Численное дифференцирование функций

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [c.230]

Поскольку межмолекуляр ный обмен карбоксилатными группами чрезвычайно сложный и многостадийный, то сравнительная количественная оценка реакционной способности калиевых солей бензолкарбоновых кислот осуществлялась с помощью метода начальных скоростей реакций. Это позволяло вести исследования в области малых степеней превращения исследуемых веществ, где состав продуктов реакции сравнительно прост. Продукты реакции анализировались гравиметрическим и спектрофотометрическим методами [6, стр. П7—1251. Начальные скорости вычислялись по формулам численного дифференцирования функций, заданных таблично в четырех или пяти узлах соответственно [7, стр. 2321 [c.160]

В формулу (16) входит частная производная от Ig по т . Можно было бы определять значения этой производной непосредственно путем численного дифференцирования функции Ig = = / (т-х, т ), но оказывается более точным и более удобным исходить из значений относительного молярного понижения давления паров над раствором р = / т , т ), где [c.259]

Производные, входяш,ие в это соотношение, можно вычислить с помощью численного дифференцирования функции 6 или посредством точных методов. Производная по температуре определяется равенством (3.24). Если равенства (2.23) и (2.28) дифференцировать по давлению при постоянной температуре и если члены, содержащие зависимые составляющие, исключить из полученных выражений, то получится система совместных линейных уравнений [c.89]

Производные, входящие в это выражение, можно вычислить с помощью численного дифференцирования функции п или посредством точных методов. Принимая во внимание формулу (3.4), получим [c.92]

В случае применения метода численного дифференцирования для определения градиента функции 3(ДС) необходимо учитывать следующее обстоятельство. Теоретически оба рассмотренных метода определения частных производных дают совпадающие результаты только при условии, что Ах стремится к нулю. [c.129]

Численное дифференцирование. Решение задачи численного дифференцирования экспериментальных зависимостей основывается на методах аппроксимации (см. с. 64). Другими словами, поскольку аналитический вид экспериментальной зависимости 1/,- = I/(х ) (где имеет значения от О до п, а п + 1—число точек), которую предстоит дифференцировать, чаще всего неизвестен, то подбирают аппроксимирующую у (х) функцию ф (д , а), где а — некоторые подгоночные параметры. Полагают, что у (х) = ф (л , а) и далее рассчитывают в нужных точках производную ф (х, а), которую приравнивают к у (лг). [c.66]

Недостатком метода, основанного на применении критерия ошибок, является необходимость использования, наряду с измеренной выходной функцией у 1), также и ее производных йу 1)/(И. Как известно, численное дифференцирование кривых может привести к значительным погрешностям. Особенно велики погреш- [c.268]

Некоторые современные измерительные устройства позволяют определять непосредственно производную функции. При> этом дy t)/дt является измеряемой величиной и нет необходимости ее вычислять численным дифференцированием. [c.269]

Особенность этой системы уравнений состоит в том, что в нее, наряду с измеренными функциями y t), входят интегралы от у 1), которые можно получить численным интегрированием измеренной функции. Причем численное интегрирование, в отличие от численного дифференцирования, приводит к сглаживанию погрешностей эксперимента. [c.270]

Начальные сведения о методе сеток даны в первых двух главах книги. Сначала (глава 1) рассматриваются основные применения метода сеток для функций одного иеременного интерполирование, численное интегрирование и численное дифференцирование, численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.11]

Как это ясно из (1), искомые кинетические функции в каждой точке равны производной концентрации соответствующего вещества по независимой переменной г. Эти производные могут быть легко получены графическим или численным дифференцированием экспериментальных кривых, после чего задача исследования сводится к аппроксимации функций г г зависимостями выбранного вида. Дальнейшую обработку можно вести путем подбора значений неопределенных параметров, приводящих к минимуму сумму [c.252]

Бинарные уравнения пригодны для графической оценки парциальных молярных свойств, если заведомо известно, что свойства смеси являются функциями мольных долей этот метод, получивший название метода отрезков, отсекаемых касательной , демонстрируется на рис. 3.4 (гл. 3). На такой диаграмме парциальные молярные количества при определенной мольной доле Х1 представлены подкасательными при составе с ординатами О и 1. Однако точность графических методов низка, поэтому вышеописанный подход может дать более точные результаты и оказаться более удобным, если предварительно будут проведены операции численного дифференцирования (как в примере 2.6). Парциальные молярные объемы в примерах 2.5 и 2.7 находят аналитическим дифференцированием уравнений состояния. В примере 2.4 показано, как можно найти парциальные молярные свойства, если сос гав выражен в мольных долях. [c.128]

Численным дифференцированием целевых функций [c.296]

Величины Fi (г = 0, 1, 2,. . . ) называются опорными функциями. Их значения находятся путем численного расчета по экспериментальной кинетической кривой у = f (г). Например, в полученном уравнении для определения F и F требуется численное дифференцирование. В других случаях для отыскания Fi необходимо проводить численное интегрирование, например J t/dr, J y dx и т. д. Значения констант к находятся либо простым решением алгебраических уравнений, найденных для ряда точек кинетической кривой, либо способом наименьших квадратов. [c.148]

Эту экстраполяцию можно осуществить графически. По оси абсцисс откладывают равновесную концентрацию лиганда, а по оси ординат — значения f. При этом на оси ординат отсекается отрезок, численно равный Asi/ i = Оь Дифференцирование функции fl и экстраполяция производной на нулевую концентрацию лиганда дает [c.319]

Этаны дифференцирования и интегрирования осуществляют методами численного анализа. Обычно применяют графическое дифференцирование функции Д/ (Р) (Р) , а интегрирование ведут с помощью стандартизованных таблиц функции (рР). Производную [c.115]

В качестве исходной характеристики разделяемой смеси используются массовая кривая ИТК и зависимости между молекулярной массой, плотностью и нормальной температурой кипения компонентов. Все три функции задаются таблично. Вначале численным дифференцированием находят массовую дифференциальную функцию распределения состава исходной смеси [c.63]

На основе численного дифференцирования этих кривых была построена кривая рис. 2, выражаюш ая функцию [c.42]

Любая из перечисленных выше функций полностью описывает М.-м. р. полимера. Однако переход от интегральных к дифференциальным функциям М.-м. р. требует графического или численного дифференцирования, что ведет к появлению значительных ошибок. Поэтому экспериментальная дифференциальная кривая точнее описывает реальное М.-м. р., чем интегральная. [c.143]

Функции X (t) и, тем более, х t) практически невозможно получить при проведении эксперимента на объекте. Причиной является наложение высокочастотной случайной помехи z (i) на истинный сигнал X (i). Определение же производной х t) по х (i) = = X t) + Z (t) связано с принципиальными трудностями, обусловленными неустойчивостью операции численного дифференцирования. Покажем неустойчивость этой операции на следующих примерах. [c.295]

Главную трудность, возникающую при решении динамической задачи применительно к конкретным кристаллическим веществам, представляет собой расчет потенциальной энергии как функции смещений молекул. Обзор литературы (табл. 5) показывает, что все исследователи, проводившие расчет частот внешних молекулярных колебаний, вычисляют потенциальную энергию в приближении парного потенциала, т. е. считают энергию кристалла суммой взаимодействий пар молекул. Динамические коэффициенты, т. е. вторые производные потенциальной энергии по смещениям молекул находят численным дифференцированием. [c.165]

В разделе 8.5 приведено изложение двух наиболее распространенных методов численного дифференцирования — разностного метода Батлера — Хопкинса [36] и полиномиального дифференцирования по Савицкому—Голею [37,38]. Значительно более сложным в вычислительном отношении является дифференцирование с помощью преобразования Фурье [32] или методом сплайновой функции [39]. [c.25]

Такую экстраполяцию проще осуществить графическим методом, откладывая по оси абсцисс равновесную концентрацию лиганда, а по оси ординат — значение функции /х. Экстраполируя эту зависимость до пересечения с осью ординат, находят отрезок, численно равный Ае . При дифференцировании функции Д и экстраполяции ее производной на нулевую концентрацию лиганда получаем [c.257]

В табл. II. 6 даны значения рг в виде обобщенной функции от Тг, Рг и Z . Необходимые производные могут быть определены по этой таблице методом численного дифференцирования. Для пояснения приведен пример . 8. [c.319]

Для вычисления второго слагаемого в правой части уравнения (3.18) имеется несколько методов. Простейший и наименее точный из них заключается в выполнении указанного дифференцирования функции т)/ численными методами. Следует заметить, что это вычисление значительно более точно, чем численное дифференцирование полной энтальпии Л, так как т) v в большинстве случаев является лишь малой частью Л. [c.87]

Дискретизация по пространственным п временной переменным. Прп этом производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются линейными комбинациями значений искомых функций в узлах сетки по тем или иным формулам численного дифференцирования. Вы- [c.75]

H N. Термодинамические функции синильной кислоты, приведенные в табл. 208(11), вычислены по постоянным, найденным в работе Дугласа и Шарма [1383] и приведенным в табл. 189. Расчет колебательно-вращательных составляющих был выполнен по методу Касселя [см. уравнения (11.210), (II.211)], поправки в значениях Фг на ангармоничность колебаний молекулы H N, взаимодействие вращения и колебаний и центробежное растяжение при вращении вычислялись по этим уравнениям для температур 298,15 500, 700, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 4000, 5000 и 6000° К- При Т< 4000° в суммах 2 UnkYuk вычислялись члены со значениями + fej 2 при 4000, 5000 и 6000°К — члены с г -f / + 4. Для остальных температур значения а в уравнениях (II.210) и (II.211) были получены интерполированием. Соответствующая поправка в значениях вычислялась при помощи численного дифференцирования величин i ln а. [c.653]

В работах [2, 4 описаны алгоритмы и программы для сглаживания и численного дифференцирования табул1фованных функций. В основе методов сглаживания лежит приближение- табличной функции полиномами методом наименьших квадратов. Недостатком приведенных в И программ является отсутствие анализа погрешностей обрабатываемых входных данных, что в результате многократного применения процедуры сглаживания приводит к искажению входной функции. При этом, прогрэлмы могут обрабатывать функции только с равноудаленным аргументом, что в значительной степени снижает практическую ценность программ. [c.16]

Для численного дифференцирования табулированных функций нами разработан метод кусочной линейной апцроксимации участка исходной функции методом ортогонального базиса функциями различного вида[з]. [c.17]

Численное дифференцирование выполняется по наилучшей аппроксимирующей функции для цуска табличной функции. [c.158]

В пионерских расчетах Поли в приближеиии жестких молекул были получены дисиерсионные кривые и функции распределения частот для гексаметилентетрамина [97], нафталина и антрацена [98]. В работе [98] энергия межмолекулярного взаимодействия вычислялась в атом-атомном приближении, а динамические коэффициенты были найдены численным дифференцированием. Однако расчетные частоты существенно отклонялись от эксперимеитальных значений. Одной из причин этого отклонения могло быть взаимодействие внешних и внутренних молекулярных колебаний. Чтобы учесть этот эффект Поли и Си-вин [99] провели расчет динамики кристалла нафталина, рассматривая динамические коэффициенты как вторые производные потенциальной энергии по смещениям отдельных атомов. Таким образом, молекулы не считались жесткими и могли деформироваться при колебательных движениях. Для нахождения динамических коэффициентов использовались силовые постоянные внутримолекулярных смещений, полученные из частот колебаний в газовой фазе, а силовые постоянные смещений молекул были вычислены двойным дифференцированием потенциала 6—ехр , т. е. по отдельности для каждого атом-атомного контакта. Полученные частоты внутримолекулярных колебаний были заметно выше, чем для свободных молекул (особенно для низкочастотных мод). Напротив, частоты внешних молекулярных колебаний снизились на 5—10 см . [c.163]

Приведенные результаты, касающиеся формы двойника, можно сравнить с экспериментальными данными, полученными Солдатовым и Старцевым [59] при изучении формы двойников в висмуте. Обнаружено, что если двойник свободно движется по кристаллу, не встречая препятствий, то он имеет форму сильно вытянутого в направлении движения клина с очень тонким концом (рис. 3.9а). Если при движении в глубь кристалла двойник встречает препятствие, в частности препятствие в виде двойниковой прослойки другой ориентации, то рост в длину прекращаегся. Толщина двойника быстро увеличивается, и в носике двойника образуется характерное закругление, по форме напоминающее полуокружность, с которой сопрягаются границы двойника (рис. 3.9 6). Численное дифференцирование экспериментальных данных о толщине двойника по формуле ар(х) -dh dx дало возможность определить функцию р(х). Полученная [c.62]

На основе приведенных соотношений проводилось численное моделирование процесса горения жидкого топлива в струе окислителя. Результаты расчетов сравнивались с экспериментальными данными, которые были взяты из опытов, проведенных во ВНИИМТе [5.89] на огневом стенде для сжигания мазута. В опытах измерялись поля температур, концентраций продуетов сгорания, концентрации сажи и размеры капель. На рис. 5.26 показаны результаты измерения распределения капель по размерам, а функция распределения капель ДЛ) для этих условий на расстоянии 0,5 м от форсунки определялась путем численного дифференцирования. [c.463]

БсЗльшая часть этих приближенных методов требует графического или численного дифференцирования исходной функции или связанных с ней функций. В некоторых методах в принципе могут быть использованы вторые и более высокие производные, но обычно (за исключением отдельных случаев, когда кривизна резко изменяется) экспериментальные данные недостаточно точны, для того чтобы получить надежные значения производных выше второго порядка. Для определе1щя наклона экспериментальных кривых, по мнению автора, предпочтительнее графические методы, хотя они и пе вполне объективны. Процессы численного дифференцирования подвержены флуктуациям, если исходные данные не сглажены до большего числа значащих цифр, чем это требуется для расчетов однако онн обладают тем преимуществом, что легко поддаются обычным методам обработки. [c.81]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология