Коши уравнение

Численное интегрирование обыкновенны.х дифференциальных уравнений (задача Коши) выполняется одношаговыми методами, в которых решение в точке хп+ находится по известному решению в точке Хп- Наиболее распространенным одношаговым методом численного интегрирования является метод Рунге—Кутты четвертого порядка, и соответствии с которым решение уп л определяется по уп следующим образом [c.147]

При фиксированной температуре мы получим теперь В совместных уравнений, которые должны быть разрешены относительно Л равновесных степеней полноты реакций. Интересно отметить, что любое предварительное упрощение этих уравнений путем возведения их в различные степени и умножения друг на друга эквивалентно линейному преобразованию исходной системы реакций. Таким образом, как и следовало ожидать, эквивалентные системы реакций приводят к одним и тем же равновесным составам. Можно показать, что эти уравнения всегда имеют единственное решение, так как их якобиан существенно положителен. Общее доказательство этого утверждения связано с применением неравенства Коши однако в случае двух реакций доказательство элементарно и будет дано ниже как упражнение. Поскольку при расчете равновесия сложного процесса вычисления могут быть громоздкими, важно следить за тем, чтобы число расчетных уравнений было минимальным. Для этого следует рассматривать только независимые реакции и использовать в качестве переменных их степени полноты. [c.58]

Задача Коши. Уравнение (3.1.1) при дополнительных условиях [c.58]

Сведение к задаче Коши. Пусть задано линейное дифференциальное уравнение [c.380]

Этот результат представляется странным, потому что, казалось бы решение задачи Коши спустя достаточно большое время после начала движения должно забывать о деталях, связанных с начальным условием, и становиться автомодельным. Рассмотрим решение неавтомодельной задачи Коши [уравнения (IX.2.11)], соответствующей начальному условию [c.253]

Пусть функция и задана на начальной кривой Г(,, проходящей через точку (Хд, /о) и требуется ее определить в некоторой окрестности Г(,, т. е. решить задачу Коши для уравнения (п. 9). В общем случае можно вычислить первые и высшие производные из уравнения (п.9) в точке (Х(), о). Тогда функцию и можно найти на близкой соседней кривой посредством разложения в ряд Тейлора в окрестности точки на начальной кривой. [c.411]

Для прямотока решение краевой задачи может быть сведено к задаче Коши при заданной степени извлечения лишь без учета продольного перемещивания, т. е. при =0. В этом случае уравнения (8.14) решаются при граничных условиях [c.302]

Поскольку внутренняя энергия U есть функция состояния, ее дифференциал является полным. Согласно теореме Коши, порядок дифференцирования безразличен, и из (1.26) сразу следует первое уравнение Максвелла [c.27]

Правые части (3.79) являются гладкими, (т. е. сколь угодно раз дифференцируемыми) в окрестности начального вектора у , откуда следует, что решение у(у , I) начальной задачи Коши существует и непрерывно зависит от координат начальной точки. Это означает, что начальная задача Коши поставлена корректно. Известно также, что решение системы кинетических уравнений (3.79) является устойчивым и асимптотически устойчивым по Ляпунову [7, 36]. [c.170]

При постоянной температуре теплоносителя Тс распределение концентраций реагентов и температуры по длине реактора определяется решением системы уравнений ( 111.38), ( 111.39) с граничными условиями СДО) = С, д, Т (О) = Т , заданными на входе аппарата, т. е. решением задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Известно, что в случае, когда правые части уравнений зависят от переменных непрерывным образом, задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений всегда имеет единственное решение (см., например, [2]). Более того, это решение всегда устойчиво, так как в реакторе идеального вытеснения возмущение стационарного режима в некотором сечении реактора не влияет на реагирующую смесь в соседних сечениях и любое бесконечно малое возмущение вымывается из реактора за конечное время, не успевая разрастись до макроскопических размеров. Таким образом, всегда имеется единственный устойчивый стационарный режим реактора идеального вытеснения. [c.336]

Для условий, рассмотренных в примере 1, составим программу интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающей динамику тарельчатой ректификационной колонны, используя формулы усовершенствованного метода Эйлера — Коши. [c.368]

Далее решалась задача Коши для нелинейной системы дифференциальных уравнений первого порядка (2.236). Система (2.236) интегрировалась методом Рунге—Кутта с помощью программы, описанной в [66]. Спустя некоторое время после начала счета ЭВМ выдавала переполнение . Причина переполнения строго анализировалась. Система уравнепий (2.236) оказалась плохо обуслов- [c.218]

Из нее следует определяющее соотношение в виде уравнения движения сплошной среды в форме Коши [c.179]

Так как А — функция состояния, то согласно теореме Коши значение ее производных не зависит от порядка дифференцирования. Отсюда, приравнивая вторые производные, получим уравнение [c.226]

Рассмотрим решение у(х, а, X) задачи Коши г/" =/( , Я), г/ 1о = 0, /1х=о = а. Любое решение задачи (9) совпадает с функцией у х, о, X) при некотором о, удовлетворяющем уравнению [c.89]

Таким образом, если уравнение (10) является уравнением кривой в плоскости (а, X), то взяв, например, в качестве параметра длину дуги, мы можем получить нормальное уравнение этой кривой, решая задачу Коши [c.89]

Системы дифференциальных уравнений, описывающие поведение как быстрой, так и медленной подсистемы, называются жесткими. Основные сложности, возникающие при численном решении прямой кинетической задачи, связаны именно со свойством жесткости задачи Коши [c.130]

Во всех рассматриваемых памп случаях удается свести краевую задачу к задаче Коши, выбирая естественным образом параметризацию. Прп этом возможность представления решений в неявном виде позволяет свести задачу об определении начальных данных для искомого решения к задаче решения функционального уравнения. [c.92]

Для решений каждой из задач (19) —(22) получены априорные оценки, позволяющие доказывать теоремы об устойчивости, если есть устойчивость в первом приближении, для малых по норме С отклонений начальных данных от стационарного решения. При этом требуется, чтобы задача Коши для уравнения [c.94]

Наличие в схеме аппаратов с распределенными параметрами (каталитических реакторов с неподвижным или кипящим слоем катализатора, абсорберов и др.) приводит при расчете таких аппаратов к необходимости интегрировать некоторые системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом может потребоваться как решение задачи Коши, так и решение краевых задач, например, в случае расчета каталитического реактора с учетом продольной диффузии. [c.33]

У,16) задают все значения Последовательно рассчитывая уравнения блоков сопряженной системы от Л -го до 1-го, можно найти все переменные Яу" . По существу здесь решается задача Коши для разностной системы уравнений (У,14), (У,15). [c.210]

Во втором случае условия (У,22) будут определять некоторые из значений для Ж-го блока сопряженного процесса, а условия (У.26) — некоторые из значений для его первого блока. Фактически в данном случае требуется решить систему разностных уравнений (У,14), (У,15) с краевыми условиями. Ясно, что эта задача более трудоемка, чем задача Коши, которую приходится решать в первом случае. [c.210]

Систему уравнений (VI,1), (VI,6) и (У1,8) нельзя решать как задачу Коши в связи с тем, что при t = О неизвестны значения ф/ (0) ( = 1> -1 ) Не будем пока обращать внимания на условия (У1,3) и (VI,9), заданные при < = <, и решим систему (VI,1), (VI,6) с начальными условиями [c.108]

Специфика этой системы состоит в том, что вычисление ее левых частей при фиксированных гр о требует решения задачи Коши для системы уравнений (VI, ) и (VI,6) с начальными условиями (VI,10). [c.109]

Решение системы (VII,7), (VI 1,8) представляет собой задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Математическое описание вида (VII,7), (VII,8) имеют аппараты, описываемые моделями идеального вытеснения. [c.134]

Различные представления математических описаний сопряженных блоков. Для РП-блоков с математическим описанием в явной форме (УП,7), (УП,8) сопряженные зависимости могут быть представлены в развернутом виде через решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (аналогичной той, которая фигурировала в задаче оптимизации одного РП-блока) [c.144]

Как уже отмечалось, жесткость — это свойство задачи Коши, возникающая при описании систем с существенно различными временными характеристиками процессов. Жесткость задачи может быть выявлена при исследовании локального поведения решения системы уравнений. Для этого система уравнений линеаризуется, т.е. заменяется линейной системой с матрицей Якоби. Если в некоторой окрестности решения матрица Якоби меняется незначительно, то локально линейная система описывает нелинейную. [c.131]

Как следует из определения жесткости, жесткая задача Коши должна иметь отрицательный спектр действительной части собственных значений якобиана. Однако может возникнуть ситуация, когда в локальной области якобиан системы уравнений имеет положительную действительную часть собственных значений. В задачах химической кинетики такая ситуация не редкость и встречается при описании взрывных процессов, когда в решении появляются резко растущие компоненты. В таких случаях сама задача Коши уже перестает быть устойчивой, и нельзя требовать устойчивости и численного метода. [c.132]

Рассмотрим сначала методы локального анализа чувствительности. Простейшим методом вычисления частных производных компонент решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по параметрам является поочередное изменение каждого из параметров на некоторую величину и численное интегрирование системы ОДУ. Таким образом, для расчета разностной аппроксимации матрицы частных производных =Э/,7 требуется численно проинтегрировать систему ОДУ 7 + 1 раз. Другой путь состоит в представлении в качестве динамических коэффициентов и составлении для них задачи Коши [420] [c.156]

Согласно теореме Коши о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений (в интересующем нас случае - обыкновенных), через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна фазовая траектория (интегральная кривая), наклон которой в этой точке определяется уравнениями (8.131). Это не имеет места только в особых точках, для координат и, 2 ,.. ., х , где одновременно [c.231]

В последние десять лет широкое распространение получил алгоритм численного интегрирования жестких систем ОДУ, предложенный Гиром [263, 264]. Алгоритм Основан на использовании линейных многошаговых методов, удовлетворяющих требованиям жесткой устойчивости [263]. При вычислении предиктора применяется алгоритм Корсика [352], использующий интерполяционный полином для вычисленных в предыдущих точках значений вектора решения. За счет этого легко осуществляется переход к новому шагу интегрирования, что обычно представляет определенные трудности при традиционной реализации многошаговых методов. Вычисление корректора, как правило, осуществляется методом Ньютона, причем для матрицы [Е—(ЗоЛА] (Е — единичная матрица, Л — текущее значение шага, /Зо — параметр метода, А — якобиан системы) используется LU-раз-ложение, что, как известно [183], позволя т наиболее эффективно решать возникающие линейные системы алгебраических уравнений. При решении задачи Коши методом Г ира в каждой точке выбирается оптимальный порядок метода, обеспечивающий наибольший возможный шаг интегрирования. [c.136]

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, основные определения. Уравнения 1 -го порядка. Формулировка теоремы о разрешимости задачи Коши. [c.150]

При решении, например, задачи Коши с заданными и, Ь, w, т, i ъ некотором трехмерном объеме х, у, z в момент времени i = о все перечисленные 13 величин определяются. Возникает задача для 13 линейных интегральных уравнений с линейными начальными данными. [c.28]

На основагши предположений (1) и (2) ki должна быть связана с кош уравнением [c.227]

Уравнения (7.81), (7.82) численно решались для противотока в работе [414]. Для упрошения краевой задачи решалась задача Коши для заданной степени извлечения, т. е. вместо граничных условий (7.85), (7.86) принимались граничные условия [c.298]

Сказанное остается справедливым и в случае, когда имеются поперечные градиенты концентрации и температуры. И в этом случае задача Коши для системы параболических уравнений ( 11.44) и ( 11.45) всегда имеет единственное устойчивое решение. Явления неустойчивости могут в принципе возникнуть под влиянием продольного перемешивания потока, однако в достаточно протяженных реакторах этот эффект незначителен. ПрйТюследовании процессов в зернистом слое учет продольного перемешивания сводится к учету [c.336]

Уравнение (237) может быть решено относительно г обычным графическим методом или в виде номограммы с бинарным полем. При 6 = onst уравнение (237) является уравнением четвертого номографического порядка типа Коши [226]. Номограмма этого уравнения состоит из двух параллельных шкал величин е и у4=3ае / и криволинейной шкалы величины z. На рис. 70 изображена номограмма, построенная в следующих пределах изменения величин е = 0- 1,0, Л = 1- 4 и fe = 0,8- -3,0 [225]. Как следует из рассмотрения рис. 70, удобство пользования номограммой, заключается в необходимости только однократного наложения линейки, что сводит до минимума погрешности, связанные с графическим расчетом. Пользоваться номограммой удобно, когда производится много расчетов. В противном случае целесообразнее решать уравнение (237) относительно z графическим методом. Для этого по оси ординат откладываются значения правой части уравнения (237) при разных z, откладываемых по оси абсцисс. Искомое значение z определяется по точке пересечения полученной кривой с прямой, параллельной ti H абсцнсё, с ординатой [c.180]

Существование решения для возникающих здесь задач представляет собой самостоятельное исследование. Строгое доказательсгво разрешимости задачи Коши для нелинейного уравнения Шрёдингера в классе быстро осциллирующих функций приведено в работах [3-4]. [c.201]

Известно, что решения совместной системы уравнений (VI,1) и (VI,6) неустойчивы (см., например, работу [8, с. 187)]. Во втором методе для этой системы приходится решать задачу Коши на каждой итерации. Неустойчивость решений указанной системы может сильно затруднить ее интегрирование — будет наблюдаться большая чувствительность к начальным условиям, погрешностям и т. д. Упомянутого недостатка лишен первый метод, так как системы уравнений (VI,1) и (VI,6) интегрируются раздельно система (VI,1) вперед , а система (VI, 6) назад от i = i до г = 0. В работе [8, с. 188] показано, что в этом случае решения каждой системы устойчивы, если устойчивы решения системы (VI,1), т. е. если сам объект устойчив. [c.113]

Известно [174], что поведение ошибки численного решения задачи Коши определяется спектром матрицы Якоби и(х) = Of/Dx. Если у матрицы J (х) действительная часть собственных значений положительна, то с ростом времени растет и норма ошибки, т.е. решение системы неустойчиво. В случае отрицательной действительной части собственнь1х значений норма ошибки уменьшается и решение устойчиво. При наличии чисто мнимых собственных значений норма ошибки, возникающая при численном интегрировании, не убывает, что приводит к ее накоплению. Уравнения движения для консервативных систем имеют в основном мнимые собственные значения матрицы Якоби, что и является причиной осцилля-ционного характера решений. Это обусловливает строгие требования к контролю точности численного решения. [c.79]

Кроме этого, укороченный пакет STIFF [67] с монитором STIFF может использоваться автономно при решении задачи Коши для произвольных жестких систем обыкновен14ых дифференциальных уравнений. [c.241]

Постановка вариационной задачи для плоскопараллельных и осесимметричных сверхзвуковых течений газа на основе полных нелинейных уравнений с использованием контрольного контура принадлежит Гудер-лею и Хантшу [3], которые рассмотрели задачу об оптимизации формы сопла Лаваля для случая стационарного течения несовершенного газа. Результаты этой работы приводят к краевой задаче для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих искомые функции на контрольном контуре. К тем же результатам при решении задач внешнего обтекания независимо пришли Зандберген и Валле [4]. Несколько раньше в работах [5, 6] было опубликовано решение ряда вариационных задач газовой динамики для внешних и внутренних сверхзвуковых течений совершенного газа. В этих работах решена краевая задача для нелинейных дифференциальных уравнений на характеристике контрольного контура. В случае безвихревых потоков решение представлено в явном виде. В случае вихревых течений решение сведено к задаче Коши для дифференциального уравнения. Стернин [7] обратил внимание на то, что в одной точке характеристики контрольного контура, построенной на основе необходимых условий экстремума, ускорение может стать бесконечно большим, и нашел геометрическое место таких точек в плоскости годографа скоростей. Это геометрическое место встретилось в дальнейшем при исследовании необходимых условий минимума сопротивления. [c.46]

После определения функций на конфольном контуре расчет течения будет сводиться, вообще говоря, к решению двумерных задач Коши и ГУрса. Для уравнений газовой динамики эти задачи успешно решаются методом характеристик. Рабочая форма этого метода в применении к бысфодействующим вычислительным машинам изложена в работе Пушкина [30] и в [31]. [c.65]