Волновая функция граничные условия

Собственные значения волновой функции должны быть непрерывны, однозначны, конечны, удовлетворять граничным условиям и условиям нормировки. Несмотря на все эти ограничения, остается целый ряд допустимых значений волновой функции и соответствующих им возможных состояний микрочастиц с различными значениями энергии и других характеристик рассматриваемого объекта. [c.14]

В процессе разделения волновой функции на три составные части в выражение для радиальной части вводится константа п, в выражения для радиальной и азимутальной частей-константа /, а в выражения для азимутальной и угловой частей-константа т. Граничные условия, определяющие физически осмысленные решения этих трех уравнений, заключаются в том, что каждая частная функция (радиальная, азимутальная и угловая) должна быть непрерывной, однозначной и ограниченной во всех точках. Эти условия удовлетворяются только в том случае, если константы п, I и т принимают целочисленные значения, причем I представляет собой неотрицательное число (включая нуль), меньшее, чем п, а т принимает значе- [c.363]

Для того чтобы равенство соблюдалось, постоянная В должна быть равна нулю. Это граничное условие упрощает волновую функцию [c.52]

Для этих функций выполнены периодические граничные условия, которые вытекают из требования неизменности волновой функции Ф при замене О на -Ь 2л и ф на ф + + 2я. [c.12]

Если ширина ящика равна I, то решение этого уравнения должно стремиться к нулю при с=0 и при > =/, т. е. на граничных стенках ящика г1з(0) =0 и ф(/) =0. Это возможно при условии, что В=0 и к = п(п11). Поэтому волновая функция должна иметь вид [c.47]

Решение уравнения Шрёдингера позволяет найти определенные собственные значения энергии, соответствующие стационарному состоянию атома. Каждому значению собственной энергии , соответствует определенная волновая функция — собственная функция которая описывает стационарное состояние. Решение уравнения Шрёдингера, например для атома водорода (при выполнении необходимых граничных условий), дает для энергетических состояний атома водорода следующее соотношение [c.175]

Решение уравнения (П. 4) для заданного гамильтониана и заданных граничных условий дает волновую функцию частицы внутри ящика. Эта волновая функция определяется тремя целыми положительными числами Пх, Пу, Пг (в соответствии с тем, что частица имеет три степени свободы). [c.77]

В области д >0 Т описывается тем же волновым уравнением, что и обычный гармонический осциллятор. Однако приемлемы только решения, которые обращаются в нуль в начале координат (граничное условие). Следовательно, собственными значениями энергии для обычного осциллятора являются те значения, которые соответствуют нечетным волновым функциям. Четность волновых функций простого осциллятора чередуется по мере увеличения квантового числа V начиная с четного основного [c.107]

Заметим, что экспонента спадает к нулю на бесконечности быстрее, чем возрастает полином любой конечной степени. Отметим также, что рассматриваемые решения характеризуются значениями числа / и еще одного квантового числа п. Число п определяется граничным условием на бесконечности и соответствует главному квантовому числу боровской теории. Число нулей радиальной волновой функции между точками г = О и г — = оо есть п — / — 1. Так как это число должно быть нулем или целым положительным, значения I для данного целого п ограничены условием [c.36]

Выражение (10.18) удовлетворяет граничному условию, что волновая функция равна нулю в начале и в конце решетки. Для бесконечных систем такое граничное условие становится неадекватным, а уже упомянутое циклическое граничное условие Бор-иа — фон Кармана допускает второе независимое решение [c.231]

Потенциал вне ящика является бесконечным, поэтому вероятность нахождения там частицы должна быть равна нулю. Чтобы избежать разрыва непрерывности при х=0 и х=а, волновая функция должна иметь нулевое значение в этих точках. Для выполнения граничного условия при х=0 постоянная А в уравнении (12.37) должна быть принята равной нулю. Граничное условие при х=а выполняется только тог- [c.376]

Таким образом, если струна отклоняется от положения равновесия, то ее колебание образует волну, распространяющуюся вдоль струны с определенной скоростью V. Уравнение (22), описывающее движение струны, называется волновым уравнением. Ему удовлетворяет бесчисленное множество решений вида (23). Отбор решений возможен, если заданы так называемые граничные условия. Пусть, например, струна закреплена в конечных точках X = О ж х = Ь (Ь — длина струны). Тогда на функцию у накладываются следующие граничные условия [c.186]

Решение уравнения Шредингера обычно состоит в том, что на основе модельных представлений о зависимости потенциальной энергии частицы от ее координат во внешнем поле или поле других частиц и заданных граничных условий находят волновую функцию как некоторую математическую функцию от координат частицы, а затем и полную энергию частицы Е. [c.80]

Решение уравнения движения является результатом учета трех функций функции расстояния по нормали к поверхности раздела фаз, периодической (волновой) функции.расстояния в направлении, параллельном поверхности раздела фаз, и экспоненциальной функции времени. Смысл этого приема основан на существовании бесконечно малого возмущения, периодического но характеру, изменение которого во времени (усиление или спад) будет зависеть от знака константы в экспоненциальном члене. Решение затем комбинируется с уравнениями движения, что приводит к форме возмущенного уравнения скорости. Последнее решается с использованием всех граничных условий, кроме того единственного, которое связывает течение и диффузию, в результате все константы кроме одной исключаются. Исключение этой последней константы с учетом значений тангенциальных напряжений на границе раздела фаз требуют знания градиента концентраций на поверхности раздела. Для этого необходимо решить уравнение диффузии. [c.214]

Две произвольные постоянные А к В (35,12) определяются из граничных условий и нормировки функции. Если движение частицы может происходить во всей области, включая г = О, го из условия конечности волновой функции при / = О -следует 5 = 0. Тогда [c.168]

Вернемся к изучению поведения частицы в потенциальной яме (см. рис. 3.1). Здесь необходимо решить такое же дифференциальное уравнение, как и в случае свободной частицы, однако волновая функция Ф должна удовлетворять граничным условиям, согласно которым частица не может находиться в неко- [c.22]

Нормальная волна, распространяющаяся по кристаллу, характеризуется частотой V и волновым вектором я, который определяет направление движения фронта волны. Такой волне соответствует движущаяся квазичастица с энергией ку — фонон. Если принять циклические граничные условия Борна — Кармана, то число значений волнового вектора равно числу ячеек в кристалле N. Для жестких молекул, каждая из которых имеет 3 трансляционные и 3 либрационные стенени свободы, при всяком ненулевом значении q существует 6Z нормальных волн с различной поляризацией, где 2 — число молекул в ячейке. Следовательно, в этом случае для характеристики колебательного движения в молекулярном кристалле требуется определить 6ZN частот. Функция, выражающая зависимость частот от волнового вектора, состоит из 62 дисперсионных поверхностей, называемых также ветвями или модами. Нередко исследуют только [c.161]

На решение уравнения (9) следует наложить весьма ва /кное граничное условие, а именно принцип исключения Паули. Электронные волновые функции (1,2,..., Л") должны быть антисимметричны по отношению к перестановке координат (пространственных и спиновых). любых двух электронов. Они также должны удовлетворять следующему условию их квадраты могут служить характеристиками распределения вероятностей. [c.14]

Специальное рассмотрение требуется в случае Ж] 0. При этом справедливы оба уравнения (9), если т фО, поскольку иначе получалась бы многозначная волновая функция (из-за угловой зависимости). Однако если т =-- О, то первое из граничных условий (9) заменяется более слабым условием, а именно, чтобы Z (0) оставалось конечным. Отсюда следует, что Z (х) — это просто функция Бесселя (х) во всех случаях (0) = —оо при всех значениях гг /q(0) --1, / (O)--O для тфО. Таким образом, в любом случае получаем для А 2, выбрав = О и Х2 равным другому корню уравнения (ж) = О, а затем применив формулы (14). [c.124]

Поскольку функция ( 1.7) удовлетворяет всем требованиям волновой функции, а граничных условий для свободной частицы нет, тс величина Е может принимать любые положительные значения (требование > О вытекает из тех же соображений, что и в случае одномерной модели), так что энергия не квантуется. [c.98]

Мы привели два вида волновой функции, определяющие различные состояния свободной частицы ( 1.7) и (VI.8). Какое из этих состояний имеет место в каждом конкретном случае, зависит от граничных условий. Например, поскольку электрон в атоме описывается функцией, угловая часть которой представляет собой шаровую функцию (см. гл. VII), состояние свободного электрона, покинувшего атом, характеризуется выражением вида ( 1.8). [c.99]

Какие граничные условия следует наложить на функцию г з (л ), если учесть требование непрерывности волновой функции (см. 3 гл. III) Ответ содержится на с. 187. [c.99]

Волновая функция я ) х) должна быть непрерывной во всей области значений X, а так как для значений координат вне ямы она должна равняться нулю, тогда как для координат внутри ямы — быть отличной от нуля, то при приближении координаты к границе изнутри ямы ijj (х) должна стремиться к нулю. Таким образом, граничными условиями для функции ij) ( ) являются равенства [c.187]

Предположим для определенности, что объем V, котором заключена система, представляет собой шар с радиусом / , причем атом находится в центре шара ). Пусть на поверхности объема V заданы такие граничные условия, что волновая функция на больших расстояниях от атома имеет вид [c.495]

Таким образом, фиксируя концы струны скрипки и требуя, чтобы эти точки были узловыми, можно наложить ограничения на те длины волн, которые могут быть возбуждены в скрипке пр игре на ней. Назовем требования, которые накладывают ограничен ш на вид волновой функции, граничными условиями. Граничные условия играют важную роль в квантовой механике, поскольку, как будет видно из дальнейшего, они являются причиной квантования энергии квантование аналогично требованию целочпс-ленности п в уравнениях (2.11) и (2,12). [c.21]

Решая уравнение (14.1.2) и налагая граничные условия, которые вытекают и.з интерпретации Борна (сгр. 435), приходим к следующим выводам. Возникают три квантовых чпсла два обусловлены сферической спм.метрисй задачи и просто являются квантовыми числами I и П11 углового. мо.мента частицы, которая может свободно вращаться в трех измерениях третье, п. вызвано тем, что электрон. может менять свое расстояние от ато.ма. Такнм образо.м, волновые функции обозначаются как и допусти.мыми зна- [c.476]

Для волновых функций в задаче о движении в центральном поле условия периодичности на сфере играют ту же роль, что и граничные условия закрепленных концов для колеблющейся струны. Таким образом, на форму полиномов, описывающих сферические гармоники, накладываются условия, аналогичные условию (2.12), налагаемому на длииы волн колебании натянутой струны. [c.31]

Реально никакой кристалл не обладает бесконечной протяженностью. Рассматривая его как бесконечный, стремятся рассчитать свойства основной массы кристалла, а не атомов на или вблизи поверхности. Точное определение бесконечной решетки становится важным тогда, когда возникает задача определения граничных условий, которые следует наложить на решения уравнения Шрёдингера, Один из способов исключения поверхности кристалла в математическом смысле состоит в предположении, что если совершить бесконечное число операций трансляции в любом направлении, то в конце концов вернемся в то место, откуда вышли (так, как если бы движение шло по окружности большого радиуса). Эта модель приводит к так называемым условиям Борна — фон Кармана, согласно которым волновая функция остается неизменной при обходе такого круга. [c.218]

Атом водорода трехмерен, ноэтом уравнегше Шредингера должно включать кинетическую энергию во всех трех измерениях и будет иметь несколько более сложный вид, чем представленное в разделе 1.1 этой главы уравнение для одномерного движения. При его решении с наложершем граничных условии, которые вытекают из вероятностной интерпретации волновой функции, бьши получены следуюшде выводы. [c.10]

Монотонный рост П (Я) связан с существованием доли электронов, нмеюпщх длину волны, сравнимую с толщиной пленки. Зависимость этой слагающей расклинивающего давления от свойств внешней среды определяется значением параметра а . Последний задает граничное условие для волновых функций длинноволновых электронов на поверхности пленки и определяется свойствами граничащей с пленкой внешней среды и состоянием поверхности. [c.140]

Рис. У.5. Зависимость х = — (е /4) от параметра л п, определяющего граничные условия для волновых функций эяе1(тронов ва поверхности пленки

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Точные аналитические решения уравнения (25,1) могут быть найдены только для некоторых видов оператора потенциальной энергии, который в координатном представлении изображается функцией от координат частицы. Простейшие решения относятся к системам, в которых потенциальная энергия постоянна во всем пространстве (свободное движение) либо имеет разные постоянные значения в отдельных областях пространсгва, переходя скачком от одного значения к другому на поверхностях, разделяющих такие области. На поверхностях разрыва потенциала волновая функция должна быть непрерывной, чтобы плотность вероятности была непрерывна. Если энергия частицы ограничена и скачок потенциальной энергии на поверхности разрыва конечный, то из (25,1) следует необходимость непрерывности grad на поверхности разрыва. Итак, граничные условия на поверхностях а с конечным скачком потенциала сводятся к требованию [c.108]

Волновые функции (25,9) и (25,13) обращаются, в нуль при ж = а/2. Таким образом, мы видим, что граничные условия на поверхностях, где потенциальная энергия обращается в бесконечность (идеальные твердые стенки), сводятся к требованию, чтобы на этих поверхностях волновая функция обращалась в нуль (частица не может проникать в область 11 = оо), производная же по нормали к поверхности может имегь, вообще говоря, скачок. В случае конечных значений Uq частица может проникать и в область > а/2. Волновые функции в этих областях будут совпадать с функцией (25,4), где А определяется для состояний положительной и отрицательной четностей соответственно через S и С с помощью уравнений (25,5) и (25,10) для каждого значения корня уравнения (25,6) и (25,11). [c.112]

С должным образом определенными граничными условиями. В качестве граничного условия потребуем, вдобы на больших расстояниях от центра инерции всей системы функция Ч а изображалась суперпозицией волновой функции сталкивающихся частиц [c.546]

Радиальные уравнения. В предыдущем разделе было дано выражение для эффективных сечений через матрицу Т. Элементы этой матрицы можно было бы вычислить методами теории возмущений. Однако этот путь не всегда удобен и, кроме того, часто является совершенно недостаточным. Другая возможность состоит в вычислении радиальных волновых функций / г°(г). Тогда матричные элементы Ггго определяются граничными условиями (43.14). Функции являются решениями радиальных уравнений, которые можно вывести с помощью вариационного принципа аналогично выводу уравнений Хартри — Фока для состояний дискретного спектра. [c.594]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология