Матрицы преобразования произведение

В первом столбце таблицы записан номер опыта, во втором приведены значения фиктивной переменной а = 1, вводимой для удобства преобразований матричной формы в третьем, четвертом и пятом столбцах — значения переменных х- тих и их произведение Х]Х,2, в шестом — вектор значений результатов наблюдений, причем этот столбец, как и первый, непосредственно к матрице планирования не относится. [c.144]

Если для каждого класса закон преобразования декартовых координат уже охарактеризован своими шпурами матриц преобразования, то подобная же характеристика преобразований с/ч )ункций устанавливается из простых рассуждений. Пусть, например, для класса 3 уже установлено, что (х, у, г) -> (х, -2, у). Тогда для произведения декартовых координат имеем ху, хг, уг) (-хг, ху, -уг). Теперь следует представить это преобразование записанным в матричной форме и найти шпур, соответствующий матрице, он равен -1. Поступая подобным же образом со всеми пятью (/-функциями для каждого класса преобразований, убеждаемся, что при всех преобразованиях симметрии функции Л у хг уг функции ( у. (/ 2) образуют свои инвариантные подпространства и чго шпуры матриц преобразований для перечисленных выше классов равны [c.192]

Итак, упрощение произведения матриц, содержащего две матрицы с одинаковыми индексами, по которым производится суммирование, сводится к преобразованию произведения с помощью (61,2) к таким произведениям, которые содержат рядом две матрицы с одинаковыми индексами, и последующему суммированию по правилам (61,27). [c.286]

В общем виде, если две матрицы А и В с помощью преобразования подобия могут быть приведены к блочно-диагональным матрицам, имеющим одинаковую форму, их произведение С имеет аналогичный вид [c.200]

В ряде приложений приходится производить преобразования произведений матриц уц- Такие вычисления легко выполняются,, если использовать основное перестановочное свойство (61,2) матриц. Например, [c.286]

Матрица (угй) произведения преобразований образуется из матриц преобразований (а<й) и (Р й) по закону [c.677]

Необходимо подчеркнуть, что эти функции должны быть нормированы (это указывается двойной вертикальной чертой при записи скалярного произведения). Допустим, что функция ф/ входит в базис неприводимого представления Г) группы С, которому соответствует матрица (ГеС), а функция ф/ входит в базис неприводимого представления Гз, которому соответствует матрица (7еС). Когда оба неприводимых представления совпадают, мы будем считать, что они полностью идентичны, а не только эквивалентны. В более широком смысле будем считать функции идентичными и тогда, когда они по-разному нормированы (поскольку в данный момент нас интересуют лишь их свойства симметрии). Выражение (6.59) представляет собой скалярное произведение (число), поэтому действие оператора преобразования симметрии Т на матричный элемент Му не изменяет его значения с использованием (6.49) можно записать [c.134]

Как указывалось в разделе II.8, состав бинарного сополимера, а значит и механизм реакции сополимеризации, в отличие от обсуждавшихся до сих пор примеров будут иметь общие черты с таковыми для сплавов. В этом случае в принципе так же, как и при выводе, например, уравнения (11.41), достаточно в матрице преобразования заменить В на произведение р 5, где р = N Nr представляет собой мольное отношение непрореагировавших мономеров (которые обозначаются соответственно X и Y) [30]. В это№. случае величины / и /, входящие в уравнения (11.38), можно записать в виде следующих уравнений [c.132]

Заполняем оставшиеся элементы второго столбца. Для этого из каждого элемента второго столбца исходной матрицы вычитаем произведения уже известных элементов первой строки и первого столбца преобразованной матрицы, находящихся выше (в данном столбце) и левее (в данной строке), например [c.215]

Таким образом, последовательное применение двух преобразований к некоторой функции может быть описано одной матрицей, равной произведению матриц этих преобразований. [c.53]

Для любой кусочно-постоянной системы преобразование может быть представлено произведением матриц преобразований с определителем результирующей матрицы, равным единице. Уравнение (3.12), тесно связанное со свойствами сохранения площади фазового пространства, ограниченной траекторией частицы с постоянным гамильтонианом, сокращает число вычисляемых постоянных в преобразовании (3.11) с четырех до трех. Если преобразование обладает дополнительными свойствами симметрии, тогда они могут быть использованы для дальнейшего уменьшения числа констант. В линейных системах удобно работать с двумя типами фазового пространства с фазовым пространством, ограниченным прямыми линиями, и с фазовым пространством, ограниченным эллипсами. Каждая из этих границ обладает хорошо известными свойствами а) прямые линии преобразуются в прямые линии б) эллипсы преобразуются в эллипсы. Проиллюстрируем эти свойства. Для специфического преобразования [c.99]

Если ввести излучение, то члены матрицы примут слегка отличающиеся значения и определитель будет незначительно отличаться от единицы. Если предположить, что с точностью до членов второго порядка малости каждая отдельная квадратичная матрица преобразования второго порядка отличается от единицы на небольшую величину б( ,то с этой точностью определитель квадратичной матрицы шестого порядка, который является произведением трех определителей, дается выражением [c.173]

ПРОИЗВЕДЕНИЕ УСРЕДНЕННЫХ МАТРИЦ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [c.141]

Самый основной вопрос — можно ли примитивную функцию представить в виде произведения, т. е. сделать ее мультипликативной сепарабельной величиной Очевидно, это возможно сделать тогда и только тогда, когда волновая функция системы N невзаимодействующих электронов представляется отдельным слэтеровским детерминантом в этом случае примитивная функция является произведением N орбиталей, которые можно к тому же с помощью соответствующего унитарного преобразования взять в максимально разделенном виде. Часто, однако, нельзя или неразумно представлять невзаимодействующую систему одним слэтеровским детерминантом в общем случае надо брать линейную комбинацию слэтеровских детерминантов (нанример, в случае конфигураций 1о и 1а , см. [7а, б]). В этих случаях подход, использующий частичные матрицы плотности, оказывается особенно полезным. [c.53]

Произведение двух матриц есть матрица, описывающая преобразование вида (IV, 1), при котором точки должны попадать в вершины одного и того же квадрата. [c.72]

Если исходная матрица ошибок была построена в предположении постоянства стандартных отклонений оптических плотностей,, то в до конца преобразованной ступенчатой матрице ошибок [42, 48] сумма элементов каждой строки оказывается примерно постоянной и равной произведению числа элементов в строке на стандартное отклонение оптических плотностей. Поэтому Мак-Муллен с соавторами [47] предложили вообще не пользоваться матрицами ошибок, а считать, что все строки матрицы оптических плотностей равноточны на любом этапе преобразования. Тогда вопрос о признании данной строки нулевой тоже можно решить, не доводя преобразование матрицы О до конца. Для этого достаточно вычислить среднее квадратичное отклонение элементов данной строки от нуля [c.57]

Мы получили, таким образом, правило (12) вычисления элементов с ,-матрицы-произведения С из элементов матриц-сомножителей А ц В. Законы умножения матриц отличаются от законов умножения обычных чисел тем, что произведение матриц в общем некоммутативно, т, е. зависит от порядка сомножителей. Это следует непосредственно из формулы (12), а также очевидно интуитивно результат двух преобразований может зависеть от порядка, в котором эти преобразования совершены. [c.444]

Таким образом, для составления векового уравнения в раскрытом виде необходимо найти все коэффициенты Вц перехода от декартовых координат к внутренним (построить матрицу преобразования В), затем, согласно (П4.23), найти элементы матрицы О и по (П4.24) вычислить произведения соответствующих миноров определителей [ С и / . Следует отметить, что число необходимых миноров очень быстро растете увеличениемЛ . Вильсоном[4290] в формуле (П4.24) были сделаны дальнейшие упрощения для тех случаев, когда молекула содержит атомы с одинаковыми массами. Решение уравнения в случае симметричных молекул может быть упрощено введением координат симметрии. В этом случае уравнение для А распадается на несколько уравнений низших порядков. Раскрытая форма векового уравнения удобна тем, что к ней легко применить приближенные методы решения. Один из них — метод отделения высоких частот [4290, 4292, 4293]. Этот метод основан на том эмпирическом факте, что некоторые колебательные частоты в действительности определяются лишь небольшим числом силовых постоянных и очень слабо зависят от остальных (существование характеристических частот, большое различие в величинах частот одной молекулы и т. п.). В этом случае уравнение можно решить раздельно для высоких и низких частот. При решении для низких частот уравнение следует разделить на произведение из всех входящих в него больших силовых постоянных при условии, что большие силовые постоянные стремятся к бесконечности. Тогда члены, в знаменатель которых входит большая силовая постоянная, пропадут, и порядок уравнения, соответствующего низким частотам, понизится (на число больших силовых постоянных). Соответствующее уравнение для высоких частот можно получить, если положить все малые силовые постоянные равными нулю. В этом случае степень уравнения также понизится. [c.977]

Приступаем к преобразованию матрицы оптических плотностей (см. 9.1.3) Первую строку оставляем без изменения. Все элементы первого столбца, кроме ведущего, заменяем нулями, а все прочие преобразуем по формуле (9.8), т. е. из элемента Вц вычитаем произведение элементов В ж >1/, деленное на например [c.53]

Заполняем оставшиеся элементы второй строки. Для этого из соответствующих элементов второй строки исходной матрицы вычитаем попарные произведения элементов первой строки и первого столбца преобразованной матрицы и делим разность на уже известный диагональный элемент [c.215]

Как уже упоминалось выше, в системе координат, оси которой совпадают с осями симметрии волновой функции, полный тензор СТ-взаимодействия будет иметь вид (1.117). Для того чтобы совместить эту систему координат, в которой тензор СТ-взаимодействия диагоналеи, с лабораторной системой, в которой задано направление внешнего магнитного поля, проведем три последовательных поворота на определенные углы на угол у около оси х, на угол р около оси у и на угол а около оси г. Полная матрица Q преобразования системы координат будет равна произведению трех этих матриц поворота на определенный угол [c.65]

Как видим, каждому преобразованию симметрии системы можно поставить в соответствие некоторую матрицу-оператор. При этом обратному преобразованию симметрии соответствует обратная матрица, последовательному применению двух операций симметрии — произведение соответствующих матриц, а тождественному преобразованию — единичная матрица. Таким образом, геометрические свойства симметрии оказываются полностью переведенными на язык матриц-операторов, который является существенным при использовании теории групп в квантовомеханических исследованиях. [c.53]

Линейному преобразованию координат (В, 2) соответствует линейное преобразование векторов. Каждому линейному преобразованию векторов соответствует своя матрица преобразования. Произведением у двух лииейных преобразований а и 3 называют последовательное применение вначале преобразования а затем преобразования а, что можно записать в символическом виде [c.677]

Такой путь нахождения произведения функций типов симметрии является совершенно общим. Правило умножения характеров можно вывести, пользуясь методом матриц преобразования, приведенным в гл. 4. Любую дважды вырожденную функцию Е можно в общем представить как линейную комбинацию двух функций Е1+Е2. Аналогично другая вырожденная функция Е =Е[+Е 2. Перемножение ЕхЕ дает ] ( +Е1Е2+Е2Е[+Е2Е2 — линейную комбинацию четырех произведений. Следовательно, можно ожидать, что матрица преобразования произведения ЕхЕ будет матрицей 4X4. Такая матрица является прямым произведением двух отдельных матриц, построенным по правилу [c.163]

Разложение исходной матрицы в произведение матриц 3 и Ь не единственно существует бесконечное число способов такого разложения. Чтобы выбрать такую пару матриц, которая имеет физический смысл, необходимо изменить направление координатных осей матрицы 3 так, чтобы они по возможности совпадали с векторами, представляющими реальные объекты, например спектрами или, в анализе окружающей среды, концентрационными профилями загрязняющих веществ. Это можно сделать с помощью операции вращения простргшства абстрактных факторов, или направленного преобразования. [c.555]

Учет взаимодействия через четыре связи, определяемого уравнением (11.17), означает, что потенциал внутреннего вращения, необходимый для расчета усредненного значения матрицы преобразования < 7 >, задаваемой уравнением (II.2), является функцией уже не одного угла внутреннего вращения, подобно тому, как это отражает уравнение (И.5), а набора углов внутреннего вращения относительно нескольких нрилегаюшдх друг к другу связей. Иначе говоря, внутреннее вращение является взаимозависимым. В этом случае уже нельзя заменить среднее значение произведения матриц [c.77]

Всиомним теперь, что часть компонент вектора 6 — заданные величины, равные перемещениям на и перенесем произведения их на соответствующие элементы матрицы К в правую часть системы уравнений (4.204) вспомним также, что уравнения, соответствующие узлам на незаконны и вычеркнем их из системы (4.203). В результате этих преобразований получим вторую систему уравнений с матрицей размерности 2Х (Л/в—М в), где Мин — количество лежащих на 8и вершин. Обозначим эту матрицу через [ ], она получается вычеркиванием строк и столбцов матрицы [X] с номерами 21—1 и 21, где I пробегает номера вершин на 5 (заметим, что программная реализация этого процесса достаточно проста). [c.189]

Произведение матрицы преобразования (1.123) на диагональный тензор (1.117) даст тензор Т анизотронного сверхтонкого взаимодействия в лабораторной системе координат. Из произведения (1.123) на (1.117) видно, что энергия и соответственно сдвиг линии поглощения от точки ug = ёеРЛ определяются нижней строкой тензора. Таким образом, выражение (1.115) можно переписать в виде [c.65]

Характер прямого произведения будет равен а 1бп+ац 22+ +Я22611+ 22622= +0 22) (Ьц+ 622) или, другими словами, произведению характеров двух отдельных матриц преобразования в этом примере он равен нулю. [c.164]

Тот факт, что среднее от произведения матриц равно произведению усредненных матриц, значительно упрощает все вычисления. Важно иметь в виду и то обстоятельство, что <Т > зависит только от природы к-й аминокислоты, поскольку Е/ является функцией только углов ф/ и относящихся к А -му остатку. Сравните для примера различные потенциальные функции, которые описывают повороты в глициловом и аланиловом остатках (рис. 5.7 и 5.8). Поэтому при вычислении среднего квадрата расстояния между концами каждый аминокислотный остаток имеет определенное матричное представление, которое является усредненной матрицей преобразования. Величины <Т > могут быть вычислены в поворотно-изомерном приближении путем учета только дискретных состояний 0 , (например, для остатков глицила и аланила эти состояния соответствуют локальным минимумам на энергетических диаграммах, изображенных на рис. 5.7 и 5.8) или могут быть оценены численным интегрированием по более щирокой области. [c.142]

Мы уже указывали, что возможны сомнительные толкования термина устойчивость . Однако при линейных системах подобная проблема не возникала, поскольку очень просто систематизировать возможности в соответствии с той формой, которую принимают решения. При А = onst члены (si—А) линейны по s и, как следствие, члены (si — А) имеют полиномиальные числители и знаменатели, причем наивысшая степень знаменателя равна порядку матрицы А. Однако полиномы в s после обратного преобразования становятся экспоненциальными временными функциями. В целом, решение имеет следующую структуру. Различным собственным значениям соответствуют слагаемые, экспоненциально изменяющиеся со временем. Кратные собственные значения вносят в решение вклад в виде произведения степенной функции времени на экспоненту с действительным или комплексным показателем степени. [c.70]

Это означает, что из элемента каждой строки, начиная со второй, вычитают соответствующий элемент первой строки, умноженный ва характерный для данной строки нормирующий множитель. Нормиру-к>щий множитель равен отношению скалярного произведения первой и данной строки к норме первой строки. После такой операции все строки, начиная со второй, становятся ортогональными к первой (но еще не ортогональными друг к другу). Мысленно вычеркнем первую строку матрицы А и применим к оставшимся строкам преобразование (8.9). В полученной матрице А" все строки, начиная с третьей, ортого-нальвы к первым двум. Процесс повторяют т—1 раз т — число строк в исходной матрице А). Если не все т строк исходной матрицы были линейно независимыми, то несколько последних строк полностью преобразованной матрицы [c.163]

Представление суперматриц в виде прямых произведений матриц в подходящем базисе можно применять для расчета супермат-ричных представлений коммутаторов и унитарных преобразований. Для коммутаторного супероператора С выполняется следующее соотношение [c.45]

Значению / == О в выражении (З.А10) отвечает единственный член, который представляет собой постоянную, а следовательно, не изменяется при вращениях. Поведение этой постоянной при тождественном преобразовании и при вращениях С( ) может быть описано при помощи одномерной матрицы, единственный элемент которой равен +1. Характеры этих преобразований также равны +1. Соответствующее представление является одномерным. Как уже было указано выше, представление, которое соответствует значению /= 1, является трехмерным. Характер тождественного преобразования в этом представлении равен 3, а характер преобразования С( ) равен l+2 os . Если / = 2, то в выражении (З.А10) ему соответствуют шесть членов х , у , z , ху, xz и yz. Однако не все они независимы, так как х у z = г . В наличии имеется шесть членов с одним соотношением между ними. Следовательно, соответствующее представление должно быть пятимерным. Представление для 1 = 2 (которое мы обозначим как D ) можно вывести из представления для /= 1 (обозначаемого как Z) ), поскольку члены, приводящие к D , являются парными произведениями членов, приводящих к Z). Это можно проделать, взяв прямые произведения (см. приложение 2) матриц (З.А1) и (З.А2) самих с собой и выполнив приведение полученного результата. Однако вместо этого достаточно воспользоваться характерами, поск ь-ку след прямого произведения двух матриц представляет собот произведение их следов. Если характеры обозначить символом X- то можно записать [c.73]

Воспользуемся далее преобразованиями, предложенными Туром и др. в работе [21] при изучении эквимолярной диффузии в идеальных газовых смесях. Обозначая [В] с) = (и) и учитывая, что в произведении диагональных и столбцовых матриц можно поменять местами их элементы, т. е. что [c.56]

При ортогональных преобразованиях величина ТузЧ преобразуется как произведение координат Х1Х2Х3Х4 , т, е. как четырехмерный объем. Следовательно, эта величина остается инвариантной при пространственных вращениях и меняет знак при инверсии пространственных координат, т. е. является псевдоскаляром, Если использовать эрмитовость матриц уз и у4, то можно показать, что эрмитовой псевдоскалярной величиной будет [c.285]

Следовательно, если перенос был описан как сложение матриц, то вращение описывается как произведение матриц. Для определения матрицы ( 7) мы просто записываем каждую колонку ее как состоящую из координат каждого вектора нового базиса, выраженного через старый базис. Проиллюстрируем это предположение, выразив поворот на л/4 вокруг оси перпендикулярной плоскости, определяемой и ег (рис, 5.4). В процессе этого преобразования е становится и, а в2 становится г [c.188]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология