Преобразования симметрии гамильтониана

Действительно, гамильтониан, как известно, зависит от Зп координат Хи уи 21, лгг, у2, 22,, Хп, Уп, гп, которые для удобства обозначим дг ( =1, , 3/г). В результате действия преобразования симметрии координаты гамильтониана меняются, т. е. [c.129]

В соответствии с этим результатом дадим наиболее общее определение преобразования симметрии гамильтониана как такого линейного преобразования координат, которое оставляет гамильтониан неизменным в смысле соотношения (6.20). [c.117]

Напомним, что угловой момент является одной из постоянных (интегралов) движения. Если сравнить равенство (6.14) (где в качестве оператора общего вида 0 выступает гамильтониан системы) с равенством (4.56), можно прийти к выводу, что операторы преобразований симметрии гамильтониана выполняют роль постоянных движения и что их удобно использовать для классификации состояний физической системы. Нетрудно убедиться, что все преобразования симметрии гамильтониана обладают свойствами а — г, перечисленными в разд. 6.1 и, следовательно, образуют группу. [c.118]

Существование нейтрального элемента. Известно, что гамильтониан зависит от Ъп координат Х(, у , 1, Хг, Уг, 2 , х , у , которые для удобства обозначим д, (/ = 1,. .., 3 ). В результате действия преобразования симметрии координаты гамильтониана меняются, т. е. [c.346]

При кристаллизации нарушается симметрия относительно параллельных переносов и вращений — элементов группы движений пространства. В большинстве случаев кристаллизация является фазовым переходом первого рода. Однако состояние кристалла инвариантно относительно преобразований группы симметрии кристалла, являющейся подгруппой При структурном фазовом переходе в кристалле менее симметричное состояние уже не инвариантно относительно а лишь относительно подгруппы 1 группы 0. В магнетике с обменными силами (модель Гейзенберга) гамильтониан инвариантен относительно однородного вращения всех спинов системы. Группа симметрии ферро- или антиферромагнитного состояния уже группы симметрии гамильтониана. Действительно, в этом состоянии момент имеет вполне определенное направление. Не меняя его, можно производить лишь вращения вокруг оси, параллельной вектору полного момента. Таким образом первоначальная группа симметрии (Уз вращений в трехмерном пространстве свелась в ре- [c.26]

Предположим, что полный гамильтониан молекулы остается инвариантным относительно преобразований некоторой молекулярной точечной группы G. При действии оператора этой группы симметрии, скажем G, на некоторую орбиталь R эта орбиталь, вообще говоря, перейдет в новую R действие этого оператора на детерминант (5.1.1) (или, разумеется, на любой детерминант) переводит его в некоторый новый детерминант. Таким образом, детерминант, построенный из дважды занятых орбиталей, может и не обладать определенной симметрией. Однако в частном случае, когда функция R есть просто линейная комбинация орбиталей А, В,. .., X, из которых построен первоначальный детерминант, столбцы нового детерминанта будут линейными комбинациями столбцов исходного детерминанта. В этом случае новый детерминант идентичен первоначальному и поэтому описывает полностью симметричное состояние. [c.146]

Таким образом, операция симметрии математически определяется как операция, не изменяющая гамильтониана системы. Это свойство инвариантности гамильтониан, однако, вообще говоря, не разделяет со своими собственными функциями соображения симметрии играют большую роль при определении вида этих функций и при выяснении вопросов, связанных с их преобразованиями. [c.346]

В соответствии с принятым определением бесконечного кристалла циклическая система определяется следующими условиями а) бесконечный кристалл образован путем периодического повторения циклической системы б) группа симметрии циклической системы есть с элементами 1 т. е. гамильтониан системы остается инвариантным относительно преобразований Н х) = Я(/< )д ), где х — совокупность координат всех частиц кристалла (электронов и ядер). Любая ячейка кристалла, содержащая несколько минимальных элементарных ячеек (расширенная элементарная ячейка — РЭЯ), удовлетворяет первому условию. Относительно примитивной ячейки заметим, что она, по определению, является минимальной по объему областью кристалла, для которой этому условию можно удовлетворить. Группа симметрии примитивной ячейки как циклической системы не содержит трансляций I г. на векторы прямой. решетки и, следовательно, изоморфна точечной группе кристалла С. [c.46]

Система с таким гамильтонианом называется -мерной моделью Изинга (с нулевым внешним полем). При 3 < О она называется ферромагнитной моделью Изинга, а при У > О — антиферромагнитной. Причины для таких названий будут ясны позднее. Гамильтониан Я трансляционно-инвариантен и допускает еще группу симметрии Z2, состоящую из двух элементов е — тождественного преобразования и симметрии д, при которой ( ф)(ж) = —ф(ж). Эта группа и есть упомянутая выше группа -симметрии. [c.15]

Для любой кусочно-постоянной системы преобразование может быть представлено произведением матриц преобразований с определителем результирующей матрицы, равным единице. Уравнение (3.12), тесно связанное со свойствами сохранения площади фазового пространства, ограниченной траекторией частицы с постоянным гамильтонианом, сокращает число вычисляемых постоянных в преобразовании (3.11) с четырех до трех. Если преобразование обладает дополнительными свойствами симметрии, тогда они могут быть использованы для дальнейшего уменьшения числа констант. В линейных системах удобно работать с двумя типами фазового пространства с фазовым пространством, ограниченным прямыми линиями, и с фазовым пространством, ограниченным эллипсами. Каждая из этих границ обладает хорошо известными свойствами а) прямые линии преобразуются в прямые линии б) эллипсы преобразуются в эллипсы. Проиллюстрируем эти свойства. Для специфического преобразования [c.99]

Гамильтониан системы инвариантен относйтельно преобразований группы С 4 , поэтому функция г1), соответствующая основному (невырожденному по координатам) состоянию, должна служить базисом для одного из одномерных представлений группы. Легко показать, что если при всех преобразованиях симметрии функции ф й,-( ) переходят в ТАг ( )> то указанному выше требованию удовлетворяют волновые функции вида [c.134]

Что же касается однодетерминантного рутановского состояния с п закрытыми и р открытыми оболочками, то, по-видимому, наиболее закрытый гамильтониан Фока (отвечающий с п заполненными оболочками) зависит от спина. Более того, преобразование симметрии, необходимое для того, чтобы оо стала рутаповским детерминантом (т. е. обмен спинов а и р только для 2п электронов), не является изменением рассматриваемой системы. Поэтому никакая не может соответствовать рутановскому состоянию однодетерминантное рутанов-ское состояние с открытой оболочкой не может быть найдено путем решения вариационной задачи без дополнительных ограничений. Может существовать только так называемое неограниченное хартри-фоковское решение. [c.160]

В молекуле, гамильтониан которой инвариантен по отношению к преобразованиям группы симметрии, существует тесная связь между симметрией и локализованными орбиталями. Если матрица плотности р (ж х ) в уравнении (10) инвариантна по отношению ко всем преобразованиям группы, то инвариантен также и хартри-фоковский оператор уравнения (9) и, следовательно, канонические молекулярные орбитали принадлежат к неприводимым представлениям. С другой стороны, локализованные орбитали часто принадлежат к приводимым представлениям, причем групповые преобразования просто мештт порядок локализованных орбиталей. Получающиеся при такой перестановке локализованные орбитали часто называют эквивалентными орбиталями Простейшим примером является атомная конфигурация (5) 2рхУ), волновую функцию которой можно записать в виде [c.103]

Для краткости по аналогии с ядерной физикой будем называть пространство компонент параметра порядка изотопическим пространством, а преобразования непрерывной группы симметрии в изотопическом пространстве изотопическими преобразованиями. Расширяя класс систем с непрерывным вырождением, включим в их число нематические жидкие кристаллы и сверхтекучий Не . Для этих систем гамильтониан не инвариантен относительно однородных вращений в изотопическом пространстве из-за связи реального пространства с изотопическими степенями свободы системы. Тем не менее однородные равновесные состояния этих систем можно считать вырожденными, поскольку однородные вращения не меняют их термодинамический потенциал. Подчеркнем, что это свойство нарушается для неоднородш>1Х состояний — в этом случае изотопическое вращение изменяет свободную энергию. [c.154]

Неподвижной точкой преобразования (2.3) является у = 2. В этом случае члены четвертого порядка в гамильтониане (2.1) могут быть записаны в форме (ф + ф ), и следовательно, гамильтониан (2.1) становится инвариантным относительно вращений в плоскости ф1 — фа. При других значениях у такой симметрии нет. Она, однако, появляется в области сильно развитых флуктуации. Исследованию этого вопроса предпошлем краткий анализ фазовой диаграммы рассматриваемой системы с точки зрения теории Ландау. Простой анализ показывает, что на плоскости (т, у) область т > О, у >—2 соответствует симметричной фазе (фаза I), в области т<0, —2<у<2 осуществляется фаза ф1 = фг =0 (фаза II), в области т < О, у >2 осуществляется фаза ф1 =0, фа = О или ф1 = 0, фа О (фаза III). Преобразование (2.2), (2.3) переводит фазу II в фазу III. В частности, отрезок —2<у<2 это преобразование переводит в 2<у<°о. Линия у = 2 является линией фазовых переходов первого рода между фазавли II и III. Область положительной определенности гамильтониана (2.1), соответствующая границам термодинамической устойчивости, определяется неравенствами [c.289]

Как подчеркивали Чижек и Палдус [3—5], несинглетная нестабильность является менее общей, чем синглетная. Кроме того, последняя чаще приводит к нарушению симметрии, поэтому соответствующий гамильтониан Фока инвариантен к меньшему числу преобразований, чем имеется в Оцростр- Отсюда следует, что электронная плотность, отвечающая низшему син-глетному решению не полностью симметрична по отно- [c.162]

Фазовый диаграммой семейства гамильтонианов р/Д называется разбиение пространства параметров па множества постоянства этой функции. Мы покажем, что при широких условиях для больших р фазовая диаграмма семейства гамильтонианов мало зависит от Р и устроена так же, как фазовая диаграмма, описывающая структуру множества основных состояний семейства гамильтонианов Отсюда, в частности, вытекает, что появление нескольких неразложимых предельных распределений Гиббса связано с наличием у исходного гамильтониана Яо нескольких основных состояний, т. е. с вырождением основного состояния. У гамильтонианов, обладающих какой-либо групиой симметрии, вырождение основного состояния обычно вызывается тем, что основные состояния сами по себе несимметричны и переходят друг в друга под действием преобразований из группы симметрии. Иными словами, группа симметрии действует на пространстве основных состояний. Поэтому появление в таких системах нескольких неразложимых предельных распределений Гиббса называется спонтанным нарушением симметрии. Вообще же, для появления нескольких предельных распределений Гиббса требуется не специальная симметрия гамильтониана, а только лишь вырождение основного состояния. [c.51]

Как показано на рис. 4.1, в симметричной фазе при Т>Тс потенциал имеет единственный минимум и, следовательно, точку устойчивого равновесия г =0. Наивероятнейшее значение параметра порядка г =0 совпадает с его средним значением <г >=0. При этом, если гамильтониан системы инвариантен относительно преобразований некоторой группы G, то все состояния имеют такую же симметрию, как и у гамильтониана. Для менее симметричной фазы при Т<Тс потенциал Ф имеет два минимума г = г о и максимум-точку неустойчивого равновесия г =0. Наивероятнейшее значение г о параметра порядка не совпадает с его средним значением <г >=0. Симметрия состояния системы ниже симметрии ее гамильтониана. [c.152]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология