Интегралы от произведения функций

Перекрестный ток. Аналитическое решение для этой схемы движения потоков было дано Нуссельтом [49] в виде определенного интеграла произведения функций е и функции Бесселя. Это решение связано со сложным интегрированием для каждого частного случая геометрии поверхности теплообмена. Более общее решение, данное также Нуссельтом, основано на переходе к обобщенным переменным [50]. На фиг. 61,г представлены результаты, полученные путем пересчета первоначального уравнения Нуссельта, в которое были введены параметры [c.105]

После подстановки (2.3.29) и (2.3.30) и дифференцирования произведений функций в слагаемых интеграла (2.3.31) получим закон перемещения подвижной границы в виде квадратуры [c.115]

Выше мы уже показали, что средняя энергия колебания, обладающего частотой V, определяется формулой (П1.61). Тогда средняя энергия колебаний кристалла во всем интервале возможных частот определится как интеграл от произведения функции распре- [c.72]

Покажем, что верхняя граница для дисперсии коэффициентов разложения зависит от скалярного произведения функций О (со) и а((в). Для интеграла в уравнении (VII. 36) можно записать неравенство Буняковского [c.175]

Нас интересует асимптотическое п оо поведение величины когда разницей между I и п можно пренебречь. Пусть вначале граф (riO) состоит из единственного блока, т. е. не содержит точек сочленения. Выполнив вначале суммирование в формуле (III.121), мы получим интеграл, в знаменателе которого имеется (и— 1) произведений функций, каждая из которых ведет себя при малых q, определяющих поведение интеграла, как а числитель [c.245]

В квантовомеханическом описании свойств молекул часто приходится вычислять интегралы от произведения функций, и оказывается полезным знать их отношение к преобразованиям симметрии. Почему так Причина состоит в том, что интеграл будет обращаться в нуль, если только подынтегральное выражение, состоящее из произведения двух или более функций, не будет инвариантно ко всем операциям симметрии данной точечной группы. Это означает, что интеграл не равен нулю, только если подынтегральное выражение принадлежит к полностью симметричному неприводимому представлению точечной группы данной молекулы. [c.221]

Рис. 3.2. Сопоставление функций распределения по энергии Е ехр(— Дв7 ) (кривые 1), функций возбуждения а Е) (кривые 2) и их произведений (кривые 5)—функций реакции — при двух различных температурах. Интеграл от функции реакции пропорционален константе скорости реакции указана величина наблюдаемой энергии активации Еа (см. текст).

Условие, необходимое для того, чтобы интеграл от произведения функций не был равен нулю, было сформулировано в гл. 4, Для колебательных переходов это условие можно записать в виде [c.236]

При обсуждении электронного строения атомов понадобится также важный интеграл от произведения трех сферических функций, который выражают через коэффициенты Клебша — Гордана по формуле [c.27]

Дельта-функция Дирака равна нулю при всех значениях Г, кроме при котором она стремится к бесконечности. Интеграл этой функции по времени (ее площадь) равен единице, а интеграл произведения дельта-функции на другую функцию равен значению последней в момент времени [c.280]

Преобразуем выражение (П. 125), заменив интеграл произведения двух функций на произведение среднего значения одной на интеграл другой. Тогда можно представить решение исходного уравнения в виде [c.118]

Условие ортогональности выражено формулой (1.8). Значит, нужно построить интеграл из произведений функции ехр Нкц>) и [ехр (П )] = ехр (—Иц>) и проинтегрировать по ф в пределах от О до 2я. В результате должен получиться нуль. [c.49]

При вычислении энергии взаимодействия электронов, описываемых одноэлектронными функциями, из всех я перестановок, образующих антисимметричную функцию (6.16), остаются лишь транспозиции, и интеграл ко всем переменным от произведения функций, отличающихся перестановкой электронов в состояниях р м д, дает сразу формулу Дирака [c.416]

Отметим, что расчет результатов измерения при использовании самопишущих потенциометров довольно трудоемок (необходимо взять интеграл произведения двух переменных функций). [c.161]

Таким образом, второй член разложения равен произведению функции распространения N — 2 свободных частиц на интеграл (11.1.26). Изобразим интеграл (II. 1.26) в виде двух вертикальных линий, соединенных горизонтальной волнистой линией (рис. 2). На этой диаграмме отрезки [c.245]

Интеграл в равенстве (2.19) представляет изменение плотности частиц /-го компонента в контрольном объеме, происходящее в результате их столкновений с частицами /-Г0 компонента и отклонения вследствие этого частиц 1-го компонента внутрь или за пределы этого объема. Произведение функций распределения частиц г-го и /-Г0 компонентов, вычисленное в точке с радиусом-вектором г, дает наиболее вероятное число,таких частиц в контрольном объеме фазового пространства. Таким образом, постановка задачи завершена. Однако при этом возникла сложная проблема решения уравнения (2.18) для функции распределения [c.28]

Процедура, с помощью которой можно будет отделить одночастичную функцию распределения от многочастичной, заключается в том, чтобы найти такой параметр малости, который позволит разорвать цепочку уравнений и затем разложить эту функцию распределения в ряд по степеням этого малого параметра, так что низшая степень разложения соответствует расщепленным функциям распределения. Процедура разложения по малому параметру будет неоднократно использована в книге, поэтому она подробно рассмотрена ниже. Здесь же отметим что если увеличивать до бесконечности число частиц, но оставить е п постоянным, то четвертый член в (1.90) исчезает, в то время как пятый член (1.91) остается конечным. На первый взгляд кажется, что это мало даст, так как уравнения зацепляются через пятый член. Отметим, однако, что эта процедура физически означает, что эффекты, вызванные столкновениями индивидуальных частиц, становятся незначительными, в то время как силы взаимодействия между частицами представимы в виде интеграла по функции распределения. Поэтому можно ожидать что с точностью до первого члена в разложении некоторой величины, связанной с е п, (я + 1)-частичная функция распределения может быть разбита на произведение -частичной функции распределения и одночастичной функции распределения, которая описывает все другие частицы, каждая из которых идентична с (5 + 1)-частицей. Явный вид параметра разложения сейчас не важен, но, для того чтобы быть последовательными, нужно выбрать некоторый масштаб времени и длины,, по которым будет проводиться разложение. Можно показать, что если нормировать время на 1/о)р и расстояние на Яд, то первые три члена и пятый член — нулевого порядка, а четвертый член — первого порядка малости при разложении в ряд по безразмерному параметру 1/а [c.42]

Определенный интеграл — предел суммы однотипно построенных произведений /( ,)Ад ,-, где f( )—значение функции в точке лежащей на отрезке Ах, при всех Ах - 0 (рис. I) а и Ь — нижний и верхний пределы интегрирования. [c.313]

Важное свойство собственных функций уравнения Шредингера, относящихся к различным собственным значениям, — их взаимная ортогональность интеграл по всему пространству от произведения любой пары собственных функций равен нулю [c.14]

Прежде чем приступать к определению коэффициентов dn(p) в соответствии с указанной схемой, докажем одно важное свойство системы функции sin п=1, 2,. .. Вычислим интеграл от произведения двух таких функций при разных значениях п n — k]in = i. [c.210]

Методы преобразования статистического интеграла основаны на следующем общем его свойстве если функция Гамильтона есть сумма независимых слагаемых, то статистический интеграл можно записать как произведение соответствующего числа независимых сомножителей. Этим свойством функции Z мы неоднократно пользовались. [c.287]

Для количественного расчета величины 8 требуется задать потенциал парного взаимодействия молекул. В некоторых случаях, в частности в случае потенциала (6—12), интеграл (XI.57) может быть взят в аналитическом виде. Разработаны стандартные методы расчета второго вириального коэффициента веществ, взаимодействие в которых описывается потенциалом Леннард-Джонса. Эти методы основаны на использовании приведенных величин. Потенциал Леннард-Джонса (и некоторые другие потенциалы) может быть записан в виде произведения энергетической константы е (глубина потенциальной ямы) на функцию безразмерного аргумента х = ria, зависящего от расстояния [см. формулу (Х.28)] [c.306]

Чтобы связать коэффициенты а с- топологией графа, изобразим ее элементарный представитель и зададим произвольным образом ориентацию его ребер (рис. III.13). Поскольку функция А (г) четная, то разность Г — Гр в показателе экспоненты (III.91) можно записать таким образом, чтобы номер i обозначал вершину, из которой выходит а-е ребро орграфа, а р — в которое оно входит. Тогда Ьга оказываются в точности равными элементам матрицы инциденций В орграфа, а аргумент б-функции (III.92) представляет собой умноженное на взятую со знаком минус мнимую единицу скалярное произведение г-й строки матрицы на вектор, составленный из импульсов Q = (qi, qa,. . qn). Одна из строк матрицы В является линейной комбинацией остальных, поэтому после (у—1) интегрирований, приводящих к появлению б-функций [92], в последнем интеграле аргумент окажется нулем и такой интеграл будет равным объему V. Таким образом, из и импульсов независимых останется только г, и интегрирование в их пространстве проводится по (Зг)-мерной поверхности S r, t), задаваемой топологией графа через его матрицу инциденций В матричным уравнением [c.237]

Прямое произведение представлений. Очень часто в прикладных задачах встречаются выражения, которые содержат произведения функций, преобразующихся по тем или иным представлениям точечных групп. В частности, в 2 и 3 предшествующей главы уже встречались интегралы вида <ф /) ф>, в которых как функции и ф, так и оператор дипольного момента могут преобразовываться по различным неприводимым представлениям. Возникает естественный вопрос, по какому представлению в этих случаях будет преобразовываться подынтегральное выражение и как специфика получаемых преобразований будет отражаться на величине указанного интеграла. [c.206]

Из приведенного примера видно, что различные орбитали симметрии для одной группы эквивалентных АО или ГАО отличаются тем свойством, что, если взять любую пару из них, то обязательно наДцется хотя бы один такой элемент симметрии, относительно которого одна МОС из пары будет симметричной, а вторая — антисимметричной Такой элемент симметрии делит все пространство задания функций на две симметричные части, в которых произведения функций равны н различаются лишь знаком Поэтому для таких функций интеграл взятый по всему пространству, должен быть равен нулю Будут равны нулю также и интегралы типа [c.269]

Разные свойства синглетного и триплетного состояний количественно определяются значениями обменного интеграла А. Из вида этого интеграла (130,12) непосредственно следует, что его подынтегральное выражение отлично от нуля только в тех точках пространства, где произведение функций Фа(1) Фв(1) и 1 а(2) )в(2) отлично от нуля, т. е. в области перекрывания электронных волновых функций обоих атомов. Поскольку значения волновых функций экспоненциально убывают на больших расстояниях, то на больших расстояниях значение А экс-ионенциальио уменьшается с расстоянием. [c.624]

Как и следует из общей теории (см. разд. 1.3), атомные орбитали, принадлежащие разным энергетнчески.м уровням, ортогональны. Так, ортогональность 5- н /-функций неносредственно видна из рис. 1.2, поскольку произведение, скажем, 5 принимает положительные значения при г >0 и такие же по моду.лю, но отрицательные значения при 2 < О, в результате чего интеграл от произведения функций обращается в нуль. (Ортогональность функций с разными п и одинаковыми /, например 15- и 25-АО. из рисунка, конечно, не видна для ее доказательства надо принять во внимание радиальную зависимость АО.) [c.17]

Таким образом, величина 2у конф представится как сумма всех возможных членов вида . .. dru, которые можно записать для системы из N пронумерованных частиц. Чтобы точно вы-чйслить конфигурационный интеграл, требуется определить все члены разложения (XI.25). Существенно, однако, следующее. Так как при больших значениях rjy то произведение / у. .. f f не равно нулю только при таких конфигурациях, когда расстояния Г , г 1,. .., одновременно малы, т. е. имеется одновременное взаимодействие пар t—/, K—i,. ... s—t (если хотя бы одна пара из тех, что указаны в произведении функций / у fxl fst> не взаимодействует, то произведение равно нулю). Поскольку для не очень плотного газа вероятность одновременного взаимодействия многих молекул мала, то разложение Zyv конф по величинам J. ..J / - fs dti. .. drs быстро сходится. [c.329]

Интеграл (3.45) может быть вычислен графически при условии, что реактор работает при одной температуре. Для этого каждое измеренное значение / умножается на величину 1 — е при одинаковом значении Л Такие произведения затем наносят на график в функции от 1 и находят площадь под кривой, ограниченной = оо или тем значением /, при котором подынтегральное ьыражение является еще существенной величиной. [c.102]

Покажем, что линейно независимые детерминантные функции, построенные из функций ортонормированной системы Фр , являются орто-нормированными. Рассмотрим интеграл от произведения детерминант-ных функций ZJpj рд, и построенных из спин-орбиталей [c.57]

Здесь принято x— f вынесена за знак интеграла как величина, не зависящая от точки А, а 1гавти 1г как медленно меняющаяся функция. Выражение (1.55) является произведением двух функций, одна из которых зависит только от расстояния, а другая — только от углов наблюдения Qy и 0г, что подтверждает возможность представления поля в виде диаграммы направленности. Ее ампли- [c.80]

Преимущество такой замены заключается в том, что произведение любых двух гауссовских функций с центрами на атомах а и Ь представляет собой новую гауссовскую функцию с центром в некоторой точке с. В связи с этим вычисление четырехцентрового интеграла по гауссовским функциям (СаСь (7,Су) сводится к вычислению двухцентрового 1интеграла, который вычисляется значительно проще. Основной недостаток гауссовских функций в том, что они плохо отражают поведение хартри-фоковских АО. Для аппроксимации АО Хартри—Фока с достаточной точностью необходимо брать большее число гауссовских АО, чем слэтеровских. [c.119]

Преимущество такой замены заключается в том, что произведение любых двух гауссовских функций с центрами на атомах а и Ь представляет собой новую гауссовскую функцию с центром в некоторой точке с. В связи с этим вычисление четырехцентрового интеграла по гауссовским функциям (GaGb GeGf) сводится к вычислению двухцентрового (G lGd) интеграла, который вычисляется значительно проще. Основной недостаток гауссовских функций в том, что они плохо отражают поведение хартри-фоковских АО. Для аппроксимации АО Хартри — Фока с достаточной точностью необходимо брать большее число гауссовских АО, чем слэтеровских. Например, в так называемом базисе STO—3G каждая слэтеров- ская АО аппроксимируется тремя гауссовыми с коэффициентами разложения, подбираемыми по методу наименьших квадратов. Лучший способ подбора состоит не в приближении к слэтеровским АО, а в поиске функций исходя из минимума полной энергии соответствующего атома. Это позволяет сократить размеры гауссовского набора до приемлемых размеров. [c.107]

В последнем члене выражения (15) безразлично, подставить ли V или У, так как здесь стоит произведение двух членов волновой функции и электрон 1 частично находится у адра а, а частично у ядра Ь. Однако это безразлично, так как последний интеграл (15) не меняется при замене V на V. Чтобы убедиться в этом, заметим, что от замены обозначений переменных интегрирований величина интеграла не меняется. Если мы поменяем обозначения электронов 1 - 2 и 2 1, то произведение (1) ijJa (2) (1) ь (2) не меняется, а V переходит а V. Подобным же образом заметим, что два первых интеграла равны друг другу. [c.36]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология