Проверка некоторых статистических гипотез

Проверка адекватности математической модели. Объективным критерием качества моделей является их адекватность или степень приближения данных, прогнозируемых по модели, к экспериментальным данным. Для проверки адекватности математической модели реальному процессу необходимо сравнить наблюдаемые в ходе эксперимента величины с прогнозами по модели при определенных параметрах процесса. Обычно это сравнение осуществляется путем проверки некоторой статистической гипотезы. [c.78]

Если модель правильно отражает свойства объекта, то расхождения между экспериментальными значениями и соответствующими значениями, вычисленными по модели, можно рассматривать как случайные величины. Тогда установление адекватности можно проводить с помощью проверки некоторых статистических гипотез. Под статистическими гипотезами понимают некоторые предположения относительно распределений генеральной совокупности случайной величины. Проверка гипотезы заключается в со- [c.44]

Книга состоит из шести глав. В первой главе излагаются методы расчета доверительного интервала и проверки некоторых статистических гипотез. Вторая — посвящена простейшим схемам дисперсионного анализа. В третьей и четвертой главах рассматривается регрессионный анализ и построение некоторых статистических планов, наиболее часто употребляемых при оптимизации химических процессов. Пятая глава посвящена методологии применения статистических планов для оптимизации технологических процессов. В последней, шес гой главе даны примеры разработки оптимальных режимов отдельных химических процессов с использованием статистических методов планирования экспериментов. Приложение к книге содержит необходимые сведения о матрицах, статистические таблицы и словарь терминов. [c.8]

РАСЧЕТ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА И ПРОВЕРКА НЕКОТОРЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ [c.9]

ПРОВЕРКА НЕКОТОРЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ [3, 4] [c.16]

Для осуществления проверки выдвигается статистическая гипотеза о генеральных совокупностях, из которых извлекаются результаты измерений. По проверяемым выборкам результатов вычисляют определенное критическое значение некоторой случайной величины Д и находят область Л (при условии, что соответствующее проверяемое распределение выполняется), внутри которой надо ожидать Д с заданной вероятностью Р. Если же критическое значение А лежит вне области Л, то исходная гипотеза отбрасывается. Различие между гипотетическими и наблюдаемыми величинами называется значимым или статистически достоверным. Однако зто различие не может служить достаточно надежной мерой оценки различия в самих генеральных совокупностях, к которым отнесены результаты измерений. Из статистически достоверной разности, например, двух средних XI — Х2 = Ахи еще не следует, что соответствующие совокупности отличаются именно на величину Ах 12. Поэтому ни в коем случае нельзя делать вывод о некотором конкретном числовом различии, опираясь на результаты проверки. Если критическое значение Д находится внутри области Л, то проверяемая гипотеза принимается. Однако из этого не следует еще, что она совершенно верна. Можно только сказать, что результаты измерений ей не противоречат. Поэтому такое различие в результатах называют недостоверным или незначимым. Из утверждения, что разность некоторых величин статистически незначима, еще не следует их равенство. Вопрос о том, можно ли рассматривать такую незначимую разность одновременно и как чисто случайную , нужно решать пр полном понимании статистических методов проверки гипотез (см. [1, 2, 7]) [c.114]

В статистике принятие решения сводят к проверке нулевой (Я,,) и альтернативной (Н ) гипотез и где T , средние температуры соответственно в дефектной и бездефектной областях. При этом используют различные статистические критерии, выбор которых зависит от характера распределения амплитуд сигнала и шума. Описание некоторых статистических критериев приведено в табл. 8.1. [c.258]

Теория последовательного оценивания в настоящее время не отработана в такой же мере, как теория проверки статистических гипотез с учетом возможности использования в прикладных задачах проверки надежности и качества. В основной монографии Вальда [1] лишь сформулирована общая задача последовательного интервального оценивания и даются ссылки на некоторые частные случаи построения метода последовательного оценивания. Некоторые вопросы последовательного оценивания рассмотрены также в [10, 12]. [c.7]

Идея метода последовательного анализа применительно к проверке статистических гипотез самим Вальдом изложена следующим образом. Устанавливаются некоторые правила до начала испытаний, руководствуясь которыми на каждом этапе наблюдения принимается одно из трех возможных решений 1) принимается проверяемая гипотеза 2) отклоняется проверяемая гипотеза в пользу альтернативной 3) продолжается испытание и проводится дополнительное наблюдение. Если на каком-то шаге принимается первое или второе решение, то испытания на этом заканчиваются. При принятии третьего решения производятся последующие наблюдения. Общее количество наблюдений, необходимое для завершения испытаний, является случайной величиной. [c.27]

Под статистическими гипотезами понимаются некоторые предположения относительно распределений генеральной совокупности той И.ГШ иной случайной величины. Проверка гипотезы заключается в сопоставлении некоторых статистических показателей, критериев проверка (критериев значимости), вычисляемых по выборке, со значениями этих показателей, определенными в предположении, что проверяемая гипотеза верна. При проверке гипотез подвергается испытанию некоторая гипотеза Яд сравнении с альтернативной гипотезой Н, которая формулируется или подразумевается. Альтернативных гипотез может быть несколько. [c.43]

В настоящее время не существует способа получения непосредственно из статистических данных математической модели закона распределения х. Известные методы позволяют лишь подтвердить (или не подтвердить) соответствие данного статистического материала некоторой заранее выдвинутой гипотезе о законе распределения. Таким образом, процедура нахождения хорошей математической модели закона распределения случайной величины по статистическим данным всегда слагается из двух этапов выдвижения гипотез о математических моделях распределения и проверки соответствия выдвинутых гипотез имеющимся статистическим данным. [c.115]

В аналитической работе при проверке гипотезы нормальности обычно нет необходимости объединять пробы с очень большим интервалом концентрации определяемого компонента. Но при решении некоторых статистических задач, в частности в дисперсионном анализе, который будет рассматриваться ниже, часто приходится объединять в один статистический ансамбль пробы с очень широким диапазоном концентрации определяемого компонента, причем там бывает нужно найти такую функцию преобразования, которая бы давала возможность получать одинаковые дисперсии для различных по своему составу проб. Поэтому рассмотрим несколько более подробно вопрос о преобразовании случайной переменной величины. [c.125]

При сравнении результатов испытаний различных конструкций шин целесообразно использовать метод проверки статистических гипотез. Идея этого метода базируется на практической невозможности событий, имеющих малую вероятность. Наибольшее применение имеет так называемая нулевая гипотеза, заключающаяся в предположении, что различие между двумя значениями О] и некоторого выборочного параметра, являющимися оценками генеральных параметров Ах и Лд, случайно и на самом деле Ах=А2. Для проверки этой гипотезы исследуют случайную величину Аа = а1—аг и проверяют, значимо ли ее отличие от нуля при заданном уровне значимости з р. Иногда рассматривают величину 01/02, сравнивая ее с единицей. Оценка ведется при помощи критериев значимости. Если До значимо отличается от нуля, то гипотеза бракуется, в противном случае гипотеза принимается. [c.223]

Экспериментальные данные редко точно согласуются с данными теоретической модели. Поэтому ученому и инженеру часто приходится проявлять проницательность в решении вопроса, является ли это расхождение признаком ошибочности гипотезы или результатом неизбежных случайных ошибок измерений. При этом полезными оказываются некоторые статистические проверки. [c.81]

Для упрощения оценки достоверности поверки целесообразно воспользоваться понятием оперативной характеристики контроля, применяемой для проверки статистических гипотез. В это.м случае условная вероятность признания поверяемого средства измерений годным при условии, что и имеет некоторое конкретное значение, т. е. оперативная характеристика контроля (рис. 4.3) [33] [c.104]

Естественно, что та или иная математическая модель отражает только степень нашего познания действительного механизма функционирования системы. В этом смысле математическая модель является лишь некоторым приближением к исследуемому процессу. Уточнение математической модели осуществимо лишь при дальнейшем изучении реального объекта, при сравнении теоретических результатов с опытными данными процесс разработки математической модели заключается не только в теоретической разработке какой-либо гипотезы о реальном поведении объекта, но и в постоянной проверке соответствия принятой гипотезы и имеющихся статистических данных, получаемых в результате опыта. [c.14]

При решении задач определения механизма сложных химических реакций приходится ограничиваться выбором некоторого числа конкурирующих гипотез о механизме реакции, проверка соответствия которых опытным данным проводится статистическими дискриминационными методами. В результате этой проверки устанавливается одна гипотеза, лучше описывающая результаты экспериментов, чем остальные. И всякая новая рабочая гипотеза подлежит опытной проверке совместно с ранее выбранными. Ввиду изложенного выше задача определения механизма химической реакции может рассматриваться только в вероятностном смысле. [c.286]

Заметим, что подход к решению обратной задачи № I должен быть уже существенно иным. В данном случае мы не можем определить даже класса возможных решений. Поэтому приходится ограничиться выбором некоторого числа конкурирующих гипотез, каждая из которых задает механизм явления. Проверка соответствия выбранных гипотез экспериментальным данным проводится статистическими и дискриминационными методами. В результате такой проверки устанавливается, что одна из конкурирующих гипотез лучше описывает опытные данные, чем другие. Ввиду этого решение обратной задачи № 1 должно рассматриваться только в вероятностном смысле. [c.380]

В большинстве случаев, описанных ранее в этой главе, предполагалось, что экспериментальные данные подчиняются определенному закону распределения. Соблюдение этого требования часто бывает важнейшей предпосылкой достоверности статистических выводов. Для проверки согласия между распределением экспериментальных данных и некоторой теоретической моделью существуют различные статистические тесты, например х -тест. Для этого теста можно сформулировать нуль-гипотезу в форме соответствия данных как некоему конкретному распределению, так и некоторому общему виду распределения (без указания конкретных значений его параметров). В последнем случае необходимые значения параметров следует оценить непосредственно из экспериментальных данных. Основные этапы выполнения х -теста (рис. 12.1-14) состоят в следующем. [c.449]

Приводимые в таблицах по статистике верхние 5 %-е точки могут быть непосредственно использованы при проверке гипотез о том, что найденная величина только меньше (или только больше) некоторого установленного значения (односторонняя оценка, см. уравнение 8.22). В задачах другого типа требуется проверять гипотезы о равенстве найденной величины некоторому установленному значению или же устанавливать границы доверительного интервала [двусторонняя оценка, см. уравнение (8.23)]. Поскольку в этом случае возможен выход проверяемой величины как за верхнюю, так и за нижнюю границу доверительного интервала, для сохранения суммарного 5%-го уровня значимости следует пользоваться приводимыми в статистических таблицах верхними 2,5%-ми точками. В дальнейшем мы будем указывать уровень значимости а = 0,05 или а/2 = 0,025 в соответствии с односторонней или двусторонней оценкой. Такая запись показывает, что в обоих случаях реально обеспечивается суммарный 5 %-й уровень значимости, однако читатель должен понимать, что в соответствии с укоренившимся способом построения статистических таблиц при обращении к ним в первом случае он должен руководствоваться уровнем значимости 0,05, а во втором — 0,025 (табл. 8.1, 8.2). [c.168]

Некоторые новые методы статистической проверки гипотез [c.225]

При изучении межлабораторных ошибок воспроизводимости в некоторых случаях приходится сталкиваться с тем обстоятельством, что приемы работы отдельных лабораторий оказываются настолько несогласованными между собой, что это приводит к нарушению условий, вытекающих из центральной предельной теоремы Ляпунова, и тогда неизбежно получаются отклонения от нормального распределения. На рис. 22 приведены распределения анализов гранита и диабаза по результатам определений, полученным 34 аналитиками в 25 лабораториях 10 разных стран [90]. Имеющийся здесь материал оказывается недостаточным для того, чтобы провести проверку гипотезы нормальности, пользуясь статистическими Крите- [c.128]

К сожалению, табл. 7А составлена только до значения п = 25. При большем числе измерений приходится ограничиваться проверкой гипотезы об однородности результатов измерений. Нужно обратить внимание на то, что при достаточно большом числе измерений вопрос об отбрасывании или принятии того или иного измерения может решаться на основании некоторых обш,их, иногда недостаточно строгих, соображений если здесь будет допущен некоторый произвол, то он существенно не отразится на результатах дальнейшего статистического анализа. [c.172]

В случае многопараметровых регрессий (п > 1) возникает проблема оценки значимости каждого из слагаемых в правой части уравнения (//. I). В формальном аспекте это выполняется методами статистической проверки гипотез [702]. Однако с практической точки зрения полезно использовать некоторые простые дополнительные критерии. Таковых можно предложить два отношение и изменение степени неадекватности в результате исключения /-го слагаемого из правой части уравнения (II. ). Например, можно условно принять, что величину а,- следует приравнять нулю, если выполнено одно пз нижеследующих требований [c.316]

Техногенные фоновые и аномальные значения микрокомпонентов рассчитывались статистически. Концентрация каждого из них представлялась в виде случайной величины, некоторым образом распределенной по площади. Далее проверялось соответствие распределения каждой из этих случайных величин нормальному или логнормальному видам распределения (рис. 8, 9). Проверка гипотезы нормального распределения осуществлялась по I-критерию Стьюдента. Дополнительно сравнивались значения среднего и медианы. В случае соответствия распределения случайной величины нормальному или логнормальному видам и близких значений медианы и среднего за фоновую концентрацию микрокомпонента принималось расчетное значение математического ожидания. Нижний предел аномальности рассчитывался по правилу 3 а (среднее плюс три стандартных отклонения). [c.36]

Критерием проверки статистической гипотезы является правило, позволяющее отвергнуть или принять данную гипотезу. При построении такого правила вычисляются некоторые функции результатов наблюдений, составляюп1их выборку (статистики), которые сравниваются со значениями. этих по-(Йзателей, определенными теоретически в предположении, что проверяемая гипотеза верна. Для критериев проверки выбираются надлежащие уровни значимости, ( /=10, [c.475]

Таким образом, задача сравнения результатов химического анализа состоит в том, чтобы выяснить, является ли различие между ними значимым. Сравнивать данные химического состава (и, шире, - любые экспериментальные данные) по обычным арифметическим правилам недопустимо Вместо этого следует применять специальные приемы, назьшаемые статистическими тестами или критериями проверки статистических гипотез. С некоторыми нростейшими - и в то же время наиболее важными для химика-аналитика статистическими тестами - мы сейчас познакомимся. [c.15]

Такой подход никоим образом нельзя считать агностическим. Статистический анализ сводится к проверке некоторых гипотез, выдвинутых априори, и к количественной оценке того вклада, который вносится действием и взаимодействием отдельных факторов. Планирование эксиеримента, направленного на проверку гипотез и изучение роли отдельных факторов, может быть удачным только тогда, когда достаточно хорошо известны обирю физические закономерности. Смысл статистического анализа в работах исследовательского характера сводится к оценке того вклада, который вносится известными [c.32]

Статистические методы проверки дают объективную интерпретацию результатам анализа. Они дают объективный ответ на вопрос, существует ли разница между средними значениями, найденными двумя аналитиками При этом проверяется статистическая гипотеза о при-надлен<ности результатов измерений к одной генеральной совокупности. По результатам, полученным для двух выборок, вычисляют значение некоторой контрольной величины Я и определяют область Л, внутри которой следует ожидать 1 с онределенной вероятностью Р. Если контрольная величина X лежит вне области Л, то выбранная гипотеза отбрасывается. Разница между полученными величинами называется значимой или статистически значимой. Однако эта разница представляет собой недостаточно надежную меру для оценки различия в тех генеральных совокупностях, к которым относятся результаты измерений. Из статистически значимой, например, разницы для двух средних значений — х = А.Х12 нельзя сделать вывод, что соответствующие совокупности отличаются на величину Если контрольная величина X находится внутри области Л, то проверяемая гипотеза принимается. Однако из этого не следует, что гипотеза безусловно подтвердилась. Можно только сказать, что результаты измерений не противоречат проверяемой гипотезе. В этом случае говорят, что различие оказалось незначимым. Если установлена статистическая незначи-мость разности двух величин, то отсюда еще нельзя сделать вывод о равенстве этих величин. Вопрос о том, как такую незначимую разницу следует интерпретировать, нужно решить нри полном понимании статистических методов проверки гипотез (см. Смирнов и Дунин-Барковский, а также 16]). [c.131]

Как уже упоминалось в вводной части разд. 2.4, аналитические результаты необходимы для проверки тех или иных гипотез. Часто возникает вопрос соответствует ли неизвестная сущность известной или гипотетической сущности Например, можно задаться вопросом привел ли эксперимент по выведению новых видов растений к новому сорту яблок, обладающих повышенным содержанием витамина С по сравнению со стандартным сортом В этом случае проверка выполняется путем определения содержания витамина С в ряде образцов. Далее рассматривают, соблюдается ли неравенство [1станд—[Ановый сорт= 0. Если статистический критерий с достаточной вероятностью свидетельствует о существовании различия, то нулевая гипотеза ( Хстанд — (гновый сорт = 0) отвергается и принимается альтернативная гипотеза ( существует различие ). Вероятность ошибки первого рода составляет а (для одностороннего предела) или 2а (для двустороннего предела). В случае одностороннего критерия проверяется только один предел (верхний или нижний). Примером может являться изучение образца, в котором содержание следового компонента не должно превышать некоторый установленный уровень. В этом случае допускаются любые значения ниже верхнего предела и нижний предел не играет никакой роли. [c.42]

Выбор модели и=и(х,е) основан на имеющейся априорной информации. Примером такой информации может быть задание значений и ,и ,...,и функции и(х) на некотором множестве точек х ,х ,...,х , возможно с достаточно большими ошбками о . 3 задачах определения температурных профилей реальных газовых сред по измеренным спектральным характеристикам (у(х)) таковыми являются прямые измерения температуры (и(х)) в лабораторных условиях. Качество выбранной модели (выбранных моделей) контролируется с помощью известных статистических критериев проверки регрессионных гипотез (например, - критерий). Базисные функции Ф(х) целесообразно выбирать так, чтобы уменьшить трудности вычисления интегралов в (4). Полезным представляется использовать Ф(х)-сплайны [4 ], учитывая их рехуляризующие свойства. [c.12]

Суть статистических предположений (гипотез) заключается в том, что положительный или отрицательный ответ при сравнении реальной выборки с теоретической позволяет сделать заключение о характере распределения либо о той или иной закономерности изучаемой случайной величины и принять необходимые решения. Большинство задач, которые решаются математической статистикой, сводится к сравнению таких реальных выборок с некоторыми теоретическими распределениями. При этом делаются предположения о соответствии выборки генеральной совокупности, подчиняюшейся какому-либо конкретному распределению. Процесс такого сравнения носит название статистической проверки гипотез. Критерии соответствия выборочного распределения предполагаемой статистике называются критериями значимости. [c.69]

Согласно вышеизложенному перспективными направлениями в развитии методов исследования сложных равновесий в растворах являются следующие а) переосмысливание роли уже имеющихся в практике вспомогательных функций, отбор результативных и отбраковка малопригодных б) конструирование новых эффективных функций в) расширение служебной роли вспомогательных функций в практике исследований г) корректное привлечение методов прикладной математики для анализа результатов в форме вспомогательных функций. В этом отношении полезна некоторая общая установка среди множества сложных систем химических равновесий (и инструментальных приемов измерений) всегда можно выделить достаточно широкие классы, для которых имеются или могут быть сконструированы эффективные вспомогательные функции. Эффективность связана с некоторыми специальными ограничениями, открывающими новые конкретные возможности применения уже известных или вновь конструируемых вспомогательных функций для а) формулировки предварительной информации и гипотез о достаточно сложной системе, быстрого построения начального плана, проверки первичных гипотез (дискриминация классов), выявления условий эксперимента, направленных па то, чтобы объективно вогнать систему в определенный класс б) обработки результатов вплоть до параметров, дискриминации вариантов внутри класса на основе статистических или дрзггих критериев, уточнения статистических весов и построения окончательного плана. [c.48]

Статистическая проверка гипотез о характеристиках объектов управления тесно связана с изложенными выше вопросами определения оценок характеристик (параметров) этих объектов. Например, если по результатам те >ретических исследований сформулирована гипотеза о потмальности распределения выходной переменной, то по опытным данным необходимо ответить на вопрос о том, с какой надежностью эта гипотеза принимается или отвергается. На тот же вопрос должен быть дан ответ в том случае, если гипотеза сформулирована по результатам предыдущих экспериментов подтверждают или не подтверждают опыты, проведенные в новых условиях, результаты прежних экспериментов и т. д. Рассмотрим некоторые вопросы проверки указанных гипотез. [c.309]

Следует в каждом конкретном исследовании убедиться, что гипотеза, согласно которой зародыши распределены произвольно, выполняется. Несомненно, можно легко исключить те реакции, в которых зародыши распределены по определенному закону (например, когда зародышеобразование происходит на уровне межгранулярных контактов или же вдоль некоторых линий дислокаций). Однако распределение может соответствовать и более сложному закону. Тогда следует прибегнуть к статистическим критериям. Необходимо пересчитать зародыши, заключенные в областях равного объема, вырезанных в различных точках реагента если зародыши распределены произвольно, найденные значения должны быть одинаковыми и отвечать средней концентрации зародышей. Иначе говоря, полученные значения должны быть распределены по закону, соответствующему теории вероятности (биномиальному закону). Практически аналогичную проверку можно осуществить, подсчитывая зародыши, пересекаемые плоскостями, которые рассекают твердый реагент в различных направлениях. [c.282]

Сравнение средних, полученных при двух разных условиях, без построения и проверки формальной гипотезы непригодно для убедительного анализа данных. При сравнении статистик V-критериев для двух групп, коэффициентов корреляции или каких-либо др>тих статистик необходимо использовать такой же подход, как и в случае более привычных статистик (например, средних). Нередко Бэкер делает некорректный вывод о статистическом различии между двумя группами, сравнивая результаты применения двух одновыборочных критериев. Например, ему следовало применить U-критерий Уилкоксона-Манна-Уитни в модификации Уолрофа (Bats helet, 1981, р. 125-128) ко всем, а не к некоторым специально выбранным случаям. [c.375]