Пространственная группа конечная

В табл. 3 приведены все 230 пространственных групп симметрии в старой системе обозначений Шенфлиса, а также в новейшей системе Германа — Могена. Символы учитывают основные, но, конечно, не все имеющиеся элементы симметрии. Заглавная буква в начале символа обозначает тин решетки Бравэ. В международных таблицах для определения кристаллической структуры [17] приведены диаграммы, иллюстрирующие распределение элементов сим-. метрии по пространственным группам, координаты соответствующих положений и большое число других практически важных параметров. [c.30]

В табл. 1 приведены порядки различных групп (заметим, что пространственная группа конечна [108] JV — число элементарных ячеек в кристалле). [c.583]

Тип решетки определяется вполне однозначно и в случае метода порошка (конечно, при правильном индицировании рентгенограммы), так как эти погасания характерны для большой группы линий. Сложнее обстоит дело с погасаниями, которые связаны с присутствием плоскостей скользящего отражения и особенно винтовых осей, поскольку в этом случае анализируется только небольшая часть линий, к тому же с неблагоприятным фактором повторяемости. Возьмем в качестве примера пространственную группу Р 2 2. 2. . Координаты точек, относящихся к одной правильной системе X, у, 1/2 -X, у-, 1/2+2 1/2 + ,1/2 - у,2. Х 1/2 + у, 1/2 - 2 . Нетрудно видеть, что простые соотношения для получаются только для комбинаций индексов Л 00, ОАО,00 [c.184]

До сих пор главным образом обсуждались структуры конечных фигур, поэтому применялись точечные группы. Упрощенная сводка разнообразных симметрий была представлена на рис. 2-52 и в табл. 2-2. Точечная группа симметрии характеризуется отсутствием периодичности в любом направлении. Периодичность может быть введена с помощью трансляционной симметрии. Если присутствует периодичность, то для описания симметрии применяются пространственные группы. Здесь имеется небольшая неточность в терминологии. Даже трехмерная фигура может иметь точечную группу симметрии. В то же время так называемая размерность пространственной группы не определяется размерностью фигуры. Скорее она определяется собственной периодичностью. Ниже приводятся пространственные группы, в которых верхняя цифра относится к размерности фигуры, а нижняя к периодичности [c.359]

В таблицу характеров группы К(3) входят только характеры тождественного преобразования н операции вращения. Все произвольные вращения относительно любой оси имеют одинаковые характеры это означает, что группа содержит бесконечное число вращений С(ф). В таблице характеров указано только одно такое вращение. В таблицу характеров группы 0(3) должны входить еще характеры других операций. В конечных пространственных группах симметрии (или точечных группах, как их принято называть) имеется пять типов операций симметрии (см. гл. 13). Двумя из них являются тождественное преобразование Е и операция вращения (иначе — собственного вращения) С( ). Кроме того, имеются еще инверсия, обозначаемая символом I, отражение в плоскости а, а также несобственное вращение 8 ф). Несобственное вращение включает обычное вращение, которое сопровождается отражением в плоскости, перпендикулярной оси вращения. (Другое определение несобственного вращения — вращение, сопровождаемое инверсией.) Число элементов симметрии а и 5 ф) также бесконечно. Инверсия эквивалентна несобственному вращению в том частном случае, когда угол вращения равен 180°. Отражение эквивалентно несобственному вращению, когда угол вращения равен нулю. Следовательно, двух типов операций достаточно для того, чтобы породить остальные операции рассматриваемой группы. [c.60]

Маккей [24] обращает внимание еще на одно ограничение в системе из 230 пространственных групп. Система содержит только те спирали, которые совместимы с трехмерными решетками. Все другие спирали, конечные в одном или двух измерениях, исключаются. Среди них присутствует ряд важных вирусных структур с икосаэдрической симметрией. Кроме того, существуют очень маленькие крупинки золота, структура которых не имеет его обычной кубической гранецентрированной решетки. Они представляют собой скопления икосаэдров. Наиболее устойчивые конфигурации этих скоплений содержат 55 или 147 атомов золота. Но икосаэдрическая симметрия не рассмотрена в Международных таблицах, а кристаллы определены только в качестве бесконечных повторений. [c.438]

Вышеприведенные представления ожидают дальнейшего развития в будущем, главным образом путем перевода их на более количественный уровень описания разных структурных проблем Они отнюдь не умаляют большого значения 23(1 трехмерных пространственных групп и их широкую применимость. Как ожидается, эти представления в конечном счете помогут систематизировать и охарактеризовать те системы, с которыми трудно иметь дело из-за меняющейся степени их упорядоченности. [c.439]

Если взять в слое трансляцию, равную 4 , то отношение в трехслойной упаковке приведет нас к объемноцентрированной кубической решетке и к новой пространственной группе для плотнейших упаковок. Полная диагональ куба будет равна шести слоям. Для этого случая мы будем иметь четыре упаковки двойную кубическую, тройную гексагональную и две шестислойных. Симметрия последних трех упаковок, конечно, останется гексагональной, хотя элементарный ромбоэдр у них будет иметь форму куба. Однако двойная кубическая упаковка шарами двух цветов может сохранить [c.155]

При добавлении этих элементов к элементам симметрии конечных кристаллических многогранников Е. С. Федоров путем сложения всех возможных симметричных преобразований в структуре кристалла вывел 230 пространственных групп симметрии— 230 геометрических законов симметрии, к одному из которых принадлежит симметрия любого кристаллического вещества. [c.50]

Конечная пространственная группа NH [c.583]

До последнего времени основной причиной неспецифической сорбции считался ионный обмен. Как правило, полагали, что при исключении ионных групп из материала матрицы и введении пространственных групп мешающие Э( )фекты могут быть преодолены. Конечно, во многих случаях аффинные лиганды сами имеют ионогенные свойства и могут связывать, осуществляя ионный обмен. [c.94]

Число простейших упаковок, содержащих плотноупакованные плоскости или ряды, невелико, поэтому среди структур реальных веществ распространен изоморфизм-, многие кристаллические вещества принадлежат к одной и той же пространственной группе, имеют тот же базис н различаются лишь периодами решетки. Изоморфные вещества принадлежат к одному и тому же структурному типу. Это может встречаться среди веществ, обладающих химической связью различного типа. Определяет структурный тип, в конечном итоге, размерный фактор структуры и стехиометрический состав фазы. [c.105]

Структура кристалла — постройка бесконечная, элементы симметрии в таких системах в одной точке не пересекаются, кроме того, появляются такие элементы симметрии, которые невозможны в конечных фигурах. Дополнительно к известным нам элементам симметрии в структурах кристаллов могут быть трансляции, плоскости скользящего отражения и винтовые оси. Сложение элементов симметрии, возможных в пространственных решетках, было выполнено Е. С. Федоровым, в результате чего установлено 230 пространственных групп симметрии, к одной из которых принадлежит симметрия структуры любого кристалла. [c.36]

Если взять в слое трансляцию, равную Ы, то отношение в трехслойной упаковке приведет нас к объемноцентрированной кубической решетке и к новой пространственной группе для плотнейших упаковок. Полная диагональ куба будет равна шести слоям. Для этого случая мы будем иметь четыре упаковки двойную кубическую, тройную гексагональную и две шестислойных. Симметрия последних трех упаковок, конечно, останется гексагональной, хотя элементарный ромбоэдр у них будет иметь форму куба. Однако двойная кубическая упаковка с шарами двух цветов может сохранить кубическую симметрию при объемноцентрированной ячейке, т. е. будет принадлежать к еще одной новой пространственной группе. Процесс усложнения можно, очевидно, продолжить до бесконечности. [c.182]

Особенно часто читателю предлагается рассматривать структуру как систему вставленных друг в друга решеток. Действительно, поскольку в каждой пространственной группе имеется подгруппа переносов, которую символизирует решетка Бравэ, то всякую правильную систему точек можно (чисто формально) разбить на ряд трансляционных решеток. Так, например, поместив узел решетки в точку I (рис. 38), можно совместить все узлы решетки с одной четвертью точек правильной системы I. Затем можно ту же решетку начать строить с ближайшей точки, находящейся, например, над точкой, отмеченной на рис. 38 буквой I, — новая решетка перекроет еще Д точек и т. д. Вся правильная система точек . представится как совокупность четырех, как говорят, вставленных друг в друга решеток , система — двух вставленных решеток, система а — как одна решетка. Всю структуру с этой точки зрения следует рассматривать как систему п вставленных друг в друга решеток . Конечно, чисто формально это сделать можно. Иногда такое представление о структуре может оказаться даже удобным при некоторых расчетах в рентгеноструктурном анализе. [c.39]

Такую обратную решетку Г. С. Жданов предложил назвать / -телом . Название подчеркивает, во-первых, что в качестве веса узла берется значение соответствующего структурного фактора / во-вторых, что эта бесконечная совокупность узлов обладает симметрией конечной фигуры, т. е. принадлежит к точечной, а не к пространственной группе симметрии. [c.314]

Вывод пространственной группы покажем на характерном примере, в котором будем исходить из семейства плоскостей, скольжения, лежащих параллельно плоскости XI на расстоянии бц одна от другой (направление трансляций [001], величина трансляций Со/2) нормально к этому семейству расположим семейство винтовых осей второго порядка (величина трансляции Ьо1 2). Начало координат выберем в точке пересечения плоскости скольжения с винтовой осью (фиг. 13). Эти элементы симметрии обусловливают определенный характер повторения некоторой точки, охватывающего, конечно, все пространство. [c.30]

В противоположность прямым методам, часто используемым в структурном анализе, таким, как рентгеноструктурный и электронографический, при помощи метода спектроскопии комбинационного рассеяния изучают преимущественно динамику решетки. А так как правила отбора для оптических переходов в конечном счете зависят от симметрии молекул и кристаллов, то этот метод может оказаться весьма полезным при установлении структуры кристаллов. В общем случае точное установление пространственной группы и межатомных расстояний для исследуемого кристалла невозможно, однако данные спектроскопии КР позволяют исключить некоторые структуры, а также выбрать одну структуру из двух возможных. Все сказанное особенно справедливо при сочетании метода комбинационного рассеяния с рентгеноструктурным анализом, так как атом водорода имеет очень небольшое сечение рассеяния рентгеновских лучей. Во всех случаях комбинационное рассеяние является источником ценной информации о силах межмолекулярного и внутримолекулярного взаимодействий, атомных и молекулярных движениях, а также о свойствах, которые непосредственно связаны с такими характеристиками твердых веществ, как удельная теплоемкость, пластичность, термическое расширение и теплопроводность. [c.355]

Несмотря на простоту этих соотношений, проблема симметрии колебаний кристалла намного сложнее аналогичной проблемы для молекул, так как нормальных колебаний в этом случае значительно больше, а группами симметрии, использующимися при рассмотрении, являются уже не конечные группы, число которых на практике существенно ограничено ), а 230 пространственных групп. [c.101]

Иногда спектры ЯКР используют и для получения данных о таких геометрических параметрах частиц, как валентные углы и межъядерные расстояния. Конечно, эти данные не обладают высокой точностью, но могут служить прикидочными при изучении сложных структур кристаллов. Например, при изучении РВгзО в виде монокристалла были измерены зеемановские расщепления каждой линии ЯКР Вг в зависимости от ориентации кристалла, удалось определить его пространственную группу (Рпта)- [c.102]

Бесконечная цепь атомов углерода (рис. 8-5) имеет конечную толщину. На самом деле это трехмерная конструкция с периодичностью только в одном направлении. Таким образом, она имеет одномерную пространственную группу симметрии (С ) и подобна бесконечно длинному стержню. Стержень обладает особой осью, но не имеет особой плоскости. Все типы осей симметрии (ось трансляции, простая поворотная, зеркально-поворотная, винтовая) могут совпадать с осью стержня. Винтовая ось может быть не только осью второго порядка, как в случае лент, но и любого другого. Конечно, эти элементы симметрии, за исключением простой поворотной оси, могут характеризовать стержень, только если он на самом деле бесконечно вытянут. С точки зрения симметрии труба, винт и различные лучи в такой же степени являются стержнями, как и стебли растений, векторы или винтовые лестницы. Чтобы для их описания применять пространственные группы, необходимо допустить их бесконечные размеры. Реальные же предметы конечны, поэтому, изучая их симметрию, лучше рассматривать только некоторую их часть, оставляя их концы вне поля зрения и мысленно продолжая их до бесконечности. Часть лестницы, обладающей винтовой симметрией, изображена на рис. 8-13. Трудновообразимая винтовая лестница, представленная на рис. 8-14, кажется бесконечной. По этой причине к ней может быть применена пространственная группа симметрии. [c.371]

Поскольку к кубической сингонии принадлежит только одна упаковка — трехслойная. ..АВСАВС... или. ..кккк..., имеюпцая пространственную группу РтЗт, то не представляет труда разобраться в том, где и какие элементы симметрии будут проходить в пространстве, заполненном шарами по этому закону. Переходя же к гексагональным упаковкам, мы встречаемся с тем обстоятельством, что в каждую группу попадает бесконечное множество упаковок с различными периодами идентичности. Вопрос, следовательно,сводится к тому, чтобы найти, в каких слоях или между какими слоями располагаются дополнительные (к основному комплексу РЗ) элементы симметрии плоскости, перпендикулярные к главной оси, и центры симметрии. Производные двойные оси, конечно, легко могут быть найдены в результате сложения плоскостей симметрии. Обозначение плотнейших упаковок при помощи букв г я к позволяет без чертежа и модели находить эти дополнительные элементы симметрии. [c.154]

Дальнейший расчет всевозможных способов комбинации этах элементов симметрии — задача чисто математическая. Такой математический анализ был впервые проведен Хесселйм в 1830 г., который установил, что возможны 32 различных класса симметрии, известных под названием 32-точечных групп. Они представляют собой конечные в математическом смысле группы преобразований (в отличие от пространственных групп симметрии, которые содержат бесконечные группы преобразований). Эти классы называют точечными группами, так как преобразования всегда происходят при условии неподвижности одной фиксированной точки. Кристаллы обычно подразделяют на семь систем (сингоний) в соответствии с наиболее общепринятым выбором осей координат. В табл. 1 приведены 32 вида симметрии. [c.25]

Согласно первому из них, вакантные позиции для атомов металлов в дефектной структуре IngT g (ВЗ) распределены в заполненных в правильном порядке чередующихся слоях. Согласно второму анализу кристаллической структуры, InjTej имеет сходство со структурами а ( aFj) и ВЗ. Было предложено считать, что расположение атомов соответствует структуре анти-С1, причем атомы индия занимают одну треть позиций атомов фтора, а атомы теллура располагаются в позициях атомов кальция. Даже в приготовленном со всеми мерами предосторожности монокристалле, согласно второй структуре, вполне допускается произвольное расположение конечных доменов, поэтому дифракционные методы не позволяют отличать эту структуру от структуры ВЗ. Еще в одной работе по изучению пространственных групп симметрии было предложено объединять вакантные тетраэдрические полости в группы по четыре в каждой, однако доказать это оказалось весьма сложной задачей [343]. [c.177]

Может показаться, что должны существовать другие примеры, в которых перекрывание погасаний, вызываемых разными причинами, будет обусловливать неразде-лимость групп. Однако это не так. Надо обратить внимание на следующее обстоятельство. Если решетка является центрированной по некоторой плоскости и если в той же плоскости лежат простые поворотные оси второго порядка, то всегда возникают равнодействующие винтовые оси, параллельные поворотным осям. Рис. 180, на котором изображена ячейка, центрированная по плоскости Х , иллюстрирует это (за основу можно, конечно, взять и винтовые оси 21 тогда поворотные оси 2 будут равнодействующими). Следовательно, отсутствие отражений АОО с нечетными к не приводит к недоразумениям вопрос о том, являются ли оси поворотными или винтовыми, возникнуть вообще не может. Может, правда, возникнуть несколько иной вопрос имеются ли вообще в структуре при данной систематике погасаний оси симметричности второго порядка, параллельные плоскости, в которой решетка центрирована. Но это возвращает нас к первой причине неразличимости пространственных групп, рассмотренной в начале этого параграфа, — неразличимости, связанной с незнанием вида симмётрии кристалла. [c.299]

Результаты различных дифракционных исследований тетрафторида ксенона дают интересный материал для сравнений. Очень сильное поглощение рентгеновского /(а-излучения Сп атомом инертного газа и сравнительно слабая рассеивающая способность атомов галогена существенно затрудняют рентгеноструктурные исследования, однако несмотря на эти препятствия в течение очень короткого времени было выполнено три рентгеноструктурные работы [9—11], а вслед за этим исследования структуры, проведенные методом дифракции нейтронов [14] и электронов [15]. В одном из двух подробных рентгеноструктурных исследований интенсивность измеряли визуально, а во втором — с помощью счетчика. При визуальном исследовании было измерено 268 отражений, но 54 из них был приписан нулевой вес остальные отражения были включены в анализ по методу наименьших квадратов, при этом был получен конечный фактор достоверности, равный 0,097 при включении анизотропных тепловых параметров. Однако следует отметить, что при использовании изотропных тепловых параметров эта величина получалась почти такой же (0,100), следовательно, физический смысл учета анизотропии теплового движения в данном кристалле остается неясным. С помощью счетчика было измерено 286 отражений, из них 96 имели значение, отличное от н /ля полагают, что они обусловлены только атомами фтора. Значение оказалось более низким, чем в случае визуальной оценки интенсивностей (0,059), однако различия между значениями расстояний Хе—F, найденными в двух независимых исследованиях (1,961 0,026 [10] и 1,921 0,021 [5]), незначительны. Из пространственной группы следует, что молекула должна быть плоской, но не обязательно квадратной тем не менее, судя по результатам обеих работ, молекула Хер4 является квадратной. [c.404]

До сих пор мы рассматривали только трансляционную симметрию решетки. Многие решетки имеют дополнительные элементы симметрии Я, такие, как вращения, отражения, инверсии, винтовые повороты и зеркальные отражения. Пусть решетка имеет Н различных операций симметрии такого типа (включая операцию идентичности Е). Симметрия решетки описывается тогда пространственной группой , операции симметрии которой являются комбинациями истинных трансляций решетки и Я других операций симметрии. Имеется N N2NзH таких комбинаций, возможных для конечной пространственной группы решетки, удовлетворяющей граничным условиям Борна. Поэтому порядок этой пространственной группы равен Л V2iVзЯ, а N N N3 трансляций образуют самосопряженную подгруппу этой пространственной группы. Это положение эквивалентно тому, что любой элемент группы трансляций, [c.68]

Пространственные группы были описаны в предыдущий разделах, где было показано, что порядок трехмернох конечной пространственной группы (при выполнении граничных условий Борна) равен NlN2NзH, где Н — порядок фактор-группы. Вообще говоря, любая операция симметрии пространственной группы представляет собой комбинацию элементов трансляционной и точечной симметрии. Поэтому представление пространственной группы состоит из матриц, которые являются произведениями матричных представлений группы трансляций и точечной группы (положение несколько усложняется, если пространственная группа содержит винтовые повороты и зеркальные отражения) [25, 26]. Представления пространственной группы могут быть одномерныАШ, а могут иметь более высокий порядок, вплоть до Я. Уинстон и Халфорд [37] показали, что след [c.111]

Комбинируя элементы симметрии конечных фигур, получают 32 класса симметрии кристаллов. Комбинацией элементов симметрии бесконечных фигур, в соответствии с теоремами об их сложении (см. правила Войно на стр. 44), выводят 230 пространственных групп симметрии. [c.68]

Подобно тому, как внешняя форма кристалла имеет определенную симметрию, так и расположение атомов в элементарной ячейке характеризуется определенными элементами симметрии. Все элементы симметрии, характеризующие внешнюю форму кристалла, проходят через некую точку это следует из того, что кристалл является конечным. Существует только 32 возможных комбинации допустимых осей вращения и зеркально-поворотных осей, — 32 класса точечной симметрии. Однако элементы симметрии в элементарной ячейке кристалла связаны не с гранями кристалла, а с атомами, вследствие чего ограничение, заключавшееся в необходимости прохождения через некую точку, снимается. Тогда как две параллельные плоскости симметрии превращали бы грань в бесконечный, лишенный смысла ряд параллельных граней, можно получить две параллельные плоскосги симметрии, проходящие через каждую элементарную ячейку кристалла (см. рис. 43, внизу). Более того, можно получить также элементы симметрии, включающие смещение, — плоскости скольжения и винтовые оси. По этим причинам число комбинаций элементов симметрии относительно внутренней структуры кристаллов (230 пространственных групп) значительно больше числа расположений, описывающих их внешнюю сим- [c.183]

Исследование отверждения при комнатной температуре композиций, представляющих собой смеси эпоксидного дианового олигомера с молекулярной массой 400—500 (содержание эпоксидных групп 21,9%), жидкого уретанового каучука, полученного взаимодействием полиоксипропилендиолов с 2,4-толуилен-диизоцианатом (содержание групп ЫСО — 3,16%) в присутствии 1,3-дифенилендиамина, показало, что увеличение скорости отверждения системы объясняется участием каучука в образовании пространственной структуры конечного полимера. По-видимому, в процессе отверждения протекают одновременно две реакции присоединение диамина к изоцианатным группам каучука и раскрытие эпоксидных циклов. Участие каучука в образовании сшитого полимера отражается на его эластичности температура размягчения полимера понижается с увеличением содержания каучука в композиции (рис. 1.9). [c.26]

Любая точка в кристалле имеет позиционную симметрию, описываемую одной из 32 точечных групп симметрии. Большинство точек в кристалле занимают, конечно, общие положения в элементарной ячейке и обладают тривиальной симметрией С. Однако некоторые особые положения, или места, могут лежать на одном или нескольких элементах симметрии, которым соответствуют операции симметрии, оставляющие их на своих местах, то есть эти точки инвариантны по отношению к этим операциям. Следуя Халфорду [57], точечные группы, которые описывают позиционную симметрию в элементарной ячейке, называют группами позиционной симметрии. Необходимо подчеркнуть, что эти группы включают все элементы симметрии, оставляющие это положение инвариантным. Любая точка данного положения в элементарной ячейке переводится в эквивалентную точку с той же позиционной симметрией при операциях, которые не являются операциями точечной группы, а под действием этих операций порождаются элементы симметрии, которые не совпадают с элементами симметрии этой точечной группы. Поэтому в любой элементарной ячейке имеется конечное число особых позиций с одной и той же позиционной симметрией. Всевозможные позиционные симметрии и соответствующие эквивалентные положения табулированы [49] для любой из 230 пространственных групп. [c.377]

Изучение макроскопических свойств кристаллов постепенно привело к представлению об их упорядоченной атомарной структуре. В совершенном кристалле определенная группа атомов — его мотив — периодически повторяется в трех измерениях пространства, оставаясь идентичным самому себе и сохраняя свою ориентацию. Бесконечные фигуры, возникающие в результате таких повторяющихся трансляций, могут иметь значительно более разнообразные комбинации элементов симметрии, чем конечные фигуры. Федоров (1890 г.) и Шенфлис (1891 г.) проанализировали и классифицировали все бесконечные пространственные группы симметрии, к которым должны относиться все возможные кристаллические структуры. Изучение дифракции рентгеновских лучей в кристаллах, начатое Лауэ (1912 г.), а затем Брэггами, подтвердило гипотезу об их периодической структуре. [c.8]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология