Классы операций симметрии

Еще в XIX в. минералоги установили, что для описания внутреннего расположения атомов или молекул в кристаллах необходимы два класса операций симметрии. Собственные операции, такие, как вращение или параллельный перенос, сохраняют хиральность объекта. Напротив, несобственные операции превращают объект в его зеркальное изображение, то есть приводят к изменению конфигурации хирального тетраэдрического атома с К на 8. Операции симметрии проводят над точками, осями и плоскостями, которые называют элементами симметрии. В кристалле подобные операции приводят к переносу атомов или молекул в положения с идентичным окружением. Например, кристаллическая структура, имеющая оси вращения п-го порядка, будет казаться неотличимой от первоначального положения при вращении на угол 2тг/п (360°/п) вдоль этой оси. В результате внутренней периодичности для кристаллов возможны оси с п = 1 (первого порядка), 2 (второго порядка), 3 (третьего порядка), 4 (четвертого порадка) и 6 (шестого порядка). Кристаллографические символы для этих осей и симметрично-эквивалентные положения, получаемые при их использовании, приведены на рис. 11.2-2. Параллельный перенос описывает смещение объекта в данном направлении и, конечно, сохраняет хиральность объекта неизменной. В кристаллах вращение на 2тг/п можно сочетать с параллельным переносом на (г/п) х (г = 1,2,..., п — 1 х = а, Ь, с), что приводит к т.н. винтовым осям симметрии Пг. [c.392]

Классы операций симметрии образуются из операций, соответствующих осям порядка п>2. [c.201]

Число классов операций симметрии является важной характеристикой группы. [c.146]

Как много классов входит в Какие операции входят в каждый класс Отвечая на этот вопрос, не забудьте, что эквивалентные операции симметрии относятся к одному и тому же классу. [c.129]

Ввиду особой важности октаэдрической конфигурации (рис. 2.2) рассмотрим ее более подробно. У группы октаэдра Ол 48 операций симметрии, образующих 10 классов. Четыре оси третьего порядка проходят через центры противоположных граней и генерируют восемь поворотов Сз и Сз . Три оси четвертого порядка проходят через противоположные верщины и генерируют шесть поворотов С4 и С4 и три оси второго порядка Шесть осей [c.49]

Обозна- чение, группы Операции симметрии, сгруппированные по классам / Примеры молекул [c.74]

Каждая точечная группа симметрии, содержащая оси вращения выше второго порядка, имеет вырожденные представления, которые, согласно Малликену, обозначают Е (следует отличать от обозначения тождественного преобразования) — для двукратно вырожденного представления Т — для трехкратно вырожденного представления. Примеры таких групп даны в серии табл. 6.2. В этих группах операции симметрии сведены в классы операций, имеющих 196 [c.196]

Рассмотрим применение теории групп к октаэдрической частице. У группы октаэдра 0 (рис. 53) имеется 48 операций симметрии, образующих 10 классов. Четыре оси третьего порядка проходят через центры противоположных граней и генерируют восемь поворотов Сз и Сз, три оси четвертого порядка проходят через противоположные вершины и генерируют 6 поворотов С4 и С4 и три оси второго порядка Сз = СЬ Шесть осей второго порядка С1 проходят через середины противоположных ребер. Звездочка отличает эти оси [c.132]

Полный набор операций симметрии для данной фигуры называется группой симметрии. На рис. 2-31 показан пример с поворотной осью 3, лежащей в плоскости симметрии. Поворотная ось, разумеется, поворачивает не только цветок, но и любой другой элемент симметрии в данном случае это плоскость симметрии. Повороты на 120° дадут в целом три плоскости симметрии, расположенные по отношению друг к другу под утлом 60°. Именно такой тип симметрии имеется у цветка, высеченного на камне и показанного в правой части рис. 2-25. Некоторые простейшие организмы, заимствованные из книги Геккеля [15], приведены на рис. 2-32. Все они имеют оси 5, а некоторые из них обладают также пересекающимися (вертикальными) плоскостями симметрии. Морская звезда, находящаяся в центре, принадлежит, например, классу симметрии 5 т. Эта морская звезда состоит из десяти совмещаемых частей, каждая пара которых связана плоскостью симметрии. В целом морская звезда остается неизменной либо при повороте вокруг оси на угол 360°/5 = 72°, либо при отражении в плоскостях симметрии, которые пересекаются под углом 36°. Ось 5, совпадающая с плоскостями [c.39]

Для класса симметрии тетраэдра существуют два эквивалентных способа описания 3/2-ш или же 3/5. Наклонная линия, связывающая две оси, показывает, что они не ортогональны. Символ 3/2 т обозначает две не ортогональные поворотные оси 3 и 2, а также включающую их плоскость симметрии. Эти три элемента симметрии показаны на рис. 2-74. Класс симметрии 3/2 т эквивалентен паре осей третьего порядка и четверной зеркально-поворотной оси. В обоих случаях тройные оси проходят через вершину тетраэдра и центр его противоположной грани. Четверные зеркально-поворотные оси совпадают с осями второго порядка. Наличие четверной зеркально-поворотной оси хорошо видно, если тетраэдр повернуть на 90° относительно оси второго порядка, а затем отразить в плоскости, перпендикулярной этой оси. Таким образом, операции симметрии, выбранные в качестве основных, порождают остальные элементы симметрии. Это доказывает эквивалентность обоих описаний. [c.86]

Класс-это полный набор элементов (в нашем случае, операций симметрии) группы, сопряженные один с другим. Сопряжение означает, что, если А ч В принадлежат к одному классу, в группе имеется некоторый элемент г для него [c.186]

Обычно операции симметрии одинакового типа принадлежат к одному классу (например, С3 и С] или три вертикальные плоскости симметрии в точечной группе Сз . [c.203]

Таблицы характеров обычно состоят из четырех основных частей (иногда из трех, если последние две части объединены в одну), как зто видно на примере табл. 4-6 (для Сз ) и табл. 4-8 (для С ). Первая часть таблицы содержит символы группы (в левом верхнем углу) и символы Малликена, относящиеся к размерности представлений и их связи с различными операциями симметрии. Вторая часть таблицы содержит операции классов симметрии (верхняя строка) и характеры неприводимых представлений группы. [c.207]

Раньше уже говорилось, что неприводимое представление получается из приводимого нахождением подходящего преобразования подобия. Важным моментом в этом рассмотрении является то, что характер матрицы не меняется при любом преобразовании подобия. Из этого следует, что сумма характеров неприводимых представлений равна характеру первоначального приводимого представления, из которого они были получены. Мы уже видели, что для каждой операции симметрии матрицы неприводимых представлений расположены вдоль диагонали матрицы приводимого представления, и ее характер-это просто сумма диагональных элементов. Когда мы занимаемся приведением представления, простейшим способом является нахождение комбинации неприводимых представлений группы, т.е. суммы их характеров в каждом классе таблицы характеров это даст нам характеры неприводимого представления. [c.218]

Молекула может иметь несколько однотипных операций симметрии. Например, из рис. 7.3 видно, что в молекуле аммиака имеются три плоскости симметрии типа Оь. Различающие их индексы могут носить совершенно произвольный характер, Говорят, что такие операции симметрии относятся к одному и тому же классу. В таблице характеров их всегда объединяют, поскольку характеры операций, входящих в один класс, всегда одинаковы. Так, таблица характеров для группы симметрии молекулы аммиака имеет столбец, обозначенный За , где приведено значение характера для каждой операции а . [c.143]

Совокупность кристаллографически одинаковых граней (т. е. совмещающихся друг с другом при операциях симметрии данной группы) образует т. наз. простую форму К. Всего существует 47 простых форм К., но в каждом классе могут реализоваться лишь нек-рые из них. К. может быть огранен гранями одной простой формы (рис. 5, а), ио чаще комбинацией этих форм (рис. 5,6). Огранка каждого К. подчиняется описывающей его точечной группе симметрии при равномерном развитии кристаллич. многогранника, когда ои имеет идеальную форму (рис. 6). [c.538]

Для описания отношений симметрии между внешними гранями кристаллов применимы только кристаллографические операции типа пип. Последние могут быть объединены в 32 кристаллографические точечные группы симметрии, известные как классы кристаллов. Внутреннее периодическое расположение атомов в кристаллической структуре требует применения векторов параллельного переноса, которые также могут сочетаться с осями вращения и плоскостями симметрии, как обсуждалось выше. Включение сложных операций симметрии, таких, как винтовые оси и плоскости скольжения, приводит к 230 пространственным группам симметрии, разрешенным для комбинаций элементов симметрии в элементарной ячейке. Они приведены в Международных таблицах кристаллографии [11.2-1]. В этом контексте интересно отметить, что примерно 75% всех органических и металлоорганических соединений образуют кристаллы, принадлежащие всего к 5 пространственным группам, а 12 пространственных групп симметрии, все принадлежащие к триклинным, моноклинным и орторомбическим кристаллическим системам, охватывают 87% таких соединений. Все эти пространственные группы симметрии допускают достаточно хорошую плотную упаковку органических молекул, которые, как правило, имеют низкую симметрию. [c.395]

Совокупность точек можно расположить в пространстве с помощью различных операций симметрии. Аналогично этому было найдено, что положения атомов в кристалле связаны между собой характеристическими соотношениями симметрии. По симметрии все кристаллы разделяются на следующие семь классов кубические, тетрагональные, ромбические, триклинные, моноклинные, ромбоэдрические и гексагональные. Для каждой кристаллической системы характерна своя форма элементарной ячейки, зависящая от симметрии кристалла. [c.71]

Если, помимо вертикальных осей вращения порядка п, С , молекула имеет еще плоскость симметрии, перпендикулярную к этой оси, называемую (горизонтальная плоскость), но не имеет вертикальных плоскостей симметрии, она относится к классу точечных групп С /,. Можно легко показать, что, если п является четным числом, молекула должна иметь еще центр симметрии, причем инверсия в этом центре является добавочной операцией симметрии, обозначаемой i. Примером молекулы, принадлежащей к точечной группе является молекула торакс-1,2-дихлорэти-лена. Возможны, конечно, и более сложные комбинации операций симметрии и другие типы точечных групп, например D , , где имеются п осей второго порядка, перпендикулярных к главной оси порядка п, — точечная группа, к которой относится правильный тетраэдр. Од— точечная группа, к которой относится правильный октаэдр, и другие. Познакомиться с точечными группами нетрудно, и это необходимо для настоящего понимания колебательных спектров многоатомных молекул. [c.288]

Невырожденные колебания могут быть либо симметричными, либо антисимметричными относительно каждой операции симметрии, т. е. при выполнении операции симметрии либо колебание не изменяется, либо направление смещений меняет знак . Таким образом, нормальные колебания можно классифицировать по их отношению к каждому свойству симметрии молекулы. Каждый класс колебаний, обладающий данной комбинацией свойств [c.473]

В вышеприведенной группе операций симметрии мы имеем три различных типа операций тождественная операция Е, операции отражения А, В, С и операции вращения ), р. Мы говорим, что каждая из этих систем элементов образует класс, т. е. что Е сам по себе образует класс Ау В и С образуют другой класс, а В я Р — третий. Обычно уже геометрические соображения дают возможность различить классы. Точным критерием принадлежности двух элементов Я и Q к одному и тому же классу служит соотношение Х РХ — Р или Q, где X — любой элемент группы, [c.236]

Если выполнить соответствующие операции симметрии, то будет видно, что решетки Бравэ относятся к голоэдрическим классам соответствующих кристаллографических систем. Уже отмечалось, что расположение узлов решетки определяет, какие грани кристалла будут развиваться, и так как расположение узлов должно согласовываться с решетками Бравэ, то, очевидно, только голоэдрические классы должны осуществляться в каждой [c.253]

Смысл этого упражнения состоит в том, чтобы показать, что атомы, связанные операциями симметрии, должны входить в молекулярные орбитали с одинаковыми по абсолютной величине коэффициентами т. е. если в некоторой молекулярной орбитали коэффициент с отличается от нуля, то коэффициенты С4, С5 и Се также должны быть ненулевыми, причем никакая операция симметрии не может исключить данный атом из его подгруппы (или класса). [c.121]

Следующим шагом является преобразование этого выражения (и соответствующего выражения для кинетической энергии) к координатам симметрии. Это может быть сделано при помощи таких линейных комбинаций внутренних координат, которые согласуются по свойствам симметрии и числу с рассмотренной выше классификацией нормальных колебаний. Например, мы видели, что имеется два нормальных колебания класса А д, которые характеризуются тем, что они симметричны по отношению ко всем операциям симметрии точечной группы Оф. Соответствующинш координатами симметрии являются [c.304]

Рассмотрим особенности строения молекул и электронной структуры некоторых родоначальников важнейших классов органических соединений. При этом будем пользоваться методом локализованных МО, который позволяет приписать связи пару электронов на ЛМО. В мнвгоатомных органических молекулах принято подразделять орбитали (и связи) на ст и л. Первые обладают цилиндрической симметрией относительно оси связи. Если в молекуле есть плоскость симметрии, общая или локальная (у фрагмента), то о-орбитали симметричны, а 1х-орбитали антисимметричны относительно операции симметрии в плоскости. Разделение электронной плотности в молекулах на независимые сг- и л-составляющие, которое предложено Хюккелем, приближенное, так как все электроны взаимодействуют. Этан. Нежесткие молекулы. СгН — первый после метана член [c.105]

Пример 7. Молекула КНз обладает элементами симметрии.Сз, Сз2 = Сз" , а ( ), (т (2), Ст1.( ), Е, так что операции симметрии составляют группу Сзи. Посмотрим, как элементы этой группы делятся на классы. Для этого удобно воспользо-.ваться таблицей произведения элементов (табл. 7), которую легко построить на основе чертежа (рис. 8). В табл. 7 первый множитель стоит в верхней строке, второй множитель — г левом столбце. [c.80]

Те же самые операции симметрии могут быть вьшолнены на молекулах совершенно других классов, например тетрафторида серы II, фенаытрена III. При их осуществлении одна точка в каждой молекуле (центр масс) не изменяет своего положения. Поэтому группы симметрии молекул назьшают точечными группами. Молекулы I—III принадлежат к одной точечной группе Q, (см. далее). [c.186]

Из рассмотренного выше очевидно, что мера сложности структуры зависит как от способа, согласно которому множество А было получено из структуры, так и от используемого для разбиения соотношения эквивалентности. Для данной химической структуры классы эквивалентности, полученные при разбиении множества вершин графов со стертыми атомами водорода, будут отличаться от непересекающихся подмножеств, полученных из множества вершин целого (без удаления атомов водорода) молекулярного графа. Ра-шевский [29], Трукко [30] и Мовшович [31] рассчитали информационное содержание графов со стертыми атомами водорода, в которых топологически эквивалентные вершины (т. е. вершины, составляющие орбиты группы автоморфизмов) размещались в одном и том же подмножестве. Кайер [32] рассчитал информационное содержание целого молекулярного графа, в котором множество его вершин было разбито на классы эквивалентности на основе операций симметрии и экспериментальных данных спектроскопии ЯМР. Эквивалентность вершин на основании геометрической группы симметрии, порядок расстояний в матрице расстояний и распределение связок ( onne tions), определенных как число пар смежных ребер, также использовались авторами в качестве критериев для определения соотношения эквивалентности на множестве вершин [3, 33, 34]. [c.211]

Группы включают наряду с операциями симметрии группы также и отражения в плоскостях т и 1т, т.е. операции а и а . Их обозначения в международной символике nimm - для нечетных и и nimmm - для четных и эти обозначения для, например, четных и указывают, что есть ось симметрии и-го порядка, операция отражения в плоскости т и операции и а/ отражения в двух классах неэквивалентных плоскостей т и т", проходящих через ось п. Оси симметрии второго порядка получаются как линии пересечения плоскостей т и т (либо т"). Группа обозначается при этом как ттт. Как и для группы можно установить, что = D при нечетных и либо D = при четных и. [c.219]

Все эквивалентные элементы данной группы образуют класс эквивалентных элементов. Как правило, группа состоит из нескольких классов. Если элементами группы являются операции симметрии, то из аналогии со смыслом равенств (6.33) и (6.35а) можно заключить, что в (6.42) X означает операцию, которая возникает из операции У при преобразовании подобия, осуществляемом с помощью операции симметрии I. Это позволяет рассматривать эквивалентные операции X и У как идентичные, однако отнесенные к различным системам координат, в которых осуществляется операция. В качестве примера распределения элементов группы по классам укажем на запись операций симметрии групп ТапОн, приведенную в конце разд. 6.3 (стр. 122), из которой видно, что группа Та состоит из пяти, а группа Он — из десяти классов эквивалентных элементов. [c.127]

Огромное значение симметрии для предсказания спектров кристаллов обсуждалось рядом автором [44, 54, 102], в частности Уинстоном и Халфордом [108]. Они рассматривают различные математические группы, составленные из операций симметрии кристалла. Пространственной группой является группа всех операций симметрии, включая трансляции паЛ, щ Ь, ПсС) вдоль осей элементарной ячейки. Набор этих трансляций сам образует группу, называемую группой трансляций. Показано, что пространственная группа является произведением группы трансляций и группы, называемой фактор-группой (которая представляет собой набор всех смежных классов группы трансляций). Фактор-группа изоморфна одной из 32 точечных групп, возможных в кристаллах, но в дополнение к чисто точечным операциям может включать и операции, соответствующие винтовым осям или плоскостям скольжения. Фактор-группу часто называют группой элементарной ячейки. Элементарная ячейка определяется как наименьший объем кристалла, который даст всю решетку кристалла, когда на него подействуют элементы группы трансляций (этот объем меньше, чем элементарная кристаллографическая ячейка, в том случае, когда последняя центрирована). [c.583]

Реализация всех оперяпий симметрии класса приводит грань кристалла в то же ее положение реализация всех операций симметрии пространственной группы может приводить точку и в новое положение, но кристаллографически идентичное. Элементы симметрии систем точек как закрытые, т. е. сами по себе трансляции не содержащие, так и открытые, содержащие компоненту трансляции, способны взаимодействовать с трансляциями систем точек и порождать новые, производные элементы симметрии, расположенные в системе точек в новых местах или приобретающие новые качества. [c.56]

Если бы все узлы обратной решетки были равноценны, то она имела бы точечную группу, голоэдрическую в данной сингонии. В / 2-теле веса узлов различны, причем отражениям от плоскостей, связанных операциями симметрии, соответствуют узлы равного веса. Поэтому [/ р-тело должно передавать точечную симмет рию кристалла. Однако в соответствии с теоремой центросимметричности узлы кЫ и кЫ, находящиеся на равных расстояниях в противоположные стороны от начала координат, должны всегда иметь одинаковый вес ( / -тело всегда обладает центром инверсии). Таким образом, симметрия / -тела есть точечная симметрия кристалла плюс центр инверсии, плюс равнодействующие элементы симметрии -тело обладает симметрией дифракционного класса. [c.315]

Ф45,. . Ф4р,. Каждая из этих девяти орбиталей попадает в один из четырех классов симметрии, обозначенных по теории групп 1) невырожденный полно симметричный ему отвечает единственная орбиталь, обладающая полной симметрией в отношении всех операций симметрии над молекулой 2) дважды вырожденный Eg, к нему относятся две эквивалентные орбитали, по-разному ориентированные в пространстве 3) трижды вырожденный Гщ ему соответствует три эквивалентные, но различным образом ориентированные орбитали 4) трижды выро- [c.425]

Это изложение теоретико-групповых методов несколько упрощено и не совсем верно. Термин класс симметрии относится к операциям симметрии, обладающим некоторыми общими свойствами. Следуя авторам, можно было бы подумать, что определитель 10-го порядка распадается на три определителя (поскольку имеются три класса симметрии ). На самом деле приведение по симметрии методами теории групп дает в этом случае четыре определителя 3-, 3-, 2- и 2-го порядков. См., например, Эйринг Г., Уолтер Дж., Ким балл Дж., Квантовая химия, ИЛ, М., 19А8.—Прим. ред. [c.121]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология