Теоретические распределения вероятностей случайной величины

Теоретические распределения вероятностей случайной величины [c.36]

Следует, однако, отметить, что нормальная случайная величина, задаваемая плотностью (2.30), теоретически не ограничена, т. е. она с положительной вероятностью может превысить как угодно высокий уровень или оказаться ниже сколь угодно низкого уровня. Но все физические явления и представляющие их случайные процессы ограничены по величине как в положительном, так и в отрицательном направлении, поэтому никакой реальный случайный процесс не может быть в точности гауссовским. Это замечание особенно важно для приложений, связанных с оценкой экстремальных значений, например при предсказании экстремальных значений ветровой нагрузки или высоты морских волн, грозящих катастрофическими последствиями. В этом случае предположение о том, что распределение вероятностей является нормальным, не состоятельно, так как распределения крайних значений ветровой нагрузки и высоты волн резко отклоняются от гауссовского. Но в большинстве приложений, о которых идет речь в этой книге, предположение, что встречающиеся случайные процессы имеют нормальное распределение вероятностей, вполне уместно, если только эти процессы не содержат детерминированных составляющих. [c.46]

При рассмотрении показателей надежности необходимо различать наименование показателя, численное значение показателя, математическое определение, или математическую формулировку, показателя. Численное значение показателя надежности может изменяться в зависимости от условий его создания и эксплуатации, от рассматриваемой стадии его существования. Математическое определение, или формулировка, показателя отображают способ теоретического и экспериментального определения его численного значения. Поскольку отказы объектов представляют собой случайные события, для математического определения показателей надежности используют аппарат теории вероятностей и математической статистики. Таким образом, математическое определение показателя надежности объекта можно представить в виде некоторого статистического или вероятностного соотношения. Многие показатели надежности являются параметрами распределения случайных величин. [c.31]

Для применения критерия (хи-квадрат) весь диапазон изменения случайной величины в выборке объема п разбивается на к интервалов. Число интервалов к берут обычно в зависимости от объема выборки в пределах от 8 до 20. Число интервалов можно определить по полуэмпирической формуле (П.22). Число элементов выборки, попавших в г-й интервал, обозначим через щ. Построенная гистограмма (см. гл. П, 1) выборочного распределения или общие соображения о механизме возникновения случайной величины служат основанием для выбора типа закона распределения. Параметры этого закона могут быть определены или из теоретических соображений, или нахождением их оценок по выборке. На основании принятого закона распределения вычисляются вероятности рг попадания случайной величины X в г-й интервал. Величина, характеризующая отклонение выборочного распределения от предполагаемого, определяется формулой [c.58]

Метод максимального правдоподобия. Для получения оценок используют различные методы. Широко применяется метод максимального правдоподобия. Оценки, полученные при помощи этого метода, отвечают большинству изложенных требований. Сущность метода максимального правдоподобия заключается в нахождении таких оценок неизвестных параметров, для которых функция правдоподобия при случайной выборке объема п будет иметь максимальное значение. Пусть известен общий вид плотности вероятности х, а) теоретического распределения а — неизвестный параметр, входящий в выражение закона распределения. На опыте получена выборка значений случайной величины Х1, Хг,. .., Хп. Окружим каждую точку окрестностью длины е. Вероятность попасть [c.25]

Теоретические расчетно-аналитические методы, или методы математического моделирования. Вероятностно-аналитические методы имеют для практики значительный недостаток некоторые из них могут быть использованы только тогда, когда имеются аналитические выражения для распределений случайных величин. Вывести и получить аналитические выражения для распределений случайных величин обычно очень сложно, поэтому на стадии проектирования, когда дается ориентировочная оценка показателей надежности, эти методы не всегда подходят. Хотя вычисление вероятности нахождения случайной величины в заданных пределах ее значений, обеспечивающих нормальное безотказное функционирование используемого объекта, в математическом отношении весьма простая операция, если имеется закон распределения этой случайной величины [c.18]

Теоретически просто найти кривую у = /(х), если х, у заданы совместным распределением вероятностей - тогда в качестве кривой берется условное математическое ожидание случайной величины при условии, что величинах приняла определенное значение [c.113]

График функции <р(х) называется теоретической кривой плотности распределения случайной величины. Вместо законов распределения Р( 1) и ф(- ) количественной характеристикой может служить интегральная функция распределения F x)—вероятность того, что случайная величина X имеет значение, меньшее х, т. е. [c.15]

Полученная экспериментально дифференциальная кривая распределения статистически представляет собой плотность распределения вероятностей случайной величины, которой является пребывание частиц в реакторе. Эта плотность, согласно теории вероятностей и математической статистики может быть описана с помощью теоретических вероятностных характеристик [c.49]

Согласно теории вероятности, основной теоретической характеристикой случайного события является его вероятность. Закон распределения или распределение вероятностей случайной величины является полной характеристикой случайной величины, определяющей ее возможные значения и позволяющей сравнивать вероятности различных возможных значений, В качестве внешнего параметра, характеризующего интенсивность воздействия на реакционную систему, нами предлагается обобщенный кинетический фактор [c.231]

Количественные выражения надежности определяются показателями, теоретические значения которых могут быть получены при известном законе распределения случайной величины — срока службы, наработки, вероятности безотказной работы и т. д. Количественные показатели надежности примерно могут быть определены по статистическим данным, для обработки которых используются методы теории вероятности и математической статистики. [c.213]

V — объемная скорость движения потока в реакторе. Полученная эмпирически дифференциальная кривая распределения статистически представляет собой плотность распределения вероятностей случайной величины, каковой является пребывание частиц в реакторе. Эта плотность, согласно теории вероятностей и математической статистики, может быть описана с помощью теоретических вероятностных характеристик. Такими характеристиками являются [c.132]

Для применения х -критерия весь диапазон изменения случайной величины в выборке объема п разбивается на к интервалов. Число интервалов к обычно берут в зависимости от объема выборки в пределах от 8 до 20, но так, чтобы в каждом интервале было по 5—8 точек. Число элементов выборки, попавших в г-й интервал, обозначим через щ. Теоретическая вероятность (по модели) попадания случайной величины Xв г-й интервал равна ру. Тогда величина, характеризующая отклонение выборочного распределения от теоретического, определяется так [c.47]

Количественное выражение надежности определяется показателями, теоретические значения которых могут быть получены, если известен закон распределения случайной величины срока службы, наработки, вероятности безотказной работы и др. [c.115]

Рассмотрим возможность применения х -распределения для решений первой из поставленных задач. Допустим, что мы имеем п наблюдений над случайной величиной х. Распределим паши наблюдения среди произвольно выбранных интервалов и обозначим через число наблюдений (частот), попавших в интервал с индексом 1 . Затем с помощью некоторого теоретического распределения найдем вероятности р ,. . р попадания наблюдений в интервалы 1 , 1 ,. .., 1 , и подсчитаем теоретически ожидаемое число наблюдений [=пр . Образуем взвешенные суммы квадратов отклонений величин V2,. .., от их теоретически ожидаемых значений V, [c.99]

Случайными-событиями могут быть различные состояния системы. Определим состояние системы некоторым параметром X. Если величи-на X является переменной, значение которой зависит от случая, и если для нее существует распределение вероятностей, т. е. определенная зависимость вероятности от велинины X, то величину X называют случайной (вероятностно-случайной). Случайными могут быть различные физические величины (энергия, число частиц и др.) в зависимости от того, какой комплекс условий для системы задан. Вообще говоря, некоторая физическая величина обнаруживает случайные свойства тогда, когда заданный комплекс условий не определяет рассматриваемую величину однозначно имеются еще некоторые неучтенные факторы, под влиянием которых эта величина может изменяться. Однако утверждение о том, что величина является вероятностно-случайной, не сводится только к констатации неполноты знаний о системе и ее взаимодействии с окружением. В этом утверждении заключено также положительное содержание, вскрывающее качественные особенности величины. Действительно, мы допускаем определенное распределение вероятностей для величины, подразумеваем устойчивость частот появления различных ее значений при испытаниях и отсутствие правила игры. Свойства эти определяют специфику вероятностно-случайных величин, они далеко не очевидны, и анализ их, в частности изучение причин устойчивости частот, представляет чрезвычайно трудную теоретическую задачу. [c.11]

Можно ли отдать предпочтение второму методу, если х > 5 Овет на этот вопрос можно получить, сопоставив с критерием Фише-ра Р (/1, /2, Ра), где/1 к — 1, /2 = / — 1, Ро — доверительная вероятность. Критерий Фишера Р (/1, /а, рд) теоретически рассчитывают на основании функции распределения Фишера, которой характеризуется случайная величина и представляют в специальных таблицах. [c.65]

Не стремясь к особой строгости, мы могли бы сказать, что вещественнозначная случайная величина есть величина, характеризуемая изменяющейся по определенному закону вероятностью, а именно функцией распределения. Именно с такой ситуацией мы обычно встречаемся в практических приложениях, когда основное вероятностное пространство неизвестно или недоступно. Однако с теоретической точки зрения использование вероятностного пространства дает очень большие преимущества, в особенности когда приходится иметь дело более чем с одной случайной величиной X/, 1, п (например, при рассмотрении вопросов сходимости). В таких случаях при использовании одной и той же вероятностной меры теоретические соображения становятся значительно более прозрачными различные распределения становятся при таком подходе преобразованиями вероятностной меры Р различными случайными величинами. Именно поэтому даже в чисто практических приложениях обращение к неизвестному основному вероятностному пространству ( 2, Ф, Р) часто бывает полезным, позволяя значительно упростить весь ход рассуждений. [c.50]

В связи с последним вьгаодом напомним, что используемая модель обеспечивает-точность расчета поля <7> порядка 30%. Эта точность недостаточна для отыскания (с >. Поэтому для ее повышения при анализе экспериментальных данных, полученных в некотором сечении, использовались результаты расчета у и г) не в сечении с тем же значением х/й , а в сечении с тем же значением осевой концентрации (г). Такой прием, по-видимому, вполне оправдан при анализе точности теории, описьюаю-щей распределение вероятностей концентрации. Действительно, на рис, 5.3 помещены данные, полученные при очень сильной вариации Ыо, положения точки, в которой проводятся измерения, и самой измеряемой величины. Следовательно, хорошее согласование теоретических и экспериментальных данных на рис. 5.3 не может быть случайным. [c.177]

Пусть у нас имеется очень большое (теоретически бесконечное) количество чисел X, которое называется генеральной совокупностью. Непрерывная случайная величина х, принимающая значения от —до +°°, называется нормально распределенной, если ее плотность вероятности (частота появления) определяется равенством [c.77]

При известном законе распределения времени работы технических устройств до отказа (или времени работы между отказами) можно достаточно просто определить большую часть количественных показателей надежности. Время работы устройства является случайной непрерывной величиной, поэтому при теоретической и экспериментальной оценках надежности могут быть использованы любые непрерывные распределения, используемые в теории вероятностей. [c.51]

Теоретические исследования с достаточным основанием указывают на то, что йольшинство случайных величин, полученных экспериментальным путем, подчиняются вполне определенным математическим законам распределения, которые позволяют дать оценку точности выполненных измерений, т. е. указать меру приближения полученного. среднего результата к истинному значению измеряемой величины. Краткие сведения теории вероятности и математической статистики без строгих математических доказательств позволяют понять суть математических методов обработки результатов эксперимента и предостеречь учащихся от формального использования этих методов, что может привести к ничего не выражающим результатам или даже к ложным выводам. [c.234]

Из соотношения (9.2) следует, что в рассматриваемой модели флотационные свойства каждой частицы не зависят от фракционного состава пульпы и содержания в ней твердого, т. е. в процессе флотации взаимное влияние частиц отсутствует. Кроме того, принимается, что вероятность элементарного акта флотации пропорциональна удельной поверхности пузырьков в объеме пульпы и не зависит от их дисперсности. Сепарационная характеристика, описываемая выражением (9.2), не учитывает распределенность концентраций частиц и пузырьков по объему камеры и вторичное обогащение в пенном слое. Слагаемое akh, выражающее влияние уровня пульпы на показатели процесса, не имеет теоретического обоснования. Более того, оно противоречит физическому смыслу, так как в соответствии с выражением (9.1) еще до начала флотации (i=0) имеется ненулевое извлечение в концентрат, а при продолжительности процесса, превышающей некоторое значение, расчетное извлечение превышает 100%. Уравнение (9.1) отражает в указанном приближении кинетику флотации в аппарате периодического действия, когда все частицы находятся в камере одинаковое время t. В аппаратах непрерывного действия продолжительность пребывания частицы в камере — случайная величина (вследствие перемешивания пульпы), поэтому целесообразно рассчитывать плотность распределения времени пребывания (РВП) f t). Если переход от периодического к непрерывному режиму работы не влияет на флотащюнные субпроцессы, то справедливо соотношение [c.186]

Подтверждением этого являются гистограммы, приведенные па рис. 6.9, которые построены для двух указанных случаев регулирования вентилятора ВОД 30. Степень соответствия нормального распределения статистическому материалу по выборкам режимов из рабочих зон ряда вентиляторов проверена по критерию согласия Пирсона, посредством которого полученные на гистограммах распределения минимизировались относительно экстремальной теоретически вероятностной меры при показателе уровня значимости Рб>0 1 [Ю]- Этим показателем оценивается при принято1Ч законе распределения случайной величины вероятность ее попадания в разряды статистического ряда. [c.216]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология