Планы первого порядка

До сих пор мы не останавливались на вопросе вычисления производных 5//39, полагая, что они могут быть вычислены точно. Однако при приближенном (численном) интегрировании исходной системы дифференциальных уравнений (3.141) вычисление производных — наиболее тонкое место во всей обратной задаче. Методы вы числения производных можно разделить на две группы. Первая группа — методы универсальные, не связанные со схемой интегрирования. Сюда относится метод конечных разностей (см. разд. 3.5), точность которого не всегда достаточна для успешного проведения минимизации. В работе [108] предлагается для оценки производных использовать план первого порядка в пространстве параметров около точки 0 . Применение этого метода требует, так же как и метод конечных разностей, (р—1) вычисления функции по крайне мере. Пауэлл [118, 119] предложил численный метод оценки градиента, в котором при каждой итерации переоцениваются компоненты лишь в направлении, задаваемом уравнением.(3.171) или G GS = —G h. Здесь 0 — решение уравнения, фиксирующее стационарную точку системы (3.171) h — вектор [t —/ (0 )], i = 1,.... .., N G — вектор 5/(0 )/39 , j = i,. . R. Симплекс-метод [12, 92, 115] не обладает быстрой сходимостью [117, 124], тем не менее он с успехом используется для оценки производных. [c.224]

В основе факторного эксперимента 2 х 2 с факторами А ш В обычно лежит полный факторный план первого порядка (табл. 10.1) [c.184]

Таблица 11.1. Дробный факторный план первого порядка для п = 3 факторов [3]

Часто пишут только знаки (+) и (—), см. разд. 10.2.) В подходящей области в соответствии с планом первого порядка проводят наименьшее возможное число опытов т. Для каждого опыта проводят одинаковое число параллельных определений (г = 1,2. .. п ). Чтобы поддерживать на низком уровне затраты на эксперимент, используют дробные факторные планы (табл. 11.1), отказываясь от возможности оценивания взаимодействий высоких порядков. По результатам тп опытов находят тп средних арифметических по формуле [c.199]

По окончании фазы выбираются новые базовые значения для варьируемых переменных, составляется и я раз реализуется новый план эксперимента. Обработка результатов эксперимента при эволюционном планировании, по сути дела, та же, что и при применении обычных факторных планов первого порядка (см. гл. V. 1, 2). Разница состоит в том, что расчет коэффициентов регрессии и проверка их значимости проводятся не после завершения всех опытов фазы, а после каждого цикла. Это связано с тем, что заранее неизвестно, сколько циклов будет содержать фаза, чтобы можно было выявить значимые эффекты. Для облегчения расчетов ошибку опытов считают после каждого цикла в данной фазе, начиная со второго, по параллельным наблюдениям методом размаха [c.255]

Рис. 8.1. Расположение опытных точек в плане первого порядка.

Рис. 29.1. Расположение опытных точек в плане первого порядка для двух независимых переменных.

Изучена кинетика реакции алкилирования уксусной кислоты пропиленом на сульфокатионите КУ-23 с применением плана первого порядка и определены кинетические параметры реакции. [c.34]

Коэффициенты уравнения регрессии, получаемые с помощью ортогональных планов второго порядка, определяются с разной точностью [см. уравнение (111,99), в то время как ортогональные планы первого порядка обеспечивают одинаковую точность коэффициентов. [c.101]

По окончании фазы выбираются новые базовые значения варьируемых переменных, составляется и п раз реализуется новый план эксперимента. При эволюционном планировании обработка результатов эксперимента, по сути дела, та же, что и в случае применения обычных факторных планов первого порядка. Разница состоит в том, что расчет коэффициентов регрессии и проверка их значимости проводятся не после завершения всех опытов фазы, а после каждого цикла. Это связано с тем, что заранее неизвестно, сколько циклов должна содержать фаза, чтобы можно было выявить значимые эффекты. [c.117]

Планы первого порядка по Боксу [c.432]

Пример. Реакция превращения вещества А в целевые продукты протекает при инициировании ионизирующим излучением. Известно, что степень конверсии вещества А зависит от температуры, концентрации А и мощности дозы, причем наибольший интерес представляют температура i = 120-Ь 150°С, Сд,о = = 1,0-Ь 1,5 моль/л и мощность дозы / = 60-Ь 120 рад/с. В этих пределах проводится эмпирическое описание зависимости степени конверсии у от Хх = °С 2 — Са,о, моль/л и Хз = /, рад/с по плану первого порядка, причем известно, что 5о = 29-10 с двумя степенями свободы. Условия и результаты опытов сведены в таблицу [c.437]

Одним ИЗ важных случаев применения планов первого порядка является исследование кинетики реакций по начальным скоростям. [c.438]

Процедура поиска оптимума напоминает изложенную выше оптимизацию методом крутого восхождения , но еще проще и не требует описания даже исходной области. Первый этап оптимизации симплекс-методом заключается в выборе центральной точки я построении вокруг нее правильного симплекса. Центральная точка может выбираться практически в любом месте, и нет необходимости начинать исследование вдалеке от ожидаемого экстремума, как это рекомендовалось в методе крутого восхождения . Однако выбор интервалов варьирования факторов (масштабы по осям) не совсем произволен — они не должны быть ни слишком большими, ни слишком малыми, что определяется ходом собственно поиска экстремума. После реализации симплекс-плана первого порядка сравнивают результаты опытов и выбирают наихудший. Можно полагать, что экстремум функции будет находиться от центра в направлении, противоположном радиусу-вектору наихудшего опыта, поэтому исходный симплекс опрокидывают в направлении ожидаемого экстремума. Отбросив наихудший опыт и поставив новый в симметричной точке, мы тем самым построим новый, правильный симплекс, с которым вся процедура. поиска новой наихудшей точки, опрокидывания симплекса и т. д. повторяется вновь. [c.457]

ПЛАНЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Полный факторный эксперимент [c.51]

Построение плана первого порядка начинается с выбора интервалов изменения факторов. [c.51]

Способ построения многофакторных планов первого порядка [c.52]

Поскольку табл. 18 обладает свойствами ортогональных планов первого порядка, представленных формулам (4.2) — (4.4), система (4.6) значительно упрощается [c.53]

Рассмотрим в матричной форме регрессионный анализ при использовании ортогонального плана первого порядка. Перепишем еще раз общий вид зависимости для вычисления коэффициентов, представленный формулой (3.11) [c.54]

Рассмотрим еще одно очень важное свойство ортогональных планов первого порядка. С этой целью найдем зависимость для расчета дисперсий, вычисленных (предсказанных) по уравнению регрессии значений параметра оптимизации. В соответствии с правилом сложения дисперсий [c.55]

Центр симплекса, приведенного в табл. 27, совпадает с началом координат. Табл. 27 обладает двумя свойствами ортогональных планов первого порядка. [c.66]

Построение статистических планов второго порядка — задача в математическом отношении значительно более сложная, чем в случае построения планов первого порядка. При построении планов второго порядка оказалось невозможным совмещение различных положительных свойств в одном плане. Например, не удается совместить ротатабельность с диагональностью информационной матрицы. [c.67]

Для вычисления коэффициентов регрессии второго порядка необходимо варьировать переменными не менее чем на трех уровнях. Это вызывает необходимость постановки большого числа опытов. Полный факторный эксперимент содержит 3 точек. Например, для четырехфакторного эксперимента это в пять раз больше, чем в плане первого порядка. При числе факторов, превышающем четыре, полный факторный эксперимент становится совершенно неприемлемым для технологов. В работе [12] Бокс и Уилсон предложили сократить число точек до [c.67]

Они могут быть получены в результате достройки планов первого порядка, поэтому их называют композиционными. Это свойство создает удобство для экспериментатора, так как позволяет при получении неадекватной математической модели первого порядка перейти ко второму порядку, добавив опыты только в звездных точках и центре плана. [c.68]

Перед постановкой экспериментов (аналогично тому, как это делалось в случае планов первого порядка) выбирают границы изменения факторов в натуральной форме гц, ггу Затем вычисляют натуральные координаты центра плана го и интервал варьирования по формулам (4.75) [c.81]

В случае планов первого порядка [18] разбиение матрицы планирования на ортогональные блоки производят следующим образом. Обозначают через Хх новую переменную, связанную с временным дрейфом, и приравнивают ее к тому эффекту, которым можно пренебречь. [c.82]

Трехфакторный план первого порядка, учитывающий временной дрейф [c.84]

Для распределения нулевых точек между блоком, содержащим звездные точки, и планом первого порядка можно воспользоваться следующей формулой [18] [c.85]

Расчет дисперсии предсказанного значения параметра оптимизации в случае уравнений регрессии, полученных по пассивным планам, — задача крайне трудная вследствие сложности ковариационной матрицы и неравномерности распределения дисперсии в факторном пространстве. Эта задача существенно упрощается при использовании ротатабельных планов. Для планов первого порядка типа полного факторного эксперимента и дробных реплик, имеющих диагональную ковариационную матрицу, дисперсия предсказанного значения параметра оптимизации [c.86]

Создание новых химических технологий и совершенствование существующих связано с экспериментальными исследованиями. Объем исследовательских работ зависит от правильного выбора стратегии эксперимента, способа обработки экспериментальных данных и интерпретации полученных результатов. В ходе исследований строится статистическая модель процесса, которая устанавливает связь между влияющими факторами (параметрами воздействия) и функциями отклика (выходными параметрами), определяющими качество продукции и производительность производства. Вошедшее в середине XX столетия в практику исследований планирование эксперимента очень быстро стало необходимым инструментом в лаборатории и на производстве. Это подтверждают обширные перечни публикаций по вопросам теории и практики планирования эксперимента уже к 1970-м годам [2,35-37]. Для планируемого (активного) эксперимента в настоящее время используются планы первого порядка ПФЭ и ДФЭ (полный и дробный факторный эксперимент), планы второго порядка ОЦКП, РЦКП (ортогональное, ротота-бельное центральное композиционное планирование) и другие, для которых выполняется ряд дополнительных опытов в центре плана [6]. Разработано много планов второго порядка, удовлетворяющих различным специальным требованиям. Например, планирование эксперимента по схемам ортогональных латинских прямоугольников [9]. Алгоритмы обработки планированного эксперимента удобно представить, используя средства Ма1ЬСА0. Здесь приведен алгоритм полного плана первого порядка. [c.292]

Таблица 10.1. Пол1 ный факторный план первого порядка

Известная (часто только эмпирически) зависимость между откликом у и факторами х описывается функцией у — /(хд, a jv)- Графическое изображение этой функции называют поверхностью отклика (response surfa e). В области, которая с точки зрения экспериментатора наиболее благоприятна, опыты проводят по плану первого порядка (см. разд. 10.1), причем число опытов должно быть как можно меньше (например, m = 4). На основании результатов опытов строят уравнение регрессии в виде полинома первого порядка, который позволяет найти направление к искомому оптимуму. В окрестности оптимума используют квадратичное приближение и из него находят координаты оптимума, что и дает искомые условия оптимизации. [c.198]

В пространстве псевдокомпонент осуществленный план представляет собой симплекс-решетчатый план первого порядка. Для него оценки параметров Р, однозначным образом связаны оо значениями обобщенного критерия, полученными в верщинах псевдосимплекса [c.120]

В настоящее время наиболее развита теория построения /)-оптимальных и С-оптимальных планов [46]. В общем виде задача построения О-оптимальных планов не решена. Наиболее разработанными можно считать методы получения -оптимальных планов для оценки одного параметра. В работах Кифера, Воль-фовица, Хоула и Коно введено понятие непрерывного плана и построены непрерывные )-оптимальные планы для полиноминальной регрессии первого и второго порядков при ограничениях на гиперкубе и -мерном шаре для тригонометрической регрессии с различными весовыми функциями на отрезке [46]. Границы эксперимента чаще всего задаются гиперкубом. Д-Оптимальные планы первого порядка при ограничениях на кубе можно задать в виде ПФЭ 2 . /)-Оптималь-ными планами являются также некоторые дробные реплики полного факторного эксперимента и планы Плакетта — Бермана для числа факторов к, удовлетворяющих условию к+ кратно четырем. Эти планы в то же время ортогональны и ротатабельны. [c.199]

Так как полученное уравнение, описывающее кинетику реакции,, является линейным, для исследования был применен план первого порядка. В качестве независимых переменных были приняты обратная абсолютная температура (л )), логарифмы начальных концентраций уксусной кислоты (хг), пропилена (хз) и катализатора (лч). Функцией отклика являлся логарифм начальной скорости реакции. Для онределе-пия кинетических параметров был поставлен полный 4-х факторный эксперимент. Матрица планирования приведена в табл. Лредвари-1ельно была проведена оценка воспроизводимости опытов. Были поставлены три опыта, соответствующие основному уровню (табл.). [c.32]

Изучена кинетика реакции алкилирования уксусной кислоты пропиленом на сульфокатио1ште КУ-23 с применением плана первого порядка. Найдено, что реакция имеет нулевой порядок по кислоте и первый порядок по пропилену и катализатору. Рассчитана энергия активации реакции. Предложен механизм реакции,, который соответствует механизму гомогенного кислотного катализа. [c.110]

Величина а для трехфакторного РЦКП на основе полного факторного эксперимента равна 2 / т. е. 1,682. В табл. 23 приведены характеристики наиболее употребительных планов, где Пс — число точек основного плана первого порядка (2 ) — число звездных точек (2к) о — число центральных точек N — общее число опытов плана. [c.449]

Обработка результатов эксперимента, выполненного в соответствии с РЦКП, заметно осложняется по сравнению с планами первого порядка, что объясняется неортогональностью РЦКП. Если расчеты выполняются на ЭВМ, используется обычная формула (П-172) регрессионного анализа [c.450]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология