Регрессионны анализ. Метод наименьших квадратов

Регрессионный анализ в матричной форме. Регрессионный анализ в матричной форме удобен для решения задач на ЦВМ. Методом наименьших квадратов необходимо найти коэффициенты уравнения регрессии по данным табл. 26 [c.146]

Расчет метрологических характеристик линейного графика = а + Ьх или у = Ь х и результата анализа проводят методами регрессионного анализа (методом наименьших квадратов — МНК) и статистической обработки результатов определений (см. п. 2.4) [4, 15, 22, 23, 25]. [c.60]

Следовательно, задача линейного регрессионного анализа (метода наименьших квадратов) состоит в том, чтобы сумма квадратов отклонений SQ экспериментальных точек (х , yi) вдоль ординаты от проведенной прямой была минимальной. [c.313]

В табл. 18.1 представлены результаты статистической обработки методом линейного регрессионного анализа (попросту говоря, методом наименьших квадратов. - Перев.) исходных данных в виде функциональной зависимости [c.490]

На схеме Гаусса — Маркова базируется очень распространенная вычислительная процедура, заключающаяся в подборе значений 6 в выражении (III. 1) путем минимизации суммы квадратов отклонений (разностей между измеренными значениями выходной величины в каждом эксперименте и предсказанными по модели). Эту процедуру называют методом наименьших квадратов (МНК). При этом важно отличать МНК, как вычислительную процедуру, от регрессионного анализа. Последний является статистическим анализом регрессионной модели, в которой зависимая переменная — случайная величина, а независимые переменные —детерминированные величины. [c.82]

Проведение атомно-эмиссионного спектрального анализа состава веществ и материалов сопровождается выполнением тех или иных математических расчетов. Наибольшая громоздкость расчетов характерна для статистической обработки результатов анализа, которая однако необходима для оценки надежности полученных в процессе анализа сведений. В связи с широким распространением вычислительной техники целесообразно выполнять такие расчеты с помощью ЭВМ. Применение ЭВМ позволяет использовать метод наименьших квадратов и аппарат регрессионного анализа для оценки параметров градуировочных зависимостей. Таким образом, современный химик-аналитик должен не только знать основные положения математической статистики и способы обработки результатов эксперимента, но и уметь переложить выполнение этих задач на вычислительную машину. [c.94]

Отметим, что представление (10 3 10) по форме аналогично разложению (4 3 10) остаточной суммы квадратов в обычном регрессионном анализе, проводимом методом наименьших квадратов Р1з (10 3 9) получаем наилучшую выборочную оценку шума на частоте / [c.196]

В гл 9—10 мы видели, что анализ взаимных спектров и оценивание частотных характеристик представляют собой распространение обычного корреляционного и регрессионного анализов на частотную область Точно так же многомерный спектральный анализ и оценивание многомерных частотных характеристик представляют собой распространение идей анализа множественных корреляций и многомерного статистического анализа на частотную область в этом разделе мы дадим обзор основных понятий множественной корреляции и множественного регрессионного анализа Предполагается, что читателю полностью известен метод наименьших квадратов, изложенный в Приложении П4 1 [c.241]

Указанное соотношение можно найти при помощи статистического регрессионного анализа. Здесь мы коснемся лишь простейшего случая — подбора соотношения для прямой линии методом наименьших квадратов. [c.47]

Например, в ряде случаев используется элементарный регрессионный анализ, основанный на методе наименьших квадратов [40, 41], для проведения которого аналитику достаточно располагать программируемым [c.379]

Первая из этих задач решается методом наименьших квадратов, вторая—с помош,ью регрессионного анализа. [c.258]

При практическом применении формального подхода большое значение имеет статистическая обработка данных с использованием метода наименьших квадратов, в виде одно- или многопараметрового регрессионного анализа. Чисто математические аспекты регрессионного анализа изложены в доступных руководствах (см., например, [702]). Однако проблема оценки получаемых при этом результатов, а также структура общего алгоритма обработки данных не представляются совсем тривиальными и имеющими однозначное решение. [c.314]

Описана система регрессионного анализа с применением данных о 200 точках кинетической кривой, полученных либо через равные промежутки времени, либо через постепенно возрастающие промежутки времени [29]. Данные анализируются по ходу эксперимента с помощью небольшого компьютера методом наименьших квадратов [38]. Константы скорости, а в частном случае также коэффициенты молярного поглощения для каждого реагента должны быть тщательно измерены. Скорость получения данных для стандартной смеси варьируется до тех пор, пока не будут достигнуты минимальные погрещности, полученные методом наименьших квадратов. В расчет принимаются средневзвешенные данные, так что результатам, полученным вблизи окончания реакции с медленно реагирующим компонентом, придается малое значение. Вся операция анализа смесей с полупериодом реакции до доли минуты занимает около 3 мин, включая время обработки данных. Были проанализированы двойные смеси кальция и стронция в интервале концентраций 10 " —10 М при соотношении концентраций компонентов от 0,11 до И стандартное отклонение составляло для основного компонента менее 1%, а для второго компонента — несколько более 2%. При анализе тройных смесей магния, кальция и стронция погрешность была в пределах до 6%, т. е. на порядок меньше, чем раньше [22], когда пользовались непрерывным методом. Показано, что точность анализа двойных смесей относительно независима от соотношения констант скоростей, с нижним пределом до к1,5. Верхний предел соотношения констант скоростей определяется интервалом времени, необходимым для достижения одного полупериода реакции медленно реагирующего компонента. [c.433]

Пользуясь уравнением метода регрессионного анализа в матричной форме (П-172), выведите расчетные формулы для метода наименьших квадратов на плоскости. [c.466]

Результаты регрессионного анализа данных методом наименьших квадратов в координатах соотношения (I) приведены в табл. 2. Наклон прямых как и в случае энергии связи 1е -электронов равен в пределах статистических погрешностей единице. Этот результат несколько отличается от приведенного в работе , где при корреляции энергии "Электронов с [c.481]

Все расчеты методом наименьших квадратов осуществлены на ЭВМ "Наири-2" по программе регрессионного анализа. Полученные результаты округлялись до 0,01 ккал/моль, величина г- до трёх знаков после запятой. [c.863]

Несмотря на сглаживание погрешностей, которое имеет место при проведении прямой, значения постоянных линейного уравнения содержат некоторую погрешность. Если прямая проводилась по методу наименьших квадратов, эта погрешность может быть рассчитана по уравнениям регрессионного анализа. Ограничимся, как и выше, случаем, когда при каждом значении параметра л/ измерено только одно значение функции у . [c.27]

Несмотря на сглаживание погрешностей, которое имеет место при проведении прямой, значения постоянных линейного уравнения содержат некоторую ошибку. Если прямая проводилась по методу наименьших квадратов, эта ошибка может быть рассчитана по уравнениям регрессионного анализа. Ограничимся, как и выше, случаем, когда при каждом значении параметра измерено только одно значение функции У1- Допустим, что предположение о линейном характере изучаемой зависимости не вызывает никаких сомнений. Пусть [c.29]

Метод наименьших квадратов в приложении к решению задач регрессионного анализа представлен в настоящей главе как самый удобный общий метод, а не как наилучший. Дело здесь в следующем чтобы показать, что решение задачи, получаемое методом наименьших квадратов, является оптимальным , мы должны допустить, что а) распределение случайных ошибок измерений является нормальным, б) экспериментальная ошибка определяется ошибкой только одной переменной, в) соответствующие веса измерений известны и г) возможными систематическими ошибками можно пренебречь. К сожалению, о том, в какой мере каждое из этих допущений выполняется на практике, известно очень мало. Большинство исследователей стремятся к тому, чтобы сделанные ими заключения зависели от как можно меньшего [c.260]

Регрессионный анализ проводится с помощью компьютера. Линию регрессии через разбросанные на диаграмме точки проводят, пользуясь методом наименьших квадратов. Величины К и п вычисляют вместе с их стандартными отклонениями (разд. IV). [c.24]

Полученные по описанной в [113] экспериментальной методике данные по скорости ультразвука в растворах мочевины в воде и дейтеромочевины в тяжелой воде (при с 2 - 0,05-1,5 и 278,15, 283,15, 298,15, 318,15 и 338,15 К) были подвергнуты регрессионному анализу методом наименьших квадратов. Для восстановления концентрационных зависимостей использовалась модель [c.147]

Вычисление констант реакционных серий осуществлено с использованием ЭВМ Наи-ри-2 , для которой были составлены специально приспособленные для решаемого класса задач программы, оформленные на языке двухадресных машинных команд и основанные на известных алгоритмах мультилиней-ного регрессионного анализа (метода наименьших квадратов). В ходе такой обработки данных вычислялись оценки корреляционных множителей (констант реакционных серий), их стандартные погрешности, общее стандартное отклонение з и коэффициент множественной корреляции К. После каждого цикла такой обработки осуществлялось исключение отклоняющихся точек с использованием 1-кри-терия Стюдента. Как правило, принимался 95%-доверительный уровень. В случае включения перекрестных членов уровень риска был в некоторых случаях завышен до 90%-го доверительного уровня. [c.143]

Основной инструмент построения линейных моделей—линейный регрессионный анализ. Вплоть до настоящего времени регрессионный анализ широко применяется в его традиционной форме классического метода наименьших квадратов (OLS, или классический МНК). Ниже мы рассмотрим классический МНК в его наиболее общей форме, а также некоторые другие методы так называемого мягкого моделирования — регрессию на главных компонентах (P R), дробный, или блочный, метод наименьших квадратов (PLS), а также направленный факторный анализ (TTFA). [c.546]

Применение методов наименьших квадратов и максимального правдоподобия для нахождения точечных оценок параметров. Построенные с помощью экспериментального либо экспериментально-аналитического метода математические модели содержат неизвестные константы (параметры), значения которых определяются по экспериментальным данным. Если используемые модели линейны относительно искомых параметров, то задача их оценки сравнительно легко решается методами линейного регрессионного анализа и, в частности, л<егодол< наименьших квадратов. [c.31]

Приближенная регрессия. Метод наименьших квадратов. Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости пользуются уравнением приближенной регрессии. Задача ставится таким образом по данной выборке объема п найти уравнение приближенной регрессии и оценить допускаемую при этом ощибку. Эта задача рещается методами регрессионного и корреляционного анализа. Уравнение приближенной регрессии существенно зависит от выбираемого метода приближения. В качестве такого метода обычно выбирают метод наименьщих квадратов. Пусть задан некоторый класс функций /(х), накладьшающих на выборку одинаковое число связей I. Число связей I равно числу неопределенных коэффициентов, входящих в аналитическое выражение этой функции. Чаще всего используют многочлены различной степени. Наилучшее уравнение приближенной регрессии дает та функция из рассматриваемого класса, для которой сумма квадратов имеет наименьшее значение л [c.125]

Применение метода наименьших квадратов, дисперсионного и регрессионного анализов при изучении флуктуации параметров 1 радуировочных графиков. [c.422]

По мере поступления урожайные данные опытов обрабатывались различными статистическими методами на ЭВМ Мир . Так, обработка обычным методом дисперсионного анализа с учетом двух факторов (одним из которых всегда являлось содержание подвижного фосфора в почве) показала, что различие между фосфорными фонами во всех опытах достоверно. Наибольший интерес представляют результаты обработки методом регрессионного анализа. Этот метод подробно описан в книге В. Н. Перегудова Метод наименьших квадратов и его применение в исследованиях (1965 г.) и в книге Д. Снедекора Статистические методы в применении к исследованиям в сельском хозяйстве и биологии (1961 г.). [c.20]

Нахождение наилучших оценок коэффициентов регрессии методом регрессионного анализа (иначе методом наименьших квадратов ) соответствует принципу максимума правдоподобия и заключается в решении системы алгебраических уравнений, получае- м ой приравниванием нулю частных производных 2 ( — УопУ по каждому из коэффициентов. Удобнее всего эти расчеты проводить в матричной форме. [c.429]

На указанном ЭШ осуществлялся также регрессионный анализ по методу наименьших квадратов, согласно однопара метровому уравнению (8) со свободным членом и трехпараметро-вому уравнению (9) без свободного члена [c.399]

Дробилки, что дало возможность получить соотношения для определения тока в широком диапазоне условий функционирования. Для определения значений параметров модели использовали метод наименьших квадратов и спланн-регрессионный анализ, что позволило получить наилучшее соответствие между предсказываемыми и наблюдаемыми значениями показателей работы дробилки в диапазоне реальных технологических условии. [c.51]

При изучении нескольких параметров может возникнуть необходимость выявить и оценить наличие связей между ними, их силу и направленность. Такая задача решается с помошью корреляционного и регрессионного анализа. Наиболее часто в качестве аппарата корреляционного и регрессионного анализа используется метод наименьших квадратов. Данный метод позволяет построить эмпирическую зависимость (чаше линейную) между выборками таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений выборочных значений от этой эмпирической зависимости была наименьшей. [c.694]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология