Операция вращения

Собственная ось второго порядка. Рис. 17.3,Л демонстрирует собственную ось второго порядка, параллельную Ь при л =1/4 и 2 = 0, месторасположение которой обычно обозначают символом (1/4, О, 0). В случае решеток все операции симметрии описываются произведением операций точечной группы по отношению к осям элементарной ячейки а, Ь, с и операции трансляции. Например, операция симметрии второго порядка над точкой 5 (рис. 17.3,Л) описывается символом 2 [1/2, О, 0], где 2 подразумевает операцию вращения второго порядка вокруг оси Ь, а квадратные скобки обозначают трансляцию в направлениях а, Ь и с соответственно. Операторы второго порядка, если поворот осуществляется вокруг осей, параллельных а и с, будут обозначаться символами 2а и 2с. Дробные обозначения координат даны в круглых скобках. [c.363]

Матрица 3x3 характеризует операцию вращения, проводимую относительно начала координат. Как и при более раннем обсуждении то- [c.363]

Операция 2(, [1/2, О, 0] над точкой (х, у, г) включает сначала операцию 2 (матричное умножение), а затем векторное сложение [1/2, О, 0] (или наоборот, поскольку эти операции коммутируют). Комбинация этих двух операций — вращения вокруг оси Ь и трансляции [1/2. 0. 0] — эквивалентна вращению второго порядка относительно точки (1/4, О, 0). Для проверки этого утверждения рассмотрим точку (О, 1/2, 0). Видно, что элемент, изображенный на рис. 17.3,Л, должен переводить эту точку в точку (1/2, 1/2, 0). Рассчитывая результат другого вращения второго порядка относительно получившейся точки, имеем [c.364]

Покажите, что операция вращения второго порядка начала координат в сочетании с перпендикулярной трансляцией Т эквивалентна вращению второго порядка относительно оси Г/2. Означает ли это, что решеточная трансляция [1, О, 0] требует, чтобы оператору 2j при (1/4, О, 0) сопутствовал другой оператор при (3/4, О, 0) [c.407]

Орбиталь (31.1) симметрична, а (31.2) — антисимметрична относительно вращения вокруг оси г (рис. 38). Поэтому первая комбинирует с р -орбиталью атома О, также симметричной относительно операции вращения вокруг оси г, вторая — с ру, антисимметричной относительно этой же операции. В результате образуются четыре трехцентровые молекулярные орбитали две связывающие, близкие по энергии [c.96]

Операция вращения Сп- Индекс внизу указывает на число совмещений объекта самого с собой при повороте его на 360°. Верхний индекс соответствует числу поворотов на элементарный угол. Например, Сз означает поворот на 120°, С1 — на 240, С — -на 360°. [c.95]

Если же колебания атомов водорода происходят в противоположных направлениях (б), то после операции вращения эти направления изменяются. Относительно оси симметрии колебание первого типа является симметричным, а колебание второго тип а—антисимметричным. Все колебания молекулы не изменяющиеся при проведении операций симметрии, относятся к полносимметричным колебаниям [40, 41, 44 [c.223]

Характер операции вращения в неприводимых представлениях группы Л(3) имеет вид для целочисленных индексов [c.77]

Порядок класса определяется числом элементов в классе. Так, например, класс операций отражения имеет порядок 3 в группе j , а класс операций вращения имеет порядок 2. В общем случае порядок класса или подгруппы является делителем порядка группы. [c.187]

Табл. 4-4 содержит предварительную информацию, необходимую для составления таблицы характеров точечной группы Сз . Полный набор операций приводится в верхней строке. Ясно, что некоторые из них принадлежат к одному классу, поскольку число неприводимых представлений равно 3, а число операций составляет 6. При более внимательном рассмотрении этой таблицы становится заметно, что характеры всех неприводимых представлений (С3 и С , а также а , и а") равны. Действительно, обе операции вращения третьего порядка [c.203]

Сделанные наблюдения можно обобщить следующим образом те элементы базиса, которые связаны с обменом положениями атомов под влиянием операций симметрии, вносят нулевой вклад в характер. Элемент базиса будет вносить вклад + 1 или — 1 в зависимости от того, остается ли он неизменным при данной операции или же меняет знак. Единственное осложнение возникает с операциями вращения, когда атом не движется в ходе применения этой операции симметрии, но элемент базиса, связанный с атомом, поворачивается на определенный угол. В таком случае необходимо построить матрицу вращения, как это пояснялось в разд. 4.2. [c.217]

В предыдущем разделе были введены три типа операций симметрии для молекулы воды Е, С и а. Ец(е раньше была описана четвертая операция — инверсия, обозначаемая символом /, Существует еще одна операция, так называемое зеркально-поворотное преобразование . Такие операции обозначают символом 8п. Они состоят нз двух частей во-первых, вращения на угол 2п/п и, во-вторых, отражения в плоскости, перпендикулярной оси, вокруг которой был осуществлен поворот. Примером зеркально-поворотной оси служит ось 54 в молекуле аллена. Ход проводимых операций наглядно иллюстрирует рис, 7.2, Сначала осуществляют операцию вращения на угол 2я/4 (отсюда индекс 4) вокруг оси, проходящей через атомы углерода, а затем операцию отражения в плоскости, перпендикулярной этой оси и проходящей через центральный атом углерода. Иногда вращение Сп и отражение сами по себе независимо являются операциями симметрии молекулы. В других случаях это ие так, как, например, для двух компонент операции 54 в молекуле аллена. [c.140]

Имеется большое сходство между возмущающим действием поля лигандов на орбитали, имеющие квантовое число /, и на состояния, имеющие квантовое число Эти квантовые числа определяют способ, по которому орбиталь или состояние изме-пг/ются при вращении вокруг оси, проходящей через ядро. Таким образом, характеры для операций вращения группы будут одни и те же для /-орбиталей и Л-состояний, для р-орбиталей и / СОСТОЯНИЙ. Характеры для других операций инверсии, отражения или вращения вокруг зеркально-поворотной оси могут быть, а могут и не быть теми же самыми. [c.260]

Таблица характеров не содержит указаний на то, как f-орби-тали или Я-состояния будут расщепляться в октаэдрическом поле. Имеется, однако, простая общая формула для характера операции вращения на угол 2п/п для состояния, имеющего квантовое число L. Она имеет вид [c.261]

Показанные на рис. 14.17 орбитали можно классифицировать при операциях вращения и отражения как симметричные (5) или антисимметричные (А). Эта классификация приведена в табл. 14.1. [c.330]

Первая операция — вращение на 180°, а вторая — вращение на 360°, которое дает тот же результат, что и тождественная операция В. Таким [c.410]

В таблицу характеров группы К(3) входят только характеры тождественного преобразования н операции вращения. Все произвольные вращения относительно любой оси имеют одинаковые характеры это означает, что группа содержит бесконечное число вращений С(ф). В таблице характеров указано только одно такое вращение. В таблицу характеров группы 0(3) должны входить еще характеры других операций. В конечных пространственных группах симметрии (или точечных группах, как их принято называть) имеется пять типов операций симметрии (см. гл. 13). Двумя из них являются тождественное преобразование Е и операция вращения (иначе — собственного вращения) С( ). Кроме того, имеются еще инверсия, обозначаемая символом I, отражение в плоскости а, а также несобственное вращение 8 ф). Несобственное вращение включает обычное вращение, которое сопровождается отражением в плоскости, перпендикулярной оси вращения. (Другое определение несобственного вращения — вращение, сопровождаемое инверсией.) Число элементов симметрии а и 5 ф) также бесконечно. Инверсия эквивалентна несобственному вращению в том частном случае, когда угол вращения равен 180°. Отражение эквивалентно несобственному вращению, когда угол вращения равен нулю. Следовательно, двух типов операций достаточно для того, чтобы породить остальные операции рассматриваемой группы. [c.60]

Заметим, что Е на самом деле можно факторизовать на три одномерные единичные матрицы.) Если рассматривать С ф) как матричное представление произвольной операции вращения группы R(3), то эту матрицу можно выразить в виде трехмерного представления, как в записи (З.А2), либо в виде прямой суммы двумерного и одномерного представлений, как в записи (З.А7). (Заметим, однако, что сказанное относится только к вращению вокруг оси г.) Если рассматривать Е как матричное представление тождественного преобразования группы R(3) (операция, которая оставляет систему неизменной), то эту матрицу можно выразить в виде трехмерного представления, как в записи (З.А1), либо в виде прямой суммы двумерного и одномерного представлений, как в записи (З.А8), и, наконец, в виде прямой суммы трех одномерных представлений. Однако если мы хотим, чтобы представления были характерными для всей группы в целом, то трехмерным вращениям С( ) следует сопоставлять трехмерное представление, двумерным вращениям С Ф)— двумерное представление, а одномерным вращениям С(ф) — одномерное представление. Матрицу С ф) удается факторизовать на одномерные компоненты лишь в особом случае, когда ф == пп. [c.72]

Результат (З.А11) не равен 5 это показывает, что полученное представление должно быть приводимым. Его приведение нетрудно выполнить, обратившись к результату (З.А12). Очевидно, последний содержит (возможно, дважды) характер операции вращения в представлении ОК Если вычесть характеры представления из полученных характеров, то найдем [c.74]

Изменения в системе координат могут быть выражены двумя способами. При одном из них положения частиц системы остаются фиксированными, а внешняя система координат изменяется в результате вращения, отражения или инверсии (пассивное условие) при другом способе внешняя система координат остается фиксированной, а молекула (вместе с ее внутренней системой координат) подвергается операциям вращения, отражения или инверсии (активное условие). Здесь мы остановимся на способе, соответствующем принятию активного условия. (Такое условие приводит к большим упрощениям, если необходимо рассматривать фазы орбиталей.) В качестве примера рассмотрим молекулу трамс-бутадиена в двух ориентациях, различающихся поворотом на 180° вокруг оси, перпендикулярной плоскости молекулы. В любой системе координат гамильтониан для структуры 1 отличается от гамильтониана структуры 2 [c.264]

Операция вращения вокруг оси связи на 180°. Символ операции — С2 (рис. 13, а). [c.604]

Операцию определенного преобразования функции общего вида f или оператора общего вида (У проще всего выразить в операторной форме. Пусть — оператор, который отвечает операции вращения операции отражения а, либо операции инверсии . Тогда операция Т (х,у,г) или 0 О х,у,г) означает, что в соответствующих выражениях необходимо выполнить замену координат согласно соотношению (6.7), где матрица а выражает преобразование координат в результате соответствующей операции. Таким образом, получаем [c.115]

К простейшим точечным группам принадлежат те, которые отвечают операциям вращения вокруг одной оси. Если молекула инвариантна к вращениям вокруг выбранной оси на угол 2л/п, говорят, что она имеет ось вращения п-то порядка соответствующая группа обозначается Сп- С использованием обозначений, введенных в начале этой главы, в данном случае one- [c.118]

Последующие группы выводятся из указанных циклических групп путем добавления к ним дополнительных элементов симметрии. Следует проводить различие между элементами симметрии, которыми являются, например, разные типы осей вращения, и операциями симметрии, например операциями вращения вокруг некоторой оси на соответствующий угол. Ромбические группы имеют, помимо главной оси вращения (так называется ось высшего порядка среди всех остальных осей симметрии, присущих данному предмету), оси второго порядка, перпендикулярные главной оси. Операции вращения вокруг этих осей мы будем отмечать штрихами, например 2, а соответствующие элементы симметрии обозначать как Со и Сг Следующими элементами симметрии могут быть плоскости зеркального отражения о с различной ориентацией по отношению к главной оси [c.119]

Так температура топки печи задаваясь в НТД на стадии проектирования, претерпевает некоторые изменения на стадии изготовления топки и СП в целом, передоваясь затем без изменения на операцию обкатки под нагрузкой. Затем она претерпевает изменения на операции вращения в рабо-че.м режиме, в зависимости от степени заполнения и числа оборотов КСП. Она оказывает существенное влияние на нестабильность температуры стенки КСП как по длине КСП, так и по времени технологического цикла получения кальцинированной соды. [c.52]

Равновесные конфигурации молекул принято относить к тем или иным точечным группам симметрии. При этом молекулу рассматривают как систему точечных атомов. Перемещения точек в системе, сохраняющие неизменными ее конфигурацию и свойства, называют операциями симметрии. Операции, оставляющие нетронутыми по крайней мере одну точку (центр тяжести), называются точечными. Для молекулярной системы точечными операциями являются операции отражения и вращения. Симметрию системы характеризуют следующие элементы а) плоскости симметрии, обозначаемые буквой а. Отражение в таких плоскостях не изменяет свойств системы операция отражения называется операцией а б) оси вращения или оси симметрии. При повороте вокруг такой оси на 360 /п получается конфигурация, не отличаемая от первоначальной. Здесь п— целое число, его называют порядком оси симметрии. Символ оси симметрии п-го порядка С так же обозначают и операцию вращения в) центр симметрии, обозначаемый символом г. При отражении в центре симметрии (инверсии) молекула, обладающая таким центром, преобразуется сама в себя (операция инверсии ) г) зеркально-поворотная ось п-го порядка, обозначаемая Молекула, имеющая такую ось, преобразуется сама в себя при повороте на угол 360°//г с последующим отражанием в плоскости, перпендикулярной оси. Зеркальноповоротная ось второго порядка эквивалентна центру симметрии (Зг = г) д) тождественный элемент симметрии, обозначаемый символом Е. Им обладают все молекулы. Соответствующая операция симметрии Е оставляет молекулу неизменной. Элемент тождества введен на основе чисто математических соображений. [c.47]

Рассмотрим зеркальный образ полученной молекулярной тоно- логической формы. Несложно видеть, что этот образ нельзя совместить с оригиналом, пспользуя для этого только операции вращения. Вернемся от нашего эскиза молекулы к реальной системе. Если существует дюлекула со структурой оригинала, то должна существовать молекула, имеющая [c.17]

Для изготовления сосуда берут один цилиндр длиной, примерно в два раза превышающей длину готового сосуда Дьюара. Сначала иа цилиндра делают заготовку, припаивая с одной стороны цилиндра прочную державу и делая округлое равностенное дно — с другой. Затем округлое дно делают плоским. Всю площадь плоского дна размягчают в пламени и устанавливают заготовку вертикально державой вниз, предварительно сняв заготовку с пламени. В таком положении размягченное стекло дна должно прогнуться внутрь заготовки. Когда оно прогнется, работающий через державу заготовки слегка втягивает в себя воздух, так чтобы из прогнувшегося стекла образовалось донышко будущего внутреннего цнлиндра сосуда Дьюара. Вдавленное донышко должно расположиться строго по центру заготовки. При проведении все.х этих операций вращение заготовки не прекращают вплоть до затвердевания стекла. [c.179]

НИЯ квадратов волновых функций должны остаться неизменными При этом, если прн действии операторов симметрии второго парядка координаты точек преобразуются парами, т е координата х одной точки переходит в координату х другой точки, координата >> одной точки переходит в координату у другой точки и т д, то при операции вращения вокруг оси, например, третьего порядка, совмещенной с осью г сразу пара координат д и у переходит в пару координат х и у другой точки Одновременно пара координат х иу переходит в пару координатх" и>>"третьей симметричной точки, а ее координаты — в координаты х и у первой точки Таким образом происходит совместное одновременное преобразование координат в разных точках пространства [c.256]

Ось симметрии —линия, поворот относительно которой на угол 2п1п рад дает структуру, совмещающуюся с исходной. Операцию вращения обозначают символом Сп, где п — порядок вращения обычно вращение считается положительным в направлении часовой стрелки. Если ось 2 есть ось вращения, то действие операции вращения состоит в преобразовании координат (х, у, г) в —х, —у, г). Операцию вращения Сг можно представить как [c.409]

Разложение исходной матрицы в произведение матриц 3 и Ь не единственно существует бесконечное число способов такого разложения. Чтобы выбрать такую пару матриц, которая имеет физический смысл, необходимо изменить направление координатных осей матрицы 3 так, чтобы они по возможности совпадали с векторами, представляющими реальные объекты, например спектрами или, в анализе окружающей среды, концентрационными профилями загрязняющих веществ. Это можно сделать с помощью операции вращения простргшства абстрактных факторов, или направленного преобразования. [c.555]

Применительно к квантовомеханической задаче об угловом моменте индекс / соответствует квантовому числу углового момента. Например, целочисленные значения / соответствуют целочисленным значениям / для жесткого ротатора. Таким образом, каждому энергетическому уровню жесткого ротатора можно сопоставить свое неприводимое представление группы вращений. Полуцелые значения /, как мы убедимся позже, позволяют описывать спин электрона. Ббльщая часть свойств группы 0(3), которые понадобятся нам, может быть установлена из рассмотрения одних лищь вращений, т. е. из свойств группы R(3). [Группа R(3) может рассматриваться как вращательная подгруппа группы 0(3).] Таблица характеров группы указывает характеры каждого элемента группы (в данном случае единичного элемента — тождественного преобразования — и операций вращения) в каждом неприводимом представлении. [c.58]

Мы уже указывали, что характером представления называется след соответствующей ему матрицы (сумма ее диагональных элементов). Характеры одномерного, двумерного и трехмерного представлений для тождественного преобразования равны 1, 2 и 3, а для операции вращения — соответственно 1, 2со5ф и l- -2 os . Последние соответствуют характерам представлений вращения в одномерном, двумерном и трехмерном пространствах. В трехмерном пространстве наряду с вращениями вокруг оси Z имеются еще вращения вокруг осей х и у. Матричные представления для каждого индивидуального вращения можно факторизовать на одно- и двумерные матрицы. Однако матрицы всех трех вращений не поддаются одновременной факторизации на одномерную и двумерную матрицы. [c.72]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология