Операции тождественного преобразования

Таким образом, для тождественного преобразования а = О и Х( ) равен 2/ + 1. Используя таблицу характеров точечной группы О и приведенную выше формулу для определения характеров различных операций над пятью -орбиталями, получаем [c.77]

Для построения таблицы характеров группы R(3) достаточно знать свойства операции тождественного преобразования Е и произвольного вращения С[ф). Любое другое произвольное вращение (их число бесконечно) обладает такими же свойствами. Таблица характеров группы R(3) помещена в табл. 3.5. Она имеет такую же форму, как любая другая таблица характеров. Строки таблицы обозначены символами неприводимых представлений (в данном случае их число бесконечно), а столбцы таблицы — символами операций группы. На пересечении строк и столбцов стоят характеры соответствующих операций в указанных представлениях. [c.59]

Существуют различные комбинации этих операций. К числу операций симметрии следует также отнести такую, при которой предмет остается в покое эту операцию называют тождественным преобразованием и обозначают . [c.110]

Е Операция тождественного преобразования в любой [c.400]

В этой главе будут изложены методы классификации фундаментальных колебаний по типам симметрии. Поскольку операции трансляции решетки действуют на фундаментальные колебания подобно операции тождественного преобразования, можно попытаться исключить эти операции из рассмотрения. [c.115]

Рассмотрим теперь операцию 5ь которая включает операцию С1 и отражение. Однако С] —операция тождественного преобразования, поэтому операция 51 есть просто отражение исходной структуры в плоскости, проходящей через ее геометрический центр. На рис. 2-5 показан пример молекулы, имеющей элемент симметрии 5ь Можно видеть, что операция приводит к эквивалентной, но не тождественной структуре, поскольку лишь две операции 5ь т. е. 5ь дают структуру, тождественную исходной, т. е. 81 = Е. Мы видим, что эта молекула имеет плоскость симметрии, проходящую через геометрический центр молекулы, и, таким образом, зеркально-поворотная ось первого порядка ( 1) в точности то же самое, что и плоскость симметрии (о). В даль- [c.25]

Характер представления — это сумма диагональных элементов матриц, соответствующих операциям группы. В характер вносят вклад только те компоненты, которые остаются неизменными при операции симметрии. Для начала возьмем две наиболее простые операции тождественное преобразование I сохраняет неизменными все пять компонент, следовательно, % (/) = 5 при операции инверсии знак всех компонент не меняется (так как -орбитали относятся к -состояниям), поэтому X (г) = 5. Для других операций определить характеры труднее, но это можно сделать, рассматривая изменение волновых функций при повороте на угол ф. [c.286]

Все характерные особенности изложенной теории можно выяснить, рассмотрев какое-либо одно из направлений, для которого группа волнового вектора ( (д) состоит не только из операции тождественного преобразования. Ниже приводятся результаты расчета для направления, задаваемого волновым вектором [c.22]

Операция тождественного преобразования оставляет атомы на своих местах. [c.24]

Чтобы получить возможность определять разрешенные принципом Паули состояния для более общих систем, необходимо воспользоваться свойствами группы перестановочной симметрии (или, на языке математики, симметрической группы). Симметрической группой 5(Л ) степени N называется группа, операциями которой являются все возможные перестановки N объектов. Например, при наличии двух объектов их можно произвольно обозначить символами 1 и 2. В таком случае группа перестановок 8(2) состоит из тождественного преобразования (которое всегда обозначается символом Е) и операции, приводящей к перестановке объектов. Схематически эти операции можно записать так [c.136]

Нам известны четыре операции группы [включая оператор тождественного преобразования / (О, О, 0)]. Запишем их, оставляя незаполненными места, где информацией мы пока не располагаем [c.370]

В таблицу характеров группы К(3) входят только характеры тождественного преобразования н операции вращения. Все произвольные вращения относительно любой оси имеют одинаковые характеры это означает, что группа содержит бесконечное число вращений С(ф). В таблице характеров указано только одно такое вращение. В таблицу характеров группы 0(3) должны входить еще характеры других операций. В конечных пространственных группах симметрии (или точечных группах, как их принято называть) имеется пять типов операций симметрии (см. гл. 13). Двумя из них являются тождественное преобразование Е и операция вращения (иначе — собственного вращения) С( ). Кроме того, имеются еще инверсия, обозначаемая символом I, отражение в плоскости а, а также несобственное вращение 8 ф). Несобственное вращение включает обычное вращение, которое сопровождается отражением в плоскости, перпендикулярной оси вращения. (Другое определение несобственного вращения — вращение, сопровождаемое инверсией.) Число элементов симметрии а и 5 ф) также бесконечно. Инверсия эквивалентна несобственному вращению в том частном случае, когда угол вращения равен 180°. Отражение эквивалентно несобственному вращению, когда угол вращения равен нулю. Следовательно, двух типов операций достаточно для того, чтобы породить остальные операции рассматриваемой группы. [c.60]

Кроме элементов Симметрии и операций симметрии, приведенных в табл. 2, следует указать на тождественное преобразование Е. Тождественное преобразование равносильно тому, что система из равновесной конфигурации ядер атомов вообще не подвергалась преобразованию. [c.19]

Кроме элементов симметрии и операций симметрии, приведенных в табл. 2, следует указать на тождественное преобразование Е. Тождественное преобразование равносильно тому, что система из равно- [c.17]

Каждая точечная группа симметрии, содержащая оси вращения выше второго порядка, имеет вырожденные представления, которые, согласно Малликену, обозначают Е (следует отличать от обозначения тождественного преобразования) — для двукратно вырожденного представления Т — для трехкратно вырожденного представления. Примеры таких групп даны в серии табл. 6.2. В этих группах операции симметрии сведены в классы операций, имеющих 196 [c.196]

Ранее было сказано, что для молекулы воды существуют четыре операции симметрии, однако пока были упомянуты только три. Четвертая операция важна, хотя и тривиальна. Это тождественное преобразование, т. е. операция, оставляющая молекулу неподвижной. Ее обозначают буквой Е (или иногда /). На первый взгляд эта операция может показаться излишней. Необходимость ее введения обусловлена тем, что на основе теории групп можно построить алгебру операций симметрии молекулы воды. Чтобы выразить тот факт, что последовательное выполнение двух операций поворота вокруг оси Сг оставляет молекулу в исходном положении, нужна тождественная операция. Алгебраически это можно представить в впде [c.137]

В табл. 3.6 указаны характеры элементов группы 0(3). (Заметим, что 0 означает полносимметричное неприводимое представление.) Группа Я(3) является подгруппой группы 0(3). Она содержит только тождественное преобразование Е и операции С(ф). Ее таблица характеров совпадает с тремя первыми столбцами табл. 3.6. Индексы g я и не имеют смысла в группе К(3), поскольку эта группа не содержит инверсии. [c.60]

Заметим, что Е на самом деле можно факторизовать на три одномерные единичные матрицы.) Если рассматривать С ф) как матричное представление произвольной операции вращения группы R(3), то эту матрицу можно выразить в виде трехмерного представления, как в записи (З.А2), либо в виде прямой суммы двумерного и одномерного представлений, как в записи (З.А7). (Заметим, однако, что сказанное относится только к вращению вокруг оси г.) Если рассматривать Е как матричное представление тождественного преобразования группы R(3) (операция, которая оставляет систему неизменной), то эту матрицу можно выразить в виде трехмерного представления, как в записи (З.А1), либо в виде прямой суммы двумерного и одномерного представлений, как в записи (З.А8), и, наконец, в виде прямой суммы трех одномерных представлений. Однако если мы хотим, чтобы представления были характерными для всей группы в целом, то трехмерным вращениям С( ) следует сопоставлять трехмерное представление, двумерным вращениям С Ф)— двумерное представление, а одномерным вращениям С(ф) — одномерное представление. Матрицу С ф) удается факторизовать на одномерные компоненты лишь в особом случае, когда ф == пп. [c.72]

Для симметрических групп существует более простой способ установления структуры классов. Оказывается, что все операции, имеющие одинаковую структуру циклов, принадлежат к общему классу речь идет об операциях с совпадающим числом циклов одинаковой длины. Так, в группе 8(3) имеется одна операция с тремя циклами (I) (2) (3), две операции с одним циклом (12 3) и (13 2), а также три операции с двумя циклами длиной 2 и 1 (I) (2 3), (1 2) (3) и (1 3) (2). Классы симметрической группы часто индексируют распределениями, указывающими число циклов каждой длины. Длину цикла указывают соответствующим числом, а число циклов данной длины — верхним индексом справа. Так, тождественное преобразование в группе 8(3) символически записывается в виде (1 ), класс из двух трехчленных циклов — в виде (3), а третий — как (2, 1). В таблице характеров перед символом каждого класса указывают числом, сколько операций входит в данный класс. [c.162]

Двукратное применение операции зарядового сопряжения эквивалентно тождественному преобразованию. Следовательно, должно выполняться равенство = 1, или а = 1. Итак, возможны два типа истинно нейтральных частиц а) нейтральные частицы положительной зарядовой четности, для которых а = 1 б) нейтральные частицы отрицательной зарядовой четности, для [c.246]

Случай одноосного растяжения может быть рассмотрен еще одним способом, если воспользоваться правилом сложения тензоров . Эта операция необходима для того, чтобы выделить из тензора напряжений, отвечающего одноосному нагружению, шаровую компоненту. Действительно, исходя из записанного выше выражения для а в напряженном состоянии, можно выполнить следующие тождественные преобразования [c.22]

В случае молекулярных систем квантовые числа п, I и гп1 теряют свой смысл поэтому классификация этих новых состояний основана на симметрии молекулы и на значении суммарного спина. В разд. 2.2.4 для описания электронных состояний молекулярных систем уже применялись некоторые из символов, определяющих операции симметрии, однако само понятие операции симметрии до сих пор не было объяснено. Этот термин относится к изменению ориентации молекулы по отношению к некоторой фиксированной системе координат при обмене местами эквивалентных атомов молекулы таким образом, чтобы общая структура молекулы не изменилась. Операции симметрии характеризуются особыми геометрическими элементами, которые называются элементами симметрии. Симметрия молекулы определяется следующими элементами симметрии 1) ось вращения 2) зеркальная плоскость 3) центр симметрии 4) зеркально-поворотная ось 5) тождественное преобразование. [c.51]

Как видим, каждому преобразованию симметрии системы можно поставить в соответствие некоторую матрицу-оператор. При этом обратному преобразованию симметрии соответствует обратная матрица, последовательному применению двух операций симметрии — произведение соответствующих матриц, а тождественному преобразованию — единичная матрица. Таким образом, геометрические свойства симметрии оказываются полностью переведенными на язык матриц-операторов, который является существенным при использовании теории групп в квантовомеханических исследованиях. [c.53]

Операцию останова (операцию стоп ), заключающуюся в тождественном преобразовании содержимого всех запоминающих устройств машины, выделим в самостоятельный шестой класс. Технически эта операция осуществляется путем прекращения функционирования машины. [c.68]

Точка X. Эта точка, расположенная в середине квадратной грани зоны, инвариантна по отношению к следующим операциям группы Та тождественное преобразование Е, поворот на угол п вокруг оси Сг, отражение от двух плоскостей аа, пересекающихся по прямой ГХ и рассекающих пополам октанты уОг и уОг при зеркальных поворотах и (54/ и поворотах Сг и С (обозначаемых через Сг в таблицах характеров) X преобразуется в X-f Кл/2п, где Кл/2л = (—2/ г) (1,0,0). Группа (Х) является группой 2>2а- [c.388]

Это уравнение можно применять для состояний, характеризующихся полным угловым моментом J (где J = L + S), путем простой замены. / на I. Если электронов четное число и если J целочисленно, полное предсгавление в любой симметрии можно разложить на неприводимые представления точечной группы, как это мы сделали в предыдущем раз-геле. Одпако, если J имеет полуцелое значение (т.е. S нечетно), поворот tia 2л (что предс ав.тяет собой операцию тождественного преобразования не дает гождесдве1пюй величинь характера [c.84]

Таким образом, Х-центрирующий оператор представляет собой [О, 1/2, 1/2]. Аналогично гранецентрирующий оператор (т.е. F-центрирующий) требует, чтобы для каждой точки (х, у, г) существовали три дополнительные точки (1/2 + X, 1/2 -Ь у, г), (х, 1/2 -1- у, 1/2 -1- z) и (1/2 + х, у, 1/2 + + z), так что f-центрирующими операторами являются [1/2, 1/2, 0]. [О, 1/2, 1/2] и [1/2, О, 1/2] (в дополнение к операции тождественного преобразования [О, О, 0]). Объемноцентрирующим оператором служит [1/2,1/2,1/2]. Эти типы решеток показаны на рис. VII.1 (в приложении VII). Отметим, что если атом или молекула находится в начале координат ячейки, то другая такая же частица находится в центре грани А (перпендикулярно а) при Л-центрировании при F-центрировании еще три частицы находятся в центрах граней А, В и С, аналогичный особый случай можно указать для объемного центрирования. [c.367]

Выше уже указывалось (разд. 3.5), что произвольный трехмерный физический объект может иметь операции симметрии следующих пяти типов тождественное преобразование Е собственное вращение Сп, зеркальное отражение а инверсия I несобственное вращение Для собственного и несобствейного вращений индекс п указывает порядок вращения, т. е. равен результату деления 2п на угол вращения. Все физические объекты остаются инвариантными при тождественном преобразовании Е. Объекты, обладающие какой-либо симметрией, оказываются неотличимыми от исходного состояния после действия операций симметрии других типов. Геометрические точки, прямые или плоские, относительно которых осуществляются операции симметрии, называются элементами симметрии. Например, ось, вокруг которой осуществляется вращение, плоскость, в ко- [c.266]

Багавантам [21] предложил несколько иной метод классификации колебаний. Он условно рассматривает всякую трансляцию как операцию тождественного преобразования, которая переносит атом данной примитивной ячейки на конгруэнтный атом другой ячейки и, таким образом, сводит пространственную группу только к ее элементам (/ ,Тя), совокупность которых описывает симметрию ячейки эта совокупность образует группу примитивной ячейки ). Характер представления, определяемого фундаментальными колебаниями, дается той же формулой (1.4), где С/д — число атомов примитивной ячейки, которые остаются инвариантными при операции (/ , Гд) отметим, что Тд = О при любой такой операции. Приведение полученного таким образом представления осуществляется при помощи формулы (1.3). Группа примитивной ячейки и фактор-группа изоморфны, что обеспечивает согласие результатов, полученных данным методом и методом, изложенным в п. б . [c.117]

Группы v, sv, Dsh, D , Tj, Ha рис. 3.2 показаны операции симметрии для молекулы Н2СО. Среди них есть единичная операция (тождественное преобразование, означающее отсутствие какого бы то ни было изменения) показанные на рисунке четыре операции симметрии с математической точки зрения образуют группу, называемую точечной группой Со. Слева на рис.3.2 операции симметрии иллюстрируются как перемещения ядер молекулы (например, повороты молекулы вокруг оси второго порядка СО), а справа как преобразования системы координат ( перемещения осей системы координат ). Во втором случае надо представлять себе две системы осей координат одну неподвижную, а другую преобразующуюся до преобразования обе системы осей совпадают, а операция симметрии характери [c.55]

Применительно к квантовомеханической задаче об угловом моменте индекс / соответствует квантовому числу углового момента. Например, целочисленные значения / соответствуют целочисленным значениям / для жесткого ротатора. Таким образом, каждому энергетическому уровню жесткого ротатора можно сопоставить свое неприводимое представление группы вращений. Полуцелые значения /, как мы убедимся позже, позволяют описывать спин электрона. Ббльщая часть свойств группы 0(3), которые понадобятся нам, может быть установлена из рассмотрения одних лищь вращений, т. е. из свойств группы R(3). [Группа R(3) может рассматриваться как вращательная подгруппа группы 0(3).] Таблица характеров группы указывает характеры каждого элемента группы (в данном случае единичного элемента — тождественного преобразования — и операций вращения) в каждом неприводимом представлении. [c.58]

Мы уже указывали, что характером представления называется след соответствующей ему матрицы (сумма ее диагональных элементов). Характеры одномерного, двумерного и трехмерного представлений для тождественного преобразования равны 1, 2 и 3, а для операции вращения — соответственно 1, 2со5ф и l- -2 os . Последние соответствуют характерам представлений вращения в одномерном, двумерном и трехмерном пространствах. В трехмерном пространстве наряду с вращениями вокруг оси Z имеются еще вращения вокруг осей х и у. Матричные представления для каждого индивидуального вращения можно факторизовать на одно- и двумерные матрицы. Однако матрицы всех трех вращений не поддаются одновременной факторизации на одномерную и двумерную матрицы. [c.72]

Рассмотрим несколько примеров. Молекула гране-бута диен а имеет четыре операции симметрии. Наличие тождественного преобразования тривиально. Мы уже упоминали о вращении на 180°, которое обозначается символом Сг. Как у любой плоской молекулы, отражение в плоскости молекулы является операцией симметрии. Оно обозначается символом Он, где индекс /г указывает, что отражение осуществляется в горизонтальной плоскости (перпендикулярной оси вращения, которая рассматривается как вертикальная ось). Эта операция не изменяет положения всех атомов молекулы. (Заметим, однако, что она приводит к изменению знаков всех базисных ря-функций.) Инверсия всех координат в точке начала отсчета, выбранной в центре молекулы, тоже является операцией симметрии. Эта операция приводит к такой перестановке индексов атомов, как операция Сг. (Она изменяет не только индексы, но и знаки базисных ря-функ-ций.) В данном конкретном случае система имеет по одному элементу симметрии (тождественное преобразование, ось, плоскость и точка), соответствующему каждой операций симметрии. Группа симметрии, состоящая из этих элементов, Е, С2, I, б , называется группой Сгй. Все элементы симметрии бутадиена пересекаются в точке инверсии. Все элементы симметрии- любого объекта должны пересекаться в некоторой точте поэтому п 9-странственные группы симметрии индивидуальных объектов часто называют точечными группами. Группы, симметрии, используемые для описания кристаллов и других систем, обладающих повторяющейся трансляционной симметрией, называются пространственными группами. Здесь мы сосредоточим внимание на точечных группах симметрии объектов молекулярного типа. [c.267]

В предыдущем разделе для симметризации функций мы воспользовались подгруппой Сг точечной группы Сгл. Эта подгруппа является простейшей подгруппой группы Сгл, которая обменивает местами эквивалентные базисные функции п-элек-тронной системы бутадиена. Можно сказать, что группа Сг является группой перестановочной симметрии для этих функций. Заметим, что порядок группы перестановочной симметрии равен числу обмениваемых местами эквивалентных функций. Группа локальной симметрии определяется элементами симметрии, проходящими через рассматриваемую точку. Для п-электронной системы бутадиена тождественное преобразование и плоскость симметрии проходят через каждый атом. Таким образом, каждый атом имеет локальную симметрию С . Полная группа является произведением группы локальной симметрии и группы перестановочной симметрии. В других молекулах могут существовать различные положения, имеющие неодинаковые локальные и перестановочные симметрии. В зависимости от обстоятельств каждая из этих подгрупп может быть настолько мала, как группа Сь или настолько велика, как полная точечная группа симметрии молекулы. В любом случае каждая из них должна быть подгруппой полной группы (или совпадать с ней), а произведение каждой группы локальной симметрии и соответствующей перестановочной группы должно давать полную группу. Нередко перестановочную группу не удается выбрать однозначно, как это имеет место в случае бутадиена, где перестановка базисных функций может осуществляться операциями группы Сг либо С,-. [c.281]

Сжатие и расширение. Определим еще два взаимно обратных тождественных преобразования сжатие и расширение. С этими операциями, не называя их, мы имели дело (раздел 2, (8.127) и (8.128)). В теории строения молекул для сокращения письма обычно объединяют группы атомов в одно целое, например для ацето-бромамида вместо (8.171) пишут (8.172). [c.443]