Среднее значение случайной величины и дисперсия

Грубые ошибки из ранжированного ряда исключают, оставшиеся значения используют для определения среднего арифметического случайной величины, дисперсии выборки и нахождения доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения. [c.15]

Среднее значение случайной величины и дисперсия [c.38]

В качестве параметров распределения или характеристических величин большое значение имеет математическое ожидание .I и дисперсия 0 , характеризующая разброс возможных значений случайной величины относительно ее среднего значения. В качестве меры рассеяния используют также среднеквадратичное отклонение, обозначаемое а, равное I/ 0 . [c.41]

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины I, а дисперсия — разброс случайной величины относительно ее среднего значения /)г-. [c.123]

Дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации. Рассеяние случайной величины относительно среднего значения принято характеризовать дисперсией. Чем меньше воспроизводимость определений, тем больше дисперсия. Для п найденных значений х ,. . ., . . ., х ) случайной величины выборочная дисперсия определяется выражением [c.242]

Приведенные выше формулы для средних значений случайной величины, ее математического ожидания и дисперсии относились к случаю, когда случайная величина дискретна и число возможных ее значения конечно. Бели же случайная величина непрерывна, то [c.445]

Среднее арифметическое отклонение, или иначе, средняя арифметическая ошибка, является абсолютным центральным моментом (см. [9], [14]) первого порядка, в отличие от начального момента первого порядка — среднего значения случайной величины и от центрального момента второго порядка — дисперсии случайной величины. [c.74]

Приведенные выше формулы для средних значений случайной величины, ее математического ожидания и дисперсии относились к случаю, когда случайная величина дискретна и число возможных ее значений конечно. Если же случайная величина непрерывна, то множество значений, которые она может принимать, бесконечно вероятность каждого отдельного значения такой величины равна нулю. [c.622]

Разброс значений случайной величины относительно математического ожидания характеризуется дисперсией или средним квадратическим отклонением. Оценки дисперсии и среднего квадратического отклонения определяются по формулам [c.41]

Наиболее полные сведения о случайной величине мы имеем, если знаем ее функцию распределения или плотность вероятности р (х). Однако иногда полная информация о случайной величине либо не нужна, либо ее достаточно трудно получить. Тогда распределение случайной величины характеризуется математическим ожиданием, дисперсией и статистическими моментами различных порядков. Математическое ожидание х (среднее значение случайной величины х) и дисперсия х — хУ определяются соотношениями [c.185]

Важнейшими характеристиками случайных величин, наиболее часто используемыми на практике, являются среднее значение случайной величины и ее дисперсия (среднеквадратичное отклонение). [c.266]

Аналитические выражения функций распределения содержат одну или несколько постоянных величин, которые называются параметрами распределения. Так, например, нормальное распределение имеет два параметра математическое ожидание, или, как его иначе называют, среднее значение случайной величины и дисперсию распределение Пуассона имеет один параметр, который тождественно равен среднему значению и дисперсии и т. д. Если нам известен закон расиределения случайной величины, то она может быть полностью охарактеризована численными значениями параметров. Одна из задач статистической обработки материала заключается в определении численного значения средней и дисперсии. Поэтому, прежде чем переходить к изучению функций распределения, мы подробно остановимся на рассмотрении некоторых обпщх свойств среднего значения случайной величины и дисперсии. [c.38]

Чтобы провести различие между характеристикой случайной величины, найденной по достаточно большому (в пределе— бесконечно большому) и малому числу наблюдений, введены понятия абстрактной генеральной совокупности, состоящей из всех мыслимых в данных условиях наблюдений, и выборки, представляющей собой совокупность ограниченного числа наблюдений [10]. Соответственно различают выборочные характеристики случайной величины, которые зависят от числа наблюдений и характеристики генеральной совокупности, не зависящие от числа наблюдений. Важнейшими характеристиками случайных величин, наиболее часто используемыми на практике, являются среднее значение случайной величины и ее дисперсия (среднеквадратичное отклонение). [c.28]

Обращая формулу (6.40), можно найти / ( ), а с ее помощью и все остальные необходимые величины. Однако для целей нашей задачи достаточно знать только две интегральные характеристики ячейки математическое ожидание (среднее значение) случайной величины и ее дисперсию. В этом случае, как известно [30], нет необходимости находить явный вид функции / t). Необходимые величины могут быть вычислены с помощью одной трансформанты Лапласа. Так, математическое ожидание неотрицательной величины 1 равно [c.190]

Дисперсия служит мерой рассеяния значений случайной величины относительно среднего. Корень квадратный из дисперсии называется стандартным отклонением и обозначается как сг. В табл. 12.1-1 приведены определения среднего и дисперсии для генеральной совокупности, а также для выборки объемом п. [c.421]

Среднее значение случайной величины х при смещении деталей от нуля в обе стороны, как и ранее. МХ = 0. Следовательно, как и ранее, для расчета средних значений используется формула (46). Дисперсия случайной величины х [c.39]

Рассмотрим теперь случай, когда все или некоторые параметры fig являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону со средними значениями Хд, дисперсиями бдд и ковариациями брд-Такая трактовка применима, очевидно, не только когда эти параметры действительно флюктуируют во времени (как, например, начальные концентрации при неточной дозировке исходных веществ), но и когда они, хотя и остаются постоянными, но определены неточно, с некоторой ошибкой опыта. Функция случайных величин ул(ц) есть также случайная величина, дисперсия которой вычисляется по формуле [c.226]

Это означает, что если случайная величина X распределена нормально со средним значением р, и дисперсией 1, то с вероятностью [c.104]

Наиболее часто в приложениях математической статистики используют математическое ожидание (характеристику положения значений случайной величины на числовой оси) и дисперсию (или среднее квадратичное отклонение), определяющую характер разброса значений случайной величины. [c.14]

Распределение случайной величины X называется нормальным (гауссовым) со средним значением x и дисперсией если ее функция плотности вероятности имеет следующий вид (см. также рис. 12.1-3) [c.423]

О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ И О ДИСПЕРСИИ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН [c.467]

Квадратный корень из дисперсии называется стандартным, или средним квадратичным отклонением. Дисперсия тем больше, чем сильней разброс значений случайной величины У. [c.417]

Это означает, что практически все возможные значения случайных событий лежат в интервале Jf 3a. В интервале х 2а содержится приблизительно 95% вероятностей случайных событий. Существует строгое доказательство (теорема Лапласа), что при большом п биномиальное распределение с хорошим приближением (тем точнее, чем больше п) может быть описано с помощью нормального распределения с тем же средним значением и дисперсией, что у биномиального. Из этого следует, что интервал л+Зст охватывает практически все возможные значения случайных величин не только для нормального, но также для биномиального распределения. [c.43]

Величина X в генеральной совокупности является случайной и, как правило, подчиняется нормальному закону распределения. Например, статическая прочность материала определенной марки имеет некоторое среднее значение X и дисперсию о, составляющую около 10% от X. Разброс связан не только с погрешностью измерения X, а также со случайным изменением свойств материала. Будем считать, что дисперсия для генеральной совокупности известна и при выборочном контроле требуется оценить среднее значение X и сопоставить его с X. [c.46]

Для сжатого описания некоторых основных особенностей распределения вероятностей случайных величин служат числовые характеристики этих величин, наиболее употребительными из них являются математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание является генеральной средней случайной величиной, т. е. это та точка, вокруг которой группируются возможные значения случайной величины. [c.114]

Если случайная величина х распределена по нормальному (гауссовому) закону со средним значением а и дисперсией о , то ее характеристическая функция имеет вид [c.187]

Мате.матнческое ожидание представляет собой некоторое среднее значение случайной величины. Дисперсия дает числовую характеристику степени рассеивания случайной величины. [c.89]

Дисперсия — термин, определяющий точное значение (математическое ожидание) квадрата, среднего отклонения случайной величины от ее точного значения о =М. х—М(х) (квадрат стандарта ). [c.5]

В аналитической работе часто приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом определений. Это небольшое количество наблюденных величин можно рассматривать как случайную выборку из некоторого гипотетического бесконечного множества—генеральной совокупности, которая является математической моделью реально наблюдаемых величин. Задача свертывания информации с математической точки зрения сводится в этом случае к тому, что по выборке определяют некоторые величины (выборочную дисперсию и среднее арифметическое значение случайной величины), которые являются оценкой неизвестных параметров (соответственно дисперсии и математического ожидания) функции распределения этой генеральной совокупности. При оценке (определении) параметров генеральной совокупности по выборке, естественно, вносится известный элемент неопределенности, который можно учесть методами математической статистики. Среди экспериментаторов распространено совершенно неправильное мнение о том, что математическая статистика применима только к большому цифровому материалу. Современная математическая статистика дает возможность оценивать параметры генеральных совокупностей и устанавливать для них доверительные пределы даже по весьма малым выборкам,—в некоторых случаях всего по двум измерениям. Но при этом, естественно, что чем меньше экспериментальный материал, тем менее точно может быть произведена оценка параметров генеральной совокупности по их выборочным значениям. Таким образом, математическая статистика, с одной стороны, дает возможность компактным образом представить результаты эксперимента, а с другой стороны, позволяет количественно оценить тот элемент сомнения, который сопутствует каждому эксперименту при малом числе опытов. [c.12]

Для оценки случайных величин используются среднее значение и ее дисперсия. [c.255]

Вторая числовая характеристика — дисперсия — определяет средний разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания (точнее, среднее значение квадрата разброса). Дисперсия О (11) вычисляется по следующим формулам [c.52]

С помощью х -хритерия [24] было доказано, что наблюдаемое распределение близко к нормальному. Наглядным подтверждением этого является графическое сопоставление экспериментальных результатов и теоретической кривой, соответствующей нормальному распределению (рис. 92). Параметры наблюдаемого распределения (в оптических плотностях) следующие среднее значение случайной величины 0,191, дисперсия 0 =94- 10 . Таким образом, относительная стандартная ошибка измерений в указанных опытах была равна 5,1%. [c.332]

При проведении дисперсионного анализа важно, чтобы дисперсия не зависела от среднего значения случайной величины. Пользуясь соотношением (4.46) и равенством можно получить для распределения Пуассона преобразующую функцию, которая даст новую переменную с дисперсией, не зависящей от ее среднего значения [c.139]

Итак, поскольку результаты измерения являются случайными величинами, их необходимо охарактеризовать (при выполнении ногрмального закона ошибок) величинами [л и а. Отметим, что значения 1 и а могут быть найдены из эксперимента, если число измерений очень велико, что оговорено условием п оо. При ограниченном числе измерений (т. е. при так называемой ограниченной выборке данных) получают не значения р, и а, а только их оценки выборочное среднее значение измеряемой величины х и выборочную дисперсию [c.13]

Каждое из уравнений (3.80), построенное на множестве случайньгх величин и поэтому отображающее случайную поверхность, используется для расчета термодинамических функций. При этом для каждой пары заданных значений температуры и давления по всем уравнениям состояния, описывающим опытные данные с приемлемой точностью, вычисляется множество значений плотности, энтальпии, энтропии, изохорной и изобарной теплоемкостей и других свойств. Для каждого из таких множеств находится среднее арифметическое (центр множества), дисперсия (мера рассеяния значений случайной величины относительно среднего), среднее квадратическое отклонение и другие характеристики. [c.191]