Уравнение Больцмана одночастичное

Рассмотрим систему многих частиц, характеризуемую их мгновенными координатами и скоростями Уг. Предположим, что система разрежена настолько, что столкновения между частицами можно считать мгновенными, и будем рассматривать только парные столкновения. Такие системы полностью описываются одночастичной больцмановской функцией распределения /(д г, Уг, ). Во внешнем поле сил Рг (на единицу массы) функция распределения / удовлетворяет уравнению Больцмана [30] [c.146]

Первое свойство состоит в том, что этот частный вид можно использовать для доказательства приближения к равновесию в разреженном газе, описываемом кинетическим уравнением Больцмана. Уравнение Больцмана нелинейно, и для доказательства того, что его решения стремятся к равновесным, нужна иная техника. Эта техника основана на выборе Н в виде (5.5.6) другие выпуклые функции в этом случае использовать нельзя . Между прочим, фав-нение Больцмана не является основным кинетическим уравнением для плотности вероятности, а является уравнением эволюции для функции распределения частицы в одночастичном шестимерном фа.зовом пространстве ( и-пространстве ). Однако линеаризованное уравнение Больцмана имеет ту же структуру, что и основное кинетическое уравнение (ср. с. П.5). [c.118]

Эволюция одночастичной функции распределения К для q-ж компонента частицы (в смеси газов из N компонент, 1 iV) в i-M квантовом энергетическом состоянии, описывается следующим обобщенным кинетическим уравнением Больцмана [11, 24] [c.109]

Точное описание явлений в плазме требует полного исследования столкновений. Отличие кинетической теории плазмы от кинетической теории газов заключается в том, что в первой нельзя пренебречь межчастичным взаимодействием, в то время как во второй предполагается, что частицы движутся свободно, взаимодействуя только во время столкновений (из которых рассматриваются только двойные). При описании явлений в низкотемпературной плазме во многих случаях используют одночастичные функции распределения и к членам уравнения Больцмана, описывающим двойные столкновения, добавляют еще некоторые члены. В результате получается обобщение интегродифференциального уравнения Больцмана. Нелинейное уравнение Больцмана с членом, описывающим двойные столкновения, или со статистически определяемыми добавочными членами, описывающими рассеяние на малые углы, практически не решается. Однако оно дает полезную информацию о коэффициентах переноса, в чем и состоит в настоящее время его главное практическое значение [c.8]

Выяснив, какую роль в макроскопической физике играют функции распределения низшего порядка, мы приступим теперь к получению других уравнений для одночастичной функции распределения. Пока мы познакомились со следующими кинетическими уравнениями с уравнением свободно-молекулярного течения (совпадающим по форме с одночастичным уравнением Лиувилля) с уравнением Власова и очень кратко (как упражнение в анализе Боголюбова) с уравнением Больцмана. Последнее уравнение. [c.164]

Одним из наиболее известных уравнений такого типа является уравнение Больцмана, описывающее изменение во времени одночастичной функции распределения молекул разреженного газа. Ниже будет показано, что это уравнение может быть использовано при изучении процессов, протекающих не только в разреженных газах, но и в других, представляющих практический интерес системах. [c.314]

Используя (7.3.6), нетрудно получить обычным способом уравнение для функции распределения г, и, т) твердых частиц в псевдоожиженном слое. По общему виду это уравнение почти совпадает с уравнением (6.1.23) для функции распределения броуновских частиц дополнительное слагаемое в нем обусловлено наличием потенциального взаимодействия, приводящего к столкновениям между твердыми частицами. Предположим, что при столкновении твердых частиц в псевдоожиженном слое выполняются все те условия, которые были использованы при выводе уравнения Больцмана для одночастичной функции распределения разреженного газа, в частности 1) сохранение полной механической [c.337]

Как было описано в гл. 2, коэффициенты переноса, с которыми мы будем здесь иметь дело, получаются косвенным образом из решения Энскога уравнения Больцмана для одночастичной функции распределения [c.364]

Допущения теории переноса. Ввиду того что для получения газодинамических уравнений используются только два члена в разложении Энскога для функции распределения, а также ввиду того, что решается только уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения скорости, здесь перечисляются условия, при которых можно ожидать, что будут иметь силу получающиеся газодинамические уравнения переноса. Только исследование этих условий позволяет полностью оценить ту скудную основу, на которой построена газовая динамика как наука в настоящее время, и понять, каким триумфом является то, что наука, построенная при таких ограничивающих предположениях, находится в разумном согласии с экспериментом в широком диапазоне условий. Это же помогает осознать необъятность задачи, которая возникает при распространении этой теории на области, которые в настоящее время не могут быть описаны теорией в ее теперешнем состоянии. [c.366]

Для уяснения положения дел укажем на следующее обстоятельство. В уравнении Больцмана носителем информации является функция распределения, а основной временной масштаб связан со средним временем свободного пробега (10 с в нормальных условиях). С другой стороны, в гидродинамике временной масштаб определяется временем распространения звуковой волны на макроскопически конечное расстояние (обычно 10 3 с), а вся существенная информация определяется небольшим числом макроскопических параметров плотностью, гидродинамической скоростью и температурой. Иными словами, переходу от кинетической теории к гидродинамике соответствует сокращение формального описания. Такая ситуация напоминает ситуацию, рассмотренную в гл. 3. Там сначала проводилось динамическое описание задачи N тел с помощью ТУ-частичной функции распределения, удовлетворяющей уравнению Лиувилля, которое затем сводилось к описанию с помощью сокращенного числа переменных путем перехода к одночастичной функции распределения, удовлетворяющей (обобщенному) уравнению Больцмана. Удовлетворительное решение проблемы рассматриваемого здесь сокращения описания было впервые получено Гильбертом в 1912 г. в работе [100], посвященной существованию и единственности решения уравнения Больцмана. Рассматривая ограниченный соответствующим образом класс функций, в котором ищется решение уравнения Больцмана, Гильберт доказал наличие для любого момента времени взаимооднозначного соответствия между решением для функции распределения / и первыми пятью моментами этой функции плотностью, тремя компонентами гидродинамической скорости и температурой. Необходимо отметить, что тем самым устанавливается связь единственности любого решения уравнения Больцмана с решением уравнений гидродинамики. Теория Гильберта будет рассмотрена в 5.1. [c.117]

Структура главы такова. В 13.1 мы напоминаем некоторые результаты гл. 3 и формулируем обобщенное уравнение Больцмана. Затем с помощью вывода макроскопических законов сохранения и определения векторов потоков (т. е. тензора напряжения и вектора теплового потока) мы устанавливаем связь между кинетической теорией плотных газов и гидродинамикой. Чтобы решить обобщенное уравнение Больцмана с точностью до первого порядка по пространственным градиентам, в 13.2 мы развиваем метод, похожий на метод Чепмена—Энскога, и выводим выражения для коэффициентов переноса. Результаты этого параграфа все еще носят общий характер, поскольку при их выводе не используется никакая конкретная форма функциональной зависимости двухчастичной функции распределения от одночастичной. В 13.3 эти результаты развиваются применительно к сне- [c.369]

Возможность вывода обобщенного уравнения Больцмана зависит от того, можно ли представить двухчастичную функцию распределения р2 как не зависящий от времени функционал от одночастичной функции распределения Лишь в этом случае уравнение (13.1.5) будет зам- [c.370]

Когда-нибудь сможем решить это уравнение точно. Фактически мы даже не можем доказать для него Я-теорему и, следовательно, не в состоянии показать, что обобщенное уравнение Больцмана описывает необратимый процесс приближения газа к равновесию. Разумеется, это весьма серьезный недостаток теории. Тем не менее в следующем параграфе мы покажем, что можно развить такой метод построения решений обобщенного уравнения Больцмана, который тесно связан с методом Чепмена—Энскога для решения уравнения Больцмана в случае разреженного газа. Путем формального применения этого метода мы получим приближенное выражение для одночастичной функции распределения по скоростям / , с помощью которого затем выразим векторы потоков в плотном газе через межмолекулярный потенциал и функционал/г( l/l). [c.379]

Второй подход осуществляется совершенно иначе. Рассматривают только одночастичное распределение, для которого надо найти уравнение. Вместо того чтобы исходить из уравнения Лиувилля для iV-частичного распределения и продвигаться вплоть до одночастичного распределения, берут за основу уравнение свободно-молекулярного течения (одночастичное уравнение Лиувилля) и получают кинетическое уравнение, включающее эффекты столкновений. Такова точка зрения Больцмана. [c.198]

Впервые свойство возрастания энтропии при движении макросистемы к состоянию равновесия было доказано Больцманом при изучении неравновесного разреженного газа на основе предложенного им кинетического уравнения (см. гл. 7). При этом в качестве огрубленной функции распределения использовалась одночастичная функция fi. Это доказательство известно под названием Н-тео-ремы Больцмана. [c.73]

До настоящего момента мы познакомились с тремя кинетическими уравнениями. В этой главе мы рассмотрим еще три других уравнения Крука — Бхатнагара — Гросса, Фоккера — Планка и Ландау. Все они получены сравнительно недавно, большей частью в последние десятилетия. Каждое уравнение определяет по существу один и тот же объект — одночастичную функцию распределения. Поскольку уравнения различны, очевидно, что они применимы в разных областях. Тем не менер мы увидим, что уравнение Больцмана, как ни одно из других, связано со всей совокупностью кинетических уравнений. [c.173]

Описанный только что метод получения уравнения Больцмана концентрируется в основном на вычислении членов б/ . Одночастичная функция распределения изменяется (вдоль траектории частицы) только благодаря беспорядочным столкновениям, вслеД ствие которых частицы выходят из элемента фазового объема и входят в него. Но это не единственная причина изменения функции 1. Полный механизм изменения определяется интегралом в уравнении БИ1 [см. уравнение (2.178а)]. [c.206]

Казалось бы, что решить уравнение Больцмана для функции а потом вычислить коэффициенты переноса и получить замкнутую систему гидродинамических уравнений — все равно, что стрелять из пушки по воробьям . Если функция известна, то может показаться, что и все макроскопические переменные известны. И какой тогда смысл решать уравнения сохранения, чтобы определить эти макроскопические переменные, коль скоро одночастичная функция распределения известна Однако, зная мы не можем определить гидродинамические переменные, так как они могут входить в в виде параметров. Прекрасным примером этого является локальный максвеллиан [c.270]

Выше мы видели, что кажущаяся необратимость макроскопических систем естественным образом вытекает из постулата равных априорных вероятностей и формализма для вычисления вероятностей макросостояний. Однако, интуитивно являясь удовлетворительным, этот априорный подход специфичен в одном своем аспекте он не является чисто динамической теорией. Это, скорее, объединение вероятностных и динамических закономерностей. Существует ли какой-нибудь способ получить необратимость макроскопических явлений чисто динамическим путем Мы уже сталки-вались с такой попыткой в с -теореме Больцмана. Однако эта теорема опирается на справедливость уравнения Больцмана, вывод которого, если мы вспомним, включает множество предположений. Одним из них является гипотеза молекулярного хаоса. Этот Ansatz полагает двухчастичную функцию распределения /2 равной произведению одночастичных функций распределения /1/1, что в представлении фазовых чисел записывается так [c.336]

Результаты предшествующего параграфа дают основания полагать, что кинетическую теорию можно полностью сформулировать при помощи одночастичной функции распределения/. Уравнение Больцмана, очевидно, замкнуто относительно этой функции, и, вероятно, его можно решить, если наложить на него подходящие граничные и(или) начальные условия. (Этот вопрос затрагивается в гл. 4.) Функция распределения фактически описывает поведение типичной частицы. Разумеется, принимается во внимание взаимодействие типичной частицы с другими, но оно учитывается лишь в среднем, т. е. статистическим образом предполагается, что другие частицы ведут себя точно так же, как и частица, вьщеленная для изучения. Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, это эквивалентно пренебрежению всеми межчастич-ными корреляциями, что, как известно, несправедливо для твердых тел и жидкостей. Справедливость этой гипотезы для газов также может быть подвергнута сомнению, поэтому вопрос о более строгом обосновании уравнения Больп>1ана заслуживает весьма серьезного внимания. [c.44]

В предшествующих параграфах был дан весьма фундаментальный, современный вывод уравнения Больцмана. Продолжительность и сложность этого вывода составляют разительный контраст с весьма привлекательным простым интуитивным выводом, использованным в 3.1. Возникает вопрос зачем нам понадобилось пробираться через дебри подробных вычислений, проведенных в 3.2—3.5 Важнейщая причина состоит в том, что до сих пор, за исключением весьма специальных случаев, не получен интуитивный вывод кинетического уравнения, справедливого при высоких плотностях. Чтобы вывести подобное уравнение, необходимо прежде всего установить, какие гипотезы скрыты за классическими эвристическими соображениями Больцмана. Если бы мы поняли в полной мере эти гипотезы, мы смогли бы обобщить уравнение Больцмана на ситуации, в которых нельзя пренебречь тройньпии и высшими столкновениями между молекулами газа. Другой вопрос, который может возникнуть после знакомства с классическим выводом уравнения Больцмана, касается сокращения описания при каких условиях одночастичной функции распределения достаточно для описания многочастичной системы Впредшествуюпщх параграфах мы видели, как глубоко следует вникнуть в теорию, чтобы дать ответы на эти и подобные им вопросы. Резюмируя, дадим краткий обзор полученных результатов. [c.67]

Подставляя эту формулу в уравнение ББГКИ (3.6.4) для одночастичной функции распределения, приходим к интегро-дифференциальному уравнению, которое содержит только функцию и фактически является обобщенной формой уравнения Больцмана. [c.69]