Марковский однородный

Математическая модель неустановившегося потока дисперсной фазы в слое насадки [7]. Рассмотрим объем колонны достаточно больших размеров, равномерно заполненный беспорядочно уложенной насадкой, в котором происходит случайное неориентированное движение струй или капель (пузырей) дисперсной фазы. Струи (капли, пузыри) рассматриваются как однородные изолированные макроэлементы, не подверженные эффектам слияния (коалесценции) и разбиения (редиспергирования). При построении вероятностно-статистической модели процесса будем полагать, что случайный характер движения дисперсной фазы в насадке подчиняется закономерностям непрерывного марковского процесса. Это значит, что вероятность перехода элемента дисперсной фазы, находящегося в момент времени в точке насадочного пространства, в точку М, достаточно близкую к точке М , за время А4, отсчитываемое от момента 1 , не зависит от состояния системы до момента 1 . [c.351]

Пусть к = к — число отказавших элементов в момент времени t. Изменение величины к во времени описывается стандартной схемой марковского однородного процесса с непрерывным временем и конечным множеством состояний. Интенсивность перехода из состояния кв к - пропорциональна параметру к и равна + Я. Интенсивность перехода из состояния квк —1 пропорциональна параметру у, и равна (х. Коэффициенты а , Рь определяются конкретным режимом восстановления и замещения элементов. Например, в схеме предьщущего пункта аи = п — к, = k. [c.395]

Марковский процесс общего вида. Предположим, что эргодический процесс ij5 (О, описывающий поведение сложной восстанавливаемой системы, является марковским однородным процессом с конечным (или счетным) числом состояний, которые обозначим = О, 1, 2,. .. . [c.459]

Временная эволюция системы (рис. 12.2), в принципе, может быть рассмотрена как однородной марковский процесс с непрерывным временем t [549]. Из соответствующих уравнении могут быть получены оценки для вероятностей взаимного перехода а- и -пленок на основании вида функции P t). Такой подход является целесообразным для количественной характеристики устойчивости. Однако для того чтобы найденные оценки можно было сопоставить с высотами энергетического барьера и глубиной минимумов, необходима теория прорыва смачивающих пленок, которая в настоящее время еще не развита в достаточной степени [45]. [c.208]

Уравнение (6.7), позволяющее определить вероятность состояния системы, в общем случае неоднородно, так как Pi x,t) зависят как от т, так и от 1. При рассмотрении однородного по времени или стационарного случая (в дальнейшем будем рассматривать только однородные марковские процессы) считают, что вероятности состояния зависят только от продолжительности временного интервала и не зависят от момента его начала Pi(x,t)=Pi(t—х), т. е. при т = 0 рассматриваются только вероятности состояния Pi(t). [c.161]

Среди марковских цепей различают непрерывные, дискретные, неоднородные и однородные 182]. Однородными называются марковские процессы, зависящие только от периода времени с момента начала состояния. Их можно применять тогда, когда распределения, характеризующие поведение элементов, являются экспоненциальными. Математически цепи Маркова можно представить следующим образом А (t + At) = р (at) А (t). Элементы щ (t) матрицы А (t) указывают вероятность состояния или пребывания системы в состоянии i в момент времени t, а элементы рц матрицы Р (Ai) указывают вероятность перехода из состояния i в состояние / в момент времени t. [c.297]

Вероятности перехода можно найти в результате решения систем линейных дифференциальных уравнений. Например, для однородного марковского процесса можно записать [c.297]

Выделение однородного процесса из стационарного марковского процесса является обычной процедурой в теории линейного отклика. В качестве примера возьмем образец парамагнитного материала, помещенный в постоянное внешнее магнитное поле В. Намагниченность У в направлении поля является стационарным стохастическим процессом с макроскопическим средним значением и малыми флуктуациями около него. На минуту предположим, что это марковский процесс. Функция (у) дается каноническим распределением [c.93]

Рассмотрим марковский процесс, который для удобства выберем однородным, так что матрицу перехода можно написать в виде Т -Уравнение Чепмена—Колмогорова (4.3.2) представляет собой функциональное соотношение для Т , с которым довольно трудно работать в реальных приложениях. Основное кинетическое уравнение оказывается более удобным видом того же самого уравнения. Оно является дифференциальным уравнением, полученным в результате предельного перехода, когда разность времен т стремится к нулю. Чтобы выполнить предельный переход, необходимо сначала выяснить, как ведет себя Тх при стремлении т к нулю. В предыдущем разделе мы показали, что Тг-((/21 уО при малых т имеет вид [c.100]

Ограниченность аналогии макромолекулярной цепи со стохастической марковской цепью во времени проявляется и в самих основах статистики макромолекул. Ее принципиальные особенности были рассмотрены Лифшицем [49]. Макромолекула характеризуется наличием линейной памяти — звенья связаны г, единую цепь и расположены в ней последовательно. Поэтому звенья (частицы статистического ансамбля) принципиально различимы, каждое из них имеет свой номер в цепи и перестановка звеньев требует разрыва химических связей. Линейная память наличествует как в однородной, гомополимерной, цепи, так и в информационной цепи биополимера. Во втором случае память выражается наличием первичной структуры (см. стр. 73). [c.143]

Впервые вопрос о зависимых случайных величинах был поставлен в статье Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга , опубликованной в 1906 г. В ней А. А. Марков доказывает, что одно из важнейших положений теории вероятностей — предельная теорема Чебышева — справедливо и для зависимых случайных величин. Но это было только началом. В дальнейших своих работах выдающийся математик, по существу, закладывает основы теории марковских цепей. Так, им уже тогда были сформулированы понятия простых и сложных, однородных н неоднородных цепей, рассмотрены возможности их применения, например, в лингвистике. Читая труды А. А. Маркова, нельзя не восхищаться своеобразной красотой и даже изяществом их изложения. Четкость и лаконичность, строгость и выразительность, логичность и завершенность — таковы их характерные черты. В научных суждениях — объективность и принципиальность. Нельзя не привести здесь одну цитату из его статьи по теории вероятностей Теорема, которую доказывает Чебышев в упомянутом мемуаре, давно считается верной, но установлена она при помощи крайне нестрогих приемов. Я не говорю доказана, так как нестрогих доказательств не признаю, если не усматриваю возможности сделать их строгими . [c.11]

Величины Р,(х) могут быть интерпретированы как вероятности нахождения меченой частицы в ячей с номером /. Процесс х(т), определяемый вектором Р с элементами Рг(х), является однородным марковским процессом с конечным числом состояний, одно из которых (/ = 6) является поглощающим. Переходные вероятности Ру связаны с объемом аппарата 7а, объемом ячеек объемным расходом через аппарат V и циркуляционным потоком Кц, создаваемым перемешивающим устройством. [c.656]

Аналогичные по структуре уравнения могут быть получены, если движение дисперсной частицы рассматривать как некоторый однородный дискретный марковский процесс с двумя состояниями [6]. Пусть частица в любой момент времени может находиться лишь в двух ячейках с координатами 21 = 1 или 22 = — 1, причем вероятность перехода —1- 1 равна цот. Известны вероятности ее начального положения. Нужно вычислить вероятности перехода р,/= р[г(т) = г(то) = 2,] (где 21 = 1, 22 = —1 г, /=1, 2). Как показано в [6], рассматриваемый процесс может быть описан системой дифференциальных урав нений вида [c.187]

Из сравнения (3.89) и (3.91) мы видим, что моделируемое движение дисперсных частиц является однородным дискретным марковским процессом, который, в свою очередь, можно рассматривать [6] как дискретную модель одномерного непрерывного процесса смешения (1.136) с коэффициентом эффективной диффузии Оэф. Из условия согласования этих двух процессов следует [c.188]

В однородном взвешенном слое, полученном при пропускании через твердую зернистую фазу восходящего потока жидкости, можно проанализировать основные характеристики движения и взаимодействия обеих фаз с помощью теории случайных (марковских) [c.231]

Допустим, что на основании долгих наблюдений мы подсчитали вероятности выбора покупателями той или иной книги. Более того, оказалось, что они на протяжении долгого периода времени остаются неизменными, т. е. марковская цепь обладает свойством однородности. [c.61]

Этим примером мы хотели показать, что аппарат марковских цепей может применяться и при неоднородных статистических процессах. Надо лишь, чтобы статистически однородными были этапы этих процессов. Конечно, получаемые при этом результаты будут сопровождаться теми или иными погрешностями. Но ведь и любая математическая модель отражает то или иное физическое явление только с определенной точностью. [c.121]

Однородный марковский процесс стационарен (в строгом смысле), если р (х, t) — рз (х). [c.98]

Условия а , б и в достаточны для того, чтобы марковский процесс Xi был диффузионным процессом. Если —однородный (по времени) марковский процесс, т. е. р, (уу Цх, з) = = Ру (Уу — 51х)у то перенос / и диффузия функции, не за- [c.102]

Для однородных по времени марковских процессов ОУК и УФП (при замене т на t) принимают следующий вид [c.110]

Главу 4 мы хотим завершить кратким замечанием о системах, возмущаемых негауссовским белым шумом. В разд. 3.2 мы уже упоминали о том (и даже пояснили на интуитивном уровне), что случайный процесс является белым шумом в том и только том случае, если lt — производная (в смысле обобщенных функций) от однородного по времени процесса с независимыми приращениями. В гл. 4 мы рассмотрели только гауссовский белый шум, представимый в виде производной от винеровского процесса. Именно это обстоятельство послужило основанием для определения класса марковских процессов (диффузионных процессов), которые локально во времени выглядят как винеровский процесс плюс систематическая компонента, т.е.а1 + /D Wt Диффузионные процессы характеризуются тем, что г/(л , 5) = [c.113]

Действуя в том же духе, мы могли бы рассмотреть класс марковских процессов, локально представимых в виде пуассоновского процесса. Более общо мы могли бы выбрать любой однородный по времени процесс с независимыми приращениями. Так [c.113]

Пространство состояний марковского дихотомического шума It состоит лишь из двух уровней А , А+ . Этот шум представляет собой однородный во времени марковский процесс и, следовательно, полностью характеризуется следующей плотностью вероятности [c.325]

Формулы (10.27) определяют неявным образом через параметр 0 зависимость дисперсии от конверсии р — I — Типичные графики зависимости В (р) при различных значениях кинетических параметров к ж к приведены для ускоряющего и замедляющего реакцию влияния соседних групп соответственно на рис. 10.3. Там же для сравнения указаны значения В , соответствующие модифицированному марковскому приближению. Из рис. 10.3а видно, что с ростом ускоряющего эффекта дисперсия композиционного распределения возрастает, т. е. сополимер становится менее однородным. При этом наибольшая неоднородность достигается при более глубоких конверсиях. При замедляющем реакцию эффекте соседних звеньев зависимость дисперсии В от конверсии, как следует из рис. 10.36, имеет более пологую форму, а ее максимальное значение меньше, чем в отсутствие-этого эффекта. [c.311]

Обозначим Qk(t) —вероятность того, что в системе произошел отказ k каналов. В этом случае однородный марковский процесс с конечным числом состояний, описываемый конечным числом дифференциальных уравнений, сводится к системе алгебраических уравнений, решение которой дает значение [1] [c.121]

Название относится к однородности во времени, К сожалению, это может привести к путанице, потому что процесс может быть однородным в пространстве, т. с, инвариантным относительно сдвигов в пространстве в состоянии у. Поэтому чаше мы будем употреблять длинное выражение .марковский процесс со стационарной вероятностью перехода . [c.92]

В связи с изложенным оказывается полезной следующая трактовка однородного во времени марковского случайного процесса, отражающего функционирование мультиферментного комплекса [Розанов, 1979]. [c.63]

Принципиальное сходство между этим примером непрерывного движения и разорением игрока состоит в том, что и тот и другой процессы марковские. Процесс называется марковским, если распределение вероятностей перехода (или плотность вероятности) является функцией только значения процесса (или положения на действительной оси) в данный момент, а не всех его предыдущих значений. Марковский процесс называется однородным во времени, если вероятности переходов не зависят от времени. В задаче о разорении игрока (как и в цепи с нулевым сопротивлением) вероятности переходов не зависят даже от значения процесса в данный момент. Однако можно представить [c.103]

В однородном взвешенном слое, полученном при пропускании через твердую зернистую фазу восходящего потока жидкости, можно проанализировать основные характеристики движения и взаимодействия обеих фаз с помощью теории случайных (марковских) однородных процессов, используя диффузионную модель [44, 45]. Штейдл [46] показал, что только статистический подход может дать знание таких основных характеристик, как пороз- [c.243]

Эти процессы нестационарны из-за условия, выделяющего определенный момент времени ц. Однако их вероятность перехода зависит только от разности времен, так же как и вероятность перехода исходного стационарного процесса. Нестационарные марковские процессы с вероятностью перехода, зависящей только от разности времени, называют однородными ). Они часто оказываются подаисамб-лями стационарных марковских процессов в смысле, описанно.м вьипе. Однако винеровский процесс, определенный в 4.2 является прк- [c.92]

Для пракгического применения цепей Маркова возможны два пути. Первый предполагает аналитическое решение задачи с последующим теоретическим анализом результатов решения. Аналитические решения возможны только для самых простых однородных цепей. Второй путь предполагает непофедственное моделирование марковского процесса с использованием вычислительной техники. В этом случае говорят о процессе с непрерыв-ньм временем, или, кратко, о марковском процессе [31]. [c.652]

Первая попытка получить уравнение для плотности вероятностей в турбулентном потоке, по видимому, сделана Фростом [1960] при рассмотрении турбулентного горения однородной смеси горючих газов. В этой работе найдено уравнение для плотности вероятностей температуры. При выводе, помимо точного уравнения теплопроводности, привлекались дополнительные соображения (например, о марковском характере процесса турбулентного смешения). Похожее уравнение (под названием модели Ланжевс-на) появилось позже в работе Чанга [1969]. В дальнейшем этот подход развивался в работах Кузнецова и Фроста [1973] и Фроста [1973, 1977]. [c.54]

Процессы термического распада в многокомпонентных системах характеризуются необратимостью по времени. Следовательно,переход из состояния С ( ) в состояние С ) происходит независимо от цепочки переходов в "прошлом" до момента времени t. Такие процессы являются однородными марковскими и описываются функцией распределения Щгассоца [c.63]

Следовательно, наблюдаемое в реальных однородных системах образование зародышей можно объяснить только флуктуациями, приводяш ими систему в термодинамически невыгодное состояние. Поэтому для описания кинетики этого процесса приходится использовать либо вероятностные методы теории случайных процессов, либо статистико-механический подход. В классической феноменологической теории пуклеации, ведущей свое начало от работ Гиббса, Беккера, Деринга и изложенной в монографии Я. И. Френкеля [1], рост зародыша рассматривался как случайный марковский процесс. При этом для функции распределения зародышей по размерам было получено кинетическое уравнение типа Фоккера — Планка, обычно именуемое уравнением Беккера [c.147]

А. Милна с позиций теории марковских цепей, предполагая, конечно, как и ранее, что цепь статистически однородна. Это значит, что мы много раз наблюдали за стрельбой К. Робина и хорошо знаем вероятность попадания в шарик. Конечно, вряд ли герой книги станет много раз стрелять в бедного Пуха, чтобы мы также хорошо вычислили и другую вероятность. Но здесь можно предположить, что Винни-Пух был ровно в 2 раза больше шарика и находился от него на определенном расстоянии. Тогда можно довольно просто вычислить и эту вероятность. [c.119]

Для повышения надежности СУХТП наибольший практический интерес представляет собой резервирования с восстановлением. При оценке надежности системы с восстановлением обычно предполагают, что интервалы времени между отказами н время восстановления элементов распределены по экспоненциальному закону. При таком допущении поведение системы с восстановлением описывается однородным марковским процессом. На стадии проектпровання СУХТП рассматривают стационарный процесс. [c.121]

Упражнение. /Ь-. я. марковские процессов, котор.ые не являются стационарными или однородными, имеются прямое, или ос.човное. кинетическое уравнение и обращенное уравнение [c.133]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология