Решение волнового уравнения

V Главное квантовое число. Энергетические уровни. Согласно условиям квантования электрон в атоме может находиться лишь в определенных квантовых состояниях, соответствующих определенным значениям его энергии связи с ядром. Так, волновые функции, получаемые решением волнового уравнения для атома водорода, соответствуют только таким энергиям, которые задаются выражением [c.14]

Таким образом, квантование энергии микросистемы непосредственно вытекает из решения волнового уравнения. [c.14]

Представление о резонансе часто используют для качественного описания строения молекул, но по мере усложнения структуры (скажем, при переходе от бензола к нафталину, пиридину и т. п.) количественные расчеты валентных схем становятся все более затруднительны. Поэтому для решения волновых уравнений чаще применяют другой метод, метод молекулярных орбиталей. Если с точки зрения этого метода качественно рассмотреть молекулу бензола, то можно видеть, что каждый атом углерода, связанный с тремя другими атомами, использует 5р -орбитали для образования а-связей, так что все 12 атомов лежат в одной плоскости. Кроме того, каждый атом углерода имеет еще р-орбиталь, которая может в равной мере перекрываться с двумя соседними р-орбиталями. Перекрывание шести таких орбиталей (рис. 2.1) дает шесть новых орбиталей, три из которых, связывающие (они показаны на рис. 2.1), называются я-орбиталями. Все три я-орбитали занимают примерно одинаковое пространство, одна из них имеет самую низкую энергию, а две другие являются вырожденными. Каждая орбиталь имеет узловую область, которая является плоскостью кольца, и разделяется иа две части, расположенные над плоскостью и под ней. Две высокоэнергетические орбитали (рис. 1, б и е) имеют еще другую узловую область. Шесть электронов, образующих тороидальное облако, называют ароматическим секстетом. Порядок связи углерод — углерод, вычисленный по методу молекулярных орбиталей, составляет [c.48]

Из решения волнового уравнения имеем выражения для составляющих электромагнитного поля цилиндрического резонатора с колебания-ми [c.106]

Решение любой проблемы волновой механики заключено в решении волнового уравнения (2-13). Для одномерной системы волновое уравнение упрощается [c.52]

Исключение всех решений уравнения, кроме тех, которые оставляют неподвижными концы струны. Это ограничение на допустимые решения волнового уравнения называется граничными условиями. На рис. 8-15, а показаны решения, удовлетворяющие граничным условиям о неподвижности концов струны на рис. 8-15,6 показаны решения, не удовлетворяющие таким условиям. Допустимы только те колебания струны, для которых длина волны определяется соотношением Х = 2а/п, т. е. v = п/2а, где п = 1, [c.361]

Непосредственное решение волнового уравнения (2.23) осложнено тем обстоятельством, что между изменением состояния ядер реагирующих частиц (молекул, атомов и т. д.) и изменением состояния электронов существует непрерывная связь. Если учесть, что переменные разделяются по характерным величинам скоростей движения для различных степеней свободы (медленные движения для тяжелых частиц — ядер и быстрые для легких — электронов), то оператор кинетической энергии Т можно представить как сумму операторов для быстрой Т д и медленной Т д подсистем. Тогда в нулевом приближении волновые функции для быстрой подсистемы можно найти [c.64]

Пример 4. В органической химии используется метод определения энергетических уровней молекулярных орбит, в основе которого лежит решение волнового уравнения Шредингера [37] [c.279]

Чтобы данная функция была решением волнового уравнения (I, 14), она должна быть однозначной в пределах изменения угла ф(0, 2я), т, е. Ф(0) = Ф(2л) или Ле " =/1е+ " 2. [c.16]

Если волновая функция 11) является одним из решений волнового уравнения, то расчет по [, 31) дает значение дозволенного уровня энергии электрона Е (IV — элемент об1>ема в пространстве. [c.23]

Действительную часть диэлектрической проницаемости можно определить из характеристического уравнения, которое получено в результате решения волнового уравнения для круглого волновода, заполненного диэлектриком с потерями /33, 37, 39/ [c.106]

Не выясняя математический смысл волнового уравнения, отметим, что его приемлемые решения возможны только при вполне определенных дискретных значениях энергии электрона. Различным функциям 1 ь "Фг, 3,. которые являются решением волнового уравнения, каждой соответствует свое значение энергии 1, 2, 3,. .., Еп-Таким образом, квантование энергии микросистемы непосредственно вытекает из решения волнового уравнения. [c.11]

Для упрощения решения волновое уравнение Шредингера обычно выражают в сферической системе координат. Запись уравнения в сферической системе координат удобна тем, что позволяет рассматривать значения гр поверхности сферы с радиусом г. В этом случае является функцией трех координат — г, 0 и ф [c.11]

Волны в слоях и пластинах. Если твердое тело имеет две свободные поверхности (пластина), то в нем могут существовать специфические типы упругих волн [1, 2]. Их называют волнами в пластинах или волнами Лэмба и относят к нормальным волнам, т. е. волнам, бегущим (переносящим энергию) вдоль пластины, слоя или стержня, и стоячим (не переносящим энергии) в перпендикулярном направлении. Решение волнового уравнения для пластины с граничными условиями равенства нулю напряжений на двух поверхностях приводит к системе из двух характеристических уравнений для волнового числа кр. Она имеет два или больше положительных действительных корня в зависимости от произведения толщины пластины на частоту. Каждому из этих корней соответствует определенный тип волны в пластине (мода). [c.25]

Простейшим способом решения волнового уравнения является метод, основанный на линейной комбинации атомных орбиталей , определяющей молекулярные орбитали (ЛКАО-МО). Основной предпосылкой, характеризующей этот метод, является допущение, что волновая функция Ф имеет вид линейной комбинации атомных орбиталей % [c.46]

Простейший метод расчета пренебрегает влиянием отталкивания как между электронами на одной орбитали, так и между электронами на различных орбиталях. Дальнейшие ограничения мы рассмотрим в ходе решения волнового уравнения [c.46]

Волновые функции, являющиеся решениями волнового уравнения, получили название орбиталей в отличие от термина орбита, который использовался в теории Бора—Зоммерфельда. Для обозначения отдельных орбиталей используются специальные символы [c.165]

Для объяснения ионной связи достаточно электростатической модели, для понимания ковалентной связи необходим квантовомеханический подход, т. е. требуется решение волнового уравнения Шредингера. Если вспомнить, что точное решение волнового уравнения возможно только для одноэлектронной системы, то станет очевидной необходимость для рассмотрения таких сложных многоэлектронных систем, как молекулы, прибегнуть к приближенным методам. [c.138]

Как было указано, квадрат волновой функции пропорционален, ноне равен вероятности нахождения электрона в данном элементарном объеме х(1уд.г. Это вытекает из того факта, что если Ч " — это решение волнового уравнения, то умножение на любую постоянную величину А даст волновую функцию А , которая также будет решением волнового уравнения. Поэтому нельзя говорить, что интеграл равен вероятности он лишь пропорцио- [c.47]

Трудность решения этого уравнения заключается в том, что невозможно разделить волновые функции различных электронов. Эта проблема может быть, однако, разрешена с помощью метода Хартри , в котором каждый данный электрон рассматривается так, как если бы он двигался в центральном электрическом (поле, являющемся результатом усредненного распределения заряда ядра и всех остальных электронов. Вначале вычисляют функцию потенциальной энергии системы, состоящей из ядра и всех электронов. Затем вычисляют волновую функцию определенного электрона, рассматривая движение выбранного электрона в усредненном поле остальных электронов и ядра. Решение волнового уравнения для первого электрона позволит лучше рассчитать усредненное центральное поле, которое затем может быть использовано для волнового уравнения второго электрона, и т. д. Поступая таким образом, получают последовательно улучшающиеся волновые функции электронов и продолжают расчеты до тех пор, пока улучшение становится уже незаметным. В этом случае пола называют самосогласованным. [c.71]

Одним из важных следствий электрон-электронного отталкивания является снятие орбитального вырождения, предполагаемого решением волнового уравнения для атома водорода. В то вре- [c.72]

Энергия связи находится при решении волнового уравнения Шредингера. В качестве примера рассмотрим молекулу водорода. Чтобы вычислить энергию связи двух атомов молекулы На, нужно определить их потенциальную энергию [/(Я) как функцию расстояния между центрами атомов. Эта энергия складывается из энергии кулоновского отталкивания ядер и энергии электронов Е(Я), которая зависит от расстояния между ядрами и поэтому входит в потенциальную энергию взаимодействия двух атомов. Искомая энергия равна [c.123]

Легко видеть, что решение волновых уравнения для областей 1 и III то же, что и решение уравнения для частицы в ящике. Для них удобно использовать экспоненциальную форму решения имеющую вид [c.398]

Строгий расчет положений и интенсивностей пиков в спектрах ЯМР представляет собой типичную квантово-механическую задачу и сводится к решению волнового уравнения Шре- [c.88]

Какую роль играют граничные условия при решении волнового уравнения В чем заключается их физический смысл Какие граничные условия накладываются на решения задачи о колебаниях скрипичной струны Каковы граничные условия, накладываемые на решения уравнения Шрёдингера для электрона в атоме водорода [c.378]

Итак, одному энергетическому состоянию отвечают две функции Ф и Ф", отличающиеся перестановкой координат. Обе они частные линейно независимые решения волнового уравнения Шредингера (с учетом спина) для одного и того же энергетического состояния. Общее решение такого уравнения (см. 3) представляет линейную комбинацию частных решений (10.1) и (10.2) [c.41]

И 2, стрелка с двумя остриями между которыми указывает на наличие резонанса. Решение волнового уравнения показывает, что, если допустить, что вклад структур 1 и 2 одинаков, получаемая величина энергии меньше, чем при рассмотрении каждой из этих структур по отдельности. Величина энергии [c.47]

ЧТО легко проверить прямой подстановкой. В общей форме решение волнового уравнения можно записать так [c.42]

Как отмечалось выше, уравнение Шрёдингера точно решается только для атома водорода, содержащего один электрон. Отдельный электрон в атоме, содержащем несколько электронов, находится под воздействием общего поля, создаваемого ядром и остальными электронами. Результирующее поле теряет сферическую симметрию, точное решение волнового уравнения становится невозможным н возникает необходимость в поисках приближенных решений. Наиболее эффективным приближением оказался метод самосогласованного поля (ССП), разработанный независимо английским физиком Д. Р. Хартри и советским физиком В. А. Фоком. Идея метода состоит в сведении мно-гоэлектронного уравнения Шрёдингера к одноэлектронному уравнению типа (П1.2) с использованием некоторого усредненного потенциала. Для этой цели берется набор заведомо приближенных АО и вычисляется средний потенциал, действующий на каждый электрон. Исходя из этого потенциала вычисляются новые более точные АО, которые, в свою очередь, дают улучшенные значения усредненных потенциалов. Такая процедура повторяется циклически вплоть до достижения самосогласования, т. е. состояния, в котором некоторый набор АО дает тот же потенциал, с помощью которого он был получен. Плодотворная идея ССП, созданного для многоэлектронных атомов, была с успехом перенесена на молекулы в рамках метода молекулярных орбиталей. [c.169]

При решении волнового уравнения получается, что в некоторых областях пространства г) положительна, а в других отрицательна (как амплитуда волны), поэтому вероятность нахождения электрона в пространстве и характеризуют квадратом этой функции, поскольку вероятность не может быть отрицательной величиной (а может изменяться от О до I). Помня о физическом смысле функции гр, нетрудно понять, что она должна быть однозначной, конечной и непрерывной во всем пространстве гр равна нулю там, где электрон не может находиться. [c.30]

Существуя в трехмерном пространстве, электрон имеет три степени свобод ы . Это приводит к появлению в решении волнового уравнения трех постоянных целочисленных величин — квантовых чисел. Их значения указывают местонахождение электрона в атоме — его наиболее вероятный адрес . [c.39]

Решение волнового уравнения дает плотность вероятности, характеризующую вероятность того, что электрон находится в данной малой области пространства. На рис. 2.9 показана вероятность обнаружить электрон на расстоянии г от ядра атома водорода в основном состоянии. Максимальная ве- [c.43]

Не выясняя математический смысл волнового уравнения, отметим что его приемлемые решения возможны только при вполне определенных дискретных значениях энергии электрона. Различным функциям г] ,, 4. , 11)3, > которые являются решением волнового уравнения, каждог соответствует свое значение энергии Е1, Е 2, [c.14]

Так, в работе [315] для нахождения динамических характеристик реакции И + СН4 -СН4+Н" использовался потенциал аЬ initio в малой области переходного состояния и вычислялась классическая траектория движения с малой поступательной энергией вдоль координаты реакции. Выбор начальных условий в области переходного состояния и движение вдоль координаты реакции приводят к быстрому распаду, а движение происходит в ограниченной области конфигурационного пространства. Такой подход, к сожалению, не позволяет анализировать динамику реакции во всем конфигурационном пространстве. Другой подход к описанию ППЭ предложен в работах [270, 337]. По некоторым опорным точкам, в которых потенциальная энергия вычисляется из точного решения волнового уравнения, и по асимптотическому поведению потенциала строится приближенный сплайн [176]. Такая аппроксимация дает возможность гибко варьировать ППЭ, сохраняя ее значения в опорных точках, и, следовательно, получать детальную информацию о влиянии ППЭ на динамику и кинетику реакции. [c.52]

Рассмотрим теперь систематическую ошибку методического характера, т.е. обусловленную приближенностью соотношения (УП,3.2). В результате точного решения волнового уравнения для круглого волновода, заполненного диэлектриком с потерями, для определения получается характеристическое уравнение о (2rta 2.. 2 [c.112]

В основу модели атома Шрёдингер положил математическое описание стоячей волны, включив в него соотношение де-Бройля. Такой метод дает стационарный характер движения электрона в пространстве, удовлетворяя требованиям принципа неопределенности. Решение получающегося уравнения оказывается возможным не при всех значениях энергии Е, а лишь при некоторых, называемых собственными значениями энергии. Соответствующие им функции г) называются собственными функциями. Иногда для одного собственного значения имеется т различных собственных функций. Тогда говорят, что данный уровень энергии т-кратно вырожден. Дискретный характер собственных значений энергии правильно отражает квантовые свойства микросистем, являясь естественным результатом решения волнового уравнения. Ранее это важнейшее положение было введено в теорию Бора как постулат. [c.164]

Из этого уравнения, полагая, что = Qn mElh , получили урав-ненпе, идентичное (2-14). Его решением, а значит н решением волнового уравнения для частицы в - =оо одномерном ящике, как было показано, является (2-15). [c.52]

Прежде чем рассматривать различные теории, полезно привести некоторые сведения, касающиеся атомных орбиталей центрального иона в газообразном состоянии, свободного от воздействия на него лигандов. На рис. 7-1 изображена граница поверхности для р- и -атомных орбиталей. Нужно иметь в виду, что каждая из них только указывает область пространства, в которой заклю чена большая часть заряда электрона, находящегося на этой орбн тали, т. е. наиболее вероятное его распределение. Эту вероятность можно представить математически. Если обозначить решение волнового уравнения буквой то вероятность нахождения электрона в элементе объема йх запишется т. е. функция [c.247]

Гамовым и независимо от него Гарнэем и Кондоном на основе методов квантовой механи-ки" . Следуя за их рассуждениями, можно показать, что в первом кваитозомеханиче-ском приближении потенциальную яму надо рассматривать как квадратную яму (рис. 11-9), в которой альфа-частица предполагается движущейся свободно. Хотя модель, допускающая наличие в ядре альфа-частицы как такозой и то, что ядро— простая потенциальная яма, является крайне упрощенной, ее применение оправдывается тем, что и такая модель дает вполне хорошие результаты. Рассмотрение альфа-частицы с энергией Е показывает, что существует конечная вероятность вылета частицы из ядра путем просачивания сквозь потенциальный барьер (так называемый туннельный эффект). Это подтверждается существованием решения волнового уравнения для частицы вне барьера. [c.397]

В квантовой механике установлено, что движение ядер характеризуется потенциальной энергией г, Г2,. .., гзлг б-а). Она соответствует энергии системы в основном состоянии, когда координаты ядер фиксированы. Для сокращения записи будем обозначать ее г). Энергия г) определяется путем решения волнового уравнения Шредингера для электронов, ее называют также энергией электронов. Гамильтониан, или оператор энергии, состоит из оператора кинетической энерегии электронов и полной потенциальной энергии ядер и электронов. Он не содержит оператора, отвечающего кинетической энергии ядер. Энергия S r) представляет собой собственное значение оператора энергии, отвечающего фиксированным ядрам. [c.735]

Для простейшей двухатомной молекулы решение волнового уравнения Шрёдингера (111.19) дает собственные значения энергии вращения [c.175]

Количество связывающих, несвязывающих и разрыхляющих орбиталей и их энергия зависит от числа атомов и характера симметрии системы и определяется решением волнового уравнения. На каждой молекулярной орбитали, согласно принципу Паули, может размещаться не более двух электронов с антипараллельными спинами. Расчет показывает, что в бензоле имеется три связывающие молекулярные орбитали и три разрыхляющие. Уровни энергии этих орбиталей —2 3, —(5, —(3 для связывающих и +2 3, + 3, - 3 для разрыхляющих (рис. 5). [c.20]

Учение о строении вещества (строение электронных оболочек атомов, строение молекул, жидкостей, растворов, твердых веществ раиличной природы) один из важнейших разделов теоретической и жспериментальной химии, цель которого—вскрытие первичных причин химических свойств и превращений. Составными частями этого учения являются теория химической связи и теория валентности, а практическими инструментами — приближенные методы решения волнового уравнения Э. Шредингера—теория валентных связей (ВС) и молекулярных орбиталей (МО). [c.187]