второго порядка, имеет вырожденные представления, которые, согласно Малликену, обозначают Е (следует отличать от обозначения тождественного преобразования) — для двукратно вырожденного представления Т — для трехкратно вырожденного представления. Примеры таких групп даны в серии табл. 6.2. В этих группах операции симметрии сведены в классы операций, имеющих 196 [c.196]

Ранее было сказано, что для молекулы воды существуют четыре операции симметрии, однако пока были упомянуты только три. Четвертая операция важна, хотя и тривиальна. Это тождественное преобразование, т. е. операция, оставляющая молекулу неподвижной. Ее обозначают буквой Е (или иногда /). На первый взгляд эта операция может показаться излишней. Необходимость ее введения обусловлена тем, что на основе теории групп можно построить алгебру операций симметрии молекулы воды. Чтобы выразить тот факт, что последовательное выполнение двух операций поворота вокруг оси Сг оставляет молекулу в исходном положении, нужна тождественная операция. Алгебраически это можно представить в впде [c.137]

Из равенства (7.17) видно, что так как —элемент группы, то каждая группа должна содержать тождественную операцию Е. Группы симметрии молекул называют точечными группами, потому что все элементы симметрии, которыми может обладать молекула, т. е. центр симметрии, оси симметрии, зеркально-поворотные оси или плоскости симметрии, имеют по крайней мере одну общую точку пересечения. Важный класс групп, которые не обладают этим свойством, составляют группы, описывающие симметрию кристаллов. Их называют пространственными груп-пами. Они будут кратко рассмотрены в гл. 10. [c.143]

Источником недоразумений в теории групп симметрии является то, что одни и те же символы могут иметь разный смысл. Так, символ С2 может обозначать ось второго порядка (элемент), двукратное вращение (операция) или группу, содержащую элементы Е и Сг. Далее будет видно, что символ Е может означать как тождественную операцию, так и двукратно вырожденный тип симметрии. Эти символы установлены международным соглашением и, возможно, в некоторых отношениях не идеальны. [c.144]

В таблицу характеров группы К(3) входят только характеры тождественного преобразования н операции вращения. Все произвольные вращения относительно любой оси имеют одинаковые характеры это означает, что группа содержит бесконечное число вращений С(ф). В таблице характеров указано только одно такое вращение. В таблицу характеров группы 0(3) должны входить еще характеры других операций. В конечных пространственных группах симметрии (или точечных группах, как их принято называть) имеется пять типов операций симметрии (см. гл. 13). Двумя из них являются тождественное преобразование Е и операция вращения (иначе — собственного вращения) С( ). Кроме того, имеются еще инверсия, обозначаемая символом I, отражение в плоскости а, а также несобственное вращение 8 ф). Несобственное вращение включает обычное вращение, которое сопровождается отражением в плоскости, перпендикулярной оси вращения. (Другое определение несобственного вращения — вращение, сопровождаемое инверсией.) Число элементов симметрии а и 5 ф) также бесконечно. Инверсия эквивалентна несобственному вращению в том частном случае, когда угол вращения равен 180°. Отражение эквивалентно несобственному вращению, когда угол вращения равен нулю. Следовательно, двух типов операций достаточно для того, чтобы породить остальные операции рассматриваемой группы. [c.60]

Существуют различные комбинации этих операций. К числу операций симметрии следует также отнести такую, при которой предмет остается в покое эту операцию называют тождественным преобразованием и обозначают . [c.110]

В вышеприведенной группе операций симметрии мы имеем три различных типа операций тождественная операция Е, операции отражения А, В, С и операции вращения ), р. Мы говорим, что каждая из этих систем элементов образует класс, т. е. что Е сам по себе образует класс Ау В и С образуют другой класс, а В я Р — третий. Обычно уже геометрические соображения дают возможность различить классы. Точным критерием принадлежности двух элементов Я и Q к одному и тому же классу служит соотношение Х РХ — Р или Q, где X — любой элемент группы, [c.236]

Набор основных перестановок можно получить следующим образом. Выбираем одну из 48 перестановок все перестановки, которые являются результатом преобразования выбранной перестановки при операциях симметрии точечной группы молекулы, должны происходить с равными скоростями называются они основной набор перестановок . Далее, последовательно применяя к первоначальному набору операторы Сг, а , можно получить три другие эквивалентные серии. После чего выбирают одну из 48 перестановок, еще не полученную в вышеописанном процессе, и повторяют эту процедуру до тех пор, пока не будут учтены все 48 перестановок. В действительности, кроме набора перестановок, приводящих к тождественным структурам, имеется четыре набора основных перестановок, и они могут быть записаны следующим [c.188]

Если ось вращения перпендикулярна плоскости листа и проходит посередине между атомами азота, то после поворота молекулы на 180° получится тождественная конфигурация. Тогда поворот на угол 0 = 180° является операцией симметрии для этой молекулы, а ось, вокруг которой производится вращение, — элементом симметрии. Молекула 1, таким образом, имеет поворотную ось симметрии 36079-порядка, т. е. второго, потому что поворот на 180° нужно произвести дважды, чтобы все атомы вернулись в исходные положения . [c.611]

Операция вращения вокруг оси С, приводит к получению той же молекулы, что и исходная, поэтому ее называют операцией тождественности, а ось — тождественной осью и обозначают I. Эта операция симметрии равноценна двум последовательным операциям вращения вокруг оси С или трем операциям вращения вокруг оси Сз, т. е. Сг-Сг = / и Сз-Сд-Сз = I. [c.613]

Как видим, каждому преобразованию симметрии системы можно поставить в соответствие некоторую матрицу-оператор. При этом обратному преобразованию симметрии соответствует обратная матрица, последовательному применению двух операций симметрии — произведение соответствующих матриц, а тождественному преобразованию — единичная матрица. Таким образом, геометрические свойства симметрии оказываются полностью переведенными на язык матриц-операторов, который является существенным при использовании теории групп в квантовомеханических исследованиях. [c.53]

Рассматриваемые здесь группы являются группами операций симметрии молекул. Операциями симметрии называют такие действия, производимые над молекулой (инверсия, вращение, отражение), которые совмещают молекулу саму с собой. Так, например, операцией симметрии является вращение молекулы двуокиси азота на 180" вокруг биссектрисы угла ONO. Вращение вокруг той же оси на 90° не является операцией симметрии. В интересующих нас приложениях мы не встречаемся с трансляциями и поэтому рассматриваем только точечные, а не пространственные группы симметрии. Пространственные группы существенны в теории кристаллов. Точечные группы включают лишь такие операции симметрии, которые оставляют по крайней мере одну точку молекулы инвариантной (фиксированной). В число операций группы симметрии обязательно входит тождественное преобразование Е. Эта операция оставляет функцию неизхмененной, так что мы можем записать [c.242]

Над каждой молекулой можно произвести ряд операций симметрии, преобразующих молекулу до состояния, не различимого с тем, которое было до преобразования. Полная совокупность таких операций симметрии представляет группу симметрии. Число операций симметрии в группе называют порядком группы. Группа операций, например а, Ь, с,. .., определяется как совокупность, удовлетворяющая условиям 1) произведение двух операций группы эквивалентно какой-либо операции этой же группы (аЬ = с) 2) система содержит тождественную операцию Е [аЕ = Еа — а) 3) для каждой операции имеется обратная операция, которая является операцией этой же группы (аа = = ) 4) произведение нескольких операций обладает свойством ассоциативности а (Ьс) = (аЬ) с. [c.18]

Выше мы изложили традиционные квантовохимические представления о гибридизации атомных орбиталей на традиционных примерах (СО2, НС СН, Н2С==СН2, СН4, ВРз и т. д.). Однако эти представления, которые по праву можно назвать классическими, в ряде случаев оказываются неприменимыми. Одним из таких случаев является молекула 1,б-дикарба-/сло-зо-гексаборана (рис. 36), где четырех валентных АО углерода недостаточно для построения пяти ортогональных ГАО. Однако при отказе от требования ортогональности, как было показано С. Г. Семеновым, удается построить линейно-зависимый набор неорто-гональных ЛМО, преобразующихся друг в друга при операциях симметрии Оц1- Эти 15 ЛМО (6 двухцентровых, локализованных на связях СН и ВН 8 трехцентровых, локализованных на связях СВг и одна четырехцентровая, тождественная канонической 1 2г-М0, охватывающей атомы бора) с электронными заселенностями 2, не могут быть переведены унитарным преобразованием в исходные 13 канонических МО (сравни с рассмотренным выше случаем молекулы метана). [c.216]

Это уравнение можно применять для состояний, характеризующихся полным угловым моментом J (где J = L + S), путем простой замены. / на I. Если электронов четное число и если J целочисленно, полное предсгавление в любой симметрии можно разложить на неприводимые представления точечной группы, как это мы сделали в предыдущем раз-геле. Одпако, если J имеет полуцелое значение (т.е. S нечетно), поворот tia 2л (что предс ав.тяет собой операцию тождественного преобразования не дает гождесдве1пюй величинь характера [c.84]

Равновесные конфигурации молекул принято относить к тем или иным точечным группам симметрии. При этом молекулу рассматривают как систему точечных атомов. Перемещения точек в системе, сохраняющие неизменными ее конфигурацию и свойства, называют операциями симметрии. Операции, оставляющие нетронутыми по крайней мере одну точку (центр тяжести), называются точечными. Для молекулярной системы точечными операциями являются операции отражения и вращения. Симметрию системы характеризуют следующие элементы а) плоскости симметрии, обозначаемые буквой а. Отражение в таких плоскостях не изменяет свойств системы операция отражения называется операцией а б) оси вращения или оси симметрии. При повороте вокруг такой оси на 360 /п получается конфигурация, не отличаемая от первоначальной. Здесь п— целое число, его называют порядком оси симметрии. Символ оси симметрии п-го порядка С так же обозначают и операцию вращения в) центр симметрии, обозначаемый символом г. При отражении в центре симметрии (инверсии) молекула, обладающая таким центром, преобразуется сама в себя (операция инверсии ) г) зеркально-поворотная ось п-го порядка, обозначаемая Молекула, имеющая такую ось, преобразуется сама в себя при повороте на угол 360°//г с последующим отражанием в плоскости, перпендикулярной оси. Зеркальноповоротная ось второго порядка эквивалентна центру симметрии (Зг = г) д) тождественный элемент симметрии, обозначаемый символом Е. Им обладают все молекулы. Соответствующая операция симметрии Е оставляет молекулу неизменной. Элемент тождества введен на основе чисто математических соображений. [c.47]

Молекулы могут обладать различными элементами симметрии (оси, плоскости, центры инверсии). Операцией симметрии молекулярной системы называют такое ее движение относительно соответствующего элемента симметрии, которое переводит молекулярную систему в новое положение, физически тождественное первоначальному. Возможны следующие операхши симметрии. [c.184]

Каждая молекула может бьггь охарактеризована присущими ее структуре операциями симметрии. Полный набор этих операций, включающий обязательно тождественную операцию Е, составляет группу. Например, для молекулы воды I группу симметрии образуют операции Е, (см. рис. 6.1) [c.186]

Элементы симметрии и соот-ветствуюпще операции симметрии молекулы аммиака 1) единичный элемент — тождественная операция 2) ось вращения — повороты j и С з 3) три плоскости симметрии А, В С — отражения в плоскостях сг , а у и ст (рис. 37). Операции симметрии а>дмиака образуют группу, поскольку 1) все элементы в таблице произве-де ний являются элементами группы [c.118]

Так, для реакции Дильса-Альдера орбитальные энергии ВЗМО и НВМО реагентов соотносятся, как показано на рис. 9.2.5. Группа точечной симметрии для объединенной системы (бутадиен + этилен) включает, кроме тождественной операции, отражение в плоскостиуг, так что это группа (рис. 9.2.6). На рис.9.2.5 указаны также типы симметрии орбиталей относительно операций этой группы. При сближении подсистем, как следует из теории возмущений, образуются две новые высшие занятые молекулярные орбитали всей [c.438]

Если в систему ядер, образующих М., входят тождественные, то среди всех конфигураций ядер будут и такие, к-рые обладают определенной пространств, симметрией. Потенц. пов-сти М. симметричны относительно операций симметрии, к-рые отвечают таким конфигурациям. По этой причине симметричные конфигурации ядер всегда отвечают экстремальным точкам на потенц. пов-стях (минимумам, максимумам, точкам перегиба). Если равновесная конфигура-их1я М. не обладает самой высокой симметрией, возможной для данной системы ядер, или вовсе несимметрична, то должна быть и эквивалентная ей равновесная конфигурация, получающаяся из исходной теми операщ1ями симметрии, к-рые допускают симметричные ядерные конфигурации данной М. (см. Симметрия молекул). [c.108]

Выше уже указывалось (разд. 3.5), что произвольный трехмерный физический объект может иметь операции симметрии следующих пяти типов тождественное преобразование Е собственное вращение Сп, зеркальное отражение а инверсия I несобственное вращение Для собственного и несобствейного вращений индекс п указывает порядок вращения, т. е. равен результату деления 2п на угол вращения. Все физические объекты остаются инвариантными при тождественном преобразовании Е. Объекты, обладающие какой-либо симметрией, оказываются неотличимыми от исходного состояния после действия операций симметрии других типов. Геометрические точки, прямые или плоские, относительно которых осуществляются операции симметрии, называются элементами симметрии. Например, ось, вокруг которой осуществляется вращение, плоскость, в ко- [c.266]

Рассмотрим несколько примеров. Молекула гране-бута диен а имеет четыре операции симметрии. Наличие тождественного преобразования тривиально. Мы уже упоминали о вращении на 180°, которое обозначается символом Сг. Как у любой плоской молекулы, отражение в плоскости молекулы является операцией симметрии. Оно обозначается символом Он, где индекс /г указывает, что отражение осуществляется в горизонтальной плоскости (перпендикулярной оси вращения, которая рассматривается как вертикальная ось). Эта операция не изменяет положения всех атомов молекулы. (Заметим, однако, что она приводит к изменению знаков всех базисных ря-функций.) Инверсия всех координат в точке начала отсчета, выбранной в центре молекулы, тоже является операцией симметрии. Эта операция приводит к такой перестановке индексов атомов, как операция Сг. (Она изменяет не только индексы, но и знаки базисных ря-функ-ций.) В данном конкретном случае система имеет по одному элементу симметрии (тождественное преобразование, ось, плоскость и точка), соответствующему каждой операций симметрии. Группа симметрии, состоящая из этих элементов, Е, С2, I, б , называется группой Сгй. Все элементы симметрии бутадиена пересекаются в точке инверсии. Все элементы симметрии- любого объекта должны пересекаться в некоторой точте поэтому п 9-странственные группы симметрии индивидуальных объектов часто называют точечными группами. Группы, симметрии, используемые для описания кристаллов и других систем, обладающих повторяющейся трансляционной симметрией, называются пространственными группами. Здесь мы сосредоточим внимание на точечных группах симметрии объектов молекулярного типа. [c.267]

Плоские и пространственные предметы иногда обладают свойствами, которые цринято называть геометрической правильностью или симметрией. Для уточнения этих свойств вводится понятие об операциях симметрии, применение которых переводит исходный предмет в физически тождественный ему предмет при этом его отдельные точки не обязательно должны возвращаться в исходное положение. Операцией симметрии может быть [c.110]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология