Коши правило

Правые части (3.79) являются гладкими, (т. е. сколь угодно раз дифференцируемыми) в окрестности начального вектора у , откуда следует, что решение у(у , I) начальной задачи Коши существует и непрерывно зависит от координат начальной точки. Это означает, что начальная задача Коши поставлена корректно. Известно также, что решение системы кинетических уравнений (3.79) является устойчивым и асимптотически устойчивым по Ляпунову [7, 36]. [c.170]

При постоянной температуре теплоносителя Тс распределение концентраций реагентов и температуры по длине реактора определяется решением системы уравнений ( 111.38), ( 111.39) с граничными условиями СДО) = С, д, Т (О) = Т , заданными на входе аппарата, т. е. решением задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Известно, что в случае, когда правые части уравнений зависят от переменных непрерывным образом, задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений всегда имеет единственное решение (см., например, [2]). Более того, это решение всегда устойчиво, так как в реакторе идеального вытеснения возмущение стационарного режима в некотором сечении реактора не влияет на реагирующую смесь в соседних сечениях и любое бесконечно малое возмущение вымывается из реактора за конечное время, не успевая разрастись до макроскопических размеров. Таким образом, всегда имеется единственный устойчивый стационарный режим реактора идеального вытеснения. [c.336]

Правая часть (11,213) по неравенству Коши является неотрицательной (скалярное произведение векторов Я/"а и Я, /, не превосходит произведения их норм) и обращается в нуль лишь при условии Н.1 х = ХН / у1, т. е. в силу положительной определенности я/, при условии X = Хг/ , где X — некоторый скаляр. Таким образом, левая часть (11,212) неотрицательна. Покажем, что если р > О, то обращается в нуль лишь при а = О, [c.78]

Для составления программы расчета на ЭВМ уравнения в форме Коши можно получить как из структурной схемы, так и непосредственно используя уравнения, записанные в переменных состояния. В первом случае сначала удобно ввести новые обозначения входных и выходных переменных, руководствуясь следующим правилом 1311. Выходной величине первого от входа звена присваивают индекс, равный степени полинома в знаменателе передаточной функции этого звена. Выходным величинам последующих звеньев устанавливают индексы, каждый из которых равен индексу выходной величины предыдущего звена плюс степень полинома, стоящего в знаменателе передаточной функции рассматриваемого звена. Входной величине любого из звеньев присваивается индекс на единицу больше индекса выходной величины предыдущего звена. Применим это правило для получения системы дифференциальных уравнений в форме Коши по структурной схеме, изображенной на рис. 5.15. Обозначим входные и выходные величины с вновь определяемыми индексами буквами (7 и У . Одновременно используем оператор дифференцирования [c.155]

Величину а можно интерпретировать как множитель, учитывающий вклад произведения У2 в сумме (Ю). Уравнение (10) дает возможность оценить значения а. Действительно, применив к правой части (10) неравенство Коши, имеем [c.134]

Ароматические амины пахнут не столь неприятно, как алкиламины, но они, как правило, токсичны. Опасность отравления усугубляется тем, что амины легко всасываются через кошу. Некоторые амины являются мощными канцерогенами (вещества, вызывающие рак). Например, пропиленимин, бензидин и (3-нафтиламин. [c.208]

Интегрирование кинетических уравнений сложных по механизму химических процессов, представленных в дифференциальном виде, требует, как правило, использования ЭВМ и различных математических методов (например, метод Коши, Рунге - Кутта, [c.166]

Простейшим случаем расчета будет тот, при котором в разделяемой смеси отсутствуют компоненты более легкие, чем ключевой, и более тяжелые, чем тяжелый ключевой, компоненты, в этом случае имеется сечение, для которого известны с практически необходимой точностью значения величин U и dli/dH по всем компонентам. Тогда расчет ректификационной колонны сводится к решению задачи Коши отдельно для верхней и нижней колонны. Интегрирование уравнений (IV 2) и IV, 3) при решении этой задачи ведется либо снизу вверх, либо сверху вниз. Во втором случае в связи с изменением направления величины Н необходимо переменить знак перед правой частью соответствующих уравнений. [c.101]

При численном решении краевой задачи, как правило, приходится задаться начальным приближением — ориентировочными значениями всех зависимых переменных в одной начальной точке. Затем задача решается, как задача Коши. Придя в конечную точку, мы обнаруживаем невязку — несовпадение расчетных значений тех переменных, которые заданы на этом конце, с заданными. С учетом этой невязки вносятся поправки в начальное приближение, и весь цикл расчета повторяется. Повторение цикла с внесением поправок производится до тех пор, пока невязка не окажется достаточно малой. Таким образом, краевые задачи решают итерационными методами [5]. [c.46]

Но встречаются задачи, в которых различные начальные условия заданы в разных точках. Например, во многих аппаратах с противотоком часть условий может быть задана со стороны входа одного потока, часть — со стороны входа другого. Это краевые задачи. Если краевую задачу не удается свести к задаче Коши с помощью дополнительных уравнений (например, уравнения рабочей линии), то решение сильно усложняется и требует, как правило, применения специальных расчетных приемов — итерации и др. [c.126]

Необходимо понимать и помнить, что Е и 5—свойства системы, а ёЕ и с18—полные дифференциалы этих свойств. На этих основаниях к правым частям уравнений (X, 29) и (X, 30) можно применить теорему Коши. В результате снова будут получены уравнения, выведенные В. Томсоном и Клаузиусом. [c.212]

Специалист. Они напоминают абстрактное неравенство Коши. Попробуем определить скалярное произведение двух функций формулой (18.1). Если это удастся, то интегралы в правой части окажутся квадратами норм этих функций и неравенство (18.2) будет частным случаем неравенства Коши. [c.124]

Разделение уравнений для ф в соответствии с представлением (4.5.8) — (4.4.10) позволяет непосредственно получить решения этих уравнений, так как скалярный оператор Клейна— Гордона, определенный на бесконечной области, при нулевых условиях Коши [35] обладает хорошо определенной функцией Грина. Поэтому поля ф могут быть записаны как однозначно определенные интегродифференциальные операторы, действующие на переменные (X ). Если эти решения подставить в правую часть (4.5.6), то мы получим явную систему интегродифференциальных уравнений для -полей. Следовательно, наличие дислокаций приводит к нелинейной системе полевых уравнений для -полей. [c.115]

В случае прямой задачи решают систему кинетических уравнений для заданных правых частей и кинетических констант. По существу, в такой постановке мы имеем дело с задачей Коши, для которой вопросы существования, единственности и устойчивости решения детально исследованы. [c.290]

В газовой динамике внешних и внутренних течений различают еще два класса задач прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении ноля течения нри заданной форме обтекаемого тела (для внешних задач) или канала (ддя внутренних задач) и заданных граничных условиях. Прямая задача сводится в общем случае к краевой задаче, для которой, как правило, не доказаны теоремы существования п единственности. Обратная задача состоит в определении поля течения при условиях, заданных на некоторой поверхности, и условиях в начальном сечении. При этом форма обтекаемого тела (или канала) не задана и определяется в ироцессе решения. Обратная задача сводится к задаче Коши. В обратных задачах о течении за отошедшей ударной волной задается форма ударной волны и в процессе решения находится форма обтекаемого тела. В обратной задаче теории сонла задается распределение скорости, например, на оси сонла, а поверхность сопла определяется в процессе решения. [c.34]

Алгоритмическое построение, рассмотренное в разд. 5.1.1, можно интерпретировать как численное решение ОЗТ в краевой постановке. Действительно, в качестве исходного материала была взята неявная разностная схема, предназначенная для решения прямой задачи, и на каждом временном шаге соответствующий вычислительный алгоритм преобразовывался с целью решения обратной задачи — известная температура вводилась в правую часть системы, а искомое значение граничного условия включалось в число неизвестных. Однако, с другой стороны, решение ОЗТ, записанное в форме (5.9), было фактически сведено к постановке Коши, т.е. к численному продолжению температур ного поля. [c.87]

Что касается задач для однослойных областей, то их рассматривают либо как краевые, задавая концентрации на левой и на правой границах [79, 80, 94], либо как задачи Коши, задавая концентрации только на одной границе и считая потоки известными величинами [78,81-83]. В обоих [c.276]

Простейшая форма моделирования горения возникает в ситуации, когда система 9 дифференциальных уравнений (4.2) полностью определяет эволюцию системы. Поскольку константы скорости зависят от температуры, а концентрации связаны с изменениями объема, даже если число молекул каждого типа остается постоянным, отмеченное выше упрощение возможно только в предположении постоянства температуры и давления.. Так как мы не делаем никаких допущений относительно размера системы, то в действительности подразумевается постоянство объема на единицу массы (величина, обратная плотности), или удельного объема реагирующей системы. Решение задачи Коши для системы уравнений (4.2) вполне очевидно. Для любого состава правая часть уравнений (4.2) может быть вычислена при любой температуре для констант скорости прямой и обратной реакций. Приращения (положительные и отрицательные) исходных концентраций вычисляются повторно алгоритмом интегрирования, чтобы получить решение задачи Коши (разд. 5). [c.18]

Уравнение (237) может быть решено относительно г обычным графическим методом или в виде номограммы с бинарным полем. При 6 = onst уравнение (237) является уравнением четвертого номографического порядка типа Коши [226]. Номограмма этого уравнения состоит из двух параллельных шкал величин е и у4=3ае / и криволинейной шкалы величины z. На рис. 70 изображена номограмма, построенная в следующих пределах изменения величин е = 0- 1,0, Л = 1- 4 и fe = 0,8- -3,0 [225]. Как следует из рассмотрения рис. 70, удобство пользования номограммой, заключается в необходимости только однократного наложения линейки, что сводит до минимума погрешности, связанные с графическим расчетом. Пользоваться номограммой удобно, когда производится много расчетов. В противном случае целесообразнее решать уравнение (237) относительно z графическим методом. Для этого по оси ординат откладываются значения правой части уравнения (237) при разных z, откладываемых по оси абсцисс. Искомое значение z определяется по точке пересечения полученной кривой с прямой, параллельной ti H абсцнсё, с ординатой [c.180]

В последние десять лет широкое распространение получил алгоритм численного интегрирования жестких систем ОДУ, предложенный Гиром [263, 264]. Алгоритм Основан на использовании линейных многошаговых методов, удовлетворяющих требованиям жесткой устойчивости [263]. При вычислении предиктора применяется алгоритм Корсика [352], использующий интерполяционный полином для вычисленных в предыдущих точках значений вектора решения. За счет этого легко осуществляется переход к новому шагу интегрирования, что обычно представляет определенные трудности при традиционной реализации многошаговых методов. Вычисление корректора, как правило, осуществляется методом Ньютона, причем для матрицы [Е—(ЗоЛА] (Е — единичная матрица, Л — текущее значение шага, /Зо — параметр метода, А — якобиан системы) используется LU-раз-ложение, что, как известно [183], позволя т наиболее эффективно решать возникающие линейные системы алгебраических уравнений. При решении задачи Коши методом Г ира в каждой точке выбирается оптимальный порядок метода, обеспечивающий наибольший возможный шаг интегрирования. [c.136]

В реакции Бартона [156], как и в реакции Коши, используют свободную кислоту, на которую действуют тетраацетатом свинца и иодом в инертном растворителе при облучении вольфрамовой лампой. Этот метод наиболее пригоден для первичных и вторичных карбоновых кислот и дает выходы, как правило, 63—100%. Аналогичные результаты могут быть получены при реакции с трет-бу-тилгипоиодитом (вероятно, являющимся действующим реагентом при использовании тетраацетата свинца с иодом), но выходы в этом случае несколько ниже, за исключением некоторых дикарбоновых кислот. Механизм реакции Бартона, по-видимому, аналогичен механизму реакции Хунсдикера. [c.396]

Кроме того, имеется множество модификаций основных правил обучения например, правило обучения Ойа является усовер-щенствованием правила обучения Хебба, оно препятствует возрастанию весовых коэффициентов правило обучения Коши [13] увеличивает вероятность больших шагов и уменьшает время обучения и т. д. [c.80]

Теорема Тихонова основана на следующих предпосылках (подробнее см. [13, 16, 17]) 1) правые части (И), (12) являются непрерывными вместе с частными производными по Хв и Хм в заданной области 2) вектор-функцпя ф(Хм) определена и непрерывна вместе с производными по %ш, 3) корень ф(хм) является устойчивым 4) задача Коши (17) имеет решеипе Хм,о(0 при О < i Г, и притом единственное 5) начальная точка Хб (0) = Одд,1 принадлежит области влияния корня ф[Хм(0)], определяюхцего положение равновесия. Если перечисленные предпосылки соблюдаются, то решение г), Xм(i, е) задачи (11), (12), как гласит теорема, [c.140]

Содержание ванадия в земной коре 1,5-10 % (по массе). Ванадиевые руды очень редки. Ванадий, как правило, находится в полиметаллических рудах других металлов, в частности свинцовых, свинцовомедных и свинцово-цинковых, а также в железных рудах, обычно представляющих собой титаномагнетиты. В некоторых магматических рудах кош№нтрация ванадия достигает 1 % V2O5. [c.303]

Интегральные преобразования, рассмотренные в предыдущих параграфах, имеют бесконечные пределы интегрирования. Если преобразование Лапласа, как правило, применяется для решения нестационарных задач и производится по времени t, а поэтому пределы интегрирования от нуля до бесконечности становятся естественными, то интегральные преобразования Фурье, Ханкеля, Мелина и др. ио пространственным координатам с бесконечными пределами интегрирования ограничивают возможности их примеиеиия. Отметим, что применение интегральных пре-образоваипп с конечными пределами интегрирования к дифференциальному оператору Лапласа второго порядка L [Г (Л1, /)] в уравнении теплопроводности позволяет в области изображений свести решение исходной задачи к решению задачи Коши для обыкновенного диффе-ренциа.тьного уравнения первого порядка. А это значительно облегчает решение основной задачи в целом. Однако следует отметить, что не всегда удается найти явный вид такого ядра интегрального иреобра-зоваиия, с помощью которого можно решить поставленную задачу. [c.37]

Известно, что, если функция 1 <р, Удо, V o), стоящая в правой части уравнения (2.78), дифференцируема в исследуемой области и не меняет знака в полосе между состояниями равновесия (корнями уравнения Удо, V o)=0), то в силу теоремы Коши каждая интегральная кривая должна целиком лежать в одной из таких полос и быть монотонной. Кроме того, если инт ральная кривая заключена в полосе между двумя параллельными оси h прямыми, также являющимися интегральными кривьши, то она асимтотически приближается к одной из этих прямых при а к другой при В том случае, когда интегральная кривая заключена в части плоскости, ограниченной такой прямой только с одной стороны, она должна одшй частью асимптотически приближаться к ней при или при а другой частью уходить в бесконечность. [c.97]

Д., как правило, проводят в цилиндрич. сосудах (барабанах), вращающихся вокруг полой горизонтальной оси. При вращении барабана происходит интенсивное перемешивание, ускоряющее цроцесс Д. В нек-рых случаях Д. производят в неподвижных чанах. В зависимости от назначения kohui решим Д. сильно меняется. Переменными являются темп-ра процесса, его продолжительность, реакция среды, поряд(п введения растворов и др. При хромовом Д. чаще всего применяют предварительное пикелевание. В зависимости ог назначения Д. коши проводится обычно при темп-рах от 20—25° (начальная) до 40—45° (конечная). Известны однованный и двухванный нроцессы хромового Д. В первом случае белок обрабатывают основными солями трехвалентного хрома во втором — голье сначала обрабатывают р-ром бихромата калия (хромпика) в кислой среде, а затем р-ром тиосульфата натрия (NaaSsOj). [c.606]

Второе необходимое свойство численного метода — это свойство устойчивости. Оно заключается в том, что малые возмущения в начальных условиях и в разностном уравнении, возникающие, например, в результате округления и конечной длины разрядной сетки машины, подавляются или, по крайней мере, не увеличиваются. Один и тот же метод при разных шагах дискретизации может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Однако устойчивость метода связана не только с шагом численного интегрирования, но и со свойствами конкретной задачи Кошн. Поэтому для того чтобы охарактеризовать устойчивость метода численного интегрирования вне зависимости от конкретной задачи, его, как правило, исследуют на устойчивость при решении модельной линейной задачи Коши [c.178]

Схема моделирования является строгим графическим отражением уравнений системы. Символы, используемые для отдельных элементов, должны быгь стандартизированы, а все элементы структуры должны I меть один и тот же уровень детализации. Обычно при построении схем моделирования исходят из описания систем в нормальной форме Коши и используют набор стандартных обозначений элементов, показанный на рис. 3.2. Схема моделирования строится следующим образом каждой фазовой координате ставится в соответствие один интегрирующий элемент (интегратор), а затем с помощью стандартных символов графически изображаются связи между интеграторами согласно правым частям уравнений (3.5). В различных областях, где применяются схемы моделирования, формулируется ряд специфических требований, более жестко регламентирующих способы изображения систем (см., например, [42, 228]). Мы этих требований придерживаться не будем. В наших схемах мы будем использовать, в основном, элементы, приведенные в первом столбце рис. 3.2, хотя будем применять обозначение интегратора в любой из двух возможных форм — в виде прямоугольника или в виде треугольника. [c.77]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология