Якобиан

При фиксированной температуре мы получим теперь В совместных уравнений, которые должны быть разрешены относительно Л равновесных степеней полноты реакций. Интересно отметить, что любое предварительное упрощение этих уравнений путем возведения их в различные степени и умножения друг на друга эквивалентно линейному преобразованию исходной системы реакций. Таким образом, как и следовало ожидать, эквивалентные системы реакций приводят к одним и тем же равновесным составам. Можно показать, что эти уравнения всегда имеют единственное решение, так как их якобиан существенно положителен. Общее доказательство этого утверждения связано с применением неравенства Коши однако в случае двух реакций доказательство элементарно и будет дано ниже как упражнение. Поскольку при расчете равновесия сложного процесса вычисления могут быть громоздкими, важно следить за тем, чтобы число расчетных уравнений было минимальным. Для этого следует рассматривать только независимые реакции и использовать в качестве переменных их степени полноты. [c.58]

Минор г-го порядка матрицы [1] называют функциональным минором Якоби, или Якобианом, и обозначают через [Л. [c.46]

Решение системы (III.8) может быть найдено при условии, что якобиан этой системы не равен нулю. [c.68]

Для перехода от неудобных аргументов к удобным можно воспользоваться преобразованием якобианов в общем виде. [c.31]

Если система уравнений балансов линейна, то анализировать функциональную матрицу Якоби необязательно, поскольку в этом случае Якобиан совпадает с матрицей системы линейных уравнений, для определения совместности которых при ненулевых решениях используют известные из линейной алгебры теоремы. [c.46]

J J=Df/Dw — якобиан системы (3.104) — матрица блочной структуры [c.81]

Это уравнение устанавливает, что общая суммарная длина пробега нейтронов в элементарном объеме около точки г в единицу времени в момент времени I сохраняется при переходе от скоростного пространства к энергетическому. Если ввести якобиан dv/dE, то довольно просто можно показать, что [c.45]

Решение. Якобиан системы [c.83]

Проверка устойчивости, основанная на собственных значениях матрицы (IX, 206), выполняется непосредственно, когда Р и Р заданы в явном виде, но эти функции задаются аналитически только в исключительных случаях, поскольку для этого необходимо получить явное выражение для интеграла уравнений формы (VI, 21). Так как в общем случае неизбежно численное интегрирование, то более удобно выразить искомый якобиан в обозначениях функций /1 и /2 уравнений (VI, 27). С этой целью Рейли и Шмитц (1966 г.) определили матричную переменную [c.225]

Для того чтобы записать дифференциальное уравнение для Y, согласованное с численным решением, необходимо использовать якобиан приближающей системы дифференциальных уравнений. Тогда получится матрица оператора Y, состоящая из производных численного решения по вектору начальных условий. [c.83]

Якобиан системы (3.118) равняется f, (Oa/Dx) -н J (х, i), тогда уравнение для Y, записывается в виде [c.83]

Вычисления правой части уравнения для приращений координат и импульсов. В точке (р, д) вычисляются якобиан и правая часть уравнения (3.103). Если этот пункт выполняется первый раз, то шаг интегрирования выбирается из малости нормы матрицы II J/) II, в противном случае шаг интегрирования не изменяется. [c.84]

Это естественно, так как локальное поведение исходной задачи в первом приближении определяется решением линейной задачи с матрицей, являющейся якобианом исходной системы. В теории используется также понятие абсолютной устойчивости метода. Метод называется абсолютно устойчивым, когда для заданного фиксированного шага интегрирования полная погрешность метода 1 —/(ij)l остается ограниченной при S В такой постановке задачи для каждого метода можно указать область на комплексной плоскости Л/), в которой данный метод обладает свойством абсолютной устойчивости. [c.131]

Как следует из определения жесткости, жесткая задача Коши должна иметь отрицательный спектр действительной части собственных значений якобиана. Однако может возникнуть ситуация, когда в локальной области якобиан системы уравнений имеет положительную действительную часть собственных значений. В задачах химической кинетики такая ситуация не редкость и встречается при описании взрывных процессов, когда в решении появляются резко растущие компоненты. В таких случаях сама задача Коши уже перестает быть устойчивой, и нельзя требовать устойчивости и численного метода. [c.132]

Здесь y + j. У,J — векторы решений ка (п +1)-м и п-м шагах интегрирования соответственно Е — единичная матрица А — якобиан системы, вычисленный в точке у . Дпя того чтобы решать неавтономные системы ОДУ, необходимо добавить еще одно уравнение f=1, f(0)=fo. [c.136]

Если якобиан был вычислен на текущем шаге интегрирования, то уменьшить значение Л и перейти к шагу 15, в противном случае — установить режим вычисления якобиана и перейти к шагу 3. [c.138]

Если сделано п шагов в режиме "сетка", где п — размерность системы уравнений (зто означает, что на новом шаге интегрирования в уравнении (5.40) используется якобиан, полученный на предыдущих шагах. Таким образом, при решении уравнения (5.40) в режиме "сетка" не пересчитывается оператор С (Л)), или величина глобальной ошибки превышает заданное значение, то переходим к выполнению п. 2, в противном случае — к выполнению п. 4. [c.145]

Заметим, что если спектр якобиана принадлежит положительной области, то, как видно из уравнения (5.52), полная ошибка вычислений будет быстро расти, так как она умножается на экспоненту в положительной степени. Таким образом, на участках, где якобиан имеет положительный корень, необходимо ограничивать шаг интегрирования. Так как в алгоритме вычисляется матричная экспонента, то можно непосредственно выявить положительный корень якобиана. [c.145]

Наряду с этими приемами можно использовать якобианы, что является наиболее общим методом замены переменных. Якобианом называется выражение вида [c.30]

Применение метода якобианов облегчается при использовании соотношения д(и,У) д(и,У) д(1,М) д(Х,У) д Ь,М) д(,Х,У) [c.30]

При использовании якобианов следует иметь в виду и такое полезное соотношение. как [c.30]

В последние десять лет широкое распространение получил алгоритм численного интегрирования жестких систем ОДУ, предложенный Гиром [263, 264]. Алгоритм Основан на использовании линейных многошаговых методов, удовлетворяющих требованиям жесткой устойчивости [263]. При вычислении предиктора применяется алгоритм Корсика [352], использующий интерполяционный полином для вычисленных в предыдущих точках значений вектора решения. За счет этого легко осуществляется переход к новому шагу интегрирования, что обычно представляет определенные трудности при традиционной реализации многошаговых методов. Вычисление корректора, как правило, осуществляется методом Ньютона, причем для матрицы [Е—(ЗоЛА] (Е — единичная матрица, Л — текущее значение шага, /Зо — параметр метода, А — якобиан системы) используется LU-раз-ложение, что, как известно [183], позволя т наиболее эффективно решать возникающие линейные системы алгебраических уравнений. При решении задачи Коши методом Г ира в каждой точке выбирается оптимальный порядок метода, обеспечивающий наибольший возможный шаг интегрирования. [c.136]

Отметим, что якобианами удобно пользоваться на начальных стадиях каких-либо сложных вычислений, чтобы быстрее перейти к стандартным переменным, например [c.30]

Этот пример показывает, что вычисления резко ускоряются и упрощаются, если сразу перейти к наборам стандартных переменных, среди которых наиболее употребительны 7, / или Т,У При вычислении производных по стандартным переменным метод якобианов особых преимуществ не дает [c.31]

Здесь У/(х ) - градиент функции/(л) (х ) - якобиан m-мерной вектор-функции (х, у ) - седловая точка функции/ (х, >>). [c.133]

Якобиан ф удовлетворяет линейному вариационному уравнению [c.342]

Лемма [5]. Пусть/(л ) будет С для всех х, и пусть/(х ) = 0. Пусть Н — вещественная, постоянная, симметричная, положительно определенная матрица, и пусть якобиан О/(х) обладает таким свойством, что НВ/ х)у, у) < О для х Ф Хд к всс у э 0. В таком случае решение х(() = х уравнения (20) является глобально асимптотически устойчивым. В частности,/(л ) Ф О для х Ф Хд. [c.343]

Здесь — определитель Якоби (якобиан) функций Hin по переменным Су , т. е. определитель с К рядами и К столбцами, элемент которого, стоящий в -м ряду и у-м столбце, равен частной производной dHiJd jn, ,-у — алгебраическое дополнение элемента dHiJd jn якобиана А , т. е. определитель, получающийся из Д вычеркиванием i-й строки и у-го столбца и умноженный на (—1) [c.386]

На рис. 5.4 показано линеаризованное математическое описание системы двух взаимосвязанных колонн для разделения трехкомпонентной смеси (рис. 5.5). Якобиан этой линеаризованной математической модели имеет блочнотрехдиагональную форму с дисперсными элементами и окаймлением. Матрица С (позиции (4, 12) на рис. 5.4], показывает зависимость уравнений стадии 4 от парового потока, покидающего стадию 12. Матрица А [позиции (12, 4)] - зависимость стадии /2 от бокового потока жидкости, покидающего стадию 4. [c.250]

Рассмотрим систему взаимосвязанных колонн, приведенную на рис. 5.5. Математическое описание этой системы ко.лонн с 4-мя нестандартными спецификациями дано на рис. 5.4. Якобиан этой системы имеет БТДФ с дисперсными элементами и окаймлением. [c.254]

Наконец, примем, что функция g (х) определена и дифференцируема (ио Гато) в некотором открытом выпуклом множестве В, т. е. якобиан g (х) пли, что то же, гессиан /" (г) минимизируемой функции / (х) удовлетворяет соотношению [c.274]

Вычислить якобиан системы А в точке у 1, f . вычислить м трицу Р = Е—(/)//,) А. Отменить режим вычисления якобиана. [c.138]

С вычислительной точки зрения решение рассматриваемой прямой кинетической задачи отличалось рядом особенностей. Во-первых, при расчете зависимости концентраций от времени в силу сильной зависимости особенностей протекания процесса от удельного энерговклада очень трудно выделить кваэистационарную подсистему, поэтому в данном случае необходимо решать полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Во-вторых, уравнения для колебательной и поступательной температур имеют достаточно сложный вид, поэтому не удается вычислить аналитически якобиан системы. В связи с этим приходится отказаться от тех численных методов интегрирования жестких систем, которые сильно чувствительны к точности вычисления якобиана (методы Розенброка, методы локальной линеаризации). Так как якобиан системы в рассматриваемом случае не имеет больших по модулю положительных [c.151]

Таким образом, задача поиска минимума тесно связана с задачей интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, причем "овражный" характер поверхности Ф(к) соответствует "жесткой" системе ОДУ, так как матрица Гессе Э Ф/Э ,Э/Гу целевой функции одновременно является якобианом системы обыкновенных дифференциальных уравнений, В том случае если эта матрица имеет различающиеся между собой на несколько порядков собственные значения, то возникают определенные математические трудности при численном решении задач минимизации и интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.163]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология