Справочник химика 21

Химия и химическая технология

Статьи Рисунки Таблицы О сайте English

Уравнение линейные методы решения

    Матричные методы решения систем нелинейных уравнений можно разделить на две группы по способу линеаризации. К первым относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность, с предыдущих итераций. Являясь методами нулевого порядка, они в ряде случаев обладают слишком медленной сходимостью или вообще не обеспечивают решения. [c.134]


    Поскольку уравнение Лапласа линейное и однородное, его решения обладают следующими свойствами сумма частных решений есть также решение этого уравнения произведение частного решения на произвольную постоянную есть также решение этого уравнения. На основании этих свойств в подземной гидромеханике разработан метод решения сложных задач, названный методом суперпозиции (методом наложения решений). [c.105]

    Одним из методов решения систем линейных уравнений являются формулы Крамера (10—26). При решении системы п уравнений необходимо ге 1 вычислять определитель га-го порядка. Так как затраты машинного времени на вычисление определителей резко возрастают с повышением порядка системы, то метод Крамера существенно проигрывает в скорости по сравнению с другими методами. [c.249]

    Кинетическое описание ферментативных реакций в нестационарном режиме связано с определенными математическими трудностями. Например, для анализа реакции, протекающей по схеме Михаэлиса — Ментен (схема 5.1), необходимо решить систему дифференциальных и алгебраических уравнений (5.2)—(5.5). Формально-кинетический анализ ферментативных реакций развивается как по пути использования численных методов интегрирования систем дифференциальных уравнений, так и по пути использования аналитических методов. Аналитическое решение имеет определенные преимущества. Поэтому важно указать, что аналитическое решение системы дифференциальных и алгебраических уравнений может быть существенно упрощено, если при использовании определенных условий систему можно трансформировать в линейную систему уравнений. Развитие методов нестационарной кинетики ферментативных реакций идет именно по этому пути. [c.175]

    В гл. 1 было показано, что математическое описание типовых процессов обычно выражается определенным классом уравнений (конечные системы уравнений, системы дифференциальных уравнений и т. д.), решение которых возможно с единых методологических позиций. Примерами такого подхода являются методо-ориентированные пакеты прикладных программ, в основе которых используется определенный метод, обладающий достаточным быстродействием и уверенной сходимостью. В примерах 1—4 (см. гл. 1) показано, что центральным звеном пакета, позволяющего решать системы дифференциальных и конечных уравнений, является метод решения системы линейных алгебраических уравнений. При этом нелинейные уравнения некоторым образом приводятся к ли-нейному виду и решаются с использованием итеративных схем. [c.301]

    В некоторых случаях решение дифференциального уравнения в частных производных может быть сведено к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение в декартовых координатах приводит к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которых выражается в виде показательных или тригонометрических функций. Цилиндрические координаты ведут к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых имеет вид бесконечных рядов, называемых функциями Бесселя. Метод решения дифференциального уравнения в частных производных может быть пояснен примером в декартовых координатах, поскольку свойства тригонометрических функций, возможно, лучше известны, чем свойства функций Бесселя. Ниже будут показаны как аналитическое, так и численное решения. [c.247]


    Обычный метод решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных—разделение переменных после подстановки. Допустим, что решение имеет вид [c.248]

    Поиск оптимальной стратегии решения линейных, нелинейных или трансцендентных систем уравнений математических моделей ХТС вида (П 6), (И, 7) или (И, И) осуществляют путем исследования топологических свойств ДИГ, отображающих характеристические особенности этих систем уравнений. Стратегию решения систем уравнений ХТС методом декомпозиции и разрывов при некотором наборе выходных переменных отображают в виде ациклического или циклического информационного графа. Оптимальным циклическим информационным графом системы уравнений называют такой циклический граф, для которого размер максимального замкнутого контура графа наименьший. Если символическая математическая модель ХТС представляет собой совместно замкнутую систему уравнений, то информационный граф является циклическим. [c.98]

    Библиотеки программ создаются также на уровне методов решения типовых задач вычислительной математики. Это программы общего назначения, так как они не ориентированы на решение какой-либо прикладной задачи, а могут использоваться всякий раз, как возникнет необходимость в данном методе. Примером такой библиотеки может служить библиотека научных программ, разработанная для ЕС ЭВМ. Она содержит программы решения задач линейной алгебры, дифференциальных уравнений, экономизации памяти при обработке массивов информации большой размерности и т. д. В каждой области применения ЭВМ формируются и библиотеки специального назначения, содержащие программы решения типовых задач, например программы расчета типовых процессов. [c.267]

    Итак, для нахождения оптимальной производственной программы необходимо такое решение системы многих уравнений с многими неизвестными, прн котором критерий (целевая функция) достигает оптимума. Система уравнений и неравенств (24.1) — (24.5), (24.7) обладает следующим свойством она линейна относительно неизвестных. Это означает, что неизвестные входят в уравнения, неравенства и критерий лишь в первой степени и что отсутствуют произведения неизвестных. Методом решения подобных задач, которые носят название задач линейного программирования, служит так называемый симплекс-метод. Симплекс-метод изложен в целом ряде книг. Ограничимся лишь его технико-экономической интерпретацией. [c.413]

    Таким образом, в основе метода решения системы нелинейных уравнений лежит многократное решение системы линейных уравнений. [c.271]

    Существенным моментом при выборе метода является размерность задачи. Некоторые методы эффективны при решении небольших задач, однако с увеличением числа переменных объем вычислений настолько возрастает, что приходится от них отказываться. Такого класса задачи обычно имеют место при решении систем уравнений, поиске оптимальных значений параметров многомерных функций. Соответствующим выбором метода можно уменьшить время решения задачи и объем занимаемой памяти. Так, при решении систем линейных алгебраических уравнений объем вычислений для точных методов (типа метода Гаусса) пропорционален а для итерационных (типа простой итерации) — Л , где N — число неизвестных. При решении дифференциальных уравнений разностными методами матрица коэффициентов системы при числе узловых точек N содержит N элементов (при N = 100 для исходной информации необходимо отвести свыше 10 ООО слов оперативной памяти). Однако при [c.24]

    Все методы решения систем линейных уравнений подразделяются на две группы точные и итерационные. [c.249]

    Точные методы решения систем линейных уравнений основаны на том, что система уравнений с помощью элементарных преобразований сначала приводится к более простому виду, а затем уже решается. Точными они называются потому, что решение может быть получено в результате выполнения конечного объема вычис-ленпй. При этом точность определяется лишь точностью представления числовой информации в машине. [c.249]

    Таким образом, чтобы найти решение системы линейных уравнений, нужно вычислить для матрицы А обратную матрицу А и умножить вектор-столбец правых частей на эту матрицу слева. Этот метод решения систем уравнений удобно применять в тех [c.252]

    Итерационные методы решения системы линейных уравнений относятся к приближенным методам. В противоположность точным методам итерационные используют относительно простые алгоритмы для нахождения решения и обычно требуют меньших затрат машинного времени при решении системы высокого порядка. Для заданного начального приближения в этих методах вычисляется последовательность векторов-столбцов, сходящаяся к решению системы. [c.256]

    Блок-схема программы расчета одного стационарного распределения концентраций представлена на рис. 50. Сначала вводятся исходные данные, характеризующие свойства компонентов разделяемой смеси и режим работы колонны. Затем принимается начальное распределение концентраций по высоте колонны, равное составу питания, и вычисляются с использованием уравнений (10—55) константы фазового равновесия. Полученные данные используются для определения коэффициентов системы (10—56), которая может быть решена одним из методов решения систем линейных уравнений, например методом исключения. Поскольку начальное приближение задано произвольно, полученные значения Xj,J для каждого из компонентов не будут удовлетворять условиям (10—57), т. е. сумма концентраций на каждой из тарелок не будет равна единице. [c.271]


    Уравнения (12—93) и (12—94) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений, и ее решение может быть осуш ествлено любым из методов, рассмотренных в гл. 10. Таким образом, для заданной последовательности значений независимой переменной х , х , х ъ результате решения системы будет получена таблица значений искомой функции у = f (х). [c.381]

    Применяя процесс, аналогичный методу решения системы линейных уравнений по методу Гаусса, можно привести уравнение (3.6) к виду [c.195]

    Линейная интерполяция без вспомогательных шагов. В описанном выше методе на каждом шаге приходится дополнительно п раз решать системы (Vil,l) (VH,6) и (УП,9). Предложен интересный метод решения краевой задачи, также использующий линейную интерполяцию, но такой, что на каждом шаге система дифференциальных уравнений решается только один раз. В этом случае новое приближение определяется линейной интерполяцией по и -Ь 1 предыдущим приближениям. Изложим данный метод в несколько видоизмененном виде. [c.189]

    Метод прогонки для решения разностных уравнений. Нетрудно видеть, что при использовании абсолютно устойчивых схем на каждом шаге возникает проблема решения системы линейных алгебраических уравнений. Использование специальных свойств матриц этих систем привело к созданию эффективных методов решения (типа прогонки). Рассмотрим сначала систему уравнений [c.250]

    Используя известные значения и решаем систему уравнений (IX,7) — (IX,9). Легко видеть, что упомянутая система есть система уравнений сопряженного процесса (см. главу VII) и одновременно является системой линейных уравнений относительно неизвестных и ly . Методы решения системы уравнений сопряженного процесса изложены в главе XII. [c.201]

    Так как точное аналитическое решение большого числа обыкновенных дифференциальных уравнений, даже если они линейны, представляет значительные трудности и едва ли возможно, если уравнения нелинейны, то должны быть использованы приближенные методы решения. Метод конечных разностей позволяет решить эту задачу. Решение задачи нестационарного режима теплопередачи — это, по существу, выбор начальных значений температуры. Иначе говоря, если известна температура 0 в некотором узле / для момента времени т, то определяется температура 0,- того же узла I, ио для времени т -Ь Ат, где Ат— произвольно принятое при- [c.270]

    Итак, расчет стационарного режима ХТС сводится к решению некоторой системы нелинейных уравнений. Поэтому все дальнейшее изложение будет посвящено методам решения систем нелинейных уравнений. Заметим, что имеется определенная специфика решения систем нелинейных уравнений при использовании последовательного подхода. Действительно, при заданном х мы не можем рассчитать отдельно левую часть одного или нескольких уравнений системы (11,7), рассчитать их можно только вместе. Это не позволяет использовать методы, в которых предусмотрена обработка каждого уравнения системы (II, 7) в отдельности (например, метод Гаусса—Зейделя [20, с. 345] в случае линейных систем, метод Брауна [21 ] в случае нелинейных систем). [c.29]

    Метод решения трехдиагоналъной системы уравнений. При решении систем высокого порядка могут возникнуть трудности, связанные с размещением матрицы коэффициентов системы в памяти машины. Например, при решении дифференциального уравнения в частных производных (уравнения Лапласа) с числом узлов, равным 500, полная матрица коэффициентов имеет 250 ООО элементов и обьино не может быть размещена в ОЗУ. Однако эта матрица слабо заполнена и лишь небольшое число ее элементов отлично от нуля. Другим примером таких систем линейных уравнений специального вида с большим числом нулевых элементов в матрице коэффициентов являются системы, получаемые при описании многоступенчатых процессов (многоступенчатая экстракция, абсорбция и ректификация в тарельчатых аппаратах и т. п.). [c.255]

    Методы решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, использующие идею локальной линеаризации, имеют два аспекта 1) локальная линеаризация, т.е. способ приближения нелинейной систе мы ОДУ на шаге интегрирования линейной, и оценка величины возникающей при этом ошибки 2) выбор способа решения линейной системы. [c.142]

    Обе книги могут быть полезными для преподавания предметов Математика и Физика , так как выделяют те разделы этих предметов, которые важны для химиков. Так, кроме дифференциального и интегрального исчисления химику, активно использующему физические методы в своей работе, необходимы разделы линейной алгебры, теории групп и интегральных преобразований. Для решения обратных задач методов особое значение имеют вычислительные методы. С точки зрения преподавания физики важно уделить внимание вращательному движению, магнитным явлениям и, конечно, квантовой механике, ее приближенным методам решения уравнения Шредингера, особенно методу теории возмущений. Некоторые задачи физического практикума также могут ориентироваться на дальнейшее использование в практике физических методов исследования в химии. [c.264]

    Простейшим способом решения волнового уравнения является метод, основанный на линейной комбинации атомных орбиталей , определяющей молекулярные орбитали (ЛКАО-МО). Основной предпосылкой, характеризующей этот метод, является допущение, что волновая функция Ф имеет вид линейной комбинации атомных орбиталей % [c.46]

    Реальные объекты химической технологии, как правило, не обладают свойством линейности, и поэтому для их описания приходится применять нелинейные операторы. Нелинейность функциональных операторов значительно усложняет теоретическое исследование динамики объектов. Это связано прежде всего с необходимостью рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения, для которых нет универсальных методов решения (таких, например, как метод сведения дифференциальных уравнений к алгебраическим с помощью преобразования Лапласа) и которые в большинстве случаев вообще не могут быть решены в квадратурах. [c.77]

    Зная параметры структуры (координаты атомов), с помощью уравнения (8.2) можно рассчитать структурные факторы F hkt) , однако в рентгеноструктурном анализе решают обратную задачу — находят параметры структуры на основании экспериментальяо определенных структурных факторов Fo hkl) . Эту задачу невозможно выполнить непосредственно путем решения соответствующей системы уравнений, поскольку они не являются уравнениями линейными. Методом, который используется для определения расположения атомов в элементарной ячейке, является суммирование некоторого ряда Фурье, позволяющее рассчитать распределение электронной плотности [c.235]

    Для решения линеаризованного уравнения неустановившейся фильтрации (6.15) используется метод суперпозиции (метод наложения потоков). Это уравнение-линейное и однородное относительно р , поэтому если р х, у, г, /), Р2(х, у, г, /),. .., р (х, у, г, /) определяют распределения давления, вызванные работой первой, второй. .., и-й скважин, и являются решениями уравнения (6.15), то линейная комбинация их квадратов р = с р + С2Р2 + + с р1 тоже будет решением уравнения (6.15). [c.196]

    Для случая, когда аналитический вид соотношений (IX, 1) и (IX,2) известен и не слишком сложен и если, в особенности, число независимых переменных п невелико, всегда можно с большим или меньшим успехом использовать для решения оптимальной задачи аналитические методы, ио крайней мере, для того, чтобы свести ее решение к решению системы конечных уравнении. Примеры решения подобных задач уже приводились (см. главы III и IV). Кроме того, вьиие также был описан весьма важный класс задач, когда соотношения (IX, 1) и (IX,2) являются линейными, для решения которых применяется математический аппарат линейного программирования (см. главу VIII). [c.480]

    Задачи, стоящие перед теорией расчета систем автоматического регулирования, решаются для линейных и нелинейных систем по-разному. В первом случае для систем невысокой степени сложности пригодны аналитические методы решения дифференциальных уравнений классическими и сокращенными способами Часто применяются графические методики с использованием частотных характеристик (Бодэ - и НайквистЗ. ) и [c.96]

    Сначала ограничимся рассмотрением методов, используемых при изучении линейных систем. В основных монографиях, посвященных этому вопросу, описываются классические методы, базирующиеся на решении обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенные методы, такие, как методы Циглера и Никольса, столь важные при наладке уже установленных регуляторов, имеют ограниченное применение при проектировании поэтому в дальнейшем они рассматриваться не будут. В то же время мы обращаем внимание читателя на книгу Такера и Виллса где дано действительно превосходное описание этих методов и которая настоятельно рекомендуется инженерам-тех-нологам, интересующимся этим вопросом. [c.97]

    Поскольку наиболее подходящие аналитические и графические методы решения требуют линейного изображения и применения систем уравнений относительно низкого общего порядка, они показаны на низшей ступени диаграммы. Действительно, ручные методы решения коренным образом ограничены этими типами выражений (позиции / и 2 на рис. 1Х-1), При более сл ожных моделях ручные методы решения оказываются практически неприемлемыми вследствие огромных затрат времени на их выполнение. [c.112]

    Новые методы решения систем линейных уравнений общего материального и теплового ба 1ансов в сложных разделительных системах [c.75]

    Здесь z/ft — аппроксимация y t, y, у = t ) — аппроксимация y tk)] h = — шаг а, — постоянные ( > 0), соответствующие методу решения системы (3.117). При 1 = 1, /с.2 = 5 — 1 (3.117) переходит в метод Адамса — Бошфорта — Моултона переменного порядка точности (д = 1,. . ., 12), при kl = q, 2 = О — в метод Гира переменного порядка (q = I, 5). Система пе-линейных алгебраических уравнений (3.117) мо кет быть переписана в виде [c.192]

    Численное решение записанной системы уравнений проводилось методом ортогональных коллокаций. Исследовался пример решения модели (4.20)—(4.26) с линейной кинетикой адсорбции, т. е. / (X, п, 0) = Ла (X — п1Ка), где Ка — константа адсорбционно-десорбционного равновесия Ка — константа скорости адсорбции. При проведении расчетов принимали 7 = 13 мл 7а = 5 мл к = 25,0 см/с >эф = 0,2 см7с ц = 0,4 6 = 1 г/см . Варьировали РГ от 1 до 2 мл/с, Д от 0,1 до 1 см, ка от 2 до 100 мл/г с. Ка от 1 до 50 мл/г, Д( от 3 до 10 с, а также величину и форму входного сигнала Свх t)  [c.213]

    Преячде чем переходить непосредственно к методам решения систем линейных уравнений, рассмотрим вкратце порядок выполнения элементарных операций над матрицами. По аналогии с действительными и комплексными числами над матрицами так же определены элементарные операции. [c.232]

    Программа решения системы линейных уравнений этим методом приведена на стр. 253. При обращении к процедуре GORDAN число столбцов матрицы А задается на единицу больше числа строк, т. е. формируется расширенная матрица. Матрица системы коэффициентов после выполнения процедуры не сохраняется. Выходным параметром является вектор X. [c.252]

    При решении линейных дифференциальных уравнений второго порядка система линейных алгебраических уравнений является трехдиагональной. Для таких систем разработан специальный метод решения, называемый методом прогонки. [c.381]

    Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предьщущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура мат эицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению. [c.79]

    Методы решения систем нелинейных уравнений. Рассмотрим систелму (1П,6). Для отыскания решения системы поступим следующим образом. Разложим функцию / (х) в ряд Тейлора в точке ограничимся линейными членами разложения [c.140]

    Методы решения систем нелинейных уравнений можно р азбить на три группы. К первой относятся метод простой итерации и его модификации, а также методы, ускоряющие сходимость простой итерации (методы DEM [22], GDEM [23]) ко второй — метод Вольфа и его модификации [3, с. 35 1, с. 84] к третьей — квази-ньютоновские методы. Здесь мы рассмотрим только метод Ньютона и квазиньютоновские методы решения систем нелинейных уравнений, идейно очень близкие к методу Ньютона и квазиньютоновским методам оптимизации. В дальнейшем будем говорить, что метод обладает р-шаговым свойством линейного окончания, если он обеспечивает решение системы линейных уравнений при числе шагов, не превышающем р. [c.29]

    Последовательное введение спина в описание системы электронов осуществляется с помощью релятивистской квантовой теории, согласно которой вместо уравнения Шредингера вводится уравнение Дирака. Однако решение уравнения Дирака для расчета молекулы — слишком сложная задача. Поэтому, учитывая, что в гамильтониане члены, содержащие спин-орбитальное взаимодействие, малы, можно воспользоваться методом теории возмущений в рамках нерелятивист-ской квантовой механики. Из квантовой механики известно, что релятивистские члены в гамильтониане делятся на два типа линейные относительно операторов спинов электронов й квадратичные по ним. Квадратичные члены характеризуют взаимодействие между спинами электронов и для нашего расчета не нужны. Линейные члены соответствуют взаимодействию орбитального движения электронов с их спинами — так называемому спин-орбитальному взаимодействию. Оператор спин-орбитального взаимодействия [c.138]


Смотреть страницы где упоминается термин Уравнение линейные методы решения: [c.308]    [c.122]    [c.120]   
Теория рециркуляции и повышение оптимальности химических процессов (1970) -- [ c.157 ]




ПОИСК





Смотрите так же термины и статьи:

Введение. Консервативные автономные системы. Линейная неавтономная система. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. Решение автономных уравнений со слабой нелинейностью методом возмущений. Асимптотическое разложение. Метод усреднения Адиабатические инварианты

Линейное решение уравнения

Метод преобразования коэффициентов трех диагональных матриц систем линейных алгебраических уравнений для обеспечения точности решения

Некоторые методы решения систем линейных уравнений

Новые методы решения систем линейных уравнений общего материального и теплового балансов в сложных разделительных системах

Программы решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом

Системы линейных уравнений и методы их решения

Уравнение решения



© 2024 chem21.info Реклама на сайте