Дважды вырожденные представления

Ниже приведены таблицы характеров представлений точечных групп, которые часто встречаются в этой книге. Типы симметрии (или неприводимые представления) точечной группы обозначены в соответствии со следующими правилами А и В обозначают невырожденные типы (одномерное представление). Л представляет типы, симметричные (характер = +1) относительно вращения вокруг главной оси (выбираемой как ось г) В представляет типы, антисимметричные (характер = — 1) относи-тель)ю вращения вокруг главной оси. Е и Е — соответственно дважды вырожденные (двумерное представление) н трижды вырожденные (трехмерное представление) типы. Если два типа симметрии для одной и той же точечной группы отличаются характерами по отношению к С (иной, чем главная ось), то их различают при помощи индексов 1, 2, 3.... Если два типа отличаются характерами по отношению к о (иной, чем а,), то их различают при помощи штрихов и ". Если два типа отличаются характерами по отношению к (, то их различают при помощи индексов и и. Если в соответствии с Э1ИМ правилом следует использовать несколько различных индексов, то индексы g м и имеют преимущество перед индексами 1, 2, 3,. . . , которые в свою очередь имеют преимущество перед и . Обозначения типов симметрии точечных групп Соо,- и Ооол (линейные молекулы) иные и заимствованы из обозначений проекций орбитального электронного момента на ось молекулы. [c.345]

Как и в случае атомов, пространственная и спиновая части волновой функции должны быть спроектированы на сопряженные представления соответствующей группы перестановок. Для двухатомных молекул это требование сравнительно легко выполнимо, поскольку наибольшее вырождение орбиталей не превышает двух. Дважды вырожденные орбитали способны принять на себя один, два, три либо четыре электрона. При четырех электронах уровень полностью заполнен, и поэтому симметризацию орбитали не требуется проводить. При одном электроне на орбитали (или при трех на вырожденных орбиталях, согласно дырочному формализму) пространственное представление состояния совпадает с таковым для орбитали. Следовательно, единственная необходимость в симметризации возникает в случае, когда на вырожденном уровне находятся два электрона. Такая симметризация может быть выполнена методами, описанными в разд. 7.5, с использованием таблицы характеров [c.231]

Правила для дважды вырожденных представлений [c.292]

Вторым различием между таблицами характеров для групп Сз и С2 является наличие символа Е в перечне типов симметрии Сз . Это указывает на наличие дважды вырожденного представления. Рассмотрим влияние операции Сз на вектор, расположенный вдоль оси X. Результат в этом случае нельзя передать просто единицей со знаком + или —, так как новое направление вектора можно представить только с помощью комбинации координат X и г/. Тот же результат получается при действии этой операции на вектор у. Простые тригонометрические соотношения показывают, что X при вращении Сз переходит в X, причем X выражается в системе координат х-у как [c.133]

Неприводимые представления групп симметрии принято классифицировать следующим образом. Представления с размерностью 1 (так называемые невырожденные представления) обозначают символами А к В, причем А обозначаются представления, симметричные, а В — антисимметричные по отношению к вращению вокруг оси симметрии. Нижние индексы gnu обозначают симметричность и соответственно антисимметричность относительно отражения от центра инверсии (если таковой имеется). Представления с размерностью 2 ( дважды вырожденные представления) обозначают символом Е, а трижды вырожденные представления — символом Т. Неприводимые представления групп симметрии более высокой степени вырождения не существуют. [c.51]

Существует теорема Крамере а, согласно которой у систем с четным число.м неспаренных электронов низшее по энергии состояние в нулевом поле соответствует т,з=0, как и показано на рис. П1.8, б для триплетного состояния молекул. Более высокие по энергии состояния из-за электростатического и спин-орбитального взаимодействия могут быть в отличие от случая, представленного на на рис. 1П.8, б, и не вырождены в отсутствие внешнего магнитного поля. Для анизотропных систем с нечетным числом неспаренных электронов при расщеплении в нулевом поле произвольной симметрии всегда существуют по крайней мере дважды вырожденные состояния. Это вырождение, называемое крамерсовским, снимается внешним магнитным полем, как показано на рис. П1.8, б для системы с электронным спином 5=1 и на рис. П1.9 для системы со спином 5 = 3/2. [c.64]

На фиг. 4.3 представлено дважды вырожденное колебание системы атомов, показанной на фиг. 4.1, а. Колебания, представленные на фиг. 4.3, а и б, в один и тот же момент времени имеют одинаковую частоту и относятся соответственно к каждой из двух нормальных координат. Они складываются с произвольными отношениями амплитуд и разностями фаз. [c.98]

Фиг. 4.3. Дважды вырожденное нормальное колебание фигуры, представленной на фиг. 4.1.

Рассмотрим одноосный кристалл, мотив решетки которого состоит из двух ионов и в котором анизотропия сил малого радиуса действия намного выше анизотропии сил большого радиуса действия. Чтобы исследовать колебания ионов так, как это делалось в 6, нужно рассмотреть компоненты смещений и, параллельные и перпендикулярные главной оси. Действительно, в этом случае можно ожидать, что фундаментальные колебания кристалла, принадлежащие простым неприводимым представлениям, будут соответствовать смещениям, параллельным оси, а принадлежащие дважды вырожденным колебаниям, — смещениям, перпендикулярным оси, и что направление их поляризации будет слабо зависеть от сил кулоновского типа. Вследствие анизотропии кристаллической структуры силы малого радиуса действия изменяются при изменении направления колебаний. Даже в отсутствие сил большого радиуса действия частоты гармонических колебаний, параллельных (ие) и перпендикулярных (соо) оси, будут неодинаковыми. Таким образом, мы имеем две пары уравнений движения, и в случае полярных колебаний эти уравнения аналогичны уравнениям [c.175]

В настоящее время комбинационные переходы с участием электронных уровней, которые принадлежат представлениям двойных групп, найдены для ионов редкоземельных элементов и переходных металлов. В качестве примера может быть выбран ион трехвалентного иттербия. Если рассматривается этот ион (кристаллическое поле с симметрией Dq), то мультиплетные компоненты Ф /, и F5/г конфигурации [Хе] (4/) расщепляются на четыре и три дважды вырожденных уровня кристаллического поля. Чтобы найти представления, соответствующие этим уровням, надо использовать двойную группу D 2. Характеры этой группы указаны в табл. IV-2. [c.102]

Таким образом, при снижении симметрии кубического поля до тетрагональной дважды вырожденный нижний уровень Е расщепляется на два невырожденных уровня АхП В . Легко понять, что терм йх -у> принадлежит к представлению ба, з терм зг -л - / — к представлению Ах (при операциях симметрии я X - у к величина х" — у должна изменить знак что соответствует представлению В согласно (3.46)). Очевидно также, что терм будет лежать ниже, чем 2г -л -г/ч так как искажение привело [c.62]

В дальнейшем рассмотрении мы ограничимся только качественным обсуждением типа расщепления и хода параметров расщепления. Для этого нужно иметь представление о символах, используемых обычно при применении теории групп. Буквы а, Ь, ея t используются обычно для описания одноэлектронных орбиталей или волновых функций, классифицированных по типам симметрии, а буквы А, В, Е и Т обозначают многоэлектронные состояния такой же симметрии. Эти символы дают сведения о степени вырождения, т. е. о числе орбиталей или состояний, имеющих одинаковую энергию. Состояние, обозначенное а или Ь, является невырожденным и соответствует только одной функции или орбитали. Состояния е я t являются соответственно дважды и трижды вырожденными. [c.60]

Символы, используемые для обозначения представлений или типов симметрии в каждой точечной группе, основаны на определенных правилах. Мы перечислим некоторые из наиболее существенных правил такого характера. Для невырожденных колебаний используются символы А ч В. Символ А используется для тех из них, которые симметричны (т. е. имеют характер, равный +1) относительно вращения вокруг главной оси в молекуле, а символ В — для тех, которые асимметричны по отношению к вращению вокруг главной оси. Это отражено в таблице характеров для Если имеется несколько представлений одного типа, они отличаются численными индексами, а иногда одним и двумя штрихами. Для вырожденных колебаний, которых нет при группе симметрии но которые появляются при других группах, например при Сд , используются символы Е ж Т (или F). Символ Е не следует смешивать с обозначением операции идентичности. Он применяется для дважды вырожденных представлений, а символ Т — для трижды вырожденных. Молекул с вырождением большей степени не известно, но в принципе они могли бы существовать. В случае групп, в которых возможны операции инверсии, каждый символ снабжается еще индексом g или и. Они отражают четность (gerade) или нечетность (ungerade) представления по отношению к инверсии. [c.290]

Характеры неприводимых представлений наиболее часто встречающихся групп являются целыми числами. Для некоторых из групп с низкJЙ степенью симметрии, особенно для групп встречаются комплексные характеры. В случаях, когда это имеет место, неприводимые представления можно брать попарно, так как характеры одного члена являются комплексными сопряженными соответствующих характеров другого члена пары. Такая nap j представлений по существу эквивалентна одному дважды вырожденному представлению. При применении правил ортогонали ации к таким [c.505]

Невырожденные представления обозначаются буквами А В. Представления А симметричны, а В антисимметричны по отношению к вращ.ению около главной оси симметрии, т. е. около оси г. Дважды вырожденные представления обозначаются через и трижды вырожденные представления— через Т. Характеры групп вида Обл = ЬдХ не даны в явном виде. Их можно легко находить способом, показанным в табл. 19 для группы Эти представления обозначаются знаками А и и т. д., причем -пред-ставления симметричны, а -представления антисимметричны по отношению к инверсии. Приводятся также свойства преобразований координат х, у, 2, произведений координат х , ху, Х2, уг и вращений вокруг осей х, у и обозначаемых и соответственно. Если имеет место операция , то координаты принадлежат к а-пред-ставлениям, а вращения и произведения координат принадлежат к -представлениям, в чем можно убедиться из табл. 19. [c.506]

Молекула МНз построена в виде пирамиды, в вершине которой находится атом азота, а в вершинах основания — атомы водорода. Типы колебаний, совершаемых атомами N и Н около положений равновесия, представлены на рис. 68. Так как молекула ЫНз четы-рехатомна, то она должна одновременно участвовать в б (3X4—6) типах колебаний. Колебания 2 и V4 — дважды вырожденные, поэтому наблюдается всего четыре, представленных на рис. 68, типа колебаний VI — симметричное валентное колебание МН, V2 — дважды вырожденное валентное колебание ЫН, vз — симметричное деформационное колебание ЫНз V4 —дважды вырожденное деформационное колебание ЫНз. [c.320]

Для нелинейных многоатомиык молекул классификация МО ведется по отношению к операциям симметрии, характерным для данной равновесной конфигурации молекулы а — симметричные типы орбита-лей, Ь — антисимметричные, е -— дважды вырожденные (от немецкого слова entartet), t — трижды вырожденные. Эти многоцентровые МО приближенно описываются как линейные комбинации атомных орбиталей всех атомов. В этой картине нет места, казалось бы, для локализованных двухцентровых связей, хорощо описывающих для многих молекул и направленность орбиталей, и целочисленность валентности, и аддитивность свойств. Однако, как показал Леннард-Джонс, для многоатомной молекулы волновая функция, построенная из делокали-зованных многоцентровых молекулярных орбиталей, в определенных случаях может быть математически преобразована в функцию, построенную из двухцентровых, локализованных молекулярных орбиталей. А это значит, что хотя электроны в такой молекуле делокализованы, общее распределение электронной плотности такое или почти такое, как если бы в ней существовали локализованные двухцентровые связи. Поэтому для таких молекул можно использовать наглядное представление о локализованных связях, вводя для них двухцентровые МО. Это очень удобно, так как позволяет рассматривать молекулы в привычных химику образах отдельных двухцентровых связей. [c.190]

У многоатомных молекул очень часто основным является синглетное состояние, когда 5 = 0 (такое положение может встретиться только при четном числе электронов). Если попытаться описать синглетное состояние однодетерминантной функцией, то оказывается, что это сделать можно при выполнении весьма простого условия каждая орбиталь должна входить в детерминант дважды один раз со спин-функцией а и один - со спин-функцией р. Если у молекулы есть к тому же определенная пространственная симметрия и орбитали преобразуются по неприводимым представлениям соответствующей точечной группы симметрии, то для вырожденных представлений (типа Е,Ри т.п.) в определитель должны входить все компоненты этого представления как с функцией а, так и с функцией р. В этих случаях говорят, что каждая орбиталь дважды (или двукратно) занята. Орбитали, преобразующиеся друг в друга при операциях симметрии и представляющие собой тем самым базис какого-либо неприводимого представления, образуют так называемую оболочку. Поэтому в однодетерми-нантном представлении волновой функции синглетного состояния все оболочки должны быть либо полностью заняты (другими словами, полностью заполнены), либо полностью вакантны. Частично заполненных оболочек быть не должно. В этих случаях говорят также, что имеются лишь замкнутые оболочки. При наличии частично заполненных оболочек говорят об открытых оболочках. [c.266]

Такая манипуляция характерами возможна, поскольку она приводит только к новой линейной координации исходного иредстав.пения. Таблица характеров для Сз с действительными значениями приведена в табл. 6-6. Если применить оператор проектирования к одной из Ь-орбиталей, входящих в водородные групповые орбитали с двумя представлениями Е, то получатся две дважды вырожденные ПСЛК симметрии Е [c.282]

Пример реального спектра колебаний кристалла с двумя атомами в элементарной ячейке представлен на рис. 30, где приведены, дисперсионные кривые для алмаза при двух направлениях волнового вектора. На графиках отмечены акустические ветви 1А продольная акустическая и ГЛ — поперечная акустическая) и оптические ветви ЬО — продольная оптическая и ТО — попереченая оптическая). Поскольку оба выделенных направления вектора к являются весьма симметричными направлениями в обратной решетке, то все поперечные моды оказываются дважды вырожденными. [c.85]

В отличие от случая линейной конфигурации высокосимметричная пространственная конфигурация ядер (т. е. имеющая одну или несколько осей симметрии порядка выше второго), при которой взаимно вырождены два или три электронных состояния, не может быть равновесной конфигурацией ни для одного из этих состояний. Равновесные конфигурации для электронных состояний, взаимно вырожденных при некоторой высокосимметричной пространственной конфигурации, отличны от этой конфигурации. Это схематически представлено на рис. 84, в. Сечения потенциальных повер с-ностей для двух электронных состояний, вырожденных при некоторой высокосимметричной конфигурации ядер, не имеют минимумов при этой конфигурации. Так, двум электронным состояниям, дважды вырожденным при симметричной конфигурации (рис. 84, а) молекз лы СНзХ, соответствует сложная потенциальная поверхность, представленная на рис. 84, г, минимумы которой соответ- [c.369]

Если симметрия окружения атома железа меньше кубической, то в результате взаимодействия ядерного квадрупольного момента с градиентом электрического поля, обусловленным асимметричным распределением электронной плотности, может происходить расщепление ядерного уровня с энергией 14,4 кэВ. Поскольку этому уровню соот-вествует спин /= /2, степень его вырождения равна (2/+ 1), т.е. четырем. Из-за квадрупольного взаимодействия этот уровень расщепляется на два подуровня, каждый из которых дважды вырожден. Спектр поглощения представлен двумя пиками одинаковой интенсивности (в случае поликристаллического поглощающего образца). Величина расщепления АЕц непосредственно характеризует градиент электрического поля, зависящий от локального электронного окружения и орбитального углового момента. Трехвалентное железо Ре (в высокоспиновом состоянии) имеет наполовину заполненную З -оболочку, и его орбитальный угловой момент равен нулю, поэтому величина квадрупольного расщепления для него обычно мала, < 1,0 мм/с. У двухвалентного железа Ре на следующей за наполовину заполненной З -оболочкой имеется дополнительный электрон, поэтому Ре может обладать нескомпенсированным орбитальным угловым моментом, что приводит к значительному квадрупольному расщеплению с А ц > 2,0 мм/с. [c.11]

НП размерности т (базис которого состоит из т элементов) называют т-кратно вырожденным, если т>. Дважды и трижды вырожденные НП обозначают соответственно символами Е и Т. Невырожденные НП (т=1) обозначают символами А, если оно симметрично относительно главной оси (характер соответствующей матрицы + ), и В,— если антисимметрично (—1). Для обозначения симметрии или антисимметрии относительно центра инверсии применяют индексы g (от нем. gerade—четный) и и (ungerade — нечетный) соответственно симметрию или антисимметрию относительно оси 2-го порядка, перпендикулярной главной оси, или же относительно плоскости Ov обозначают индексами 1 или 2 наконец, симметрию или антисимметрию относительно ак обозначают одним или двумя штрихами. Совокупность функций, преобразующихся по представлениям типа А, В, Е, Т обозначают а, Ь, е или t соответственно. [c.173]

Символ А обозначает невырожденное НП, симметричное относительно главной оси, а символ В—антисимметричное. Символы Е и Т обозначают дважды и трижды вырожденные НП. Если молекула обладает центром инверсии, то нижний индекс g используется для обозначения симметрии (+1), а индекс и — антисимметрии (—1) относительно него. Индексы 1 и 2 указывают на симметричное или антисимметричное расположение относительно других осей вращения (в частности относительно оси 2-го порядка, перпендикулярной главной оси). Если других осей нет, то индексы относятся к симметрии относительно плоскости а - Симметрия и антисимметрия относительно горизонтальной плоскости симметрии (Т/ обозначается одним или двумя штрихами. Малыми буквами а, Ь, е,1 обозначают совокупность функций, преобразующихся по представлениям типа Л. В, Е, Т. [c.116]

X и при V в выражении для V. Из приведенных выше уравнений видно, что он равен — /г— /2 =—1- В этой точечной группе векторы X и V неразделимы и дважды вырождены, так как при действии операций симметрии группы Сз они вместе порождают неприводимые представления 2, —1, 0. Тип Е в отношении хну является двухмерным. Вектор 2 преобразуется потнпу Л1. Идентичность дает для типа Е значение 2, так как сумма коэффициентов при X и V после этой операции равна 2. При любом числе и в столбце идентичности в таблице характеров представление является 71-кратно вырожденным. [c.134]

Последовательность решений фн равномерно ограничена (в силу принципа максимума) и равностепенно непрерывна при /г < /го в каждой подобласти Сьо последнее следует из интегрального представления фь с помощью функции Грина в Сьо- Поэтому в силу теоремы Арцела последовательность фн при /г О сходится к непрерывной функции (всюду кроме отрезка линии вырождения и точки разрыва в области эллиптичности), ограниченной в замкнутой О, которая, в силу интегрального представления, дважды непрерывно дифференцируема в О, следовательно, является регулярным решением дифференциального уравнения, принимающим заданные граничные значения всюду, кроме точек разрыва граничной функции и отрезка линии вырождения. Если граница области содержит этот отрезок (как, например, показано на рис. 3.13), то непрерывность ф в точках непрерывности ф дс на этом отрезке доказывается, как и в [92], с помощью барьера (который существует в точках звуковой линии как для уравнения Чаплыгина, так и для уравнения Трикоми — и вообще для всех линейных эллиптических уравнений трикомиевского типа вырождения (1.32)). [c.92]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология