Гармонический осциллятор в квантовой механике

Рис. 7. Гармонический осциллятор а — сопоставление состояний осциллятора в квантовой и классич. механике (согласование 11)-функции внутри потенциальной ямы и вне ее возможно только для функции, изображенной сплошной линией, но невозможно для 11з-функции, изображенной пунктиром) б — ход 111 при малых (п = 0,1,2) и больших (п = 10) квантовых числах. Штриховые линии изображают распределение вероятностей (р) обнаружения классической частицы в разных точках ж в состояниях с такой же энергией.

Молекулярная система не может иметь непрерывный спектр энергетических состояний, а может занимать только определенные (дискретные) квантованные энергетические уровни. В частности, колебательную энергию молекулы, являющейся простым гармоническим осциллятором, описывают в квантовой механике уравнением [c.164]

Для квантовомеханической системы, заключенной в конечном объеме, доступен дискретный набор состояний, и можно говорить о числе квантовых состояний AI2 в заданном интервале значений энергии или других физических параметров. Для гармонического осциллятора, например, квантовая механика допускает изменения энергии, лишь кратные величине hv. В квазиклассическом вариа нте это соответствует тому, что фазовые траектории осциллятора (эллипсы на рис. 6) располагаются дискретным образом, причём площадь между соседними эллипсами равна, в согласии с соотношением (П.46), величине h. Эту площадь можно считать элементарной ячейкой, отвечающей в фазовом пространстве осциллятора одному квантовому состоянию. Для AQ квантовых состояний выделится площадь (фазовый объем) Ау = AQ/г. Аналогичные соотношения получаются и для других видов движения (см. гл. VH, 3). В общем виде связь между числом квантовых состояний AQ и соответствующим фазовым объемом Ау в х-пространстве определится квазиклассическим приближением следующим образом [c.41]

Классическая механика, действительно, оперирует со средними значениями квантовой механики, и при больших квантовых числах квантовые законы приближаются к классическим. Однако это достигается введением определенных ограничений или запретов (правила отбора). Так, гармонический осциллятор (электрон) согласно квантовым представлениям может находиться в различных дискретных состояниях и испускать определенный набор волн с различными частотами. Допустим, что квантовые числа осциллятора возрастают— соответственно уменьшается интервал между уровнями если наложить ограничение на переходы, потребовав, чтобы разрешенными были только переходы между соседними уровнями, то при больших квантовых числах осциллятор будет испускать излучение лишь одной частоты, т. е. будет вести себя как классический осциллятор. Поэтому правила отбора по существу представляют собой мост между классической и квантовой механикой. [c.50]

Точное решение стационарного уравнения Шредингера (1-27) возможно только для простейших систем (атом водорода, молекулярный ион водорода, гармонический осциллятор и т. д.). Большинство задач квантовой химии и механики решается с помощью приближенных методов. Наиболее важными подходами к получению приближенных решений являются вариационный метод и теория возмущений. Вариационный метод основывается на следующей [c.17]

Будем считать, что молекула состоит из независимых гармонических осцилляторов. Из квантовой механики известно, что [c.508]

ХУ-29. Простой гармонический осциллятор описывается в квантовой механике дифференциальным уравнением [c.161]

Рассматривая гармонический осциллятор в рамках старой квантовой механики, мы уже убедились, что его энергия может иметь лишь квантованные значения. Волновая механика в применении к гармоническому осциллятору приводит к аналогичным выводам, но с некоторым характерным отличием . [c.62]

Обобщение. Полученные результаты используются в квантовой механике [11] и в квантовой химии [7, с. 84], когда рассматривается задача о линейном гармоническом осцилляторе. Там эта задача решается с помощью уравнения Шредингера, в котором потенциальная энергия полагается равной и = - х . При [c.81]

Одним из выражений квантовых законов, как указывалось, является дискретность уровней энергии. Рассмотрим в качестве примера гармоническое колебание осциллятора. Энергия классического гармонического осциллятора может непрерывно изменяться. Эта энергия равна (наибольшее значение потенциальной энергии при х=А). Упругая постоянная у—величина постоянная для данного осциллятора, а амплитуда А может изменяться непрерывно. Из данной выше формулировки квантовой механики, утверждающей дискретность фазового пространства и устанавливающей величину фазовой ячейки, следует, что [c.295]

Волновые функции, приведенные выше, являются нормированными. Вероятность того, что координата х гармонического осциллятора находится в области между х и х- -йх, определяется выражением ф йiд , поскольку волновые функции действительны. Если рассматривается большое число идентично построенных систем, то их часть, имеющая координату между X п X йх, равна этой вероятности. Плотность вероятности г з в зависимости от х для первых трех уровней энергии представлена на рис. 12.7, в. В основном состоянии (у = 0) наиболее вероятное межъядерное расстояние соответствует положению минимума в потенциальной яме. Это противоречит случаю классического гармонического осциллятора, который большую часть времени должен находиться в точках поворота. Однако при увеличении квантового числа квантовомеханическая функция плотности вероятности приближается к соответствующей функции для классического гармонического осциллятора. Это представляет собой пример действия принципа соответствия (разд. 12.13), согласно которому квантовомеханический результат для бесконечного квантового числа в пределе должен приближаться к классическому результату. При возрастании квантового числа область, для которой значительна вероятность нахождения частицы, увеличивается, что аналогично увеличению амплитуды колебания классического гармонического осциллятора при более высокой энергии. Можно удостовериться в том, что при увеличении квантового числа функция плотности вероятности приближается к функции, предсказываемой классической механикой. [c.382]

Ниже мы не будем рассматривать общие конструкции со специальными функциями, а лишь познакомимся с некоторыми частными случаями таких функций и их свойствами на примерах конкретных задач о гармоническом осцилляторе и атоме водорода. И прежде чем переходить к задаче о гармоническом осцилляторе подчеркнем лишний раз, что решения большинства задач квантовой механики, в том числе и одномерных, все же ищутся либо численно, либо в рамках тех или иных приближенных подходов. [c.71]

Теперь мы рассмотрим решения уравнения Шредингера для четырех простых систем 1) частица в ящике, 2) гармонический осциллятор, 3) жесткий ротатор и 4) атом водорода. Эти примеры показывают, насколько предсказания квантовой механики отличаются от результатов классической механики. [c.375]

Квантовомеханическое рассмотрение гармонического осциллятора необходимо для описания колебаний молекул. Чтобы облегчить решение данной задачи, сначала рассмотрим гармонический осциллятор с точки зрения классической механики, а затем с точки зрения квантовой механики. В гармоническом осцилляторе сила, стремящаяся возвратить частицу в ее равновесное положение, прямо пропорциональна смещению из равновесного положения. Следовательно, [c.379]

Уровни энергии находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, как это показано на рис. 12.7,6, где представлены также волновые функции. Таким образом, квантовомеханическое рассмотрение гармонического осциллятора приводит к результатам, отличающимся от классического подхода. В соответствии с классической механикой осциллятор может обладать любой энергией, а, согласно квантовой механики, [c.381]

Найдем, чему равна вероятность для одной молекулы иметь внутреннюю энергию свыше некоторого значения Чтобы найти выражение для энергии внутренних колебаний, будем считать, что каждому внутреннему колебанию отвечает линейный гармонический осциллятор с характеристической частотой V. Колебательная энергия линейного гармонического осциллятора, согласно квантовой механике, равна [c.288]

Колебательная энергия, как и вращательная, квантована. Это означает, что осциллятор может находиться только в определенных энергетических состояниях. На низшем уровне молекула не покоится, а колеблется с некоторой частотой около положения равновесия. В квантовой механике энергия гармонического осциллятора выражается как [c.141]

Согласно квантовой механике, энергетические уровни гармонического осциллятора определяются выражением е=(п- -l/2)hv (51) [c.163]

Определим стационарные состояния гармонического осциллятора мегодами квантовой механики. Заменяя в (26,2) классические величины соответствующими операторами в координатном представлении, получим уравнение Шредингера [c.120]

Здесь использованы такие же обозначения, как и в случае жесткого ротатора. С учетом (3.885) видно, что функция R(r), являющаяся решением уравнения (3.876), должна зависеть от квантового числа /. Заглянув в любой учебник по квантовой механике, читатель сможет убедиться, что решение уравнения (3.876) аналогично решению дифференциального уравнения для гармонического осциллятора (см. разд. 3.3.3). Так же как и в случае уравнения (3.57), окончательное решение отыскивается в виде произведения приближенного решения и степенного ряда. Требование квадратичной интегрируемости волновой функции (т. е. возможности ее нормировки) приводит к введению еще одного целочисленного (положительного) квантового числа [аналогично уравнению (3.73)]. В качестве окончательного решения уравнения для радиальной части волновой функции получается функция Яп,1(г) (см. табл. 3.1 и 3.3), [c.38]

Планк преодолел эту трудность лишь путем отказа от представлений классической механики. Чтобы упростить задачу, он предположил, что черное тело состоит из гармонических осцилляторов, т. е. маленьких заряженных Частиц, колеблющихся около своих положений равновесия благодаря силам, следующим закону Гука. Согласно классической теории, такие осцилляторы испускают или поглощают излучение, частота которого отвечает их собственной частоте, причем испускание или поглощение происходит непрерывно. Согласно же квантовой теории Планка, это поглощение или [c.9]

Это свойство оператора находит свое строгое обоснование в курсе квантовой механики, однако в нашем случае оно очевидным образом вытекает из записи (6.9). Действительно, уровни энергии гармонического осциллятора с частотой со известны [c.121]

Возмущение колебаний, обусловленное потенциалом кристаллического поля, может рассматриваться с помощью классической или квантовой механики. Так как уровни энергии гармонического осциллятора при квантовомеханическом решении задачи получаются на расстоянии, совпадающем с классической частотой, то оба метода в отношении частотных эффектов идентичны и, за небольшими исключениями, фактически мало отличаются друг от друга. Основы теории колебаний в кристаллах и теории их инфра- [c.576]

Итак, в квантовой механике энергия линейного гармонического осциллятора принимает дискретный ряд значений (VI.29), тогда как в классической механике энергия осциллятора хотя и постоянна [c.106]

Первые несколько уровней энергии и соответствующие волновые функции показаны графически на фиг. 5. Мы замечаем, что волновые функции являются попеременно симметричными и антисимметричными относительно начала координат. Особый интерес представляет тот факт, что, согласно квантовой механике, гармонический осциллятор не может иметь энергию, равную нулю низшее разрешенное значение энергии для него, называемое нулевой энергией, [c.106]

Величина нулевой колебательной энергии может быть найдена из квантово-механического рассмотрения колеблющейся частицы. Рассмотрим простейший случай линейного гармонического осциллятора, моделью которого может служить шарик массы т, прикрепленный к цилиндрической пружине. Если шарик оттянуть вдоль оси пружины, то возникнет сила = —Лх. пропорциональная смещению х, если оно невелико. Коэфициент к характеризует деформируемость пружины. Как следует из элементарной механики , под действием этой силы шарик совершает гармонические колебания с частотой [c.52]

Частоты колебаний гармонического осциллятора, предсказываемые классической и квантовомеханической теориями, совпадают. Задача расчета частот колебаний исходя из заданной геометрии системы и численных значений констант, равно как и обратная задача, решаются методами классической механики. Так, Вильсон приводит решения этих задач, выполненные матричным методом. Однако определение силовых констант исходя из значений частот нормальных колебаний системы представляет для квантовой механики неизмеримо более трудную проблему. [c.287]

Квантование поля излучения, после того как оно записано в канонической форме, производится по аналогии с обычной квантовой механикой. Мы должны заменить канонические переменные каждого осциллятора поля соответствующими им операторами. Результат такого квантования в применении к гармоническому осциллятору с гамильтонианом (5.13) хорошо известен. Собственные значения энергии для такого осциллятора равны [c.71]

Однако изучение молекулярных колебательных спектров показывает, что это выражение не точно определяет энергию гармонического осциллятора для случая двух атомов, совершающих колебания относительно друг друга (гл. IV). Выводы же, сделанные путем применения уравнения (8.43), полученного с помощью квантовой механики, удовлетворительно совпадают с результатами спектроскопических исследований. [c.52]

Значение колебательной суммы состояний. Вычисление величины колебательной суммы состояний по уравнениям классической теории представляет интерес в связи с тем, что оно отчетливо выявляет превосходство методов квантовой механики. Полная энергия двухатомного гармонического осциллятора, выраженная в форме Гамильтона, будет [c.474]

Спектры поглощения в близкой инфракрасной области (Я < 20ц), содержащие наиболее интенсивную основную полосу поглощения типа, приведенной для НС1 на рис. 88, объясняются изменением характера колебаний в молекуле. Рассмотрим молекулярную модель, называемую гармоническим осциллятором. Как уже известно из 17 гл. VI, квантовая механика разрешает для такого вида движения только следующие значения энергии [c.274]

Основой теории молекулярных колебаний является волновое урав-нение Шредингера для гармонического осциллятора, которое подробно рассматривается в любом учебнике по квантовой механике. Простейшая модель гармонического осциллятора состопт из двух масс т- я игд, соединенных невесомой пружиной, которая моделирует возвращающую силу, пропорциональную отклонению Лг) расстояния между массами от положения равновесия. Это может быть выражено уравнением [c.294]

Гармонический осциллятор даже на нулевом колебательном уровне совершает колебания с так называемой нулевой энергией оло. не исчезающей и при температуре О К. В классической механике осциллятор при самом низком энергетическом состоянии покоился бы. Различие квантовомеханического гармонического осциллятора и классического хорошо иллюстрируют графики волновых функций г цл и их квадратов 1 1>к0л1 (рис. 75). Последние указывают плотность вероятности того, что межъядерное расстояние равно г. В классической механике скорость ядер в точках возврата равна нулю, и вероятнее всего можно найти ядра именно в этих точках. В квантовой механике для нулевого колебательного уровня вероятность нахождения ядер в точках возврата очень мала, а наиболее вероятное положение ядер отвечает равновесному расстоянию (рис. 75). Для уровня с [c.158]

Она симметрична относительно вертикальной оси г = Гравн и имеет на ней минимум. Квантовая механика показывает, что молекула, ведущая себя как гармонический осциллятор, может находиться в дискретных энергетических состояниях (рис. 6.34) [c.268]

Квантовая механика играет важную роль в микроскопическом описании большинства физических систем. При мезоскопическом описании мы также много раз обращались к ней. В большинстве случаев квантовая механика была нужна для определения множества состояний. В качестве примера можно указать теорию одномолекулярных реакций, обсуждавшихся в 7.5, или лазеры из 6.4. Кроме того, квантовая механика оказывается полезной, если мы интересуемся истинными значениями вероятностей перехода (например, гармонический осциллятор из 6.4). [c.307]

Квантовая механика оказывается на вторых ролях в связи с тем, что мезоскопическое описание является огрубленным. Каждое мезоскопическое состояние состоит из такого большого количества квантово-механических состояний, что перекрестные корреляции между амплитудами вероятностей этих состояний разрушаются и остаются только сами вероятности. Естественно, это оказывается правильным только в специфическом представлении. До сих пор правильное представление, в котором перекрестные корреляции являются действительно пренебрежимыми, было довольно очевидным и выбиралось неявно. В упомянутых примерах эти представления определялись числом фотонов, колебательными состояниями молекулы или гармонического осциллятора. [c.307]

Рассмотрим гетеронуклеарную (состоящую из разных атомов) двухатомную молекулу АВ. Мсжъядеряое расстояние в ней не является фиксированным, а представляет собой периодическую функцию времени. Это означает, что ядра колеблются так, что межъядерное расстояние периодически изменяется (вокруг равновесного или среднего значения) с частотой, которую можно выразить в циклах в секунду. Такие колебания имеют, как правило, небольшую амплитуду, и в хорошем приближении их можно считать гармоническими. Квантовая механика показывает, что энергия и частота гармонического осциллятора связаны следующим соотношением [c.281]

Описывая колебания кристалла, мы исходили из классических уравнений движения атомов (или молекул), расположенных в узлах кристаллической решетки. Но хорошо известно, что внутренние движения в системе взаимодействующих атомов или молекул должны описываться не классической, а квантовой механикой. Поэтому на первый взгляд может показаться, что классическое описание колебаний кристалла является слишком грубым приближением и с самого начала следовало бы исходить из квантовых законов. Однако малые колебания идеального кристалла представляют собой тот редкий случай физической системы, квазиклассическое рассмотрение которой приводит к результатам, совпадающим с таковыми при строго квантовом рассмотрении. Это связано с тем, что механика малых колебаний кристалла эквивалентна механике системы независимых гармонических осцилляторов. А классификация состояний и расчет энергетического спектра гармонического осциллятора на квазиклассическом уровне, как известно, являются квантовомеханически точными. [c.119]

Для построения колебательной статистической суммы п-атомной молекулы в рамках приближения ЖВГО нужно знать частоты колебаний Зп — 6 независимых квантовых гармонических осцилляторов. Эти частоты находят с помощью решения классических уравнений движения. Решение уравнений Лагранжа для движения точек в гармоническом потенциале является стандартной задачей из учебников классической механики [305]. Для случая молекулярных колебаний эта задача разработана Уилсоном [306. 307] и Ельяшевичем [308]. В матричной записи [309] решение приобретает особенно простую и элегантную форму частоты нормальных колебаний получаются в результате диагонализации произведения двух симметричных матриц [c.88]

СОСТОЯНИЯ равповеспя, происходящие под действием ква и упругоп силы, — так наз. линейпый гармонический осциллятор. Примером осциллятора могут служить малые колебания атомов в двухатомной молекуле. Интересно сопоставить поведение гармония, осциллятора в классич. механике и в К. м., т. к. это дает возможность вскрыть ряд специфич. свойств квантовых процессов. [c.258]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология