Переход марковский

Уравнение Фоккера-Планка, определяющее эволюцию плотности вероятности перехода марковского процесса Х имеет вид [c.69]

Здесь р у, 1/х, 5) - плотность вероятности перехода марковского процесса X, (х его значение в момент времени у - в момент времени 1). [c.70]

Функция Р(В, х, 5), которая должна гакже удовлетворять условию Р (В, 5 X, в) = 1в(х), называется вероятностью перехода марковского процесса X/. [c.97]

Покажем теперь, что класс (стационарных) диффузионных процессов гораздо шире. Действительно, условия а , б и в допускают и негауссовское поведение. Замечательная особенность диффузионных процессов состой в том, что их плотность вероятности перехода, не будучи гауссовской, тем не менее полностью определяется первыми двумя дифференциальными моментами. Для того чтобы доказать это, мы выведем только из условий а , б и в эволюционное уравнение для р[у, / х, 5). Разумеется, общим эволюционным уравнением для плотности вероятности перехода марковского процесса является уравнение Колмогорова —Чепмена (4.8). Однако для нахождения р у,1 х,8) оно малопригодно, так как нелинейно по плотности вероятности перехода. Мы покажем в дальнейшем, что в случае диффузионного процесса уравнение Колмогорова — Чепмена может быть преобразовано в линейное дифференциальное уравнение с частными производными для р(г/, ( х,8). [c.104]

Временная эволюция системы (рис. 12.2), в принципе, может быть рассмотрена как однородной марковский процесс с непрерывным временем t [549]. Из соответствующих уравнении могут быть получены оценки для вероятностей взаимного перехода а- и -пленок на основании вида функции P t). Такой подход является целесообразным для количественной характеристики устойчивости. Однако для того чтобы найденные оценки можно было сопоставить с высотами энергетического барьера и глубиной минимумов, необходима теория прорыва смачивающих пленок, которая в настоящее время еще не развита в достаточной степени [45]. [c.208]

В работе для описания вероятностного характера процесса функционирования технических объектов предлагается использовать марковские процессы, а для оптимизации стратегии, т. е. последовательности решений, принимаемых в моменты переходов из состояния в состояние, — итерационный метод. Рассмотрены алгоритмы поиска оптимальной стратегии для процессов функционирования системы как с дискретным, так и с непрерывным временем. Основой процедуры определения оптимальной стратегии ТО является итерационный цикл, составленный из операций определения весов и улучшения решения [141]. [c.96]

Минимальная частичная реализация. Алгоритм построения минимальной реализации, рассмотренный выше, касался динамических систем, для которых заранее точно заданы либо матричная передаточная функция, либо последовательность марковских параметров. Более распространенным случаем является ситуация, когда то и другое точно задать нельзя. В таких случаях обычно на основе анализа входных и выходных сигналов каким-либо приближенным методом конструируется передаточная функция системы например, задается структура передаточной функции, а входящие в нее параметры определяются с помощью стандартных методик идентификации (см. 6.2—6.5). После того как передаточная функция определена, переход к описанию системы в форме канонических уравнений пространства состояний без труда реализуется с помощью алгоритма Хо или любого другого алгоритма построения минимальной реализации динамической системы. Очевидный недостаток такого подхода состоит в том, что структура передаточной функции задается жестко заранее, следовательно, теряется гибкость метода, отсюда точность реализации системы не может быть высокой. В связи с этим возникает необходимость в методе, который позволял бы строить приближенную минимальную реализацию непосредственно по экспериментальным данным так же, как алгоритм Хо позволяет строить точную реализацию для системы с точным заданием последовательности марковских параметров. [c.114]

Из принятого допущения марковского поведения потоков систему можно описать вектором 8 тп) вероятностей sJ(nl) — нахождения ее в каждом состоянии а через т переходов. Обозначив вероятность перехода за малый отрезок времени А из состояния а в состояние р как согласно основному свойству цепей Маркова, будем иметь [c.262]

Математическая модель неустановившегося потока дисперсной фазы в слое насадки [7]. Рассмотрим объем колонны достаточно больших размеров, равномерно заполненный беспорядочно уложенной насадкой, в котором происходит случайное неориентированное движение струй или капель (пузырей) дисперсной фазы. Струи (капли, пузыри) рассматриваются как однородные изолированные макроэлементы, не подверженные эффектам слияния (коалесценции) и разбиения (редиспергирования). При построении вероятностно-статистической модели процесса будем полагать, что случайный характер движения дисперсной фазы в насадке подчиняется закономерностям непрерывного марковского процесса. Это значит, что вероятность перехода элемента дисперсной фазы, находящегося в момент времени в точке насадочного пространства, в точку М, достаточно близкую к точке М , за время А4, отсчитываемое от момента 1 , не зависит от состояния системы до момента 1 . [c.351]

Соотношение (7.21), отражающее марковское свойство процесса и известное как функциональное уравнение Колмогорова—Чэпмена, приводит к аналогичному соотношению для плотности вероятности перехода [c.352]

Однако для описания массовой кристаллизации одного реку-рентного соотношения (1.519) недостаточно. Связано это с изменением концентрации раствора во времени. Последнее можно учесть, если вероятности перехода приписать некоторую оценку Оценка гпц характеризует изменение массы кристалла при его переходе из состояния I в состояние /. Множество оценок образует матрицу оценок М с элементами m y Таким образом, марковский процесс роста кристаллов порождает последовательность оценок М(т), которые соответствуют переходам кристаллизуемой системы из одного состояния в другое [c.135]

Стохастический анализ движения частиц. Описанная выше схема циркуляции частиц и случайного перехода из одного потока в другой приводит к марковскому процессу случайного блуждания. Вероятность обнаружить частицу в момент t в области 2 2 + Дг в восходящем потоке (или нисходящем Ра) описывается уравнениями [24] [c.54]

Среди марковских цепей различают непрерывные, дискретные, неоднородные и однородные 182]. Однородными называются марковские процессы, зависящие только от периода времени с момента начала состояния. Их можно применять тогда, когда распределения, характеризующие поведение элементов, являются экспоненциальными. Математически цепи Маркова можно представить следующим образом А (t + At) = р (at) А (t). Элементы щ (t) матрицы А (t) указывают вероятность состояния или пребывания системы в состоянии i в момент времени t, а элементы рц матрицы Р (Ai) указывают вероятность перехода из состояния i в состояние / в момент времени t. [c.297]

Вероятности перехода можно найти в результате решения систем линейных дифференциальных уравнений. Например, для однородного марковского процесса можно записать [c.297]

При перечисленных допущениях система дифференциальных уравнений, описывающая марковский случайный процесс переходов, соответствующих графу состояний, превратится в систему алгебраических уравнений [c.65]

Дл в ячейку Дл, а вторая — убыль плотности вероятности, связанную с переходами из Ал в Ал. В обеих частях уравнения временной аргумент функции р (л, г) имеет одинаковое значение. Это означает, что р (л, г + Аг) в момент времени г + Дг(Дг- время, много большее времени одного перехода) определяется распределением вероятностей р (л, Г) в момент времени Г и не зависит от значений р (л, г ) при t < г. Такая эволюция системы называется марковской. В отличие от уравнения Лиувилля уравнение (2.10) [c.39]

Допущение (7.10) автоматически включает в себя утверждение, что стохастический процесс, описываемый с помощью д, есть марковский процесс. Это сильное допущение лишь приближенно выполняется во многих приложениях, однако вероятности переходов / /(д д ) обычно имеют прямую физическую интерпретацию в терминах микроскопических величин - сечения столкновений, квантовомеханические матричные элементы. Отметим, что имеются случаи, когда управляющее уравнение (7.12) выполняется, а приближения Ланжевена и Фоккера-Планка не приводят к правильным результатам. [c.176]

Метод периодических граничных условий был разработан и применен для решения равновесных задач статистической физики (в частности, теории жидкостей и плотных газов) [196, 197, 339, 386, 453]. В работах [339, 386, 453] метод Монте-Карло использовался для вычисления на ЭВМ конфигурационных интегралов системы частиц путем усреднения по множеству случайных событий, образующих марковскую цепь с постоянными вероятностями переходов (эти вероятности зависят только от потенциальной энергии системы частиц). Возможности современных ЭВМ вынуждают ограничиться рассмотрением систем с числом частиц порядка 10 —10 . Для исключения [c.201]

При условии замкнутости система может переходить из одного состояния в другое только посредством упругих столкновений частиц. Поскольку мы не рассматриваем конфигурационное пространство, временное поведение системы не является детерминированным, последовательность переходов системы из одного состояния в другое — случайный процесс, а сами эти состояния образуют марковскую цепь. Вероятности переходов между различными состояниями не зависят от времени и полностью определяются набором скоростей всех частиц. Чтобы получить возможность описания макроскопических систем, нужно было бы положить N равным примерно числу Авогадро. Ввиду ограниченных возможностей современных ЭВМ воспользуемся несколько модифицированным методом периодических граничных условий. При описании системы набором скоростей всех частиц он сводится к разбиению бесконечной системы частиц на Л/групп таким образом, что скорости всех частиц в каждой группе близки по величине и направлению друг к другу. В каждой группе выделяется "типичная" частица и считается, что остальные частицы в группе ведут себя аналогично этой частице. Таким образом, если п — физическая концентрация частиц, величина л/Л/будет соответствовать концентрации каждой из N "типичных" частиц. Отметим, что частицы системы могут быть разного сорта — а, (3.....Т, но при [c.202]

Выше уже говорилось, что система N частиц будет находиться в состоянии VI, У2.....чщ) вплоть до момента первого столкновения. Следовательно, для построения марковского случайного процесса, заключающегося в переходах системы через последовательность состояний, нужно определить вероятности этих переходов для каждого состояния к = (т=1, 2,...), или, что то же самое, вероятности столкновений различных пар частиц/, = 1,. . ., Необходимо также ввести временную шкалу случайного процесса. [c.203]

Нефть представляет собой многокомпонентную стохастическую смесь углеводородов и гетероатомных соединений с включением небольших количеств металлоорганических веществ, со случайным распределением компонентного состава. Молекулы, входящие в состав нефти, различаются между собой весьма существенно как по структуре, так и по размеру различные молекулы содержат в своем составе от одного углеродного атома до 50 и более. Наиболее технически ценными компонентами нефти являются углеводороды, содержание которых в нефтях колеблется от 97-98% в легких нефтях (Пенсильванская, Марковская) до менее 50 % - в тяжелых, постепенно переходя до весьма малых величин в нефтях асфальтового типа. Углеводороды в нефтях представлены следующими гомологическими [c.10]

Из теории случайных процессов известно, что, если цепь (2.7) марковская и вероятность перехода в момент I мала, то полная вероятность достижения определенного состояния пуассоновская и имеет вид (2.8) [c.62]

Переход от одного состояния столбца к следующему вниз по ленте является марковским, т. е. возможные состояния столбцов, следующие за любыми данными состояниями, не зависят от предшествующих состояний. Например, в случае с и- = 3 за состоянием [c.491]

Упражнение. Азартный игрок играет в орла и решку. Пусть К/ —его капитал после t бросков. Покажите, что К( является дискретным по времени марковским процессом, и найдите его вероятность перехода. [c.79]

С другой стороны, уравнение (4.1.4) может означать, что любое решение с начальным условием Р (у, 1а) -- Ь(у — у ) идентично вероятности перехода РI liy- У>> 1)) Действительно, основное кинетическое уравнение, выведенное в следующей главе для марковских процессов, относится к тому же типу. Однако оно не может гарантировать марковости ввиду того, что ничего не говорит нам о функциях распределения высших порядков . [c.83]

Вероятность перехода стационарного марковского процесса [c.88]

Пусть (1) — стационарный гауссов марковский процесс. Путем сдвига и изменения. масштаба системы координат мы можем убедиться в том, что Ру у) равно (4.3.10). Вероятность перехода — гауссова и, следовательно, имеет общий вид [c.89]

N). Вероятность перехода 7 t( /2 /i) представляет собой /V X jV-матрицу. Марковское свойство (4.3.3) приводит к матричному уравнению [c.95]

Модель случайных блужданий можно обобщить путем включения статистической корреляции между двумя последовательными шагами таким образом, что вероятность а-шага в том же направлении, что и предыдущий шаг, отличается от вероятности р-шага в обратную сторону ( случайные блуждания с памятью ). В этом случае пространственная переменная V уже не является марковским процессом, потому что ее распределение вероятности в момент времени г + 1 зависит не только от ее значения в момент времени г, но также и от значения в момент г—1. Однако марковский характер процесса может быть восстановлен путем введения этого предшествующего значения явно в качестве добавочной переменной. Двухкомпонентный процесс (К,, К ), в котором Kj — координата в любой момент времени г, а — предшествующая координата в момент г—I, снова является марковским процессом. Если обозначить пит соответственно значения Y и Y , то матрица перехода имеет вид [c.97]

Упражнение. Некая марковская цепь для двух состояний имеет одно поглощающее и одно переходное состояния. Какой вид имеет матрица перехода Г [c.100]

Рассмотрим марковский процесс, который для удобства выберем однородным, так что матрицу перехода можно написать в виде Т -Уравнение Чепмена—Колмогорова (4.3.2) представляет собой функциональное соотношение для Т , с которым довольно трудно работать в реальных приложениях. Основное кинетическое уравнение оказывается более удобным видом того же самого уравнения. Оно является дифференциальным уравнением, полученным в результате предельного перехода, когда разность времен т стремится к нулю. Чтобы выполнить предельный переход, необходимо сначала выяснить, как ведет себя Тх при стремлении т к нулю. В предыдущем разделе мы показали, что Тг-((/21 уО при малых т имеет вид [c.100]

Оператор Q в основном кинетическом уравнении линеен. Л ожно показать, что вероятность перехода марковского процесса не может удовлетворять нелинейному уравнению вида (4.1.4). Аргументы в пользу этого утверждения аналогичны использованным в работе D. Polder, Phil. Mag. 45, 69 (1954). [c.83]

Теперь, когда определены состояния к вероятности переходов, марковский процесс перестроек вторичной сгрукгуры полностью определен. Такова общая вдея подхода. [c.213]

Необходимо при известной стоимости замены (под профилактикой в этих работах понимается замена элементов системы) определить такую стратегию (правило) замены, которая минимизирует средние удельные затраты на проведение профи-лактнк в единицу времени. Такие задачи рассмотрены в работах [12, 121, 122] и относятся к стареющим радиоэлектронным системам. В работе [12] для решгння задачи увеличения показателей готовности и надежности сложных объектов на основе определения оптимальной стратегии управления поведением системы используется математическая модель марковского процесса переходов системы из состояния в состояние. Показано, что задачи по вычислению стратегии управления, считав-щиеся задачами динамического программирования, можно решать с использованием алгоритмов линейного программирования. Однако в этих работах [12, 121, 122] не излагается практическая реализация результатов решения указанной задачи. [c.94]

Уравнение (2.25) однозначно определяет стохастический процессх(г), f> 0. Это марковский процесс, и вероятность перехода P(x,t xQ, to) (из значения хд при fo в интервал х,х+с/хпри t) подчиняется уравнению Фоккера-Планка [c.45]

В высококипящих фракциях нефтей содержатся в значите 1ьных количествах высокомолекулярные гетероатомные соединения гибридной структуры, включающие в состав молекулы азот, серу, кислород, а также некоторые металлы. Выделить их в виде индивидуальных соединений и идентифицировать современными методами не удается. Поэтому их относят суммарно к группе смолисто-асфальтеновых веществ (САВ). Они не представляют собой определенный класс органических соединений. Содержание их в нефтях колеблется в значительных пределах от десятых долей процента (марковская нефть) до 50 % масс. Резкой границы в составе и свойствах при переходе от высокомолекулярных полициклических углеводородов к САВ не существует. [c.14]

Цепь конфигурации, отвечающую зависимости (XIII.91), получают путем задания определенных вероятностей перехода от одной конфигурации к другой. Вероятность pij перехода от i-й конфигурации к j-й считают зависящей от энергии этих конфигураций, точнее, от величины UJ — Ui)lkT pji = p j ехр [— (Uj—Ui) kT]. Вводят, таким образом, условные вероятности перехода вероятность данного события, состоящего в появлении конфигурации /, зависит от того, каким было предыдущее событие. Последовательность случайных событий, в которой вероятность определенного события зависит от исхода предыдущего испытания, называют цепью Марша (точнее, простой цепью Маркова в более сложных случаях марковских цепей на исход испытания влияют результаты нескольких предшествующих испытаний). С помощью теории марковских цепей Можно показать, что предельная зависимость (XIII.91) для частоты появления конфигураций с заданной энер- [c.390]

Множество Qq множество символов) и матрица t матрица переходов) определяют Z-решетчатую систему (По, t) (см. главу 5) с пространством конфигураций О и сдвигом т на нем. Динамическая система (О, т) служит ашволической динамикой динамической системы (I2, f). Такая тер-минолопм оправдывается следующими результатами, справедливыми для марковского разбиения достаточно малого диаметра. [c.160]

Упражнение. Рассмотрите обычное дифференциальное уравнение x=f(x)- Запишите решение, имеющее начальное значенне л ,, в момент виде х = Ф (жо, t—t,.,). Покажите, что л удовлетворяет определению марковского процесса с вероятносгью перехода [c.79]

Это соотношение называют уравнением Чепмена — Колмогорпва . Этому тождеству должна удовлетворять вероятность перехода любого марковского процесса. Упорядочение по времени существенно 1, лежит между t и tз. Уравнение, конечно же, справедливо и в том случае, когда у является вектором, имеющим г компонент, и в том, когда у принимает только дискретные значения, но интеграл в этом случае является суммой. [c.84]

Эти процессы нестационарны из-за условия, выделяющего определенный момент времени ц. Однако их вероятность перехода зависит только от разности времен, так же как и вероятность перехода исходного стационарного процесса. Нестационарные марковские процессы с вероятностью перехода, зависящей только от разности времени, называют однородными ). Они часто оказываются подаисамб-лями стационарных марковских процессов в смысле, описанно.м вьипе. Однако винеровский процесс, определенный в 4.2 является прк- [c.92]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология