Преобразования координат и операции симметрии

Некоторая точка имеет координаты х, у и г. Напишите уравнения преобразования, описывающие операцию симметрии 5 (aJ. [c.20]

Некоторая точка имеет координаты л , у, г. Запишите уравнения преобразования, описывающие операцию симметрии 8 (а ). [c.20]

Из требования инвариантности функции Гамильтона ко всем операциям, допускаемым симметрией молекулы, следует, что нормальные координаты должны подразделяться на ряд классов, отличающихся законом преобразования при операциях симметрии [c.148]

Преобразование координат, приводящее к идентичному расположению ядер атомов молекулы, называют операцией симметрии. Геометрическое место точек, которые при операциях симметрии переходят в идентичное расположение ядер атомов в пространстве, называют элементами симметрии (табл. 2). [c.19]

Преобразование координат, приводящее к идентичному расположению ядер атомов молекулы, называют операцией симметрии. Элементы симметрии — это вспомогательные образы (точка, прямая линия, [c.16]

Таким образом, каждой из рассмотренных операций пространственной симметрии, которую обозначают как g, можно сопоставить ортогональное преобразование координат С и оператор симметрии С, определяемый соотношением [c.36]

Таблица 3.7. Преобразование координат при операциях симметрии группы Он (центр инверсии в начале координат)

Представим себе теперь, что соверщается вращение вокруг оси С4 не плоской, а объемной фигуры, так что положения точек определяются тремя координатами. Очевидно, в этом случае для преобразования координат нужно воспользоваться матрицами третьего порядка. В остальном рассуждения остаются прежними. Группе операций симметрии [c.76]

До сих пор мы говорили о преобразованиях координат. Однако при операциях симметрии могут изменяться не только координаты ядер молекулы, но и другие ее характеристики, например волновые функции. Так, атомные орбитали одних атомов заменяются АО других атомов, и это отражается на свойствах МО. Теперь речь идет о преобразовании не координат, а функций, так что базисом представления являются функции. Размерность представления п определяется числом функций, которые преобразуются, и оно может быть больше трех. [c.76]

Поэтому, если вектор г задан вектором-столбцом из координат х , то при операции симметрии будет выполняться следующее преобразование [c.198]

Если столбцовые матрицы используются для описания векторов, то квадратные матрицы применяются для представления операций симметрии. Выполнение операций симметрии с вектором фактически является геометрическим преобразованием. Как же можно эти геометрические преобразования перевести на матричный язык Рассмотрим специальный случай и проанализируем, как операции симметрии, характерные для групп симметрии С могут быть применены к вектору, изображенному на рис. 4-4. В матричной форме мы сначала записываем (или обычно представляем себе это в уме) координаты первоначального вектора в верхней строке, а координаты вектора, получающегося в результате операций симметрии, в левом столбце [c.189]

Молекула имеет центр симметрии I. если прямая линия, проведенная от любого атома через центр молекулы, пересекает эквивалентный атом, расположенный на равном расстоянии от центра. Центр симметрии (или центр инверсии) есть элемент симметрии, а соответствующая операция — инверсия через центр, при которой половина молекулы может быть получена из другой половины. Действие операции инверсии состоит в преобразовании координат (х, у, г) в координаты (—х, —у, —г). Операцию инверсии можно представить как [c.408]

В случае молекулярных систем квантовые числа п, I и гп1 теряют свой смысл поэтому классификация этих новых состояний основана на симметрии молекулы и на значении суммарного спина. В разд. 2.2.4 для описания электронных состояний молекулярных систем уже применялись некоторые из символов, определяющих операции симметрии, однако само понятие операции симметрии до сих пор не было объяснено. Этот термин относится к изменению ориентации молекулы по отношению к некоторой фиксированной системе координат при обмене местами эквивалентных атомов молекулы таким образом, чтобы общая структура молекулы не изменилась. Операции симметрии характеризуются особыми геометрическими элементами, которые называются элементами симметрии. Симметрия молекулы определяется следующими элементами симметрии 1) ось вращения 2) зеркальная плоскость 3) центр симметрии 4) зеркально-поворотная ось 5) тождественное преобразование. [c.51]

Больишнство простых молекул обладает некоторой степенью симметрии другими словами, существуют определенные преобразования координат, которые придают атомам молекулы конфигурацию в пространстве, неотличимую от первоначальной конфигурации. Возможными преобразованиями этого типа будут вращение вокруг оси симметрии, отражение в плоскости симметрии, инверсия относительно центра симметрии, или различные комбинации этих преобразований. Если произвести последовательно два таких преобразования, то получающаяся конфигурация всегда такова, что ее можно было бы получить при помощи какого-нибудь другого преобразования. Совокупность преобразований, не меняющих конфигурации атомов в молекуле, образует, таким образом, группу операций симметрии молекулы. Мы приводим в этом Приложении таблицы характеров для большой части, групп симметрии, которые могут встретиться в вопросах строения молекул [91, 92, 93]. [c.500]

Рассмотрим операцию симметрии Я, при которой атом / переходит в положение, занимаемое атомом к. При этом новые координаты этого атома х и у ,, г ь будут функцией только старых координат л , у1, и преобразование (53) запишется следующим образом [c.81]

Если некоторые операции симметрии можно получить друг из друга путем преобразования координат, представляющего собой элемент симметрии данной системы, то эти операции относятся к одному классу симметрии. Они эквивалентны, поскольку заменяют друг друга при различном выборе системы координат. Каждому типу симметрии в пределах класса соответствует один и тот же характер. Молекуле аммиака, относящейся к точечной группе зv, отвечают следующие операции симметрии .операция идентичности, вращение на 120° по и против часовой стрелки (соответствующим элементом симметрии является ось вращения третьего порядка Сз) и отражение в трех плоскостях, проходящих через ось вращения, атом азота и один из атомов водорода Две операции вращения относятся к одному классу симметрии. К другому классу относятся три операции отражения в плоскости. В таблице характеров (табл. 1.2) этот факт обозначается коэффициентами 2 и 3 перед обозначениями операций си.м.метрии. [c.16]

Таким образом, для нелинейной молекулы XYg можно ввести две координаты симметрии типа A —q и и одну координату симметрии типа Вг—q . Поскольку потенциальная и кинетическая, а следовательно, и полная энергия не зависят от выбора координат, а, с другой стороны, инвариантны по отношению к операциям симметрии для смещенной конфигурации, происходит частичное разделение колебательной задачи. Это значит, что она может решаться отдельно для каждого типа симметрии, надо только матрицы G и F привести по симметрии с использованием коэффициентов линейного преобразования координат (IX.1) и (IX.2). Отвечающая колебанию с частотой з координата q . как единственная данного типа симметрии, является и нормальной координатой Q3, координаты же q и не являются нормальными координатами Qi и Q2, а связаны с ними линейным преобразованием [c.197]

В терминах теории групп, применительно к точечным группам симметрии, принадлежность нормального колебания к какому-то типу симметрии соответствует принадлежности к определенному неприводимому представлению данной группы. Вообще представлением группы называется совокупность линейных преобразований координат, соответствующих операциям симметрии точечной группы. Оно является приводимым, если для него можно выбрать координаты так, чтобы они преобразовывались раздельно. Представление называется неприводимым, если его нельзя дальше упростить, т. в. нельзя выбрать новые координаты, которые преобразовывались бы раздельно. [c.200]

Вводимые для описания колебаний молекулы естественные координаты разбиваются на совокупности симметрично эквивалентных координат, переводимых операциями симметрии при равновесной конфигурации друг в друга. Например, у молекулы Х /2 это две совокупности одна — дг и <72, а другая — а. Для смещенных конфигураций молекулы при нормальных колебаниях координаты в этих совокупностях преобразуются операциями симметрии по-разному, но для разных совокупностей симметрично эквивалентных координат могут существовать преобразования, происходящие одинаково в отношении каждой из операций симметрии. Именно поэтому возможно введение координат симметрии, например д <, a и g для нелинейной молекулы ХУг-Это значит, что координаты симметрии разбиваются по типам симметрии нормальных колебаний или неприводимым представлениям группы, т. е. преобразуются раздельно. Каждая из них определяет поведение всех эквивалентных естественных координат соответствующей совокупности по отношению ко всем операциям симметрии. [c.200]

Против того типа симметрии в таблице характеров, к которому относится трансляция или вращение, ставится, соответственно, один из символов Тх, Ту, Тг (иногда просто X, у, г) и Нх, Яу, Нг-Не представляет большого труда определить это и без таблиц. Достаточно задать направления главных осей X, У, I) при известной точечной группе симметрии и, смещая в направлениях осей или поворачивая относительно их молекулу, определить, как будут меняться знаки координат ядер в этой системе при выпол-лении каждой операции симметрии, т. е. определить характер каждого преобразования координат. Например, для нелинейной молекулы ХУг направления главных осей, проходящих через центр масс, показаны на рис. IX.3, и легко видеть, что типы симметрии смещений молекулы по осям и поворотов вокруг осей именно те, которые указаны для точечной группы Сгн в табл. IX. 1. [c.202]

Фиг. 2.5. Плоскости зеркального скольжения, а —штриховой линией показан след плоскости с трансляцией а/2 б-штрих-пунктирной линией показан след плоскости с трансляцией (а + с)/2. Сплошным уголком изображена группа атомов низкой симметрии. Штриховые уголки соответствуют промежуточным этапам преобразований под действием операции симметрии и не имеют физического смысла. Числа (0) и (7г) —координаты относительно плоскости чертежа.

Энергия системы не зависит от преобразования симметрии, а поэтому как функция нормальных координат [формула (2.4) из гл. 3] она инвариантна относительно этих преобразований. В гармоническом приближении нормальные колебания не зависят одно от другого и каждое из них характеризуется своей собственной частотой колебания (гл. 3, 2). Рассмотрим вначале частоту отдельного колебания, которому соответствует единственная нормальная координата Q. Операция симметрии преобразует координату Q в С , при этом с учетом инвариантности [c.97]

Они представляют собой линейные комбинации координат 1 а(Лч). закон преобразования которых под действием операций симметрии мы только что анализировали. Определим действие операции симметрии (/ , 1 + тя) на комплексную нормальную координату Рг (я) соотношением [c.106]

Таблица 5.3. Преобразование позиционных координат в арагоните-в результате операций симметрии

Молекула (как и всякое пространственное образование) называется симметричной, если при помощи некоторого преобразования координат ее можно перевести из одной конфигурации в другую совершенно эквивалентную конфигурацию (предполагается, что одинаковые атомы и химические связи неразличимы). Эти преобразования координат называются операциями симметрии, а их геометрическое представление — элементами симметрии. Симметричные операции осуществляются при помощи линейных ортогональных преобразований координат. При этом последовательное выполнение двух (или более) операций симметрии дает такой же результат, как одна из возможных операций симметрии. В случае молекул рассматриваются только такие операции симметрии, при которых одна из точек в пространстве остается неподвижной. Подобные операции называются точечными операциями симметрии. Их изучение в общей форме проводится в теории групп. В дальнейшем, однако, мы будем использовать математический аппарат теории групп в очень ограниченном объеме, сопровождая изложение необходимыми пояснениями. [c.139]

Напомним, что группа G порядка g имеет g независимых элементов. В случае групп симметрии этими элементами являются операции симметрии. Каждой операции симметрии соответствует некоторое линейное преобразование координат, которое задается матрицей его коэффициентов. Символическому произведению двух операций симметрии соответствует произведение матриц линейных преобразований, описывающих эти операции симметрии. Если речь идет о тождественной операции е, то ей отвечает единичная матрица, обратной операции соответствует обратная матрица. В целом совокупность матриц линейных преобразований, соответствующих элементам данной группы симметрии, сама образует группу, по своим свойствам эквивалентную исходной группе симметрии. Группа, состоящая из матриц л ,- линейных преобразований, однозначно соответствующих элементам некоторой группы, называется представлением этой группы. Число переменных, линейные преобразования которых образуют представление, определяет ранг матриц представления и носит название размерности представления, а совокупность указанных переменных — базиса представления. [c.189]

Мы проиллюстрируем эти положения на примере молекулы аммиака, относящейся к группе Сз . Для естественных координат <7i, 92, Яз шести возможным операциям симметрии соответствуют шесть линейных преобразований координат. Например, при повороте Сз на 120° мы имеем преобразование (рис. 33) [c.189]

Симметрия молекулы определяется прострапственным геометрическим расположением ядер, образующих молекулу. Если преобразование координат (отражение в начале координат или поворот, или сочетание обеих операций) приводит к конфигурации ядер, неотличимой от первоначальной, то это преобразование называется операцией симметрии, а про молекулу говорят, что она обладает соответствующим элементом симметрии. Молекулы могут иметь следующие элементы симметрии и соответствующие операции симметрии [c.30]

Симметрию полиэдра характеризует совокупность его поворотов вокруг воображаемых осей, проходящих через центр масс полиэдра, и отражений атомов в воображаемых П.Л0СК0СТЯХ, проходящих через оси вращения или перпендикулярных к ним. При вращениях центр масс (точка) не меняет положения, поэтому симметрию назы вают точечной. Повороты и отражения, приводящие к неотличимым от начальных ориентаций атомов в выбранной системе координат, называют преобразованиями или операциями симметрии, а ось н п.тоскосте — элементами симметрии. Существование элементов симметрии обнаруживается лишь посредством операций симметрии. [c.169]

Симметрию полиэдра характеризует совокупность его поворотов вокруг воображаемых осей, проходя щих через центр масс полиэдра, и отражений атомов в воображаемых плоскостях, проходящих через оси вращения или перпендикулярных к ним. При вращениях центр масс (точка) не меняет положения, поэтому симметрию назьц вают точечной. Повороты и отражения, приводящие к неотличимым от начальных ориентаций атомов в выбранной системе координат, называют преобразованиями или операциями симметрии, а ось и плоскости — элементами симметрии. Существование элементов симметрии обнаруживается лишь посредством операций симметрии. Совокупность всех элементов симметрии, или набор всех операций симметрии, которые можно.провести над молекулой, образует точечную группу. [c.169]

Следующим шагом является преобразование этого выражения (и соответствующего выражения для кинетической энергии) к координатам симметрии. Это может быть сделано при помощи таких линейных комбинаций внутренних координат, которые согласуются по свойствам симметрии и числу с рассмотренной выше классификацией нормальных колебаний. Например, мы видели, что имеется два нормальных колебания класса А д, которые характеризуются тем, что они симметричны по отношению ко всем операциям симметрии точечной группы Оф. Соответствующинш координатами симметрии являются [c.304]

Симметрия (от греч. зуттеЬгга — соразмерность) в данном случае означает неизменность структуры объекта или формы геометрической фигуры при различных операциях преобразования координат вращения вокруг выбранной оси, отражения относительно плоскости, инверсии координат относительно центра симметрии. Подробнее см. разд. 2.5.4. [c.54]

Рассмотрев все четыре операции в точечной группе 2 , найдем, что полное представление в базисе координат смещения для молекулы НМЫН состоит из четырех матриц размера 12 х 12. Оперирование такими большими матрицами затруднено и требует много машинного времени. Эту задачу можно упростить. Мы здесь не будем подробно обсуждать, как это можно сделать в общем случае, поскольку в следующих главах используется самый легкий и быстрый способ, связанный с применением матричных представлений. Мы просто кратко поясним метод, который приводит малопривлекательные и громоздкие представления операций симметрии к более простой форме [1]. С помощью подходящего преобразования подобия обычную матрицу можно превратить в так называемую б.ючно-диагочальиую матрицу. В такой матрице ненулевые элементы сгруппированы только в квадратных блоках, расположенных вдоль диагонали, проходящей из левого верхнего в правый нижний угол. Например, типичная блочно-диагональная матрица имеет вид [c.199]

НИЯ квадратов волновых функций должны остаться неизменными При этом, если прн действии операторов симметрии второго парядка координаты точек преобразуются парами, т е координата х одной точки переходит в координату х другой точки, координата >> одной точки переходит в координату у другой точки и т д, то при операции вращения вокруг оси, например, третьего порядка, совмещенной с осью г сразу пара координат д и у переходит в пару координат х и у другой точки Одновременно пара координат х иу переходит в пару координатх" и>>"третьей симметричной точки, а ее координаты — в координаты х и у первой точки Таким образом происходит совместное одновременное преобразование координат в разных точках пространства [c.256]

Ось симметрии —линия, поворот относительно которой на угол 2п1п рад дает структуру, совмещающуюся с исходной. Операцию вращения обозначают символом Сп, где п — порядок вращения обычно вращение считается положительным в направлении часовой стрелки. Если ось 2 есть ось вращения, то действие операции вращения состоит в преобразовании координат (х, у, г) в —х, —у, г). Операцию вращения Сг можно представить как [c.409]

Рассмотрим несколько примеров. Молекула гране-бута диен а имеет четыре операции симметрии. Наличие тождественного преобразования тривиально. Мы уже упоминали о вращении на 180°, которое обозначается символом Сг. Как у любой плоской молекулы, отражение в плоскости молекулы является операцией симметрии. Оно обозначается символом Он, где индекс /г указывает, что отражение осуществляется в горизонтальной плоскости (перпендикулярной оси вращения, которая рассматривается как вертикальная ось). Эта операция не изменяет положения всех атомов молекулы. (Заметим, однако, что она приводит к изменению знаков всех базисных ря-функций.) Инверсия всех координат в точке начала отсчета, выбранной в центре молекулы, тоже является операцией симметрии. Эта операция приводит к такой перестановке индексов атомов, как операция Сг. (Она изменяет не только индексы, но и знаки базисных ря-функ-ций.) В данном конкретном случае система имеет по одному элементу симметрии (тождественное преобразование, ось, плоскость и точка), соответствующему каждой операций симметрии. Группа симметрии, состоящая из этих элементов, Е, С2, I, б , называется группой Сгй. Все элементы симметрии бутадиена пересекаются в точке инверсии. Все элементы симметрии- любого объекта должны пересекаться в некоторой точте поэтому п 9-странственные группы симметрии индивидуальных объектов часто называют точечными группами. Группы, симметрии, используемые для описания кристаллов и других систем, обладающих повторяющейся трансляционной симметрией, называются пространственными группами. Здесь мы сосредоточим внимание на точечных группах симметрии объектов молекулярного типа. [c.267]

Все эквивалентные элементы данной группы образуют класс эквивалентных элементов. Как правило, группа состоит из нескольких классов. Если элементами группы являются операции симметрии, то из аналогии со смыслом равенств (6.33) и (6.35а) можно заключить, что в (6.42) X означает операцию, которая возникает из операции У при преобразовании подобия, осуществляемом с помощью операции симметрии I. Это позволяет рассматривать эквивалентные операции X и У как идентичные, однако отнесенные к различным системам координат, в которых осуществляется операция. В качестве примера распределения элементов группы по классам укажем на запись операций симметрии групп ТапОн, приведенную в конце разд. 6.3 (стр. 122), из которой видно, что группа Та состоит из пяти, а группа Он — из десяти классов эквивалентных элементов. [c.127]

Функции, полученные из уравнения с помощью операций фактор-группы, являются функциями подобного же вида, принадлежащими разным местам элементарной ячейки, заданным одним из значений индекса . Линейные комбинации уравнения (19) и его преобразований могут быть составлены так, чтобы они принадлежали представлениям фактор-группы. Пример будет приведен ниже . Даже если вектор к не равен нулю, может, однако, случиться, что он инвариантен по отношению к определенным операциям фактор-группы. Эти операции образуют подгруппу фактор-группы, названную Бокартом и др. [5] группой волнового вектора. Из функций [уравнение (19)], принадлежащих к-му представлению группы трансляций, тоже могут быть составлены такие комбинации, которые обладают свойствами представлений группы волнового вектора. В качестве примера для простого кристалла нафталина и антрацена (Р21/й) уже было показано, что для к = О волновые функции кристалла преобразуются подобно представлениям фактор-группы. Сг/г, приведенным в табл. 1. Существуют два занятых места, пронумерованных 1 и 2, и /2 молекул в каждом наборе молекул, связанных трансляцией. Из операций фактор-группы, приведенных в табл. 1, как вращение, так и отражение переводят набор 1 в набор 2 и наоборот. Инверсия переводит каждый набор сам в себя, а представления фактор-группы должны иметь те же самые характеры ( или и), что и волновые функции молекулы. Прежде чем рассматривать другие операции, следует найти соотношение между системами координат молекул в этих двух местах. Это делается следующим образом. Предположим, что прямоугольная правовинтовая система осей совмещена с осями симметрии молекулы в месте 1 элементарной ячейки при выбранном произвольно положительном направлении. Тогда расположение осей для молекулы в месте 2 будет определяться преобразованием исходных осей с помощью операций 0/1. Теперь преобразование функции при помощи каждой операции симметрии фактор-группы фиксировано, а следовательно. [c.521]

Невырожденные представления обозначаются буквами А В. Представления А симметричны, а В антисимметричны по отношению к вращ.ению около главной оси симметрии, т. е. около оси г. Дважды вырожденные представления обозначаются через и трижды вырожденные представления— через Т. Характеры групп вида Обл = ЬдХ не даны в явном виде. Их можно легко находить способом, показанным в табл. 19 для группы Эти представления обозначаются знаками А и и т. д., причем -пред-ставления симметричны, а -представления антисимметричны по отношению к инверсии. Приводятся также свойства преобразований координат х, у, 2, произведений координат х , ху, Х2, уг и вращений вокруг осей х, у и обозначаемых и соответственно. Если имеет место операция , то координаты принадлежат к а-пред-ставлениям, а вращения и произведения координат принадлежат к -представлениям, в чем можно убедиться из табл. 19. [c.506]

Волновым векторам звезды, не инвариантным относительно операции симметрии, соответствуют нормальные координаты, преобразующиеся в нормальные координаты разных волновых векторов. Субматрицы соответствующих преобразований не находятся на главной диагонали и, таким образом, не дают вклада в характер представления. [c.113]

Обозначим r , r ,. .. векторы смещений атомов г, к,. .. из их положений равновесия. В декартовой системе координат эти векторы имеют компоненты Xi, Zi и т. д. Пусть при данной операции симметрии z атом i перемещается в новое положение, где до этого находился другой такой же атом к. При таком преобразовании компоненты смещения х[, y , z. будут выражены через смещения Xk, уь, т. е. не будут содержать компонент Хг, y.i, Zi. Это означает, что в соответствующих строках матрицы nmiz) не будет диагональных элементов, т. е. вклад в характер % z) таких атомов действительно равен нулю. [c.198]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология