Формула энергии гармонического осциллятора

Точная формула для энергии гармонического осциллятора оказывается несколько отличной от уравнения (ХП.4), а именно [c.220]

Согласно классической теории, колебательная энергия молекулы может принимать любые значения. Квантовая теория позволяет точно решить уравнение Шредингера для гармонического осциллятора, используя уравнение потенциальной энергии в форме (5.93). Энергия гармонического осциллятора квантована и определяется простой формулой [c.88]

Согласно классической теории колебательная энергия молекулы может принимать любые значения, т. е. молекула может находиться в любой точке кривой (2.23). Квантовая теория приводит к принципиально иному выводу. Как вытекает из результатов решения уравнения Шредингера с использованием потенциальной функции в форме (2.23), энергия гармонического осциллятора квантована и определяется следующей простой формулой [c.47]

В гармоническом приближении, как следует из общей механической теории колебаний, колебательное движение системы, имеющей Ркол степеней свободы, может быть представлено как наложение нормальных колебаний (см. гл. IX, 11). Совокупность ЗЫ связанных осцилляторов можно формально описать как совокупность ЗЛ/ независимых одномерных гармонических осцилляторов, так что для энергии будут справедливы выражения (IX. 168) в классическом приближении и выражение (IX. 169) в квантовом случае (число степеней свободы следует приравнять ЗК). В формулы входят ЗЫ величин V I = = 1,. .., ЗМ), собственных частот (частоты абстрактных линейных осцилляторов, с помощью которых мы описываем действительное движение атомов в системе). Формулы для статистической суммы и средней энергии одномерного гармонического осциллятора были получены ранее [формулы (IX. 107) и (IX. 110)]. Колебательная статистическая сумма кристалла, если включить в нее сомножитель, связанный с нулевой энергией колебаний, запишется в виде [c.320]

Двухатомная молекула имеет три степени свободы поступательного движения, две вращательные и одну колебательную степени свободы. Вращательное и колебательное движения, строго говоря, связаны при колебании ядер момент инерции молекулы / == изменяется. В первом приближении, однако, оба движения можно считать независимыми. Описывая вращение как движение жесткого ротатора и считая колебания гармоническими, получаем модель жесткий ротатор — гармонический осциллятор. Эта модель удовлетворительно описывает двухатомные молекулы при сравнительно невысоких температурах, если колебания ядер происходят с небольшими амплитудами. В рассматриваемом приближении уровни энергии двухатомной молекулы передаются следующим выражением [см. формулы (11.5)- П.7)] [c.109]

Вычислим сумму по состояниям и термодинамические свойства для одноатомного твердого тела. Атомы (ядра) кристаллической решетки твердого тела образуют локализованную систему, и можно вычислить сумму по состояниям Z с помощью суммы по состояниям Q частицы без учета требований симметрии. Каждый атом данной решетки имеет три степени свободы, причем колебания в каждом из трех направлений можно считать равноправными. Поэтому естественно рассмотреть сначала систему из N одномерных гармонических осцилляторов. Такая система представляет интерес не только для вычисления термодинамических свойств одноатомного твердого тела, но также и для вычисления вклада, обусловленного колебаниями ядер в молекулах, в термодинамические свойства газа. Уровни энергии гармонического осциллятора определяются формулой (см. табл. 1) [c.302]

Упражнение. Физик разложил бы у (х) по нормальным модам и зная, что средняя потенциальная энергия гармонического осциллятора равна применил формулу (3.5.6). Выведите таким путем формулу (3.5.5). Упражнение. В выражении (3.5.6) замените множитель 1/Р на распределение Планка и найдите таким способом квантово-механический аналог формулы (3.5.5). [c.73]

Внутреннее состояние двухатомной молекулы определено, если задано состояние ее электронной оболочки, а также характеристики вращательного движения молекулы как целого и колебательного движения ядер. Вращение и колебания в первом приближении считают не зависящими от электронного состояния молекулы. Простейшей моделью при описании вращательного и колебательного движений двухатомной молекулы является модель жесткий ротатор — гармонический осциллятор, согласно которой независимо рассматриваются вращение молекулы как жесткого ротатора и колебания ядер по гармоническому закону. Классическое описание этой модели см. гл. IV., 5. Запишем в том же приближении выражение для энергии двухатомной молекулы, используя квантовомеханические формулы (VII. 19), (VII.20) и (УП.22) [c.215]

Первый интеграл равен единице. Применяя рекуррентные формулы для гармонического осциллятора [формула (4.99)], находим, что второй интеграл равен нулю, а третий равен — Ч энергия возмущения в первом [c.361]

Для квантового гармонического осциллятора справедливы формулы (11.84). Колебательная энергия кристалла в целом представится в виде суммы средних энергий ЗМ нормальных осцилляторов [c.184]

Формула (IX. 166) определяет зависимость смещения от времени для линейного гармонического осциллятора выражения и Ек = (6/с/2) к — соответственно потенциальная и кинетическая энергии линейного осциллятора. Таким образом, колебания системы согласно (IX. 166)—(IX. 168) описываются как движение совокупности г независимых линейных осцилляторов. Следует помнить однако, что каждое нормальное колебание в многоатомной молекуле, описывает сложное движение, в котором участвуют несколько атомов. [c.242]

В новой записи исчезают смешанные произведения второй степени, что в гармоническом приближении позволяет ввести понятие нормальных колебаний. Однако остальная часть формулы остается неизменной. Сохранение смешанных членов третьей, четвертой н более высоких степеней говорит о том, что полная энергия Н = = Т - - и (Т — кинетическая энергия) не может быть точно разделена на части, каждая из которых зависит только от одной координаты. Иными словами, при наличии неквадратичных членов в разложении энергии последняя не может быть представлена как сумма энергий несвязанных осцилляторов, даже ангармонических. [c.20]

Квантово-химический расчет колебательной составляющей теплоемкости основан на модели гармонического осциллятора, колеблющегося с частотой v и для энергии которого А. Эйнштейн предложил формулу [c.333]

Таким образом, теория Дебая рассматривает сложное движение центров масс связанных между собой N элементов решетки. Это сложное движение (колебания решетки) предполагается эквивалентным движению ЗЫ независимых одномерных гармонических осцилляторов. Координаты этих гармонических осцилляторов называются нормальными координатами, а их колебания называются нормальными колебаниями. Внутренняя энергия и теплоемкость твердого тела состоят из аддитивных вкладов отдельных нормальных колебаний. Для расчета теплоемкости (вывода формулы, описывающей зависимость теплоемкости от температуры) необходимо знать частотный спектр нормальных колебаний. Частотный спектр нормальных колебаний может быть рассчитан теоретически путем использования так называемого секулярного уравнения. В случае простой решетки решение секулярного уравнения содержит три частотных (акустических) ветви, которые соответствуют трем возможным независимым ориентациям вектора поляризации волн решетки, т. е. трем типам упругих волн, возбужденных в решетке (двум поперечным и одной продольной). Простота формулы Дебая и является следствием ряда упрощений, сделанных при ее выводе. [c.112]

Как будет показано в гл. IV, при точном решении уравнения Шредингера энергия стационарных состояний гармонического осциллятора выражается формулой (23,14) для всех значений п. [c.101]

Одной из моделей, используемых для расчета многоквантовых переходов между колебательно-возбужденными состояниями, является модель гармонического осциллятора. По сравнению с ранее рассмотренной моделью Ландау — Теллера в эту модель внесен ряд поправок. В частности, Мей-хан [1187] предложил приближенную теорию, в рамках которой энергия переданная осциллятору ВС при линейном столкновении с атомом А, выражается следующей формулой [c.170]

Согласно разделу 5 гл. XIV, колебательная энергия многоатомной молекулы, в приближении, соответствующем тому, что молекула рассматривается как собрание гармонических осцилляторов, дается формулой [c.392]

Для того чтобы описать весь экспериментальный спектр излучения абсолютно черного тела, была предложена эмпирическая формула, соответствующая опытным данным от X —> О до X оо, из которой при определенных значениях коэффициентов можно получить уравнение Вина, а также уравнение Рэлея—Джинса. Макс Планк не собирался искать эмпирическое уравнение, когда он пришел к возможно наиболее революционной гипотезе нашей эпохи 1]. Так же как и Вин, Планк имел возможность выбрать любой подходящий тип излучателя энергии. Это должна была быть система, способная испускать и поглощать излучение и одной из простейших для расчета оказалась система простых гармонических осцилляторов. В соответствии с классической теорией, осциллятор должен получать и излучать энергию непрерывно. Но для того чтобы найти формулу, которая согласовывалась бы с эксперимен-2 19 [c.19]

В работах [399, 400, 422] показано, что в случаях, когда барьер торможения свободного вращения молекул сравним с величиной кТ или больше ее, для расчета разности энергии либраций изотопных молекул применимо приближение гармонического осциллятора. На этом основании в работе [399] разность энергии либраций ВаО и НаО в жидкой фазе Д вычислена по формуле [c.114]

Первое слагаемое в формуле (2.4) описывает потенциальную энергию идеального кристалла без учета энергии колебаний второе — изобарный потенциал системы ЗЫь гармонических осцилляторов, соответствующих тепловым колебаниям N атомов. [c.60]

Формула (XI.10) следует из решения соответствующего квантово-механического уравнения (см. гл. V) при использовании выражения потенциальной энергии в виде (XI.9), когда находят набор энергетических уровней крутильного гармонического осциллятора [c.240]

Принимаем, далее, как и раньше, наиболее простую модель молекулы с S слабо связанными гармоническими осцилляторами, так что энергия может самопроизвольно переходить от одного к другому. Осцилляторы квантованы и все имеют одинаковую частоту v. Число молекул в состоянии / дается уже известной формулой (7.31) [c.169]

Эти формулы, как и вся теория Слейтера, основаны на представлении о молекуле, как совокупности простых гармонических осцилляторов, а также на условии (7.44) активированного состояния молекулы. Как выясняется, и для молекулы с энергией, большей во, но распределенной не так, чтобы удовлетворять условию (7.44), если она представлена самой себе на длительное времй, имеется некоторый шанс прореагировать. Конечно, реакция может осуществиться, если запрет перехода энергии от одного вида колебания к другому не так абсолютен, как этого требует строго гармоническая модель. Ведь на самом деле колебания в молекуле не являются строго гармоническими, так что некоторая миграция энергии будет иметь место. Однако еще не найден метод расчета возможной скорости такого рода миграции. Все же имеется возможность очень приближенной оценки влияния, так сказать, полностью свободной миграции на скорость, предсказываемую для низкого давления. Впрочем, следует отметить, что рассчитываемая таким образом скорость совпадает с полученной из теории Касселя. Согласно последней, как уже известно, реагируют все молекулы, обладающие избытком энергии над о и представленные самим себе на достаточно долгое время. В качестве примера оценки упомянутого влияния для молекулы, в которой все ц одинаковы, а Ь =во/кТ = 40, Слейтер дает следующие значения к/ш =Л е [c.182]

На рис. 104 показана зависимость потенциальной энергии гармонического осциллятора от расстояния и уровни его полной энергии, вытекающие из формулы (VII.10). Отметим, что гармонический осциллятор не может име1 ь энергии, равной нулю. Самое низкое значение, равное /гv/2, получается при у = 0. [c.198]

Воспользуемся известной квантовостатистической формулой для энергии гармонического осциллятора [c.97]

Рассмотрим в рамках этих предположений колебате.тьную релаксацию смеси двухатомных газов (молекулы А и В) в тепловом резервуаре инертного одноатомного гааа М. Релаксационные кинетические уравнения строятся по общим формулам (8.28) с учетом VI- и резонансных и квазирезопапспых межмолекулярных УУ-процессов. Если предположить, что молекулы можно моделировать гармоническими осцилляторами, то обмен колебательной энергии нри столкновениях А + А и В + В носит чисто резонансный характер. Поэтому, вообще говоря, в системе имеется три различных процесса — резонансный У7-обмен (столкновения Ас А и В с В), квазирезонансный обмен (столкновепия А с В) и УТ -релаксация (столкновения А с А, В, М и В с А, В, М). Соответственно этому имеется три характеристических времени [c.96]

Колебательные спектры свойственны только двух- и многоатомным частицам. Частица, состоящая из п атомов, имеет Зп—б колебательных степеней свободы (Зп—5 для двухатомных и линейных многоатомных частиц, т. е. частиц, у которых все атомы расположены на одной прямой). Колебания разделяются иа валентные, которые искажают длины связей, и деформационные, которые искажают углы между связями. Валентные колебания характеризуются большими частотами ио сравнению с деформационными. Каждому колебанию соответствует набор колебательных состояний, энергия которых в первом приближении (ирибЛижение гармонического осциллятора) описывается формулой [c.37]

Часто удобно использовать математическое выражение для кривой потенциальной энергии молекулы. Функция Морзе уже была приведена в разд. 14.4. Она имеет правильную общую форму и может быть использована для получения гораздо лучшего выражения для уровней колебательной энергии молекулы, чем простое приближение гармонического осциллятора. Если формулу Морзе [уравнение (14.37)] подставить в уравнение Шредингера, то получится следующее выражение для нескольких первых колебательных зфовней энергии [c.465]

Поскольку оператор Гамильтона (133,2) распадается на сумму операторов Гамильтона гармонических осцилляторов с частотами то полная энергия колебаний молекулы будет зависеть от набора квантовых чисел V, = V], У2,. .. с помощьео формулы [c.645]

Из формулы для значения термов видно, что уровни энергии здесь не будут равноотстоящими, как в гармоническом осцилляторе. Расстояние между ними медленно уменьщается с увеличением колебательного квантового числа V, что хорошо согласуется с опытными данными. [c.75]

Эти особенности распределения энергии ангармонического осциллятора приводят к некоторому изменению формулы (1), но численные значения константы скорости диссоциации остаются лочти такими же, как и в гармоническом приближении. Зависимость отношений k k T) и T T от О ВТ при нескольких значениях параметра Р = Но)дП 1В приведена на рис. 1. [c.62]

Дальнейшее решение задачи может быть проведено по методам теории возмущений, аналогично тому, как это было выполнено выше для двухатомной молекулы. При этом члены третьего и четвертого порядков рассматриваются как возмущение . Решение невозмущенной задачи дает совокупность гармонических частот йj и собственных функций гармонических осцилляторов 11)г, соответствующих нормальным колебаниям Qi (/ = 1, 2,. .., п). Решение этой задачи подробно рассмотрено в 7 и 10. Полная волновая функция невозмущенной системы представляет собой произведение собственных функций отдельных нормальных колебаний (см. (7.2)). При помощи этой функции могут быть найдены поправки первого и второго приближения к невозмущенной энергии в соответствии с формулами (15,8) (15.9). Поправка первого приближения, обусловленная кубическими членами, равна нулю, так как в произведение Q QjQk по крайней мере одна нормальная координата входит в нечетной степени. Поправки второго приближения для кубических членов и первого приближе ния для членов четвертой степени имеют одинаковьп-порядок величины. С учетом этих поправок для колеба тельной энергии получается выражение (см. [83]) [c.286]

Для того чтобы описать весь экспериментальный спектр излучения абсолютно черного тела, была предложена эмпирическая формула, соответствующая опытным данным от >0 до Х- оо, из которой при определенных значениях коэффициентов можно получить уравнение Вина, а также уравнение Рэлея—Джинса. Макс Планк не собирался искать эмпирическое уравнение, когда он пришел к возможно наиболее революционной гипотезе нашей эпохи . Так же как и Вин, Планк имел возможность выбрать любой подходящий тип излучателя энергии. Это должна быть система, способная испускать и поглощать излучение и одним из-простейших для расчета типов такой систехмы является система простых гармонических осцилляторов. В соответствии с классической теорией, осциллятор должен получать и излучать энергию непрерывно. Но для того чтобы найти формулу, которая согласовывалась бы с экспериментально найденным спектром абсолютно черного излучателя, Планк предположил, что такой осциллятор должен получать энергию не непрерывно, как этого требовала классическая теория, а дискретными порциями. Эти порции должны быть кратными фундаментальной энергетической единице ео, т. е. О, Ео, 2ео, Зео,. .., neo. [c.20]

Вместе с параболической функцией гармонического осциллятора эта функция показана на рис. VIII.1. Система уровней энергий реально является сходящейся к диссо-ционному пределу, а не системой равноотстоящих уровней, согласно формуле (VIII.4), получающейся в гармоническом приближении. [c.174]

Принимаем, далее, как и ранее, наиболее простую модель молекулы с 5 слабо связанными гармоническим осцилляторами, так что энергия может самопроизвольно переходить от одного к другому. Осцилляторы квантованы и все имеют одинаковую частоту V. Число молекул в состоянии / дается уже известной формулой (УП.ЗО). Следующий шаг в расчетах состоит в определении частных значений гюнстант скорости к,. Наиболее просто допустить, что 5 —О при <т и з = 1=сопз1 при т, причем тН представляет собой энергию, необходимую для реакции (например, энергию разрыва связи). Тогда предельное значение константы скорости мономолекулярной реакции выразится соотношением [c.160]

Гиншельвуд первцм обратил внимание на необходимость учета внутренних степеней свободы молекулы, претерпевающей мономолекулярный распад. В его теории и еще более отчетливо во всех последующих теориях учитываются колебательные составляющие внутренней энергии молекулы. Молекула рассматривается как совокупность 5 осцилляторов . Для получения формулы, применимой для расчета скорости мономолекулярной реакции, необходимо вычислить долю молекул, у которых на 5 осцилляторах энергия имеет значения, лежащие в интервале от е до е + е. Полная сумма состояния для одного гармонического осциллятора имеет вид [c.180]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология