Устойчивость стационарного режима

Ty)U. Из графиков левой и правой части уравнения (VII.43) видно, что оно может иметь до трех различных решений. В случае эндотермической реакции величина J отрицательна, и потому отрицателен наклон прямых линий. В этом случае решение единственно. Вопрос о числе и характере решений мы еще обсудим при анализе устойчивости стационарного режима здесь же будет полезно сделать ряд замечаний относительно методов решения уравнения (VI 1.43). Это сложное уравнение удобно решать с помощью последовательных приближений. Так как правую часть уравнения трудно разрешить относительно Т, мы можем высказать некоторое предположение [c.163]

Другого рода проблемы устойчивости возникают в реакторах с неподвижным слоем катализатора в связи с процессами тепло- и массопереноса от потока реагирующих веществ к поверхности частиц катализатора. Это вопросы термической устойчивости стационарного режима отдельной частицы. Мы рассмотрим только простейший случай. Предположим, что вещество А вступает в реакцию первого порядка и внутридиффузионное торможение процесса отсутствует. Тогда концентрация вещества А у активной поверхности (с) будет отличаться от его концентрации в объеме (с), и скорость реакции будет определяться квазигомогепной кинетической зависимостью (см. раздел VI.2) [c.285]

VII.4. Устойчивость стационарного режима [c.169]

Устойчивость стационарных режимов. Вследствие высокой теплопроводности слоя следует ожидать, что высшие гармоники возмущения стационарного решения быстро затухают и устойчивость режима вполне определяется одпой-двумя низшими модами возмущения. Это подтверждается прямым численным решением нестационарных уравнений (25) из состояния, близкого к стационарному. С целью исследования устойчивости в широкой области параметров модели была применена дискретизация линеаризованной вблизи стационара задачи с последующим анализом по Раусу — Гурвицу матрицы полученной системы линейных уравнений [27] [c.59]

Множественность стационарных состояний. Важнейшая проблема оптимальной организации функционирования промышленного каталитхгческого процесса связана с множественностью-стационарных состояний, в которых может работать контактный аппарат. Проблема множественности состоит в том, что в окрестности различных стационарных состояний контактный аппарат,, как динамическая система, может вести себя по-разному. Точность прогноза поведения реактора в окрестности того или иного стационарного состояния определяется достоверностью математической модели реактора, описывающей совокупность химических, диффузионных, тепломассообменных и гидродинамических явлений в рабочем объел1е технологического аппарата. При этом одни стационарные состояния могут быть устойчивыми (установившиеся режимы, устойчивые предельные циклы), другие — неустойчивыми, чреватыми нарушениями технологических режимов п возникновением аварийных ситуаций. Границы устойчивых стационарных режимов определяются совокупностью значений параметров математической модели нестационарного процесса, при которых происходит срыв с одного устойчивого режима на другой. [c.17]

Чтобы обеспечить устойчивость стационарного режима, надо положить [c.248]

Чтобы ответить на вопрос об устойчивости стационарного режима химического процесса, необходимо, таким образом исследовать переходные процессы в реакторе, которые описываются системой нестационарных уравнений материального и теплового баланса. Уравнения эти нелинейны и даже в простейших случаях не могут быть решены аналитически. Задачу, однако, можно существенно упростить, учитывая то, что для анализа устойчивости достаточно исследовать лишь малые отклонения от стационарного состояния. Поэтому нелинейные кинетические функции, входящие в уравнения материального и теплового балансов, можно разложить в ряд Тейлора в окрестности стационарного режима и, пренебрегая высшими членами разложения, представить их в виде линейных функций отклонения переменных от их стационарных значений. В результате получаем гораздо более простую систему линейных уравнений, правильно описывающую переходные процессы в области, достаточно близкой к стационарному состоянию. Эту линейную систему в ряде случаев удается решить или исследовать аналитически, определив тем самым общие условия устойчивости процесса. [c.324]

Л. M. П и с ь M e H, Ю. И. X a p к a Ц, Существование и устойчивость стационарных режимов пористой частицы катализатора, ДАН СССР, 168, Л 3 (1966). [c.148]

Если задача массо- и теплообмена решена и определена зависимость эквиваг1ентного ди етра от безразмерной высоты аппарата и параметров на входе б э=< э( . < эо. > до. > со). уравнение (2.97) дает возможность определить значение объемной концентрации дисперсной фазы в любой точке аппарата. Если по мере движения частиц в аппарате их размер увеличивается, это приводит, с одной стороны, к возрастанию скорости частиц, а с другой, к увеличению объемной концентрации и, как следствие, к снижению скорости движения дисперсной фазы за счет увеличения стесненности движения. Поскольку г/д Моо , где к может варьироваться для различных режимов движения частиц от 2 до О, а <р 1, то при увеличении размера частиц в некотором сечении аппарата может произойти захлебывание - нарушение устойчивого стационарного режима течения. При этом расходы фаз на входе в аппарат могут быть далеки от значений, определяемых соотношениями (2.82), [c.102]

Упражнение IX.23. Подвергните критике рассуждения относительно устойчивости стационарного режима Е на рис. IX.17. [c.287]

В этом разделе рассмотрим вопрос об устойчивости стационарных режимов реакторов идеального смешения — простейшей из систем, исследуемых в теории химических реакторов. Б режиме идеального смешения (см. раздел УП.З) значения всех переменных одинаковы по всему объему реактора. В соответствии с этим стационарный режим реакторов данного типа описывается алгебраическими, а нестационарный — обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такие системы принято называть системами с сосредоточенными пара- [c.324]

Письмен Л. М., Существование и устойчивость стационарных режимов адиабатического реактора с внешним теплообменником и байпасом холодного сырья, Теор, основы. хи , . технол,, 2.. N 1, 63 (1968). [c.183]

Именно такие аргументы приводил в своей ранней работе Ван Хирден, и, хотя его подход к решению задачи можно подвергнуть критике, в адиабатическом случае он правилен. Приведенные рассуждения очень полезны и ясно показывают, в каких случаях стационарный режим неустойчив, однако вывод об устойчивости режима нельзя при этом делать столь решительно. Считая, что скорость тепловыделения определяется кривой Г, мы фактически предполагаем, что температурному возмуш епию ЬТ сопутствует возмущение б , равное (dlJdT) 8Т. Это очень специальное условие, и, если стационарный режим действительно устойчив, реактор должен возвращаться к нему после любого возмущения (б ЬТ), а не только после такого возмущения, при котором б и бГ связаны особым соотношением. Поэтому для устойчивости стационарного режима необходимо, чтобы наклон прямой был больше наклона кривой Г, но это условие не является достаточным. [c.171]

Письмен Л. М., Существование и устойчивость стационарных режимов трубчатых реакторов с внутренним теплообменником. Физика горения и взрыва, № 2, 239 (1969). [c.186]

Точность реализации оптимального режима зависит от внутренних свойств контактного аппарата и характера внешних возмущений, неизбежных на производстве. Внутренние свойства реактора определяются параметрической чувствительностью температурных и концентрационных полей в слое катализатора к внешним воздействиям, устойчивостью стационарных режимов, запасом устойчивости, интенсивностью изменения активности катализатора во времени, наличием различного рода пространственных неоднородностей, динамическими характеристиками и т. п. [c.15]

Экспоненциальная зависимость скорости реакции от температуры может привести к появлению нескольких режимов на зерне при одинаковых температурах и составах реакционной смеси в потоке. Оценкой условий устойчивости стационарного режима и, в частности, перехода процесса в область внешней диффузии может служить выражение [16] [c.10]

В связи с множественностью режимов непзотермического пористого зерна возникают вопросы устойчивости стационарных режимов, анализ которых проводится в статьях [c.148]

Доказательство достаточности условия X Хо Для устойчивости стационарного режима с положительной х может быть проведено и в самом общем случае путем следующих рассуждений. Заметим, что, если корень уравнения (УП1.99) (или другого, более сложного уравнения, которое получится при анализе нестационарных уравнений теплообменника при е 1) с наибольшей действительной частью Я о является комплексным, то температурные возмущения (р(Л) [c.352]

Рассмотрим устойчивость стационарных режимов ХТС, состоящей из каталитического реактора, в котором протекает экзотермическая реакция, и теплообменника, связанных между собой перекрестным технологическим потоком (рис. П-2,а). Кривые тепло- [c.37]

Так, например, если в окрестности неустойчивого режима увеличивают начальную температуру или начальные концентрации исходных реагирующих веществ, то новый стационарный режим отвечает более низким значениям температур. Общий анализ устойчивости стационарных решений указанным методом удается провести для пористого зерна, адиабатического слоя неполного смешения и реактора с внутренним теплообменом. Некоторь1е результаты нахождения области устойчивых стационарных режимов для экзотермических реакций первого порядка приведены на рис. 27 и в табл. 62. [c.515]

Таким образом, мы свели задачу исследования устойчивости стационарных режимов к решению системы двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (VIII.И), (VIII.12). Решение этой системы выражается линейной комбинацией двух экспоненциальных функций и (где Xj, 2 — корни уравнения) [c.327]

Харкац Ю. И., Существование и устойчивость стационарных режимов некоторых экзотермических процессов. Канд. диссертация. Институт электрохимии АН СССР, 1967. [c.182]

Динамические свойства процесса кристаллизации и условия возникновения автоколебаний в системе изучались рядом исследователей [1—9]. Отмечено [10] существование двух режимов, при которых наблюдается осциллирующий характер работы кристаллизатора непрерывного действия. При циклах высокого порядка (с большой частотой) причина возникновения нестабильности заключается в том, что скорость зародышеобразования уменьшается намного сильнее, чем скорость роста кристаллов при понижении движущей силы процесса — пересыщения. В этом случае колебания системы происходят относительно экспоненциального распределения кристаллов по размерам (для кристаллизатора типа MSMPR). При циклах низкого порядка нестабильности обусловлены нерегулируемым отбором мелочи и эффектом вторичного зародышеобразования. В ряде случаев для получения устойчивого стационарного режима применяют классифицированную выгрузку продукта и удаляют избыток мелких кристаллов. [c.329]

Заметим, что при выводе условия неустойчивости (III.51) мы неявно предполагали, что концентрации реагирующих веществ связаны с температурой соотношениями (III.48). Эти соотношения, однако, были выведены для стационарного режима и остаются снра ведливыми только при возмущениях специального вида. Но для устойчивости режима требуется, чтобы система возвращалась к нему после любого малого возмущения температуры или концентраций реагентов поэтому выводы о том, что стационарный режим, не удовлетворяющий условию (III.51), устойчив, сделать, строго говоря, еще нельзя. Для строгого доказательства устойчивости стационарных режимов требуется более тонкий анализ условий нестационарного протекания процесса. Эти вопросы будут подробно рассмотрены в главе Л Ш забегая вперед, можно, однако, сказать, что в данном случае реакции на внешней поверхности твердой частицы стационарный режим действительно всегда устойчив, если производная скорости тепловыделения меньше производной скорости теплоотвода, т. е. если неравенство (III.51) нарушено. [c.117]

При регулировании реального технологического процесса чрезвычайно существенным является, однако, вопрос о том, в какой мере влияют случайные возмущения состояния исходной смеси и различных параметров процесса на основные показатели последнего. Выше утверждалось, что бесконечно малое возмущение стационарного режима не может разрастись до макроскопических размеров, т. 0. коэффициент усиления возмущений всегда остается КО5104-ным., Этот факт, являющийся следствием непрерывной зависимости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий (см., например, [2]), обеспечивает устойчивость стационарных режимов процесса. Однако коэффициент усиления , оставаясь конечным, может быть значительным по абсолютной величине при этом реально существующие малые (не бесконечно малые) возмущения могут усилиться настолько, что начнут существенно влиять на наблюдаемые показатели процесса. [c.337]

Известно, что коэффициент при Я, в квадратном уравнении (VIII.15) равен сумме обоих корней, взятой с обратным знаком, а свободный член этого уравнения равен произведению его корней. Оба корня будут иметь отрицательные действительные части в том и только в том случае, если оба эти коэффициента положительны. Таким образом, условия устойчивости стационарного режима имеют вид [c.328]

Экзотермическая реакция нового порядка. Рассмотрим- более-подробно условия устойчивости стационарных режимов экзотерми- -ческой реакции первого порядка с аррениусовской температурной зависимостью константы скорости к. На этом примере удобно про--следить связь условий устойчивости со значениями характерных параметров процесса. Введем, как в разделах III.3 и VII.3, безразмерные стационарные температуру и концентрацию Q = Е Т —- [c.329]

Заметим, что при 0 >4 процесс может иметь т,ри, стационарных решения (см. раздел II 1.3). Область множественных режимов ограничена кривой 3. Точкам, лежащим между верхними ветвями кривых 1 и 3, соответствует высокотемпературный режим, точкам, лежащим между нижними ветвями этих кривых — ниакотемцера-турный, а точкам, заключенным между двумя ветвями кривой 1 — промежуточный режим, неустойчивый в силу условия (VIII.23) или (III.51), При уменьшении параметра вначале теряет устойчивость высокотемпературный режим в области больших значений 0, затем, по мере движения точки пересечения кривых 1 т 2 влево, область неустойчивости высокотемпературного режима сдвигается в сторону меньших значений 0. При S <9/16 кривая 2 заходит в область слева от кривой 3, где существует только один стационарный режим. В этой области значений параметров процесс, таким образом, не будет иметь ни одного устойчивого стационарного режима. Наконец, при S <1/2 кривые 1 ш 2 начинают пересекаться ниже точки 0 = 4, 0=2, разделяющей высокотемпературную и низкотемпературную ветви кривой 1. В этих условиях появляются неустойчивые низкотемпературные режимы процесса, причем на мере уменьшения ё такие режимы становятся возможными нри вс больших значениях параметра 0. [c.331]

Таким образом, анализ нестационарных уравнений подтверждает, что условие х < Хс = (1 + )/ является необходимым для устойчивости стационарного режима, так как выполнение этого условия обеспечивает отрицательность действительных корней уравнения (Vni.99). Для полного решения поставленной задачи необходимо определить положение комплексных корней и найти условия, при которых все комплексные корни находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости ц. Довольно сложные выкладки, которые здесь не будут приведены, доказывают, что при 1 X I < Хо правая полуплоскость комплексной плоскости (Д. отображается правой и левой частями уравнения (VIH.99) на неперекрывающиеся области [15]. Таким образом, при х > О соблюдение неравенства X < Хо является не только необходимым, но и достаточным условием устойчивости процесса. [c.351]

Эмерджентность ХТС — это способность системы приобретать новые свойства, которые отличаются от свойств отдельных элементов, образующих эту систему. Так, например, эмерджент-ность ХТС, операторная блок-схема которой представлена на рис. П-2, а, заключается в следующем. Как было показано, данная ХТС имеет три стационарных режима, один из которых является неустойчивым (рис. П-2,б), однако каждый из элементов ХТС (реактор и теплообменник) в отдельности имеют только устойчивые стационарные режимы. Наряду с этим, как будет показано в дальнейшем, чувствительность ХТС в целом, т. е. величина изменения параметров выходного потока системы W , при изменении к. п. д. реактора будет значительно меньше, чем чувствительность реактора, как одного локального элемента, т. е. величина изменения параметров потока на выходе реактора в зависимости от изменения его к. п. д. [c.40]

В рассматриваемом примере исследования устойчивости стационарных режимов кристаллизатора типа MSMPR полагали скорость роста кристалла не зависящей от размера. В противном случае систему уравнений, описывающую процесс кристаллизации в аппарате типа MSMPR, не удается привести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, а исследование на устойчивость [c.334]

Влияние теплопроводности на устойчивость. Примерно постоянная температура в слое может быть обеспечена ступенчатым распределением поверхности теплоотвода по высоте. Часто такой режим оказывается оптимальным. Существенно, что изотермичность здесь обусловлена не бесконечной теплопроводностью, а локальным балансом выделения и отвода тепла. Это позволяет изучить влияние продольной теплопроводности на устойчивость стационарного режима, так как оп при изменении теплопроводности не меняется. Матрица А в (27) для модели диффузии частиц, получаемая дискретизацией линеаризованной задачи (25"), (26), является суммой трехдиагональной матрицы конечпо-разностного аналога диффузионного члена и нижней треугольной матрицы [27]. Все остальные элементы матрицы А — нулевые. Для заданных значений параметров модели находилась граница потери устойчивости системы (27) ири изменении температуры холодильника. [c.60]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология