Теория рядов Фурье

Из теории рядов Фурье известно, что любая функция f (х), удовлетворяющая условиям разложения в ряд Фурье, может быть представлена в виде [c.46]

Нередко в теории рядов Фурье используются и две другие формулы, которые непосредственно следуют из простых тригонометрических соотношений и из элементарной теории комплексных чисел. Первая формула имеет вид [c.18]

Из теории рядов Фурье известно, что погрешность стремится к нулю, когда п неограниченно возрастает. Пользуясь этим, можно получить удобное представление в виде быстро сходящегося ряда и, сверх того, следующую двустороннюю оценку погрешности [c.126]

Классическая теория рядов Фурье состоит из двух частей. Первая из них использует так называемую квадратичную метрику. Во второй полученные результаты переносятся на некоторые другие метрики. В настоящем параграфе мы познакомимся с абстрактной теорией, обобщающей первую часть классической теории рядов Фурье. [c.161]

Отсюда заключаем, что разность 8 — f ортогональна всем собственным векторам и, следовательно, равна нулю. Мы доказали основную теорему абстрактной теории рядов Фурье каждый вектор гильбертова пространства равен сумме своего ряда Фурье. [c.163]

После того как мы методами теории рядов Фурье определили коэффициенты разложения для функции [c.134]

Теория рядов Фурье дает методы для определения постоянных С . Сд. .. Чтобы найти постоянную С(, умножаем последнее уравнение [c.107]

J.I. ТЕОРИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ [c.36]

Из теории рядов Фурье известно, что если заданная функция f(x) удовлетворяет определенным условиям, то ее можно разложить в ряд Фурье, который можно заменить через интеграл Фурье [c.74]

Из теории рядов Фурье известно, что 00 [c.162]

Формула обратного перехода выводится из соотношений теории рядов Фурье. Известно, что функцию / (х) можно разложить в ряд Фурье по синусам, коэффициенты йр которого определяются формулой [c.516]

В таком случае функция Ф полностью определяется набором чисел с,, другими словами - числа с задают представление функции Ф в базисе )(, Эти числа, как уже говорилось, определяются равенством с = <х, Ф>- Если х, являются собственными для А, то говорят об -представлении. В рамках стационарной теории возмущений мы пользовались разложением по собственным функциям оператора, т.е. энергетическим представлением. Возможно разложение в ряд Фурье по собственным функциям оператора импульса Р, например для одномерной задачи - по [c.190]

Этот процесс исследуется с помощью линейной теории устойчивости. В ней предполагается, что возмущения скорости и температуры потока, вызванные внешними воздействиями, малы по сравнению с величинами скорости и перепада температур в развивающихся ламинарных течениях, а это, как будет показано ниже, существенно упрощает задачу. Возмущения считаются также периодическими, так что их можно представить разложениями в ряд Фурье. [c.6]

В соответствии с этой теорией уравнение колебательного процесса газа в трубопроводе длиной I было составлено на основе гидродинамического уравнения Эйлера (III.2) и уравнения неразрывности потока (II 1.1). Влияние сил тяжести и трения не учитывалось. Изменение состояния газа в трубе было принято адиабатическим. Решение сводилось к интегрированию полученного уравнения при соответствующих граничных условиях таким образом, чтобы удовлетворялись условия на концах всасывающей линии. Так, дл я ж=0 (сечение, где установлена емкость), пульсации газа оказывались пренебрежимо малы, т. е. р = ро, Р = Ро- Для х = I скорость газа выражалась гармоническим рядом Фурье (III.7). В результате было получено выражение для определения приращения давления во всасывающей трубе компрессора двойного действия [c.160]

Обычно, однако, в качестве весовой функции берутся не структурные факторы, а структурные амплитуды Р. В четвертой части (второй том) подробно рассматривается физическое содержание этого понятия. Здесь достаточно сказать, что структурная амплитуда является комплексной величиной, зависящей как от амплитуды, так и от фазы соответствующего дифракционного луча. Обратная решетка с такой весовой функцией удобна для математических преобразований при изложении различных теоретических аспектов структурного анализа. В частности, при помощи обратной решетки может быть изложена теория разложения электронной плотности в ряды Фурье. Однако для конкретного кристалла, структура которого еще не исследована, обратная решетка в таком виде не может быть построена, так как для определения начальных фаз отраженных лучей требуется дальнейшая обработка экспериментальных данных. [c.315]

Предполагается, что читатель знаком с основами анализа, рядами Фурье и теорией функций комплексного переменного. Кроме того, считается, что читатель знает, что такое частотная характеристика линейной системы, и знаком с основными понятиями теории вероятностей и математической статистики. Однако для большей полноты в первых двух главах книги дается краткий обзор этих вопросов. Основные принципы корреляционного и спектрального анализа наблюдений изложены в гл., 3. Традиционные методы анализа одномерной линейной системы и методы оценивания ее характеристик детально описаны в гл. 4 и 5. Здесь рассмотрены обычные функции когерентности, когерентные спектры, влияние обратной связи и помех на входе и выходе системы на оценки параметров, использование зондирующих сигналов и методы оценивания частотных характеристик. [c.8]

Изложение вопросов, связанных с теорией синтеза Фурье и его применением в кристаллографии, приведено в ряде монографий, например [3, 7, 11] . [c.178]

Массивными профилями обычно называют профильные изделия с треугольным, квадратным и т. д. поперечным сечением, относительные размеры которого не позволяют использовать для расчета уравнения теории одномерных течений. Интегрируя уравнение Навье—Стокса для случая двумерного течения, как это приходится делать при расчете массивных профилей , необходимо прежде всего определить граничные условия, которые учитывают форму профилирующего отверстия в матрице. Поскольку решения этих уравнений приходится искать в виде рядов Фурье или бесселевых функций, содержащих экспоненциальные коэффициенты, метод обратного расчета оказывается очень сложным, а иногда и совсем неосуществимым. Дальнейшее осложнение обусловливается тем, что в большинстве случаев расплавы являются неньютоновскими жидкостями. При попытке применить степенной закон для описания двумерных течений дифференциальные уравнения в частных производных превращаются в нелинейные уравнения с дробными показателями. В опубликованной литературе можно найти только уравнения, описывающие течение ньютоновских жидкостей через отверстия сравнительно простой формы квадрат, равносторонний треугольник, эллипс, прямоугольник и некоторые другие. [c.318]

Косинус- и синус-преобразования Фурье. Из теории рядов известно, что любая кусочно-непрерывная ограниченная функция х) на интервале л е[0 ] может быть разложена в ряд по тригонометрическим функциям [c.37]

В основу математического анализа экспериментальных материалов принята гипотеза об аналогии процессов теплопроводности и переноса вещества и использовано уравнение теплопроводности Фурье, дополненное членами, учитывающими специфические особенности процесса сушки. Закон переноса вещества учитывает не только диффузию влаги, но и молярное движение жидкости, а также молекулярное течение пара (эффузию). Гипотеза об аналогии процессов диффузии, переноса вещества и теплопроводности получила значительное развитие в работах по теории сушки лауреата Сталинской премии, проф. А. В. Лыкова.. Многолетняя практика доказала закономерность применения этой аналогии и содействовала быстрому и успешному развитию теории ряда отраслей науки химической кинетики, исследования процессов горения, растворения и т. п. [c.59]

Закон дисперсии (2.2) можно трактовать как первые члены разложения общего закона дисперсии е=е(р) в ряд Фурье. 3 теории сильносвязанных электронов Блоха этот закон соответствует учету взаимодействия электронов данного атома с ближайшими соседями в простой кубической решетке (см., например, [1]). Как показано в работах [5, 6], удержание следующих членов разложения, что соответствовало бы в блоховской теории учету взаимодействия пе только ближайших соседей, но и более далеко расположенных атомов, приводит к значитель- [c.31]

Разложение в ряд Фурье и преобразование Фурье имеюг принципиальное значение для разработки и применения методов анализа, которым посвящена эта книга. Поэтому здесь приведены некоторые важнейшие соотношения из теории рядов [c.17]

Поскольку силы притяжения могут быть выражены в виде градиента потенциала, то таким же образом можно представить и приливообразующие силы. Распределение потенциала приливообразующих сил Фт по поверхности Земли может быть записано в виде ряда по сферическим функциям (эти функции образуют полную систему для описания распределений на поверхности сферы их теория дана, в частности, в [376, гл. 24] и в [566, гл. 10]), коэффициенты которого могут быть получены как коэффициенты разложения в ряд Фурье с частотами, являющимися линейными комбинациями основных частот Солнечной системы. Основные интересующие периоды — это сутки (2я/Й), лунный месяц (2я/йм = 27,321 сут.) и тропический год (2я/Йг ж 365,242 сут.). Реально вместо частоты Й используется частота [c.28]

В. Я. Шкадов [108] предложил новый подход к анализу пленочного течения, основанный на методе преобразования Фурье. Путем представления профиля скорости в виде разложения в ряд Фурье оказалось возможным развить метод решения, отличный от общепринятого метода разложения в степенной ряд по малым волновым амплитудам. Однако в рамках этой методики два параметра из четырех, а именно числа Рейнольдса, толщины пленки, длины волны и фазовой скорости, остаются произвольными. Таким образом, в отличие от случая бесконечно малых амплитуд задача не может быть решена в замкнутой форме, без привлечения дополнительных физических гипотез. В качестве такой гипотезы было использовано условие минимума толщины пленки при заданной скорости расхода. Устанавливающийся в результате режим (для случая длин волн, значительно превышающих среднюю толщину пленки) был назван оптимальным волновым режимом на том основании, что, как это следует из проведенного тем же автором [108] анализа устойчивости методами нелинейной теории возмущений, он устойчив по отношению к возмущениям с основными волновыми параметрами, аналогичными таковым в начальном волновом режиме. Однако ряд строгих ограничений развиваемого метода имеет своей причиной использование уравнений пограничного слоя для описания распределения скорости в пленке. Можно показать, что применение системы уравнений пограничного слоя к пленочному течению обоснованно только в очень небольшом диапазоне чисел Рейнольдса [c.60]

Следует отметить, что в нашей стране развитие гидродинамической теории трения и смазки опор гидротурбин достигло высокого уровня. Это и понятно. Советский Союз, выполняя грандиозную программу электрификации народного хозяйства, строит самые мощные гидроэлектростанции, оборудованные крупными гидроагрегатами. Так, например, в Сибири на Братской ГЭС установлено 18 радиально-осевых гидротурбин мощностью по 200 ООО кет, у которых вес колеса, ротора и вала достигает 1500 т, а скорость вращения 125 об1мин. Высокая энергоемкость одного агрегата заставляет тщательно проектировать наиболее ответственную деталь гидротурбины — опору ее вертикального вала. Ряд докладов на данной конференции демонстрирует достижения в этой области. А. К. Дьячковым экспериментально разработана сложная в плане обтекаемая форма подушки подпятника, благодаря чему заметно снижается температурный режим поверхностей скольжения и уменьшаются затраты энергии на трение, а также разработан теоретический расчет при помощи рядов Фурье грузоподъемности и силы сопротивления на такой подушке при постоянной вязкости смазки. Для той же задачи, дополненной заданным законом изменения вязкости-, Д. П. Паргин усовершенствовал расчет по методу конечных разностей, доведя его до формы, удобной для применения вычислительных машин. Другие, не менее важные, задачи поставил перед собой И. А. Кунин. Им предложегш теория трения и смазки подпятников, в которой совместно учитываются тепловые явления в смазочном слое, зависимость вязкости от температуры, угол наклона сегмента, расположение точки его опоры и другие параметры. При этом автор определяет оптимальные конструктивные параметры подпятника, основываясь на найденных функциональных зависимостях между ними и характеристиках подпятника (среднее давле ние, минимальный зазор, приращение температуры, потери на трение, коэффициент трения). [c.5]

Первые годы развития рентгеноструктурного анализа характеризуются как быстрой расшифровкой многих простых, но исключительно важных неорганических структур, так и быстрым развитием основных положений физической теории этого нового метода. Уже в 1915 г. Дарвин показал, что кристаллы с совершенными решетчатыми структурами встречаются чрезвычайно редко. Он ввел понятие мозаичного кристалла. Брэгг предположил, что распределение вещества в кристалле, отражающего рентгеновские лучи, можно выразить математически с помощью рядов Фурье. В это же время Дебай разработал количественнзгю теорию влияния теплового движения на интен- сивность отраженных рентгеновских лучей. Вскоре после этого он совместно с Шерером и Холлом создал простой, но важный метод использования в рентгеноструктурном анализе порошков вместо монокристаллов. Эвальд примерно в это же время разработал метод количественного расчета интенсивности отраженных рентгеновских лучей. Несколько позднее Эвальд выдвинул блестящую идею обрат-V ной решетки. [c.17]

Рассмотрим теперь несколько более реалистическую модель, в которой полонштельно заряженный континуум заменяется на решетку из положительных точечнглх одинаковых зарядов. Электроны в этом случае движутся в периодическом потенциале, который можно разложить в ряд Фурье. Выполняя вычисления по теории возмущений до порядка e [т. е. того же, что мы имеем и в случае формулы (35)], находим, что энергия основного состояния равна Ее гЛ [см. выражение (35)] плюс два дополнительных члена, зависящих от структуры решетки. [c.308]

Элементы векторного анализа, a также теория и применения преобразования Фурье рассматриваются во многих курсах высшей математики. См., например, Смирнов В. И., Курс высшей математики, Наука , М., 1967, т. И, гл. 4 и 6 Зельдович Я- Б Мышкис А. Д., Элементы прикладной математики, Наука , М., 1972, гл. 9, И, 14 Толстое Г. П., Ряды Фурье, Физматгиз, М., I960 Романовский П. Я., Ряды Фурье, теория поля, Наука , М., 1964. Те же руководства можно рекомендовать в дополнение к ссылкам [7, 11, 12]. [c.159]

Впервые таким путём теория фотоэффекта была построена в 1929 г. [391] (см. также [365], стр. 211—216). Затруднение с законом сохранения импульса пытались обойти, принимая во внимание затухание световой волны в металле. Затухающую волну можно разложить в ряд Фурье так, что отдельным членам этого ряда соответствуют одинаковые частоты, но разные длины волн [392], что в конечном итоге позволяет удовлетворить одновременно как закон сохранения энергии, так и закон сохранения импульса. Первая намётка теории, известная под названием теории Венцеля, до некоторой степени учитывала также связь электронов проводимости с металлом в целом, так как состояние электронов характеризовалось стоячими электронными волнами, образующимися вследствие отражения от граней прямоугольного куска металла. В случае тонких металлических плёнок, насквозь пронизываемых светом, такая постановка вопроса может найти своё оправдание. Приводим кратко основные моменты этой теории для иллюстраций общего хода решения в волномеханических теориях фотоэффекта. [c.154]

От этого примера можно перейти к случаю трехмерной рещетки или случаю нескольких частиц в элементарной ячейке. Интересно, что, пользуясь теорией групп, мы находим те самые динамические переменные (гл. 4, 2,а), которые входят в разложение смещений атомов в ряд Фурье. [c.383]

Если же Ау фавнительно велика, как в рассматриваемом здесь случае, то функция r(t) не будет синусоидальной, а поведение материала нельзя описать с помощью линейной теории вязкоупругости. Для решения этой задачи раньше обычно использовали метод разложения отклика, т. е. изменения напряжения во времени, в ряд Фурье [5]. Применение такого подхода удобно для представления экспериментальных данных, но неприемлемо, если ставится задача интерпретации физических изменений, происходящих в материале на протяжении цикла при периодическом деформировании образца. [c.49]

Польза разложения в ряды Фурье отнюдь не является самоочевидной. Интересно отметить, что за полстолетия до того, как Фурье открыл это разложение, некоторые математики, как, например, Лагранж и Эйлер, встречали эти разложения в частных задачах, которыми они занимались, но не смогли обобщить их, так как на первый взгляд они не казались приемлемыми. По этой же причине Фурье встретился с некоторыми трудностями перед тем, как его теория была признана. [c.22]

M Graw Hill, New York, 1934. Прекрасное введение в векторное исчисление, дифференциальные уравнения, определители, ряды Фурье и теорию вероятностей менее трудное, чем приведенные инже руководства. [c.37]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология