Матрицы представления элементов

Размерность и вид матриц-представлений зависят от выбора базиса. Совокупность элементов базиса, члены которой преобразуются в функции элементов только этой совокупности может сама быть базисом представления. Процесс разложения базиса на базисы меньшей размерности называется приведением. Приведение заканчивается, если полученные базисы не поддаются дальнейшему приведению тогда они называются неприводимыми. Этим неприводимым базисам соответствуют неприводимые представления (НП) группы симметрии. [c.113]

Размерность матриц, представления равна кратности вырождения уровня энергии и числу линейно независимых вырожденных волновых функций. Кроме того, закон преобразования волновых функций под действием преобразований пространства — элементов данной группы симметрии — легко определяется с помощью матриц неприводимых представлений по формуле (2.14). [c.32]

Напомним, что группа G порядка g имеет g независимых элементов. В случае групп симметрии этими элементами являются операции симметрии. Каждой операции симметрии соответствует некоторое линейное преобразование координат, которое задается матрицей его коэффициентов. Символическому произведению двух операций симметрии соответствует произведение матриц линейных преобразований, описывающих эти операции симметрии. Если речь идет о тождественной операции е, то ей отвечает единичная матрица, обратной операции соответствует обратная матрица. В целом совокупность матриц линейных преобразований, соответствующих элементам данной группы симметрии, сама образует группу, по своим свойствам эквивалентную исходной группе симметрии. Группа, состоящая из матриц л ,- линейных преобразований, однозначно соответствующих элементам некоторой группы, называется представлением этой группы. Число переменных, линейные преобразования которых образуют представление, определяет ранг матриц представления и носит название размерности представления, а совокупность указанных переменных — базиса представления. [c.189]

Символ I в формулах (11.43) и (11.44) обозначает единичную матрицу, диагональные элементы которой равны единице, а все прочие— нулю. Любой элемент кинетической матрицы X () может, таким образом, быть представлен в форме [c.71]

Рассмотрев все четыре операции в точечной группе 2 , найдем, что полное представление в базисе координат смещения для молекулы НМЫН состоит из четырех матриц размера 12 х 12. Оперирование такими большими матрицами затруднено и требует много машинного времени. Эту задачу можно упростить. Мы здесь не будем подробно обсуждать, как это можно сделать в общем случае, поскольку в следующих главах используется самый легкий и быстрый способ, связанный с применением матричных представлений. Мы просто кратко поясним метод, который приводит малопривлекательные и громоздкие представления операций симметрии к более простой форме [1]. С помощью подходящего преобразования подобия обычную матрицу можно превратить в так называемую б.ючно-диагочальиую матрицу. В такой матрице ненулевые элементы сгруппированы только в квадратных блоках, расположенных вдоль диагонали, проходящей из левого верхнего в правый нижний угол. Например, типичная блочно-диагональная матрица имеет вид [c.199]

Такую матрицу приводят, выделяя отдельные блоки, например матрицы Di и Dj, соответствующие НП Pi и Ра- Если все матрицы-представления диагональны, та их разбивают на блоки единичной размерности, т. е. каждый элемент базиса является базисом НП. [c.114]

Таким образом, матрицы представления Г суть унитарные матрицы. Можно доказать, что все возможные представления каждой группы О (в том числе и не обязательно группы точечной симметрии) эквивалентны ее унитарным представлениям, другими словами, при подходящем выборе базиса матрицы любого представления переходят в унитарные матрицы, а потому при рассмотрении представлений достаточно ограничиться лишь унитарными представлениями. Среди всех унитарных представлений всегда есть единичное, или полносимметричное, в котором каждому элементу группы отвечает одна и та же матрица размерности 1 х 1, а именно единица. [c.201]

Сумма диагональных элементов матрицы представления называется характером и обозначается у . Из табл.З видно, что характер каждого элемента, принадлежащего к одному и тому же классу, один и тот же. Таким образом. [c.47]

Поэтому можно немного изменить процедуру рассмотрения и получить в итоге выражения того же типа, что дает и теория возмущений. Для этого прежде всего запишем гамильтониан Н (К) в базисе функций Ф((г, Яд), считая этот набор функций полным либо, если это не так, получая некоторое приближенное матричное представление оператора. Следовательно, Я (й) будет представлен матрицей с элементами Яу (Я) =<Ф (г, Яд)1Я 1 Фу (г,Яд)>, которые мы будем [c.451]

В импульсном представлении оператор (28,6) изображается непрерывной матрицей с элементами [c.134]

Использование теории групп в квантовой механике весьма плодотворно [143]. Например, если ион находится в окружении, характеризуемом группой О, то в этом случае коммутирует с каждым элементом этой группы. Следствием таких коммутационных свойств является то, что элементы группы О можно представить в другой системе отсчета определяемой собственными функциями Ш- Элементы группы О являются абстрактными единицами, которые можно представить квадратичными матрицами так, что произведение двух элементов группы будет соответствовать матричному умножению матриц, которые представляют каждый из элементов. Каждому элементу группы О в данном представлении соответствует одна матрица. Порядок или размер этих матриц может быть произвольным однако, если набор матриц представления О нельзя разбить дальше на матрицы меньшего размера, которые образуют представление [c.72]

Кроме трех представ лений табл. 3, можно написать бесконечное число других представлений группы. Если выбран ряд из шести матриц типа 5- / (/С) 5, где Я К) — представление элемента К, данное в табл. 3, —любая матрица того же порядка, что и Н, и 5 — матрица, обратная 5, то этот ряд также удовлетворяет со-отношениям, даваемым таблицей произведений. [c.46]

Характер матрицы тождественного элемента, являющейся единичной, всегда равен размерности представления [c.59]

При решении некоторых задач полезно знать матрицы, соответствующие операциям конечной группы в данном неприводимом представлении. В одномерных неприводимых представлениях матрицами являются матрицы вида 1 X 1> т. е. такие матрицы совпадают со своими характерами. Среди 32 точечных групп встречаются неприводимые представления, размерности которых равны двум или трем. Мы знаем, что неприводимое представление полностью определено, если известны матрицы, отвечающие производящим элементам группы в самом деле, соответствующая группа матриц должна удовлетворять той же самой таблице умножения, что и элементы группы. Следует сразу же заметить, что совокупность матриц представления не является единственной совокупность матриц, которая получается из первоначальной путем одного и того же преобразования подобия (эквивалентные матрицы), также образует эквивалентное представление, в принципе ничем не отличающееся от исходного. В табл. В.9 приведены матрицы, соответствующие производящим элементам 32 точечных групп. Мы выбрали для них действительные значения, сгруппировав пары комплексно-сопряженных представлений (объединенных фигурными [c.368]

Характер операции симметрии Я в представлении Гг Размерность матрицы / неприводимого представления Элемент т-й строки и и-го столбца матрицы й представления Г/ [c.75]

III. Характеры представлений. Сумма диагональных элементов матриц представления для калсдого элемента группы образует характеры представления, т. е. [c.691]

Все сказанное выше можно резюмировать следующим образом. Данной молекуле с некоторой группой симметрии А,В, С,. .. можно сопоставить наборы симметричных функций фь фг,. .., ф , которые каждой операцией симметрии из этой группы переводятся в линейные комбинации этих же функций и которые осуществляют некоторое неприводимое представление, обозначаемое Ё) . Вместо того чтобы применять простое матричное обозначение Н для обозначения матриц, сопоставляемых элементам группы Н в представлении ) , и выписывать повернутые функции, определяемые матричным уравнением (17), в виде [c.353]

Итак, вектор 2, у2, 22 получается из х, 21 или применением к нему некоторой операции симметрии, или умножением на матрицу преобразования. Эту матрицу называют представлением операции симметрии в данном базисе, понимая под базисом преобразуемый вектор хи у, 21 . Матрицы-представления квадратны и имеют размерность, равную числу элементов базиса. Из табл. 5.3 преобразования р-функций видно, что [c.171]

Значению / == О в выражении (З.А10) отвечает единственный член, который представляет собой постоянную, а следовательно, не изменяется при вращениях. Поведение этой постоянной при тождественном преобразовании и при вращениях С( ) может быть описано при помощи одномерной матрицы, единственный элемент которой равен +1. Характеры этих преобразований также равны +1. Соответствующее представление является одномерным. Как уже было указано выше, представление, которое соответствует значению /= 1, является трехмерным. Характер тождественного преобразования в этом представлении равен 3, а характер преобразования С( ) равен l+2 os . Если / = 2, то в выражении (З.А10) ему соответствуют шесть членов х , у , z , ху, xz и yz. Однако не все они независимы, так как х у z = г . В наличии имеется шесть членов с одним соотношением между ними. Следовательно, соответствующее представление должно быть пятимерным. Представление для 1 = 2 (которое мы обозначим как D ) можно вывести из представления для /= 1 (обозначаемого как Z) ), поскольку члены, приводящие к D , являются парными произведениями членов, приводящих к Z). Это можно проделать, взяв прямые произведения (см. приложение 2) матриц (З.А1) и (З.А2) самих с собой и выполнив приведение полученного результата. Однако вместо этого достаточно воспользоваться характерами, поск ь-ку след прямого произведения двух матриц представляет собот произведение их следов. Если характеры обозначить символом X- то можно записать [c.73]

Матрицу называют приводимой, если ее можно представить в такой блочно-диагональной форме. В противном случае матрицу называют неприводимой. Так, каждая из упоминавшихся выше матриц может быть приведена к одномерной и двумерной матрицам. Представление называют приводимым, если матрицы, соответствующие всем операциям группы, можно одновременно привести к блочно-диагональному виду. Если все матрицы представления группы нельзя одновременно привести к блочно-диагональному виду, то представление неприводимо. Для группы, содержащей конечное число элементов (операций), существует только конечное число неприводимых представлений. Если порядок группы (число элементов) равен /г, а размерность г-го представления (Г,) равна то можно записать следующее соотношение [c.246]

Ограничимся рассмотрением только тех представлений пространственных групп, которые получаются из представлений фактор-группы, так как оказывается (см. П.4), что только эти представления содержат колебания, активные в ИК- и КР-спектрах. Представления пространственной группы, выведенные из представления фактор-группы, получаются, если отнести каждый элемент смежного класса [уравнение (40) ] той же самой матрице, т. е. матрице, которая соответствует элементу 7 , в неприводимом представлении фактор-группы. Существует другой подход к этой проблеме. Одна из теорем теории групп гласит, что матрицы представления группы, соответствующие элементам подгруппы, всегда образуют представление подгруппы (не обязательно неприводимое). Группа трансляций есть подгруппа пространственной группы, поэтому мы можем приме 1ить эту теорему к представлениям пространственной группы, выведенным из фактор-группы. Все представления группы трансляций, полученные таким образом, идентичны и равны полносимметричному представлению Г (табл. 8). Это представление соответствует величине х = 0. Этот вопрос упрощается при рассмотрении одномерного случая. [c.71]

Задачу можно упростить, если учесть следующее обстоятельство, относящееся ко всем пространственным группам, как симморфным, так и несимморфным. Мы знаем, что элемент (7 ,1 + тн) можно рассматривать как произведение Е,Хп) Я,Гн) трансляции решетки ( , 1 ) на операцию (/ , Тн). Матрицу, соответствующую элементу ( , 1 + Тд) в данном неприводимом представлении группы волнового вектора 9 ц), можно рассматривать как произведение матрицы неприводимого представления элемента Е, 1 ) группы (я) ) на некоторую другую, искомую матрицу. [c.110]

Задача оптим1изации формулируется следующим образом найти Хопт, удовлетворяющий условию а, такой, что р(Хопт) = = тахр(х) по всем х, для которых выполняется условие а. Одним из основных элементов модели является вектор производственной программы х компоненты Хй ( =1,..., Г) несут информацию о количестве продукции, полученной в сГ-м производственном режиме. Сырье должно потребляться в соответствии с плагювыми нормами расхода, представленными в виде матрицы У , элементы которой равны количеству -го сырья (/= 194 [c.194]

Другим методом определения пересечения плоских контуров является алгебрологический метод, разработанный на основе теории распознавания образов [36]. В основу этого метода положено представление контура уложенных заготовок или заготовки в виде прямоугольной скелетной матрицы тХп, элементы которой имеют значения О и 1 и рассматриваются как отдельные рецепторы. Значение 1 принимается тогда, когда на данный элемент падает изображение, т. е. проходит контурная линия или накладывается область. Пример кодирования областей для заготовок приведен на рис. 46. [c.93]

Смотреть страницы где упоминается термин Матрицы представления элементов: [c.65] [c.175] [c.29] [c.115] [c.20] [c.80] [c.82] [c.203] [c.204] [c.611] [c.140] [c.93] [c.65] [c.67] [c.111] [c.135] [c.178] [c.110] [c.66] [c.232] [c.299] [c.203] [c.204]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология