Случайные величины аргументы и функции

Геометрически функция ф(х) может быть представлена любой непрерывной кривой, лежащей целиком не ниже оси абсцисс, нормированной таким образом, что площадь под кривой, ограниченная осью абсцисс, во всей области существования аргумента равна I (рис. 26). Доля площади под кривой, ограниченная осью абсцисс и прямыми х = а и х — Ь, есть вероятность того, что случайная величина принимает значения на интервале [а,6]. Параметры распределения. Наиболее полной характеристикой случайной величины является ее функция распределения. Как правило, это довольно сложный объект. Поэтому в ряде задач при описании случайных величин ограничиваются простыми их характеристиками, а именно, теми или иными параметрами функций распределения. Важнейшими из таких параметров являются математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x) случайной величины X. [c.71]

Закон распределения некоторой переменной величины, находящейся в функциональной зависимости от непрерывной случайной величины, можно определить, пользуясь методами теории вероятностей. Иначе говоря, если известен закон распределения аргумента как случайной величины и известна функциональная зависимость, то закон распределения функции, согласно [2], можно отыскать в виде [c.114]

Плотности вероятностей одномерные и многомерные для различных случайных величин и их совокупностей всегда обозначаются символом ш различие этих функций указывается их аргументами. Прим. ред.) [c.109]

Пусть существует связь между случайными величинами аргументом X и функцией V в виде V ----- / (X). Допустим, что распределение случайной величины Л задано своей плотностью распределения ср (х) или своей функцией распределения Р х). Требуется найти функцию распределения Р у) или плотность вероятности распределения ср у). [c.54]

В соответствии с определением функции распределения случайной величины [2] функция распределения F QL,t) величины адсорбции частиц твердой фазы есть вероятность того, что величина адсорбции некоторой частицы меньше Строго говоря, аргумент функции распределения нельзя обозначать той же буквой, что и случайную величину . Однако подобная вольность в обозначении является обычной в теоретико-вероятностной и прикладной литературе и объясняется соображениями формального удобства. [c.30]

Функции распределения. Наиболее общий способ задать вероятности тех или иных значений случайной величины любой при-, роды, включая непрерывные величины, состоит в использовании функций распределения. Они могут быть представлены в графической форме или в виде явной функциональной зависимости, где аргументом всегда является значение или набор значений случайной величины, а функцией — вероятность этих значений случайной величины или производная от нее. [c.69]

При одном из аргументов, равном функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу [c.20]

Однако возможен альтернативный подход к получению подобных оценок, использованный, например, в работе [25] и наиболее эффективный в тех случаях, когда выражения для частных производных оказываются весьма сложными. Вариации значений функции нескольких аргументов в зависимости от вариаций каждого из них (при фиксированных значениях остальных аргументов) можно оценить, задав серию случайных величин Гп, распределенных по нормальному закону с известными средним значением и дисперсией а, соответствующими среднему значению и стандартному отклонению выбранного аргумента [c.16]

В непрерывном процессе дело обстоит несколько иначе. Вспомним, что каждую ступень каскада в общем случае характеризуют свои значения температуры и концентрации. Продолжительность периода, в течение которого протекало растворение частицы при некоторых значениях Г,- и С,-, совпадает со временем пребывания частицы в г-й ступени каскада. Таким образом, в непрерывном процессе понятие продолжительности периода полностью сохраняет свой смысл, но вместе с тем приобретает своеобразную особенность, обусловленную вероятностным характером распределения частиц по времени пребывания. Продолжительность -го периода в непрерывном процессе (т. е. время пребывания в -й ступени) есть случайная величина. Безразмерная продолжительность г-го периода х - = = в непрерывном процессе — не что иное, как безразмерное время пребывания частицы в -й ступени каскада, т. е. время пребывания, выраженное в долях времени полного растворения при технологических условиях -й ступени. Разумеется, безразмерное время пребывания Х , отличающееся от обычного времени 1,- лишь нормировочным коэффициентом т,-, также является случайной величиной, имеющей, как и 1,-, диапазон изменения О х,- <[оо. Тогда и аргумент X кинетической функции, равный сумме безразмерных времен пребывания, является случайной величиной — суммарным безразмерным временем пребывания частицы в п ступенях каскада [c.120]

Мы подошли к центральному пункту наших рассуждений. Полученный результат является основой математического описания непрерывных процессов в каскаде реакторов. Уравнение (5.12) определяет долю нерастворившегося компонента в полидисперсном продукте на выходе из каскада реакторов как математическое ожидание кинетической функции этого продукта, если считать аргумент кинетической функции полидисперсного продукта случайной величиной с той же плотностью распределения вероятности, что и время пребывания отдельной частицы. С помош,ью уравнения (5.12) сложная задача о степени растворения полидисперсного продукта в [c.127]

Итак, сходство уравнений, определяющих долю нерастворившегося компонента в монодиснерсном и полидисперсном продуктах, отнюдь не случайно. Мы можем сформулировать, теперь уже без всяких оговорок, правило, имеющее первостепенное значение для теории непрерывных гетерогенных процессов в реакторах смешения доля нерастворившегося компонента в продукта на выходе из каскада реакторов есть математическое ожидание кинетической функции этого продукта. Аргументом кинетической функции является случайная величина х — суммарное безразмерное время пребывания в каскаде реакторов. Вопрос о том, к чему относится это время [c.129]

Случайной называют функцию, значение которой при каждом данном значении аргумента есть случайная величина. Случайную функцию времени называют обычно случайным процессом. При одном наблюдении случайного процесса получают определенную функциональную зависимость, называемую его реализацией. Будем обозначать случайный процесс через Х(1), его к-ю реализацию через любую конкретную реализацию из множества Х( 1) через х(1). Реализации есть детерминированные функции времени. На рис. 1-1 случайный процесс условно изображен в виде нескольких реализаций конечной длительности. [c.12]

Однородность дисперсий воспроизводимости ординат измеряемой функции при всех значениях аргумента проверяют при помощи критерия Кохрена. основанном на распределении случайной величины. [c.320]

Как известно, соотношение между возможными значениями случайной величины (например, молекулярной массы полимера М) и соответствующими им вероятностями называется законом распределения случайной величины, в котором ее значения являются аргументом, а вероятности — функцией. Интегральная функция распределения 0(Л1) определяет вероятность того, что случайная величина примет значения, не превышающие определенной величины, а дифференциальная ( М)—является плотностью распределения вероятностей. Обе эти функции находятся в соотношении [c.15]

Семейство случайных величин, индексом которого служит временной параметр называется случайным (или стохастическим) процессом. Более точно определение формулируется так семейство (Хг,/еВ вещественнозначных случайных величин, т. е. Хи (Й, Р)->(К,. ), называется случайным процессом (или случайной функцией) с множеством 0 допустимых значений индекса I и множеством состояний К. В дальнейшем индексным параметром будет время и индексным множеством 0 будет либо вещественная прямая Р, либо (если процесс начинается с / = 0) неотрицательная полупрямая. Случайные процессы мы условимся обозначать а детерминированные функции времени — символом Х 1). Заметим, что случайная величина, как уже говорилось, есть функция, отображающая пространство элементарных событий в вещественные числа. Следовательно, случайный процесс можно рассматривать как функцию двух аргументов индекса / и элементарного события со, т. е. как Xt ( )). Если мы зафиксируем первый аргумент, время, и разрешим со принимать любые значения из пространства элементарных событий, то, по определению, Х ( ) случайная величина. Если же мы зафиксируем со, т. е. выберем элементарное событие, соответствующее одиночному наблюдению случайного процесса, и разрешим параметру / принимать любые значения из множества О, [c.63]

Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения случайной величины при этом значения случайной величины являются аргументом, а соответствующие им вероятности — функцией. [c.118]

Как известно из предыдущего, дисперсия условных математических ожиданий случайных величин У и X, а именно О [М [ 1х , характеризует ту часть общей дисперсии величины У, которая вызвана влиянием величины X. Так как при заданных значениях аргументов Ь тз. 1 значения случайной функции X 1) представляют собой обычные скалярные случайные величины, следовательно, дисперсионная функция (() ) характеризует ту часть общей дисперсии X , которая обусловлена влиянием X ( ). Для произвольных значений аргумента t ( 1, дисперсионная функция характеризует [c.120]

Случайным процессом мы называем функцию непрерывно изменяющегося аргумента t, значения которой представляют собою случайные величины. [c.161]

Случайной функцией (случайным процессом) называется такая функция, значения которой при каждом данном значении аргумента (или нескольких аргументов) являются случайной величиной. Опыт показал, что случайная функция может принимать различные конкретные формы. Всякая функция, кото- [c.90]

Эмпирические модели. Проводя опыты при эмпирическом подходе, мы не знаем, в каком виде следует получать функцию отклика. Если у зависит только от одного х, а вид зависимости достаточно прост, то можно судить об этом виде на глаз, по графику. Если аргументов несколько или если график сложен, то этот путь закрыт. Поэтому для нахождения вида функции (3.3) обычно пользуются тем, что большинство функций, с которыми приходится иметь дело на практике, можно разложить в ряд Тейлора (степенной ряд). Если ограничиться несколькими первыми членами ряда, получится представление функции многочленом (полиномом). Этот многочлен есть приближенное выражение неизвестной функции / (Я, X) качество приближения определяется величиной остатка ряда — той его части, которую мы отбрасываем. Чтобы наше приближение удовлетворительно описывало процесс, нужно, чтобы остаток был невелик по сравнению с шумом. Тогда дальнейшее уточнение функции теряет смысл мы не можем выявить, действительно ли следующие члены отражают уточненную функцию или они связаны лишь со случайными ошибками опыта. [c.35]

Стационарная случайная функция отклонений формы обладает постоянством математического ожидания и дисперсии в каждой точке сечения контура, а корреляционная функция зависит только от одного аргумента (разности между любыми значениями в расположении точек на контуре) [7]. Это обстоятельство значительно упрощает математические операции при суммировании погрешностей формы и размера в определении допуска на диаметр жестких обечаек, при условии, что допуск на форму принят за скалярную величину ГЗ]. [c.141]

Аргумент в левой части определения (2.1.1) означает все значения случайной переменной X (1) меньше детерминированной величины X или равны ей . В рамках частотного подхода мы должны были бы иметь большое число временных кривых N в момент времени 1 , таких как показано на рис. 2.1, и посмотреть, выполняется ли условие X (О < л . В предельном случае бесконечного числа кривых мы таким образом получим функцию Р. Ясно, что значения Р заключены в интервале между нулем и единицей. Типичное распределение накопленной вероятности представлено на рис. 2.4 в разделе 2.1.4. [c.29]

Величина М [X 1)1х ( )] представляет собой условное математическое ожидание случайной функции для каждого данного значения аргумента 1 относительно ее значения для заданного значения аргумента 1 [c.120]

Принимая во внимание, что ошибки аргументов малы по сравнению с их величинами, можно считать, что функция у подчиняется тому же закону распределения вероятностей ошибок, что и отдельные аргументы. Это дает возможность, вычислив по результатам измерений ряд значений функции у , у , Уs,. . найти у, а затем рассчитать случайную ошибку по формулам (12) и (14), подставляя в них вместо а, значения функции у,. [c.21]

Но если мы имеем дело с функцией двух переменных, то, в общем случае, усреднение по одной переменной даст величину, зависящую от второй переменной, и наоборот. Применительно к случайным процессам это значит, что среднее по множеству, в общем случае, зависит от времени, а средние по времени образуют случайное множество. Эргодический стационарный процесс тем и замечателен, что для него средние по времени и по множеству равны друг другу, а из этого непосредственно следует, что они не зависят от второй переменной (так как функции разных аргументов могут быть равны друг другу только в том случае, когда эти функции представляют собой постоянные, т. е. величины, не зависящие от аргументов). [c.181]

Считаем, что случайные величины аргумента имеют нормальное распределение. Закон распределения функции, как правушо, отличен от нормального. Однако в небольших интервалах изменения нормально распределенного аргумента можно считать, что его функция также [c.112]

Следовательно, условная плотность вероятности функции у (t) относительно и ( ) будет также не гауссовой. Регрессия выходной случайной величины относительно входной случайной функции при заданных значениях аргументов в общем случае нелинейна, а корреляция функций и Ь) ш у I) гетероскедастична. [c.438]

Рассмотрим критерии согласия экспериментально наблюдаемых случайных величин 1, Х , Хп с гипотетической функцией Х С, а), где С — вектор аргументов (папример, концентрации) а — вектор непзвестных нараметров. Неотрица- [c.113]

В основе микростатических оценок нормально распределенных случайных величин лежит распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики выборочной совокупности ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки или число степеней свободы выборки = п — . Применение распределения Стьюдента для оценки неизвестного среднего ц нормальной случайной величины х основано на следующем. Пусть х, х , Хп — независимые наблюдения (результаты анализа) нормальной случайной величины X с неизвестными наблюдателю средним р, и дисперсией (т . Вычислим соответствующие выборочные параметры j и 5 и составим дробь t — х — р,) /5. Эта Дробь имеет рас- пределение Стьюдента с = п—1 числом степеней свободы. Сравним величину I с аргументом функции Лапласа и. Если ыл — мера отклонения среднего результата анализа от математического чэжидания р, в единицах генерального стандартного отклонения [c.92]

Корреляционные функции обобщают на пространственный случай понятие моментов тПй=< > случайной величины которые могут быть получены дифференцированием производящей функции (п. ф.) моментов. Аналогично корреляторы получаются дифференцированием производящего функционала (ПФ). корреляторов [173], аргументами которого являются произвольные фупкции /i(r) . [c.214]

Параметры плотности распределения найдем вычислением моментов функции случайных величин прийлиженным методом путем разложения искомое функции (3) в ряд Тейлора и отбрасывания малых членов разложения. [ I]. Таким образом получим оценки параметров плотности распределения функции случайных аргументов для формулы (I) [c.7]

Гн. которого находим, закон и математические характеристики распределения. Плотность распределения случайной величины может быть найдена аналитически. Для этого ворпользуемоя известной в теории вероятностей и используемой в теории надёжности закономерностью функции ол гчайных аргументов 2] [c.210]

Если повторить один и тот же эксперимент п раз, мы получим выборку — серию из п независимых, идентично распределенных значений Х1,Х2,...Хп случайной величины X (нижний индекс соответствует номеру эксперимента). Любая функция случайных величин есть тоже случайная величина. Рассмотрим некоторую функцию 2(Х), аргументами которой служит серия из п значений Х1,Х2,... Хп случайной величины X. Эта функция является новой случайной величиной, распределение которой связано с распределением X и порождается им. Распределение величины 2 в этом случа называется выборочным распределением. Два важных примера функции 2(Х)—эгго выборочное среднее X и выборочная дисперсия Отметим, что необходимо строго различать выборочные параметры (например, X или з ) и генеральные параметры (соответственно, /х и <т ). [c.422]

Ф( ) возрастает от Ф(0)==0 до ф(оо) = 1. Значения Ф(1) =0,6827, Ф(2) = = 0,9545, Ф (3) =0,9973, Ф (4) =0,9994 указывают на то, что эта функция быст-,ро приближается к своему пределу, равному 1. Подавляющее большинство слу-. чайных величин укладывается в значение функции Ф(3), т. е. 99,7% всех случайных ошибок распределяются в пределах i от О до 3 и только 0,3% ошибок уходят за эти пределы. Такая доля ошибок настолько мала, что ею пренебрегают даже в весьма ответственных измерениях. Это положение вошло в математическую статистику как правило трех сигм для нормального распределения случайной величины практически достоверно, что ее отклонение от центра рассеива- ия не превзойдет утроенной величины среднего квадратического отклонения. Правило трех сигм используют для исключения грубых ошибок. Квадратическое отклонение крайнего результата 5 =]/ Зсг) сравнивают с средней квадратической ошибкой Sx [формула (15.7)] при доверительной вероятности р. Если Si>S /p, где tp — аргумент функции Лапласа, крайние результаты эксперимента исключают. [c.236]

Пусть искомым показателем является среднее выходной случайной величины , зависяш,ей от генерируемых в процессе имитации независимых случайных величин 01, 02,. .. монотонным образом, т. е. увеличение любого из аргументов 6 функции V = У (01, 02,. ..) приводит к увеличению значения функции. Пусть р1.(х) — функция распределения случайной величины 0 . Сформируем новую последовательность 0[ 0 = (1 — (6г))- Легко показать, что случайная величина 0[- распределена так же, как и 0 . При генерации случайные величины 6 и 0 удобнее получать с помощью одного и того же числа сог, равномерно распределенного на (О, 1) и реализуемого с помощью датчика случайных чисел 0 = = ( 0 61- = (1 — сог)- Ясно, что величины 0, и В - связаны антимонотонной зависимостью при увеличении 0г величина 0 убывает. Отсюда и из монотонности функции следует, что случайные величины У = У (01, 02,. ..) и У — = У (0, 0 ,. ..) имеют отрицательный коэффициент ковариации г. В то же время эти величины имеют одинаковые среднее я и дисперсию а . Поэтому оценка (У + У )/2, является несмещенной оценкой я с дисперсией = (а + г)/2, меньшей, чем а /2, которая получилась бы при независимых реализациях У и У. Следовательно, можно повысить точность оценок, если добиться монотонной зависимости выхода от генерируемых в процессе моделирования случайных величин. В ряде систем обслуживания такая монотонность имеет место. Например, время ожидания возрастает с ростом времени обслуживания и убывает с ростом интервалов между заявками. [c.191]

Выявление влияния погрешностей исходных величин, входящих в расчетные формулы, на погрешность конечного результата является одной из основных задач статистической обработки данных. Как правило, в физико-химических расчетах фигурируют функции нескольких аргументов, значения каждого из которых подвержены влиянию случайных источников ошибок. Общим приемом оценки таких влияний погрешностей отдельных переменных на значение искомой функции (хих2,. .., х ) является расчет величин Длгь. .., Ал , характеризующих колебания результата вычислений в зависимости от значений Ахи Дхг,. .., Ахп [9]. Суммарная величина А/ [c.15]

Материал, который обсуждается в данном разделе, достаточно подробно изложен в учебниках по теории информации, статистической связи, сигналам и системам, вероятностным и случайным функциям [1 —11]. Перед тем как проводить строгую математическую обработку, мы хотим подчеркнуть иитуи-тивное значение и физический смысл разнообразных аргументов. Следует отметить, что любое. математическое представление о действительных физических переменных в любой системе неизбежно представляет собой приближение и что степень такого приближения, вообще говоря, связана со сложностью проведения математических выкладок. Таким образом, наиболее подходящее приближение для любой специфической переменной величины может быть разным в различных случаях. Так, например, заданное напряжение можно представить определенным [c.451]

Для первичной обработки таблицы опытных данных з i,yj] /= 1, 2,. .., К), где величины г/ содержат случайные погрешности, в термодинамике используется обычно метод наименьших квадратов или, как его еще называют, наилучшее среднеквадратичное прпбли кение. При этом для аппроксимации функции у(х) выбирается математическая модель Ф(,3, х), т. е. функция известного вида от аргумента х, содержащая пеоиределенные параметры, 3,. Последние в соответствии с методом наименьших квадратов до.тжны выбираться таким образом, чтобы достигался минимум суммы [c.62]

При построении графиков необходимо учитывать точности экспериментальных и расчетных данных. Это достигается рациональным выбором масштаба, размеров графика и способов нанесения на него числовых значений исследуемых величин. Числовое значение функции, отвечающее данному значению аргумента, часто обозначают на графике кружком. Диаметр этого кружка должен соответствовать значению систематической погрешности функции. Если при каждом значении аргумента измерено несколько значений функции, можно вычислить не только систематическую, но и случайную погрешность. Значение погрешности в этом случае указывают на графике вертикальным отрезком длиной 2 (Деист + Аслуч), СврСДИНа КОТОрОГО располагается в точке, отвечающей среднему арифметическому значению функции, как изображено на рис. 2.1. [c.23]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология