Биномиальные коэффициенты

Таблица биномиальных коэффициентов [c.77]

Таблица V. Биномиальные коэффициенты.

В случае магнитной неэквивалентности ядер соседних групп мультиплетность сигнала определяется по формуле М=2 . В спектрах высших порядков, для которых разность химических сдвигов сигналов взаимодействующих ядер незначительно превышает константу спин-спинового взаимодействия, определение мультиплетности в ряде случаев затруднено. Интенсивности компонент в мультиплетах спектров первого порядка пропорциональны биномиальным коэффициентам. Для дублетных сигналов отношение интенсивностей компонент составляет 1 1, для триплетных — 1 2 1, для квартетных — 1 3 3 1 и т. д. В близко расположенных мультиплетах взаимодействующих ядер, когда разность химических сдвигов незначительно превышает константу спин-спинового взаимодействия, наблюдается отклонение от указанной пропорциональности. Это проявляется в увеличении интенсивности компонент, ближайших к соседнему мультиплету, за счет уменьшения интенсивности более удаленных компонент. [c.52]

Здесь = п 1т (п - ш) - биномиальные коэффициенты, а суммирование ведется с шагом 1 по таким г, чтобы под знаком факториала не оказалось отрицательное число. При работе с коэффициентом Клебша -Гордана чрезвычайно полезными оказьшаются их свойства симметрии. Последние принимают особенно простой вид, если вместо коэффициентов Клебша - Гордана использовать коэффициенты Вигнера, кт. 3/-сим-волы, определяемые равенством [c.26]

Обсужденные ранее химические реакции описываются в общем случае булевыми реакционными решетками, содержащими подрешетки, которые в свою очередь могут быть построены только из динамических атомов. На рис. 6 показано, что число элементов на каждом уровне диаграммы решетки определено таким же образом, как и биномиальные коэффициенты в треугольнике Паскаля. Основываясь на рассмотрении симплекса путем сопоставления формулы Эйлера для полиэдров и треугольника Паскаля [9], можно также приписать каждому уровню диаграммы решетки размерность Д в частности, размерность уровня атомов, т. е. 0-симплексов, будет [c.451]

Понятно, что биномиальные коэффициенты равны нулю, пока (г --п)/2 есть целое между О и л включительно. [c.25]

Отметим, что эта формула справедлива для всех целых значений п . при условии, что биномиальные коэффициенты равны нулю, когда 1 < О или Пу > По. Используя стандартные вычислительные приемы классической теории вероятностей, из этой формулы можно вывести [c.99]

Факторизация функций по величине Iz. Мультипликативные функции можно упорядочить по величине 2-проекции суммарного спина 1г- Для п спинов имеется +1 значений Ь, лежащих в диапазоне от — /2 до /2. Количество функций с одинаковым значением 1г (кратность вырождения) определяется с помощью биномиальных коэффициентов (табл. 2,1). [c.49]

Как при косвенном взаимодействии, так и при сверхтонком взаимодействии в ЭПР интенсивности линий, обусловленные группой эквивалентных ядер, определяются с помощью вероятностного рассмотрения. Единичное ядро с / = /г имеет два возможных значения магнитного квантового числа (гп = /г), поэтому существуют две возможности влияния на энергию соседнего ядра или электрона в их нижнем или в верхнем спиновом состоянии. Таким образом, линия перехода расщепляется на две. Однако линия ядра не расщепляется в присутствии идентичного ядра, имеющего эквивалентное окружение. Второе неэквивалентное ядро со спином /г вызывает дальнейшее расщепление п различных типов ядер со спинами /г дают расщепление на 2" линий. Группа эквивалентных ядер, действующих на ядро другого типа, дает меньше линий. В случае двух эквивалентных ядер результирующий спин имеет значение +1 или —1 нулевое значение реализуется двумя комбинациями (+ /г,— /г и— /г, + /2) и, таким образом, имеет двойной вес. Для п эквивалентных ядер получаем п + 1 линий с вероятностными весами и интенсивностями, относящимися как биномиальные коэффициенты интенсивность й-й линии соответствует коэффициенту при в разло- [c.427]

В твердой фазе мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда уширение спектра ЭПР обусловлено неразрешенной сверхтонкой структурой. Чтобы получить выражение для функции распределения в этом случае, будем пренебрегать вначале конечной шириной однородной линии. Воеводский и Солодовников [4] показали путем предельного преобразования биномиальных коэффициентов, что для N эквивалентных протонов при достаточно [c.42]

Распределение интенсивностей линий при спин-спиновом расщеплении обычно подчиняется простым правилам в тех случаях, когда химические сдвиги велики по сравнению с расщеплением. Один протон дает симметричный дублет, два протона в группе — триплет с распределением интенсивностей 1 2 1, три протона в группе — квартет 1 3 3 1, четыре протона — квинтет 1 4 6 4 1 и т. д. Легко видеть, что интенсивности подчиняются закону биномиальных коэффициентов. [c.67]

Спектр состоит из я + 1 эквидистантных линий. Относительная интенсивность к -Ь 1)-й линии определяется биномиальным коэффициентом пМк п — к), где к = 0, 1,. . ., п. Относительные интенсивности для случаев п = 1, 2 и 3 уже приводились на рис. 109. [c.248]

Вообще, каждый из спектров АХ (см. рис. 4.2) содержит дублет Х и мультиплет А, состоящий из п + 1 линий, интенсивности которых соответствуют биномиальным коэффициентам л-й степени [c.76]

Биномиальные коэффициенты л-й степени [c.76]

В этом уравнении С п, С , — биномиальные коэффициенты. Преобразуем его, вынеся член Ста за квадратные скобки, [c.157]

Биномиальные коэффициенты п-й степени [c.99]

НЫХ соседних ядер со спином / число компонент расщепления равно (2л/ 4- 1). Распределение интенсивностей зависит от статического распределения отдельных спиновых состояний ядер и для ядер с / = определяется рядом биномиальных коэффициентов. Рассмотрим эту сверхтонкую структуру на примере молекулы РРз. [c.90]

Или, вводя биномиальные коэффициенты, [c.136]

ТАБЛИЦА V. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ [c.375]

В связи с различными возможностями ориентации ядра А под влиянием магнитного -момента ядра В со спином / линия ядра А расщепляется на мультиплет (2/+1). В присутствии п эквивалентных соседних ядер с ядерным спином I число состояний становится равным 2/г/+1. Распределение интенсивности линий зависит от статистического распределения ядерных спиновых состояний и для ядер с /= /2 соответствует последовательности биномиальных коэффициентов. В качестве примера рассмотрим сверхтонкую структуру спектра молекулы РРз. Резонансная линия ядра Р под влиянием соседного ядра Р со спином /2 расщепляется на две линии (рис. А.27, а). Резонансная линия ядра фосфора под действием трех одинаковых ядер P со спином /= /2 дает квартет с отношением интенсивностей 1 3 3 1 (рис. А.27, б). [c.73]

На рис. 8.14 показан пример использования сигнализации ощибк>1 с помощью оператора on error при вычислении биномиальных коэффициентов. Начальное и конечное значение биномиального коэффициента из п элементов по к равно 1 (для А = О или к = и). Остальные коэффициенты вычисляются непосредственно через факториалы. Особенность факториала (быстро возрастать) приводит к переполнению. Можно с помощью оператора on error фиксировать ошибку переполнения и в этом случае вычислять коэффициенты по [c.366]

Квартет, наблюдаемый в спектре возникает вследствие взаимодействия спина ядра с суммарным спином трех эквивалентных ядер F, равным 3/2. Расстояние между ближайшими компонентами данного квартета будет тем же самым, что и между компонентами дублета в спектре Р, и равно константе спин-спинового взаимодействия, выражаемой в единицах частоты /= 1,44 кГц. Соотношение интенсивностей в квартете 1 3 3 1 соответствует биномиальным коэффициентам. Как НР, так и РРз являются примерами так называемых слабосвязанных систем, для которых значение / будет существенно меньше разности значений резонансных частот. Расщепление линий и соотношение интенсивностей подчиняются довольно простым правилам. Взаимодействие между ядрами одного сорта, находящихся в химически эквивалентных положениях, подобно трем ядрам фтора в РРз вообще не вызывает никакого расщепления резонансных линий. Если же ядра не являются магнитно и химически эквивалентными, то мультиплет-ность линий в спектрах легко можно предсказать, исходя из следующих соображений связь ядра А с ядром X со спином 1= 1 приводит к появлению в спектрах двух линий равной интенсивности, расстояние между которыми равно IЕсли же в спиновой системе имеется еще один спин, например Л/, участвующий в спин-спиновом взаимодействии, то каждая из компонент дублета расщепляется в дублет с константой IОсобенно прост характер расщепления в случае эквивалентных ядер, например в РР3, так как здесь все константы равны. При взаимодействии ядра А с п эквивалентными ядрами X в спектре системы АХ получаем (и+1) резонансную линию с расстоянием / между ближайшими линиями распределение интенсивностей внутри такого мультиплета подчиняется отношению биномиальных [c.31]

Объяснение. Идентификация магнитных промежуточных продуктов, образующихся при передаче одного электрона в окислительно-восстановительных реакциях, имеет большое значение. Электронно-спиновая резонансная спектрометрия не только позволяет провести такую идентификацию, но также дает возможность отличить первичные свободные радикалы от продуктов их полимеризации. Простым примером тaкJЭГ0 свободного промежуточного радикала является ион полубензохннона, образующийся в окислительно-восстановительной системе р-бензохинона. Спектр р-полубензохинона показан выше. Пять линий этого спектра являются следствием изотропного магнитного взаимодействия нечетного электрона кольца с ядерными моментами атомов водорода. Этот электрон чувствует относительную ориентацию, ядерного момента каждого атома водорода, и поскольку каждый атом имеет почти равную возможность расположить ось своего момента по направлению действия поля или навстречу ему, то возникающий спектр состоит из пяти линий. Относительные интенсивности этих линий подчиняются закону биномиальных коэффициентов. Расстояние между линиями является ме-ро( [ величины -состояния волновой функции нечетного электрона в водороде и одновременно мерой я-электронной плотности в соседних атомах углерода кольца. [c.247]

Благодаря этому ЭПР внутри молекулы энергетические уровни и, следовательно, резонансный сигнал расщепляются дополнительно, приводя к сверхтонкой структуре спектра (СТС). Число линий при сверхтонком расщеплении зависит от числа взаимодействующих ядер. При взаимодействии с п ядрами оно составляет максимально (2/- -1)", а для п эквивалентных ядер (2п/-(-1), где / — ядерный спин. В последнем случае относительная интенсивность сверхтонких линий для / = /2 пропорциональна биномиальным коэффициентам п-ого порядка и может быть найдена по треугольнику Паскаля. В качестве примера сверхтонкого расщепления на рис. 4.6 приведены спектры хлорнроизводных /г-бензохи-нона. Расстояние между соседними линиями дает константы сверхтонкого взаимодействия (СТВ). Они не зависят от приложенного поля и пропорциональны вероятности пребывания электрона [c.101]

Неэквивалентные позиции могут возникать не только при замещении магнитных ионов немагнитными, но и в тех случаях, когда в окружении данного иона находятся магнитные ионы разного типа. В работе [И] при исследовании шпинелей СоРег-О4 и МпРс204 было обнаружено сильное уширение линий месс-баз эровских спектров, относящихся к ионам Ре в В-подре--шетке. Это связано с наличием нескольких типов ионов Ре +, каждый из которых имеет свое значение поля Яэфф на ядре железа. В данных шпинелях это возникает из-за различного окружения ионов Ре в В-узлах ионами Ре и Со + (или Мп +), находящимися в А-подрешетке. Разложение сложного спектра при помощи ЭВМ позволило выделить 5 наиболее интенсивных зеемановских компонент — одну в А-подрешетке и Т1етыре в В-подрешетке (см. рис. Аа и 46). Относительная интенсивность линий В-компонент задавалась формулой, аналогичной соотношению (1) /(п)=С (1—где С — биномиальный коэффициент п — число ионов Ре + в А-узлах к — их концентрация. Здесь п = 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. Соответствующее число ионов Со + (или Мп +) равно (6—га) =0, 1, 2, 6. Для каждой компоненты было получено значение сверхтонкого магнитного поля и изомерного сдвига в интервале температур 4,2—500° К и построена температурная зависимость полей Яэфф для компонент А, В1, В2, ВЗ и В4. Установлено, что при фиксированной температуре величина поля Яэфф (В) уменьшается с увеличением числа ионов Со + (или Мп +) в А-подрешетке. Кроме того, различие в полях Яэфф для различных неэквивалентных мест увеличивается с ростом температуры. Это означает, что суперобменные взаимодействия Со (А)—Ре (В) и Мп(А)—Ре(В) меньше, чем Ре(А)—Ре(В). [c.16]

Смотреть страницы где упоминается термин Биномиальные коэффициенты: [c.99] [c.159] [c.122] [c.230] [c.269] [c.524] [c.292] [c.109] [c.120] [c.31] [c.34] [c.434] [c.218] [c.55] [c.759] [c.57] [c.146] [c.55] [c.134] [c.29] [c.269] [c.135]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология